Laboratório de Dinâmica
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- Nicolas Antas Belmonte
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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Laboraório de Diâmica SEM 54 DINÂMICA ESTRUTURAL Reoa do Siema de GDL à Carregameo Eeciai Re.: Prof. Dr. Paulo S. Varoo Prof. Dr. Paulo S. Varoo
2 Objeivo O objeivo riciai dea eção ão o eguie: Realizar uma revião da Traformada de Lalace, eorema e alicação a olução de equaçõe difereciai ordiária Deermiar a reoa do iema de GDL à erada do io degrau uiário, rama, imulo e combiaçõe Iroduzir o coceio de Série de Fourier ara um ial eriódico Dicuir a alicaçõe da Série de Fourier Deermiar a reoa de regime ermaee de um iema de GDL a um carregameo eriódico geral uado Série de Fourier Iroduzir o méodo de olução o domíio da freqüêcia Bibliografia: -Craig, R., Srucural Dyamic, A Iroducio o Comuer Mehod Joh Wiley, Caíulo 8. -Doeblig, E. O. Syem Dyamic, Modelig, Aalyi, Simulaio, Deig Marcel Dekker, Caíulo 6 Prof. Dr. Paulo S. Varoo
3 A TRANSFORMADA DE LAPLACE A raformada de Lalace de uma fução real e coíua or are é dada or L [ f () ] F() f () e d > Eq. Ode σ + jω é deomiada variável de Lalace, ouido are real e imagiária. O oerador L é deomiado oerador de Lalace. Alguma caraceríica dea raformada a olução de EDO ão: Traforma a EDO em uma equação algébrica! Solução comlea icluido a CI é obida em um úico ao Não exie dúvida de quai CI deveriam er uada, já que a raformada a requer auomaicamee A raformada de Lalace lida com erada ão coíua de forma mai imlificada Domíio do Temo > Traformação Domíio de Lalace > Prof. Dr. Paulo S. Varoo 3
4 . Alguma Proriedade Imorae da Traformada de Lalace Proriedade da Liearidade L [ f () + a f () ] a F ( ) a F ( ) a + Eq. Difereciação L df d F ( ) f ( ) Eq. 3 L d f d F df d ( ) f ( ) ( ) Eq. 4 L d d f F df d ( ) f ( ) ( ) K ( ) d d f Eq. 5 Prof. Dr. Paulo S. Varoo 4
5 Iegração L [ ] F( ) f ( ) f () d + Eq. 6 Teorema do arao o emo L a [ f ( a) µ ( a) ] e F( ) Eq. 7 f() µ() a a Prof. Dr. Paulo S. Varoo 5
6 Alguma raformada úei ão dada abaixo f() δ() F() / ( )! e a + a coa a + a a e + a Prof. Dr. Paulo S. Varoo 6
7 RESPOSTA AO DEGRAU Nee cao a exciação é dada or: ( ) µ ( ) Eq. 8 Ode é a amliude e µ() é o degrau uiário que em or defiição µ() µ() µ(-a) µ() < Eq. 9 a Eão a equação de movimeo é a eguie mu&& + cu& + ku u( ) u ; u& ( ) u& µ( ) Eq. Prof. Dr. Paulo S. Varoo 7
8 A Eq. ode aida er recria como: ω u& &+ ςω u u & + ω µ () Eq. k Iluraremo o roceo de olução uado a dua écica cohecida. Iicialmee, elo méodo cláico a olução da EDO, Eq. é dada or u( ) u ( ) u ( ) Eq. H + A olução homogêea u H () é obida a arir da olução da EDO homogêea aociada, como vio aeriormee fazedo-e (). Temo ara ζ < P u H ς ω ( A coω A eω ) ( ) e + d d Eq. 3 Ode A e A deedem da codiçõe iiciai (aida ão uada!) Prof. Dr. Paulo S. Varoo 8
9 Já a olução de regime ermaee egue a forma da exciação, ou eja: E eão a olução comlea é u P ) k ( Eq. 4 u e ς ω ) ( A A ) coωd + eωd + k ( Eq. 5 Agora uamo a codiçõe iiciai do roblema ara deermiar a coae de iegração A e A A u k u& A ς + u ωd ς k Eq. 6 Eq. 7 Prof. Dr. Paulo S. Varoo 9
10 Uado agora a raformada de Lalace, volamo à Eq. L ( ω & + ςω u& + ω u) L () u µ & Eq. 8 k Uado a roriedade reviamee defiida e a abela forecida obemo U ω ( & ςω + ω ( ) Eq. 9 k ( ) U ) u u + ( U ( ) u ) Reare eão que a Eq. 9 é agora uma equação algébrica a raformada U() de u() coém de imediao oda a codiçõe iiciai do roblema! Agora odemo eão reolver a Eq. 9 ara U() algebricamee! Prof. Dr. Paulo S. Varoo
11 EESC USP Prof. Dr. Paulo S. Varoo Prof. Dr. Paulo S. Varoo Rearrajado o ermo a Eq. 9 emo ( ) ( ) u u k U & ςω ω ω ςω ) ( Eq. caraceríica E odemo eão reolver a Eq. ara U() Eq. ( ) u u k U ω ςω ω ςω ςω ω ω ςω & ) ( ) ( A olução comlea o emo ode eão er obida calculado-e a raformada ivera de cada um do ermo do lado direio da Eq.. Embora exiam abela exea com muia raformada, uma forma imle de calcular a ivera é reduzido o oliômio quadráico do deomiador em moômio uado-e ara ao a écica da fraçõe arciai! Eq.
12 Por exemlo, e aumirmo que o iema é ub-amorecido, (ζ < ) eão Ode: + ςω + ω )( ) Eq. (, ςω ± i São a raíze da equação caraceríica do iema ub-amorecido e ω ω d ω ς d Eq. 3 Eq. 4 Eão a Eq. ode er ecria como U ( ) ( ω ) k ( + ςω ) u& + u + )( ( )( ) ( )( ) Eq. 5 Prof. Dr. Paulo S. Varoo
13 E eão odemo exadir cada um do ermo em fraçõe arciai, or exemlo A B + ( )( ) ( ) ( ) Eq. 6 A B ( A + B) ( B + A + ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ) Eq. 7 Em eguida rocedemo a igualdade do coeficiee do umerador da exreõe idicada acima a Eq. 7 De ode obemo A + B ( B + A) B iωd A iω d Prof. Dr. Paulo S. Varoo Eq. 8 Eq. 9 Eq. 3 Eq. 3 3
14 E a ricial vaagem de reduzir a fraçõe arciai é que : a e L L A B - + a L + Ae + Be Eq. 3 ( ) ( ) Eão exadido odo o ermo da Eq. 5 em fraçõe arciai e calculado a raformada ivera de cada um dele obém-e a olução morada a Eq. 5 e cujo gráfico eá morado abaixo u() Prof. Dr. Paulo S. Varoo 4
15 3 RESPOSTA À RAMPA () Nee cao a exciação é dada or: ( ) µ ( ) Eq. 33 E a reeça da fução degrau uiário a Eq. 33 erve aea ara idicar que a exciação é válida aea ara >! Eão a equação de movimeo é mu&& + cu& + ku u( ) u ; u& ( ) u& ( ) Ea úlima Eq. 34 ambém ode er ecria como: µ Eq. 34 u u u k ω && + ςω & + ω Eq. 35 Prof. Dr. Paulo S. Varoo 5
16 6 EESC USP Prof. Dr. Paulo S. Varoo Prof. Dr. Paulo S. Varoo O roceo de olução é imilar ao cao aerior, odemo reolver elo méodo cláico ou Traformada de Lalace. Nee úlimo cao, emo que calcular a raformada da fução rama, dada ela abela em aexo P ) ( Eq. 35 Alicado eão a raformada de Lalace à Eq. 34 emo ( ) u u k U & ςω ω ω ςω ) ( ) ( Alicado a mema écica uada o cao do degrau (fraçõe arciai) achamo A olução ara codiçõe iiciai ula é Eq. 36 ( ) + φ ς ω ς ς ςω ω ςω e k k u e ) ( Eq. 37
17 Ode φ é o âgulo de fae g ς ς ς φ Eq. 38 u() Prof. Dr. Paulo S. Varoo 7
18 4 RESPOSTA AO IMPULSO UNITÁRIO Nee cao a exciação é dada or: () ( ) δ ( ) δ() δ(-a) Eq. 39 a A equação de movimeo é eão u&&+ ςω u& + ω u ω k δ () Eq. 4 Aumido codiçõe iiciai ula, a raformada de Lalace fica ω ( + ςω + ω ) U ( ) Eq. 4 k Prof. Dr. Paulo S. Varoo 8
19 E a olução é ω U ( ) Eq. 4 k + ςω + ω Ou aida U ( ) ω k ( )( ) Eq. 43 Calculado a raformada ivera emo a olução o emo ao imulo uiário com codiçõe iiciai ula ( ) Ae Be ω u ) h( ) + k ( Eq. 44 Prof. Dr. Paulo S. Varoo 9
20 ςω ± i ω Com, d Eq. 45 A iω d Eq. 46 B iω d Eq. 47 Eq. 48 u()..5 h ( ) e mωd ςω e ω d Eq. 48 Para ζ h ( ) mω eω Eq. 49 Prof. Dr. Paulo S. Varoo
21 5 RESPOSTA À EXCITAÇÃO GERAL Iegral de Duhamel O méodo de obeção da reoa baeado a Iegral de Duhamel ode er deevolvido a arir da reoa ao imulo uiário dicuida o cao aerior. Ea écica é baeada o ricíio da ueroição, válido aea ara iema lieare. Veja a figura abaixo () Imulo de duração dτ A reoa ao imulo de duração dτ é: τ dτ di (τ)dτ di du( ) eω( τ ) mω E a reoa oal erá a oma de oda a reoa icremeai, ou eja: Eq. 49 u( ) τ ω τ dτ ω ( )e ( ) Eq. 5 Prof. Dr. Paulo S. Varoo
22 Ou imlemee E ara o iema de GDL amorecido emo u( ) ( τ ) h( τ ) dτ Eq. 5 ςω τ ) u( ) ( τ ) e eωd ( τ ) dτ mωd ( Eq. 5 Ea dua úlima exreõe ão deomiada Iegrai de Duhamel edo que a Eq. 5 é uma iegral de covolução. A Eq. 5 e 5 e ream à obeção Da reoa do iema de GDL à erada gerai e codiçõe iiciai ula. Prof. Dr. Paulo S. Varoo
23 Exemlo: Ober a reoa de um iema de GDL ão amorecido à erada abaixo. () ( ) d d < d Eq. 5 d Eão ara d τ u( ) eω( τ ) dτ mω d Eq. 53 Prof. Dr. Paulo S. Varoo 3
24 Iegrado or are vem Agora a olução ara > d é u ) coω + eω k d ωd ( Eq. 54 u ( ) d d d k [ eω ( coω ) coω ( ω eω )] Eq. 55 E a olução comlea é obida omado-e a oluçõe dada ela Eq. 54 e 55 Prof. Dr. Paulo S. Varoo 4
25 Graficamee.. d. > d Amliude [m]. Amliude [m] Temo [] Temo []. Amliude [m] Temo [] Prof. Dr. Paulo S. Varoo 5
26 6 RESPOSTA À EXCITAÇÃO PERIÓDICA 6. A Iegral de Fourier Veremo uma ferramea muio úil a obeção da reoa forçada do Siema de GDL a exciaçõe eriódica: a Série de Fourier! Seja o ial abaixo, eriódico e de eríodo igual a T x() Freqüêcia Fudameal: ω π T Eq. 56 Eão T x ( + T ) x( ) Periódico! Eq. 57 Prof. Dr. Paulo S. Varoo 6
27 Idéia ceral: comor o ial eriódico Aravé de iai cohecido! x() 5 Sial Periódico Temo [] Ee iai cohecido ão a verdade eo e coeo cuja freqüêcia eja múlila da freqüêcia fudameal do ial eriódico! x( ) A A e( ω ) + B e( ω ) + B co( ω ) + co( ω ) +K x() x() x3() 3 4 Temo [] Temo [] 3 4 M Temo [] x () ω ω x () ω ω x N () ω N Nω Harmôica Prof. Dr. Paulo S. Varoo 7
28 Um ial que eja eriódico e coíuo or are, aifazedo a Eq. 57 ode er exadido em érie de Fourier de acordo com a eguie exreão + a + co( ω) b e( a x( ) ω Ode ω é a freqüêcia fudameal do ial, coforme defiido ela Eq. 56 e O coeficiee a, a e b ão deomiado coeficiee da érie de Fourier, E ão defiido de acordo com a eguie exreõe ) Eq. 58 τ + T τ τ + T T a x( ) d a b τ τ + T τ T T x( )co( ω ) d x( )e( ω ) d Eq. 59 Eq. 6 Eq. 6 Prof. Dr. Paulo S. Varoo 8
29 9 EESC USP Prof. Dr. Paulo S. Varoo Prof. Dr. Paulo S. Varoo Embora eoricamee uma exaão em érie de Fourier exija um úmero ifiio de ermo, a ráica x() é aroximado de maeira aifaória rucado-e a érie em aea algu de eu ermo. O ermo a rereea o valor médio do ial o iervalo de emo T. Para fi de cálculo do coeficiee, a eguie relaçõe odem er emregada + + x x x d x M M T ) ( M T x d x ) ( N i i q T b a a ) ( )e ( ) ( )co ( ) ( i x i x x q i i i i ω ω Uilizada quado o valore iicial e fial de x() forem diferee Uilizada quado o valore iicial e fial de x() forem iguai Para o cálculo do a e b Eq. 6 Eq. 63 Eq. 64
30 Exemlo: Realizar uma exaão or Fourier do ial eriódico abaixo [x()] T Temo [] O ial é dado or: No oo cao: T e ( ) T < < T < < Eq. 65 Prof. Dr. Paulo S. Varoo 3
31 Eão emo o eguie reulado: T T / a ( ) d T T / T / a ( )co( ω) d T T / T / b T / ( )e( ω) d π ( co( π ) ) Eq. 66 Eq. 67 Eq. 68 A Eq. 68 ode aida er ecria como: 4, 3, 5,... Eq. 69 π b Prof. Dr. Paulo S. Varoo 3
32 Dea forma a exaão fica 4 x( ) e( ω) π Eq. 7, 3, 5,... Vamo ilurar o reulado da Eq. 7 ara diferee valore de Gibb [x()] [x()].5.5 Temo [].5.5 Temo [] [x()] [x()] [x()] Temo [].5.5 Temo [].5.5 Temo [] Prof. Dr. Paulo S. Varoo 3
33 Um reulado exremamee úil da Série de Fourier é o chamado eecro do ial. O eecro é um gráfico do ermo da érie em fução da freqüêcia múlila de ω. Para o oo exemlo o gráfico eria aea o b vio que a. Quado o coeficiee ão odo ão ulo odemo coruir o eecro fazedo (a + b ) /..5.5 Noar que a medida que aumeamo o valor de a amliude ão cada vez meore idicado que o ermo de freqüêcia mai ala coribuem cada vez meo em ermo de amliude a recorução do ial! ω Prof. Dr. Paulo S. Varoo 33
34 6. Reoa de Regime do Siema à Exciação Periódica Geral Aé agora aredemo como ober uma rereeação do ial. Agora reciamo Deermiar a reoa do iema de GDL à força eriódica obida da exaão. Eão volamo ao roblema m u& &+ cu& + ku () Eq. 7 Ode () é um ial de força eriódico geral. Realizado a exaão or Fourier e ubiuido-e o reulado a Eq. 7 emo + a + co ω b e ω mu& + cu& + ku Eq. 7 A Eq. 7 é equivalee a u&&+ cu& + ku u&&+ cu& + ku a co m m ω mu&&+ cu& + ku b e ω Eq. 73 Eq. 74 Eq. 75 Prof. Dr. Paulo S. Varoo 34
35 Já ão abida a oluçõe de regime da Eq. 73, 74 e 75 u a u ( ) k a k u ( ) co( ω φ ) ( r ) + ( ςr) b 3 k ( ) e( ω φ ) ( r ) + ( ςr) Eq. 76 Eq. 77 Eq. 78 Com φ a ςr r Eq. 79 Prof. Dr. Paulo S. Varoo 35
36 E eão a olução comlea fica edo a + k co( ( r ) + ( ςr) a u( ) ω φ k + ( r b k ) + ( ςr) e( ω φ ) ) + Eq. 8 Noe que a Eq. 8 rereea aea a olução de regime ermaee da reoa do iema de GDL. Se a codiçõe iiciai ão ula, eão a olução raiee é ula e a Eq. 8 é a reoa oal do iema. Prof. Dr. Paulo S. Varoo 36
37 Exemlo: No eudo de vibraçõe de válvula hidráulica, uada em iema de corole Hidráulico, a válvula e eu iema eláico ão modelado como um iema de gdl Coforme a figura abaixo. São dado: m,5 kg, c Nm - ; k 5 Nm - //\\//\\ //\\//\\ c k m u () Deermiar a reoa do iema à reão hidráulica abaixo morada 5 Preão (Pa) () d 5 mm T 3 5 Solução: Iicialmee ecrevemo () câmara F( ) 5 A 5 A( ) T / T / T Eq. 8 Prof. Dr. Paulo S. Varoo 37
38 Iiciado a exaão em Série de Fourier, emo a 5 A d + 5 A( ) d 5 A Eq. 8 a 5 A coπ d + 5 A( ) co π d π 5 A Eq. 83 De forma aáloga ecoraremo b a b Eq. 84 a 3 5 A co3π d + 5 A( ) co 3π d 5 9π A Eq. 85 Prof. Dr. Paulo S. Varoo 38
39 b 5 A e 3π d + 5 A( ) e 3π d 3 Eq. 86 Eão, a 4 a 6... b 4 b 5 b 6... Porao, aroximaremo a força aravé de aea 3 harmôica F( ) 5 A π 5 A coω 9π 5 A co3ω Eq. 87 Uado eão a Eq. 8 achamo a reoa de regime u( ), 9635, 593 co( π. 5664). 788 co( 3π ) Eq. 88 Prof. Dr. Paulo S. Varoo 39
40 A figura abaixo iluram a aroximação or Fourier e a reoa de regime obida Forca [N] Temo [].4.3 Delocameo [m] Temo [] Prof. Dr. Paulo S. Varoo 4
41 6. Série de Fourier Comlexa + a co( ω) + b e( a x ( ) ω ) A bae da Série de Fourier comlexa eão a eguie relaçõe co ω [ jω jω ] e + e Eq. 89 e ω [ jω jω ] e e Ela ão defiida ela eguie exreão Eq. 9 x j ω ( ) X e Eq. 9 A Eq. 9 eabelece que um ial eriódico e coíuo or are ode er exadido como a oma de exoeciai comlexa cada uma dela uma freqüêcia múlila ieira da freqüêcia fudameal do ial! Prof. Dr. Paulo S. Varoo 4
42 O coeficiee X rereeam coeficiee de correlação ere o ial x() e a exoeciai comlexa, e ão dado ela iegral de Fourier X T T x e j ω ( ) Eq. 9 O ar de equaçõe dado ela Eq. 9 e 9 é freqüeemee chamado de ar de raformada de Fourier ara iai eriódico Na ráica, quado diõe-e de uma amora do ial eriódico, o X odem er calculado a arir da eguie exreão X N N i x( i ) e π ( j ) N,,, K,( N ) Eq. 93 Vejamo um exemlo Prof. Dr. Paulo S. Varoo 4
43 Vamo reomar o exemlo aerior ode o ial é dado or: ( ) T < < T < < Eq. 94 [x()] T Temo [] Vamo roceder o cálculo do X ara ee ial Prof. Dr. Paulo S. Varoo 43
44 A Eq. 9 ode er alicada ara um eríodo comleo de a T : T / T ω i ω d + e d Eq. 95 i X e T T Ea úlima Eq. 95 reduz-e a T / X iω T e iω T e / iω T T / Eq. 96 De ode obemo o eguie reulado i ( ) π X i i e π π Oberva-e que X ão úmero comlexo! ar ímar Eq. 97 Prof. Dr. Paulo S. Varoo 44
45 Podemo ilurar o gráfico de X X 5π 3π π π 3π 5π ω Para a deermiação da reoa de regime, lembremo que u ) Ue iω H ( ω) e iω / k r + iςr ( Eq. 98 e iω Agora, e ( ) X e iω Eq. 99 Prof. Dr. Paulo S. Varoo 45
46 Eão u( ) U e iω H X e iω Eq. com r ω ω H ( ω) / k ( r) + jςr Eq. A eguir areeamo um equema geral ara a deermiação da reoa do iema à uma erada geral. Prof. Dr. Paulo S. Varoo 46
47 DOMÍNIO TEMPO FREQUÊNCIA covolução mulilicação Erada - f () h () Saída - x () TFP TFT TFT TFIT TFP TFIT F (ω) H (ω) X (ω) Prof. Dr. Paulo S. Varoo 47
48 6. A Iegral de Fourier Na eção 6. vimo que um ial eriódico ode er exreo em ermo da Série de Fourier Comlexa que ão dada or x( ) X T T X x( ) e e j j ω ω Eq. Eq. 3 Quado o ial em queão ão é eriódico, ee ode er rereeado or uma Iegral de Fourier, e ea iegral é obida fazedo-e o eríodo T do ial eder ao ifiio. Para obermo ea iegral, defiimo iicialmee X ω ω ω ω (ω ) TX π X ω Eq. 4 Eq. 5 Eq. 6 Prof. Dr. Paulo S. Varoo 48
49 Uado a Eq. 4, 5 e 6, a Eq. ode er recria como ode jω x( ) X ( ω ) e ω Eq. 7 π X ( ω ) T T / x( ) e / jω d Eq. 8 Coforme T ede ao ifiio, ω ora-e uma variável coíua e ω raforma-e o diferecial dω. Eão, a Eq, 7 e 8 ão ecria como X ω ω e j x( ) ( ) d ω π jω X ( ω ) x( ) e d Eq. 9 Eq. Prof. Dr. Paulo S. Varoo 49
50 A Eq. 9 e ão formam o chamado ar de raformada de Fourier. A Eq. é cohecida como a raformada de Fourier de x() e x() a raformada ivera de Fourier de X(ω). Para a exiêcia da iegral morada a Eq. A eguie codição deve er obedecida. ) d Exemlo: vamo calcular a raformada de Fourier ara o ulo reagular A Eq. eabelece que x x ) ( Eq. < T T < < T > T ( Eq. jω X ( ω ) x( ) e d Eq. 3 Prof. Dr. Paulo S. Varoo 5
51 Eão emo que X ω) jω ( jω jω ) e jω e d e ( Eq. 4 Ea úlima exreão ode er recria como eωt X ω) T ωt ( Eq. 5 5 X(w) 5 5 Frequecia Prof. Dr. Paulo S. Varoo 5
52 6.3 Relação ere a Reoa ao Imulo e a Reoa em Freqüêcia Lembramo que a reoa ao imulo de um iema de GDL com Amorecimeo vicoo (ζ<) é dada or h ( ) e mωd ςω e ω Eq. 6 Uado a Eq. odemo calcular a raformada de Fourier da Eq. 6 j j X ω x e d ςω ω ( ω) ( ) e eωd e d Eq. 7 mω Dea forma, aravé da defiiçõe acima é oível cocluirmo que h H ω ω e j ) ( ) d ω π d d Ou eja, a reoa ao imulo é a ( raformada ivera de Fourier da Eq. 8 reoa em Freqüêcia e vice-vera! Prof. Dr. Paulo S. Varoo 5
53 Exemlo..5 h() TRANSFORMADA DIRETA H(w) Temo []. 4 5 TRANSFORMADA INVERSA Frequecia [Hz] Prof. Dr. Paulo S. Varoo 53
Objetivos. Discutir as aplicações das Séries de Fourier
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