Objetivos. Discutir as aplicações das Séries de Fourier

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Laboraório de Diâmica SEM 533 MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS I Reoa do Siema de Seguda Ordem à Erada Eeciai Pare I Re.:

2 Objeivo O objeivo riciai dea eção ão o eguie: Realizar uma revião da Traformada de Lalace, eorema e alicação a olução de equaçõe difereciai ordiária Deermiar a reoa do iema de GDL à erada do io degrau uiário, rama, imulo e combiaçõe Iroduzir o coceio de Série de Fourier ara um ial eriódico Dicuir a alicaçõe da Série de Fourier Deermiar a reoa de regime ermaee de um iema de GDL a um carregameo eriódico geral uado Série de Fourier Iroduzir o méodo de olução o domíio da freqüêcia Bibliografia: -Craig, R., Srucural Dyamic, A Iroducio o Comuer Mehod Joh Wiley, Caíulo 8. -Doeblig, E. O. Syem Dyamic, Modelig, Aalyi, Simulaio, Deig Marcel Dekker, Caíulo 6

3 A TRANSFORMADA DE LAPLACE A raformada de Lalace de uma fução real e coíua or are é dada or L [ f ] F f e d > Eq. Ode σ jω é deomiada variável de Lalace, ouido are real e imagiária. O oerador L é deomiado oerador de Lalace. Alguma caraceríica dea raformada a olução de EDO ão: Traforma a EDO em uma equação algébrica! Solução comlea icluido a CI é obida em um úico ao Não exie dúvida de quai CI deveriam er uada, já que a raformada a requer auomaicamee A raformada de Lalace lida com erada ão coíua de forma mai imlificada Domíio do Temo > Traformação Domíio de Lalace > 3

4 . Alguma Proriedade Imorae da Traformada de Lalace Proriedade da Liearidade L [ f a f ] a F a F a Eq. Difereciação L df d F f Eq. 3 L d f d F df d f Eq. 4 L d d f F df d f K d d f Eq. 5 4

5 Iegração L [ ] F f f d Eq. 6 Teorema do arao o emo a [ f a µ a ] e F L Eq. 7 f µ a a 5

6 Alguma raformada úei ão dada abaixo f δ F /! e a a coa a a a e a 6

7 RESPOSTA AO DEGRAU Nee cao a exciação é dada or: µ Eq. 8 Ode é a amliude e µ é o degrau uiário que em or defiição µ µ µ-a µ < Eq. 9 a Eão a equação de movimeo é a eguie mu&& cu& ku u u ; u& u& µ Eq. 7

8 A Eq. ode aida er recria como: ω u& & ςω u u & ω µ Eq. k Iluraremo o roceo de olução uado a dua écica cohecida. Iicialmee, elo méodo cláico a olução da EDO, Eq. é dada or u u u Eq. H A olução homogêea u H é obida a arir da olução da EDO homogêea aociada, como vio aeriormee fazedo-e. Temo ara ζ < P u H A coω A eω ς ω d d Eq. 3 e Ode A e A deedem da codiçõe iiciai aida ão uada! 8

9 Já a olução de regime ermaee egue a forma da exciação, ou eja: E eão a olução comlea é u P k Eq. 4 u e ς ω A A coωd eωd k Eq. 5 Agora uamo a codiçõe iiciai do roblema ara deermiar a coae de iegração A e A A u k u& A ς u ωd ς k Eq. 6 Eq. 7 9

10 Uado agora a raformada de Lalace, volamo à Eq. L ω & ςω u& ω u L u µ & Eq. 8 k Uado a roriedade reviamee defiida e a abela forecida obemo U ω & ςω ω Eq. 9 k U u u U u Reare eão que a Eq. 9 é agora uma equação algébrica a raformada U de u coém de imediao oda a codiçõe iiciai do roblema! Agora odemo eão reolver a Eq. 9 ara U algebricamee!

11 Rearrajado o ermo a Eq. 9 emo U ω ςω ω ςω u u& Eq. caraceríica k Eq. E odemo eão reolver a Eq. ara U U ςω ω ςω u& u ςω k ω ςω ω ςω ω Eq. A olução comlea o emo ode eão er obida calculado-e a raformada ivera de cada um do ermo do lado direio da Eq.. Embora exiam abela exea com muia raformada, uma forma imle de calcular a ivera é reduzido o oliômio quadráico do deomiador em moômio uado-e ara ao a écica da fraçõe arciai!

12 Por exemlo, e aumirmo que o iema é ub-amorecido, ζ < eão Ode: ςω ω Eq., ςω ± i São a raíze da equação caraceríica do iema ub-amorecido e ω d Eq. 3 ω d ω ς Eq. 4 Eão a Eq. ode er ecria como U ςω ω u& u k Eq. 5

13 E eão odemo exadir cada um do ermo em fraçõe arciai, or exemlo A B Eq. 6 A B A B B A Eq. 7 Em eguida rocedemo a igualdade do coeficiee do umerador da exreõe idicada acima a Eq. 7 De ode obemo A B B A B iωd A iω d Eq. 8 Eq. 9 Eq. 3 Eq. 3 3

14 E a ricial vaagem de reduzir a fraçõe arciai é que : a e L L A B - a L Ae Be Eq. 3 Eão exadido odo o ermo da Eq. 5 em fraçõe arciai e calculado a raformada ivera de cada um dele obém-e a olução morada a Eq. 5 e cujo gráfico eá morado abaixo 3 u

15 3 RESPOSTA À RAMPA Nee cao a exciação é dada or: µ Eq. 33 E a reeça da fução degrau uiário a Eq. 33 erve aea ara idicar que a exciação é válida aea ara >! Eão a equação de movimeo é mu&& cu& ku u u ; u& u& Ea úlima Eq. 34 ambém ode er ecria como: µ Eq. 34 u u u k ω && ςω & ω Eq. 35 5

16 O roceo de olução é imilar ao cao aerior, odemo reolver elo méodo cláico ou Traformada de Lalace. Nee úlimo cao, emo que calcular a raformada da fução rama, dada ela abela em aexo P Eq. 35 Alicado eão a raformada de Lalace à Eq. 34 emo u u U & ςω ω ω ςω Eq EESC USP u u k U & ςω ω ςω Alicado a mema écica uada o cao do degrau fraçõe arciai achamo A olução ara codiçõe iiciai ula é Eq. 36 φ ς ω ς ς ςω ω ςω e k k u e Eq. 37

17 Ode φ é o âgulo de fae g ς ς ς φ Eq. 38 u

18 4 RESPOSTA AO IMPULSO UNITÁRIO Nee cao a exciação é dada or: δ δ δ-a Eq. 39 a A equação de movimeo é eão u&& ςω u& ω u ω k δ Eq. 4 Aumido codiçõe iiciai ula, a raformada de Lalace fica ω ςω ω U Eq. 4 k 8

19 E a olução é ω U Eq. 4 k ςω ω Ou aida U ω k Eq. 43 Calculado a raformada ivera emo a olução o emo ao imulo uiário com codiçõe iiciai ula Ae Be ω u h k Eq. 44 9

20 ςω ± i ω Com, d Eq. 45 A iω d Eq. 46 B iω d Eq. 47 Eq. 48 u..5 h e mωd ςω e ω d Eq. 48 Para ζ h mω eω Eq. 49

21 5 RESPOSTA À EXCITAÇÃO GERAL Iegral de Duhamel O méodo de obeção da reoa baeado a Iegral de Duhamel ode er deevolvido a arir da reoa ao imulo uiário dicuida o cao aerior. Ea écica é baeada o ricíio da ueroição, válido aea ara iema lieare. Veja a figura abaixo Imulo de duração dτ A reoa ao imulo de duração dτ é: τ dτ di τdτ di du e ω τ mω E a reoa oal erá a oma de oda a reoa icremeai, ou eja: u τ ω τ dτ ω e Eq. 49 Eq. 5

22 Ou imlemee E ara o iema de GDL amorecido emo u τ h τ dτ Eq. 5 ςω τ u τ e eωd τ dτ mωω d Eq. 5 Ea dua úlima exreõe ão deomiada Iegrai de Duhamel edo que a Eq. 5 é uma iegral de covolução. A Eq. 5 e 5 e ream à obeção Da reoa do iema de GDL à erada gerai e codiçõe iiciai ula.

23 Exemlo: Ober a reoa de um iema de GDL ão amorecido à erada abaixo. d d < d Eq. 5 d Eão ara d τ u eω τ dτ Eq. 53 mω d 3

24 Iegrado or are vem Agora a olução ara > d é u coω eω k d ωd Eq. 54 u k [ ] eω coωd coω ωd eωd Eq. 55 E a olução comlea é obida omado-e a oluçõe dada ela Eq. 54 e 55 4

25 Graficamee.. d. > d Amliude [m]. Amliude [m] Temo [] Temo []. Amliude [m] Temo [] 5

26 6 RESPOSTA À EXCITAÇÃO PERIÓDICA 6. A Iegral de Fourier Veremo uma ferramea muio úil a obeção da reoa forçada do Siema de GDL a exciaçõe eriódica: a Série de Fourier! Seja o ial abaixo, eriódico e de eríodo igual a T x Freqüêcia Fudameal: π ω Eq. 56 T Eão T x T x Periódico! Eq. 57 6

27 Idéia ceral: comor o ial eriódico Aravé de iai cohecido! x 5 Sial Periódico Temo [] Ee iai cohecido ão a verdade eo e coeo cuja freqüêcia eja múlila da freqüêcia fudameal do ial eriódico! x A A e ω B e ω B co ω co ω K x x x3 3 4 Temo [] 3 4 Temo [] 3 4 M Temo [] x ω ω x ω ω x N ω N Nω Harmôica 7

28 Um ial que eja eriódico e coíuo or are, aifazedo a Eq. 57 ode er exadido em érie de Fourier de acordo com a eguie exreão a co ω b e a x ω Ode ω é a freqüêcia fudameal do ial, coforme defiido ela Eq. 56 e O coeficiee a, a e b ão deomiado coeficiee da érie de Fourier, E ão defiido de acordo com a eguie exreõe Eq. 58 τ T T a x d a b τ τ T τ τ T τ T T x co ω d x e ω d Eq. 59 Eq. 6 Eq. 6 8

29 Embora eoricamee uma exaão em érie de Fourier exija um úmero ifiio de ermo, a ráica x é aroximado de maeira aifaória rucado-e a érie em aea algu de eu ermo. O ermo a rereea o valor médio do ial o iervalo de emo T. Para fi de cálculo do coeficiee, a eguie relaçõe odem er emregada x x x d x M M T Uilizada quado o valore iicial e fial de x forem diferee Eq. 6 9 EESC USP M T x d x N i i q T b a a e co i x i x x q i i i i ω ω Uilizada quado o valore iicial e fial de x forem iguai Para o cálculo do a e b Eq. 63 Eq. 64

30 Exemlo: Realizar uma exaão or Fourier do ial eriódico abaixo [x] T Temo [] O ial é dado or: No oo cao: T e T < < T < < Eq. 65 3

31 Eão emo o eguie reulado: T / a d T T / T / a co ω d T T / Eq. 66 Eq. 67 T / b d e T T / A Eq. 68 ode aida er ecria como: π co π ω Eq. 68 4, 3, 5,... Eq. 69 π b 3

32 Dea forma a exaão fica 4 e ω Eq. 7 π Gibb x, 3, 5,... Vamo ilurar o reulado da Eq. 7 ara diferee valore de [x] [x].5.5 Temo [].5.5 Temo [] [x] [x] [x] Temo [].5.5 Temo [].5.5 Temo [] 3

33 Um reulado exremamee úil da Série de Fourier é o chamado eecro do ial. O eecro é um gráfico do ermo da érie em fução da freqüêcia múlila de ω. Para o oo exemlo o gráfico eria aea o b vio que a. Quado o coeficiee ão odo ão ulo odemo coruir o eecro fazedo a b /..5.5 Noar que a medida que aumeamo o valor de a amliude ão cada vez meore idicado que o ermo de freqüêcia mai ala coribuem cada vez meo em ermo de amliude a recorução do ial! ω 33