5. Respostas Temporais

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1 5. Reoa emorai Reoa emorai 5. Irodução Uma da vaage da realimeação é ermiir ajuar o deemeho raiório e eacioário de iema de corole. Para rojear e aaliar iema de corole, é eceário defiir e medir o deemeho do iema. Eão, com bae o deemeho deejado, o arâmero do corolador odem er ajuado ara e aigir ee objeivo. É eceário eabelecer uma bae que ermia ao aalia/rojeia comarar o deemeho de diferee oçõe de iema de corole. Io ode er feio ecolhedo-e iai de erada ariculare e comarado-e o deemeho obido em cada cao. Um bom úmero de criério de rojeo baeia-e ee iai ariculare ou a reoa do iema a codiçõe iiciai. A eecificaçõe de rojeo de iema de corole ormalmee icluem vário ídice de reoa emoral ara um ial de erada deermiado, além de uma recião eecificada ara a reoa eacioária. Muia veze, a ráica, o ial de referêcia de um iema de corole ão é cohecido a riori (or exemlo, o corole de rajeória de robô móvei). Pode ocorrer, icluive, que o ial de referêcia eja de aureza aleaória. Há, auralmee, exceçõe, como o cao de máquia de core, foguee laçadore de aélie, ec. O iai de referêcia mai uilizado ão o degrau, a rama, a arábola (meo comum), o imulo e a eóide. O io de ial mai aroriado ara uma dada alicação deede da caraceríica dea. Aim, or exemlo, quado e alera o valor deejado ara a emeraura ambiee corolada aravé de um iema do io ar codicioado + calefação, o degrau é um ial aroriado. O memo ocorre, or exemlo, o cao de um iloo auomáico de avio quado e alera brucamee o rumo deejado. Por ouro lado, imagie-e um iema de oicioameo ara uma aea rareadora de aélie. Nee cao, uma boa ecolha ara o ial de referêcia é a rama. Por fim, coidere-e um iema de corole de uma ueão aiva de auomóvel. Se o objeivo for eudar o comorameo do iema quado o carro aar, em ala velocidade, or um buraco, o imulo erá uma ecolha adequada ara o ial de diúrbio. 5. Reoa a Imulo Para um iema liear ivariae o emo (S.L.I..) com codiçõe iiciai ula: Y G X Suodo que a erada eja um imulo uiário: Porao: x Y G X Aim, a reoa imuliva y() do iema é dada or: g L G y Em via dio, a reoa imuliva e a Fução de raferêcia ão forma equivalee de rereear o comorameo diâmico em ermo de erada/aída. Noe que a relação: Y G X 37

2 5. Reoa emorai 38 ermie ober a reoa do iema a uma erada qualquer aravé do eguie camiho: L G() L - x() X() Y() y() Por ouro lado, uma da roriedade via de raformada de Lalace (referee à covolução de fuçõe) ermie ecrever: y g x d g x d (iegral de covolução) e, orao, o cohecimeo da reoa imuliva ermie ober a aída y() correodee à fução de erada x(). Na ráica, uma erada em forma de ulo, cuja duração é muio meor que a coae de emo igificaiva do iema, ode er coiderada como imuliva de ieidade igual à área ob o ulo. Exemlo: Noe-e que ee reulado ode er eedido aravé da iegral de covolução. Para io, coidere um ulo de área uiária de duração ( <<, ode é a meor coae de emo do iema) e amliude / : Área = x, /,, Y G X y g x d g d g y d ( ) Como é uficieemee equeo face à coae de emo do iema, odemo coiderar coae em qualquer iervalo de duração e, orao: g raicamee 38

3 5. Reoa emorai 39 y g g 5.3 Siema de a Ordem Seja um iema de a ordem com Fução de raferêcia: R() C() Im Re e codiçõe iiciai ula: C R Reoa a degrau r R C Exadido em fraçõe arciai e omado a raformada ivera: c e C ara c e. 63 lim c c ara c No cao geral, em que o degrau em amliude A, como coequêcia da liearidade do iema (codiçõe iiciai ula), em-e: Porao: c A e.63 c() icliação / 63.% 86.5% 95.% 98.% 99.3%

4 5. Reoa emorai 4 c A e. 63 A c A c A Podemo ecrever c() como: dode e obem: c c e c c c e omado o logarimo do valor aboluo: l l c c c Porao, o gráfico de l c c em fução de é uma rea. l c l c c icliação -/ Sedo aim, quado cohecemo a aída de um S.L.I.. com codiçõe iiciai ula, ara abermo e o memo é de a ordem, c c em ecala baa raçarmo o gráfico da fução logarímica e verificarmo e ele em a forma de uma rea. Reoa a Rama Para erada rama uiária: r R Porao, aó decomor em fraçõe arciai: C omado a raformada ivera: c e r() = e - e c e Noe que, ara >>, odemo aroximar: c Noe ambém, do diagrama de bloco, que: 4

5 5. Reoa emorai 4 Porao: E R C e r c e e e Para uficieemee grade, e Em aricular: e lime e e, orao: o que igifica que há um erro eacioário. Obervado a figura e amarado ela deduçõe acima, ode-e afirmar que: i) quao meor, mai ráido o raiório a que eá ujeia a aída c(); ii) quao meor, meor o erro eacioário e. Reoa a imulo A erada é dada or: r R e, orao, como já havíamo vio: Logo: C /.368/ c() c e cujo gráfico ode er vio ao lado Proriedade Coideremo um S.L.I.. com Fução de raferêcia G() e codiçõe iiciai ula. Quado a erada é uma fução r() dada, a aída c() é al que: C G R G() Se omarmo agora: r r como erada e a codiçõe iiciai forem ula: 4

6 5. Reoa emorai 4 R R e a aída c () correodee é al que: e, orao: C G R G R C c c Aim, quado alicamo a erada do iema a derivada de um ial, a aída obida correode à derivada da aída origial. O memo acoece com a iegral. Seja: r r G() G() c c r r d que em como raformada de Lalace: R R A aída c () correodee é al que (codiçõe iiciai ula): o que acarrea que: R C C G R G c c d r r d G() G() c c d Exemlo: coideremo o iema de a ordem vio e eja r() a rama uiária. Coforme vimo, ee cao: R() c () do iema é: C() c c e c e Como o degrau uiário é igual à derivada da rama uiária, a reoa a degrau Para obermo a reoa imuliva, baa coiderarmo que o imulo uiário ode er vio como a derivada do degrau uiário e, orao, a reoa imuliva do iema c reula de imediao como edo: c c e A íulo de verificação, coaa-e que ea fução é igual a L - [ G() ], como já havíamo vio aeriormee. Obervação: oderíamo er omado o camiho ivero, io é, arido da reoa imuliva e, aravé de iegraçõe uceiva, obido a reoa a degrau e rama. 4

7 5. Reoa emorai Siema de a ordem Reoa a degrau Coideremo o iema de a ordem geérico com Fução de raferêcia: C R O olo dee iema ão a raíze de:. ( ) Aaliemo a localização do olo em fução do arâmero do iema. emo: 4 4,. Em odo o roblema de corole, o requiio fudameal a er aedido é a eabilidade do iema, o que e raduz ela eceidade de que o olo do iema e iuem o emi-lao equerdo (S.P.E.). edo em via ee fao, há rê cao a coiderar: Im Re, ão comlexo cojugado (ubamorecimeo) ão reai (amorecimeo críico) ão reai (ueramorecimeo ou obreamorecimeo) À demai oibilidade quao ao valore de correode emre a exiêcia de doi olo o emi-lao direio (S.P.D.) quado - ou doi olo obre o eixo imagiário quado. No rimeiro cao o iema é iável e, o egudo, em amorecimeo. Eudemo, eão, cada um do rê cao aeriore quado a erada é um degrau uiário. o Cao: < < - Subamorecimeo j d Im Nee cao, o olo do iema ão:, j j d A figura ao lado mora a rereeação dee olo o lao comlexo. Noe que: - Re co e e Nomeclaura: = frequêcia aural ão amorecida d = frequêcia aural amorecida = coeficiee de amorecimeo Vamo ver em eguida a razõe dea deigaçõe. 43

8 5. Reoa emorai 44 Alicado um degrau uiário a erada do iema R C j j d d e coiderado codiçõe iiciai ula, a aída erá: Exadido em fraçõe arciai e airaformado cada arcela (ou coulado uma abela), obém-e: c e e d O gráfico de c() em o aeco morado a figura ao lado. Noa-e que: i) a reoa c() é uma ocilação amorecida; ii) a frequêcia de ocilação é d (daí a deigação frequêcia aural amorecida) e, orao, deede ao de quao de, edo emre d < e, à medida que aumea, d dimiui; iii) a evolória da ocilaçõe é uma exoecial amorecida com coae de emo =/, que ambém deede de e, e, à medida que ou aumeam, aumea e dimiui; iv) o valor eacioário da reoa é c e, orao, a aída é igual à erada; v) aea como verificação, oa-e que: c e c() e e 3 4 Obervação: o cao em que o coeficiee de amorecimeo é ulo (=), ode-e morar que: c() co c e a aída em o aeco idicado a figura ao lado. Porao: i) c() ão é amorecida; ii) a freqüêcia de ocilação é (daí a deigação freqüêcia aural ão amorecida); Im 4 j Re -j 44

9 5. Reoa emorai 45 o Cao: = - Amorecimeo críico Im Re - Nee cao, o iema em doi olo reai, egaivo e iguai: oi, C R. A figura ao lado mora a rereeação dee olo o lao comlexo. Se a erada é um degrau uiário C R, eão: c() Airaformado: c e = O aeco de c() é morado a figura ao lado. Noa-e, orao, que c() ede aioicamee a, ou eja, a aída ede a omar o valor da erada ara o Cao: > - Sueramorecimeo Im Re Nee cao, o olo do iema ão reai, egaivo e diio: Fazedo R, vem: C cuja airaformada é: c e e Aim, a reoa é uma oma algébrica de dua exoeciai decrecee. ambém ee cao: c, c() > = 5 5 Eecificaçõe da Reoa raiória 45

10 5. Reoa emorai 46 É grade o úmero de cao ráico em que a eecificaçõe de deemeho do iema de corole ão eabelecida com bae em gradeza relacioada à ua reoa emoral. A reoa a degrau é, com frequêcia, uada como referêcia ara ea eecificaçõe. Além de er imle de ear, ela rereea uma exciação baae evera obre o iema, dado que a erada muda brucamee de ível o iae da alicação do degrau. Sua imorâcia reide ao o eudo da reoa raiória como da reoa em regime eacioário. A variávei aociada à reoa emoral ão defiida ara a erada degrau uiário o cao ocilaório or razõe que erão dicuida a eguir. São ela (vide figura): a) emo de arao (delay ime) ( d ); b) emo de ubida (rie ime) ( r ); c) iae de ico (eak ime) ( ); d) emo de acomodação (elig ime) ( ); e) obreial máximo (maximum eak) (M ); O obreial é uma medida relaiva de quao (o máximo) a reoa raiória ulraaa o eu valor eacioário, edo defiido como: M c c c. É imorae obervar que o cao em que c ( ), M c( ). No cao de ueramorecimeo ou amorecimeo críico, defie-e emo de ubida como o iervalo eceário ara a reoa ir de % a 9% do valor eacioário. O emo de acomodação deede direamee da coae de emo mai lea do iema. A razão ara e defiir o arâmero da reoa raiória omado or bae o cao ocilaório é que, em geral, deeja-e que a reoa a degrau eja ráida ( r equeo) e com ouco obreial (M equeo). No eao, ee doi requiio ão cofliae. Por um lado, a reoa ão ocilaória eria iereae, oi M eria ulo; o eao, ee cao, a reoa eria, em muio cao ráico, roibiivamee lea. Em geral, emo de ubida aceiávei ão obido aea à cua de uma reoa de caráer ocilaório, o que igifica exiêcia de obreial. Nea eção a dicuão aé ee oo e deu obre um iema geérico, de ordem qualquer. Daqui em diae, coudo, rerigiremo oa aeção ao iema de a ordem. A razão ara io é que, ara fi de rojeo, muia veze e ode aroximar um iema de ordem elevada or um de a ordem. Vamo exrear cada uma da variávei r,, M e como fução do arâmero e do iema de a ordem, a aber, C R c() c( )/ e coiderado como ial de erada o degrau uiário. c() M d r % ou 5% de c () Ee é o cao quado o degrau de referêcia é uiário e o erro eacioário é ulo (orao, em regime eacioário a aída ambém em valor uiário). 46

11 5. Reoa emorai 47 a) emo de Subida ( r ): Da defiição, r é o rimeiro iae al que: c r. j d Im Ou eja: r e e d r e d r - d r r d Porao: quado eá fixo, ara que r eja "equeo" é eceário que d (e, or coeguie, ) eja "grade"; quado d eá fixo, r "equeo" requer "grade" (e, orao, o iema e ora muio ocilaório, oi o olo edem a e aroximar do eixo imagiário). b) Iae de Pico ( ): Para que = eja iae de ico, é eceário que: c Derivado c(), vem: co e c de ode reula que: Ma: E, orao: e d d d e co d d d e d e co e co co e d d e d d d e e Aim, o rimeiro ico correode a: Io é: d, d 47

12 5. Reoa emorai 48 Noe-e que o eríodo de ocilação que correode à freqüêcia amorecida d é de d meade dee eríodo. e, orao, correode à c) Sobreial máximo (M ): Para calcular M, baa oar que, ara o cao de degrau uiário, da defiição em-e: Porao: Ma: Porao: M c d M e e e e e co M e d e Aim, o obreial M é deermiado aea elo coeficiee. O gráfico de M x em o aeco idicado a figura ao lado. Para melhor viualizar o igificado dee comorameo, a figura abaixo ilura a reoa a degrau do iema de a ordem aramerizado em. M (%) c() =.4 =.5 =.6 =.7 =. =. =. =.3.8 = =

13 5. Reoa emorai 49 d) emo de acomodação ( ): Coforme vimo, ara um iema ubamorecido: c e e d Ou eja, a reoa c() em como evolória a fuçõe: f e f e ao f () como f () êm como coae de emo: Ea coae de emo defie a velocidade com que a faixa da evolória de c() e reduz. Adoado a faixa de % em oro do valor eacioário ara defiir, ode-e morar que: 4 4 % 4. 9 Para a faixa de 5%, or ouro lado: 3 3 5% 3. 9 Noe que é oível reduzir o emo de acomodação (que é uma medida do emo de duração do raiório) aumeado, memo que eeja fixo ela eecificação do obreial. Exemlo: Coidere o iema rereeado a figura. Deeja-e elecioar o arâmero e k de maeira que M. 5 e % 4. Im Para: Por ouro lado:, M R() k C() - 45 o Re 4 % 4 Ea dua codiçõe defiem a região admiível ara a localização do olo de malha fechada como edo aquela hachurada a figura ao lado. Podemo ecolher, or exemlo, j. edo em via que a fução de raferêcia de malha fechada é C( ) R ( ) k k 49

14 5. Reoa emorai 5 e ideificado o oliômio ( j)( j) k reulam o valore e k. 5.5 Eabilidade O requiio mai imorae do iema de corole é a ua eabilidade. Ele deve er garaido ae do aedimeo de qualquer oura eecificação relaiva ao comorameo do iema. É imediao cocluir que uma codição eceária e uficiee (C.N.S.) ara a eabilidade do S.L.I.. é que odo o eu olo eham are real egaiva (io é, e iuem o S.P.E.). Se ão foe aim, o ermo da exaão em fraçõe arciai aociado ao olo do S.P.D. foreceriam coribuiçõe à aída do io exoecial crecee e o iema eria iável. Siema com olo obre o eixo imagiário, icluive a origem, ão ão aioicamee eávei. Quado o olo ão imagiário uro, o iema areea uma reoa a forma de ocilaçõe ão amorecida quado a codiçõe iicial é ão ula; quado há elo meo um olo a origem, a reoa a degrau é ilimiada e, orao, o iema ão é BIBO-eável. Criério de Rouh O Criério de Rouh ermie deermiar o úmero de olo de um iema iuado o S.P.D. de maeira imle, io é, em er que calcular a raíze do oliômio do deomiador da Fução de raferêcia. Coidere-e, eão, o iema: C R m b ' b ' a a m bm ' bm ' a a edo o roblema aber e A() em raíze o S.P.D. O rocedimeo é o eguie: a) ecreva A() a forma raíze ula de A() já eham ido removida. B A A a a a a. Admie-e que a, io é, que eveuai b) arraje, eão, o coeficiee do oliômio uma abela da eguie forma: a a a 4 a 6 Dado a a 3 a 5 a 7 b b b 3 b 4 3 c c c 3 c 4 Calculado f g ode: b b b 3 a a a a a a a a a 3 a a a 4 5 a a a 6 7 e e e c c c 3 b a a b b 3 b a b a a b b 5 3 a b b 7 4 5

15 5. Reoa emorai 5 Noe que a abela aim coruída em formao riagular. O Criério de Rouh garae que o úmero de raíze de A () com are real oiiva é igual ao úmero de mudaça de ial do elemeo da rimeira colua da abela acima. O Criério de Rouh eabelece uma C.N.S. de eabilidade ara o oliômio A(). ee de Hurwiz O ee de Hurwiz forece uma maeira imle e imediaa de verificar e um oliômio ão é eável. Baa que uma da codiçõe abaixo eja verdadeira ara que o iema eja iável: a) em odo o coeficiee de A() eão reee (io é, elo meo um do coeficiee é ulo); b) em odo o coeficiee de A() êm o memo ial, (io é, há elo meo doi coeficiee com iai ooo). Porao, e odo o coeficiee eão reee o oliômio caraceríico e odo êm o memo ial, ada e ode afirmar a reeio da eabilidade. À veze, em via de ua imlicidade, alica-e em rimeiro lugar o ee de Hurwiz - ee ode aea idicar e o iema ão é eável, ma uca ermie cocluir que ele é eável. Se o iema aar elo ee, eão alica-e o Criério de Rouh. Como aleraiva, ode-e alicar direamee o Criério de Rouh, já que ee é cocluivo a reeio da eabilidade/iabilidade. No eao, a corução da abela de Rouh ode er um ouco rabalhoa. 4 3 Exemlo: A Criério de Rouh - Há dua mudaça de ial ere o coeficiee da rimeira colua e, orao, dua raíze com are real oiiva.878 j.46. Obervação: uma liha ieira da abela ode er dividida ou mulilicada or um úmero oiivo viado imlificar o cálculo ubequee em alerar a cocluão obre a eabilidade. Noe que o ee de Hurwiz é icocluivo ee cao, oi odo o coeficiee do oliômio eão reee e êm o memo ial. 3 Exemlo: A 6 6 Criério de Rouh - odo o coeficiee da rimeira colua ão oiivo e, orao, o iema é eável. ambém ee exemlo o ee de Hurwiz é icocluivo R() + k - A Fução de raferêcia de malha fechada do iema é: C R 5 k B 3 4 k 5 k A C() Exemlo: Coidere o iema de corole em malha fechada da figura ao lado. A queão que e coloca é: erá oível ecolher k adequadamee, de forma que o iema em malha fechada eja eável (oe que o iema em malha abera é iável, oi em um olo em = +). 5

16 5. Reoa emorai 5 Nee roblema, odemo alicar direamee o Criério de Rouh, oi o ee de Hurwiz ão ermie reolvê-lo, coforme e vê a eguir (o ee de Hurwiz ó ermie deermiar codiçõe em que o iema ão é eável!). Criério de Rouh: abela de Rouh: veja ao lado. Para a eabilidade devemo er: 3k 4 k k 3 Cocluão: O iema é eável e e aea e 3 k 5 4 k 3k 4 k k 3. Noa-e aqui um beefício da realimeação: um iema iável em malha abera ode er eabilizado uilizado-e um equema de realimeação. ee de Hurwiz: Para que odo o coeficiee de A() eejam reee e eham o memo ial (io é, ejam oiivo): k 5 k k 5 Porao, e k 5 ada e ode cocluir a reeio da eabilidade; or ouro lado, e k 5, o iema é iável. Obervação: Noe que a cocluão que decorre da alicação do ee de Hurwiz eá coida aquela reulae do Criério de Rouh. Reumo - Imorae! Noe que o Criério de Hurwiz ão ermie cocluir que um iema é eável. Por ouro lado, o Criério de Rouh é uma codição eceária e uficiee de eabilidade. Em oura alavra, dele emre e ode cocluir e o iema é eável ou iável. Em reumo, como o Criério de Hurwiz é muio imle de alicar, ode-e eveualmee cocluir que o iema ão é eável raidamee; quado ada e coclui, eão deve-e alicar o Criério de Rouh. Por ouro lado, o Criério de Rouh é emre cocluivo, ma é mai rabalhoo de alicar. 5.6 Erro eacioário O deemeho de muio iema de corole ode er eecificado ão aea com bae a ua reoa raiória, ma ambém elo erro eacioário em relação a cero iai de referêcia, ai como degrau, rama e arábola. A ee reeio, um coceio úil em eoria de corole é o de io do iema, que eá aociado a uma medida qualiaiva da recião com que o iema é caaz de acomahar, em regime eacioário, a erada acima. Coideremo o iema em malha fechada com realimeação uiária rereeado a figura ao lado. Seja G() ecria a forma : G N, m R() + E() G() C() - ode o olo a origem em malha abera foram exliciado aravé do ermo N. Ea forma de ecrever a fução de raferêcia erá chamada aqui de forma de coae de emo. Aear de ea forma imliciamee coiderar aea olo e zero reai, a cocluõe dea eção ão válida ambém ara o cao em que há are de olo ou zero comlexo cojugado (ecrio a forma ormalizada). 5

17 5. Reoa emorai 53 O valor de N defie o io do iema. Uualmee, fala-e em iema io, ou, reecivamee, ara N =, ou. À medida que crece o io do iema, aumea ua caacidade de eguir erada, o eido: degrau rama arábola. Em comeação, iema de io mai alo requerem comeadore mai comlexo ara ua eabilização. Para o iema rereeado elo diagrama de bloco acima, obém-e facilmee a Fução de raferêcia que relacioa E() a R(): E R G Admiido que o iema em malha fechada eja eável, o eorema do Valor Fial forece: e( ) lim e lim E R lim G Na verdade, a alicação direa do eorema do Valor Fial ermie reolver qualquer roblema relaivo a erro eacioário. O coeficiee de erro eacioário defiido a eguir ão figura de mério de iema de corole o eido de que, quao maiore ee coeficiee, ao meore o erro eacioário. Erada Degrau Uiário Quado R : e( ) lim G Defie-e coeficiee de erro de oição eacioário como de maeira que limg, e( ). No cao de iema do io : E, orao: m lim r() e e( ) (io ) c() Quado e raa de iema do io : lim m 53

18 5. Reoa emorai 54 e, da mema forma, ara iema do io : Nee doi cao: e ( ) (io, ou maior) r() c() Erada Rama Uiária Nee cao, R e, or coeqüêcia, e( ) lim lim G G O coeficiee de erro de velocidade eacioário é defiido como v lim G. Aim, o erro eacioário ara a erada rama uiária é dado or e( ). v. Para iema do io, e, orao, lim v m e () (io ). r() c() A rigor, io igifica que, de fao, o regime eacioário ão é aigido. Se o iema é do io, eão v lim m, de ode reula que r() e( ) (io ). c() Por fim, o cao de iema do io, 54

19 5. Reoa emorai 55 v lim m e, dea forma, e ( ) (io ou maior). r() Erada Parábola Uiária Para uma erada do io Nee cao, R r 3. e( ) lim lim. G G Defie-e o coeficiee de erro de aceleração eacioário como de forma que lim G a e( ). a, c() Se o iema é do io, lim a e, e o iema é do io, lim a Nee doi cao, m e () (io ou ). m. r() c() Para iema do io, a m lim e e, orao, e( ) (io ). r() c() 55

20 io do Siema 5. Reoa emorai 56 Reumo r Exemlo: Um ervomecaimo uilizado um moor C.C. corolado ela armadura ode er rereeado elo diagrama de bloco ao lado. Nee cao, como e oberva: k R() + k C() k G - e, orao, raa-e de um iema do io, ara o qual: k Sedo aim: ara erada degrau uiário: e ( ) ara erada rama uiária: e( ) ara erada arábola uiária: e () 5.7 Rejeição de Perurbaçõe em Regime Eacioário Coidere-e o iema de corole em malha fechada rereeado a figura abaixo, em que N () rereea uma erurbação que age a erada da laa. N () R () + () G () Corolador Plaa C () 56

21 5. Reoa emorai 57 A queão que e coloca é deermiar em que codiçõe o iema é caaz de rejeiar a erurbação N () em regime eacioário. Ou eja, em que codiçõe o efeio em regime eacioário da erurbação obre a aída do iema é ulo. Para io erão coiderado doi io de erurbaçõe, a aber, degrau e rama. Admia-e o cao geral em que G () é exreo or G( ) G NG ( ) ( m ), ( ) ( ) em que N rereea o úmero de olo a origem de G (). Defiido G G ( ) ( m ) G'( ), ( ) ( ) ode-e reecrever G () como G'( ) G( ), N G em que G '( ) coém aea o olo ão ulo de G () e lim G'( ) G. NG É iereae oar que, quado G () ão em olo a origem ( N ), o faor do deomiador reduz-e a e G' ( ) G( ). Nee cao em que N, em qualquer crie de cociêcia, odemo ecrever imbolicamee N que lim G, aear de G rereear formalmee uma ideermiação. De maeira ieiramee aáloga, reecreve-e () a forma '( ) ( ), N em que N rereea o úmero de olo a origem de (), '( ) coém aea o olo ão ulo de () e lim '( ). G edo em via a liearidade do iema, a aída C () é dada or dua arcela: C R () or R (), e C N (), roveiee de N (), io é, C( ) C ( ) C ( ). R N Para e eudar o efeio da erurbação N () obre a aída, ode-e coiderar R ( ) e, orao,, que é roduzida 57

22 5. Reoa emorai 58 G( ) C( ) CN ( ) N( ). G( ) ( ) Suodo válida a hióee do eorema do Valor Fial, ua alicação ee cao leva a G( ) c( ) lim N( ) lim G( ) ( ) NG N G'( ) N( ). N G'( ) '( ) Perurbação do io degrau uiário Nee cao, N( ) e, orao, c( ) lim N G'( ). G'( ) '( ) NG N Coforme o valor de. N N, há dua iuaçõe diia a coiderar: Nee cao, há dua oibilidade quao ao valor de a) N G Nea codiçõe, a exreão aerior forece: c( G ), G N G, a aber: a qual mora que ão eceário valore elevado do gaho do corolador ara que o efeio da erurbação em degrau obre a aída eja equeo em regime eacioário. b) N G Nea codiçõe, c( ), a qual ambém mora que ão eceário valore elevado do gaho do corolador ara que o efeio da erurbação em degrau obre a aída eja equeo em regime eacioário. Coclui-e aim que, e o corolador ão em olo a origem, é imoível fazer com que ee efeio eja ulo, ideedeemee do úmero de olo da laa a origem. 58

23 5. Reoa emorai 59. N Nee cao, ideedeemee do valor de N, obém-e c ( ). G Coclui-e aim que, e o corolador em elo meo um olo a origem, o efeio da erurbação em degrau obre a aída em regime eacioário é ulo, ideedeemee do úmero de olo da laa a origem. Perurbação do io rama uiária Nee cao, N( ) e, orao, N G'( ) c( ) lim. NG N G'( ) '( ) Coforme o valor de N, há rê iuaçõe diia a coiderar, ideedeemee do valor de N, a aber: G. N Nee cao, a exreão aerior forece c (), o que igifica que o efeio da erurbação do io rama obre a aída é ilimiado (a verdade, o regime eacioário ão é aigido).. N Nee cao, c( ), o que mora que o efeio eacioário da erurbação do io rama obre a aída ode er reduzido aumeadoe o valor do gaho do corolador. 3. N Por fim, ee cao, c ( ), e, orao, o efeio da erurbação do io rama obre a aída é ulo em regime eacioário. 59

24 5. Reoa emorai 6 Cocluão Para que um iema de corole ujeio a uma erurbação do io degrau a erada da laa a rejeie comleamee em regime eacioário é recio que o corolador eha elo meo um olo a origem. Quado e deeja que o iema de corole rejeie comleamee em regime eacioário erurbaçõe do io rama é eceário que o comeador eha elo meo doi olo a origem. 6