SCC Laboratório de Algoritmos Avançados. Grafos: Fluxo Máximo. Fluxo Máximo. Fluxo Máximo. Fluxo Máximo 6/2/2009 5:33 PM

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1 SCC-2 - Laboraório de Algorimo Avançado Grafo: Fluxo Máximo Guavo Baia Fluxo Máximo Podemo inerprear um grafo orienado como um fluxo em rede: Exie uma origem que produz um maerial em uma axa fixa; E um depóio que conome ee maerial na mema axa; O fluxo em qualquer pono do grafo é a axa na qual o maerial e move. Exiem divera aplicaçõe como líquido em ubo, peça em linha de monagem e correne elérica. 2 Fluxo Máximo Fluxo Máximo Cada area orienada pode er enendida como um canal: E cada canal poui uma capacidade eabelecida. Vérice ão junçõe de canai, além da origem e do depóio: Não há acumulação de maerial no vérice; Ou eja, a axa de enrada deve er igual à axa de aída de maerial. Chamamo ea propriedade de conervação de fluxo. Em fluxo máximo, deeja-e calcular a maior axa de fluxo de maerial: Da origem aé o depóio; Sem violar quaiquer reriçõe de capacidade. 1

2 Definiçõe Definiçõe Um fluxo em rede é um grafo orienado G = (V, A): Cada area (u, v) A em uma capacidade não negaiva c(u, v) 0; Se (u, v) A, enão c(u, v) = 0; Doi vérice ão diinguido: origem e depóio ; Por conveniência, aume-e que exie um caminho v. Um fluxo em G é uma função de valor real f :V V R que aifaz: Rerição de Capacidade: para odo u, v A, f (u, v) c (u, v); Simeria oblíqua: para odo u, v A, f (u, v) = -f (v, u); Conervação de fluxo: para odo u V {, }, f ( u, v) = 0 v V 5 6 Exemplo Exemplo Vancouver Edmonon Sakaoon Winnipeg Vancouver Edmonon Sakaoon Winnipeg 1 Calgary Regina 1 Calgary Regina /1 8 2

3 Definiçõe O valor de um fluxo em G é definido como: f = f (, v) v V ou eja, o fluxo que ai da origem. No problema de fluxo máximo, queremo enconrar um fluxo de valor máximo de a obre G. Méodo de Ford-Fulkeron Engloba divera implemenaçõe com diferene complexidade. Uiliza rê idéia imporane: Rede reiduai; Caminho em ampliação, e; Core. 9 Rede reiduai A rede reidual conie em area que podem admiir mai fluxo: A capacidade reidual de doi vérice u, v é dada por: c f (u, v) = c (u, v) f (u, v) Rede reiduai Por exemplo, e c (u, v) = 16 e f (u, v) =, enão c f (u, v) = 5. Porano pode aumenar a capacidade em 5 unidade ane de exceder a rerição. Ma, e: c (u, v) = 16 e f (u, v) = -, enão c f (u, v) = 20 Poi, pode-e cancelar o fluxo conrário em unidade e empurrar mai 16 unidade.

4 Rede reiduai Rede reiduai Dado um fluxo em rede G = (V, A) e um fluxo f, a rede reidual de G induzida por f é G f =(V, A f ), onde: /1 A f = {(u, v) V V : c f (u, v) > 0} 1 1 Rede reiduai A area em A f ão a area em A ou ua invera: Se f (u, v) < c (u, v) enão c f (u, v) = c (u, v) f (u, v) > 0 Se f (v, u) < 0, enão c f (v, u) = c (v, u) f (v, u) > 0 Em ambo o cao (u, v) e (v, u) A f. Caminho em ampliação Dado um fluxo em rede G = (V, A), e um fluxo f, um caminho em ampliação p é um caminho imple de a na rede reidual G f. Um caminho reidual admie algum fluxo poiivo adicional de a em violar a capacidade da area

5 Caminho em ampliação Caminho em ampliação /1 Capacidade reidual é a quanidade máxima que e pode aumenar o fluxo em cada area de um caminho de ampliação p: c f (p) = min{c f (u, v): (u, v) eá em p} / Ford-Fulkeron O algorimo báico de Fork-Fulkeron conie em enconrar caminho de ampliação, e ieraivamene aumenar o fluxo em G. Ford-Fulkeron Ford-Fulkeron(G,, ) for cada area (u, v) A do f[u,v] = 0 f[v,u] = 0 while exie p de aé na rede reidual G f do c f (p) = min{c f (u,v): (u,v) eá em p} for cada area (u,v) em p do f[u,v] = f[u,v] + c f (p) f[v,u] = -f[u,v]

6 Edmond-Karp Edmond-Karp Um pono em abero do algorimo de Ford- Fulkeron é como enconrar o caminho em ampliação p. O algorimo de Edmond-Karp uiliza uma buca em largura para enconrar ee caminho. Porano p é o caminho mínimo enre e coniderando o número de area. O algorimo de Edmond-Karp poui complexidade O(VA 2 ). Exiem oura variaçõe mai eficiene Edmond-Karp Edmond-Karp 2 2 6

7 Edmond-Karp Edmond-Karp Edmond-Karp Core Um core em um grafo é a parição do vérice em doi conjuno dijuno. Uma area de cruzameno coneca doi vérice em pariçõe diferene. Um core- é um core que coloca o vérice em uma area e o vérice em oura. 2 28

8 Core Core Um core- divide um fluxo em rede em doi componene conexo, inerrompendo o fluxo de para. A capacidade de um core- é a oma da capacidade da area de cruzameno (forward). /1 Cap = 29 /1 Cap = 26 Cap = Core O fluxo aravé de um core- é a diferença enre a oma do fluxo da area de cruzameno meno o fluxo da area de cruzameno (forward backward). Core Para qualquer fluxo de rede, o fluxo aravé de qualquer core- é igual ao valor do fluxo*. +8=19 /1 1 *Oberve que ee fluxo em rede não é máximo 2 8

9 Core Core Para qualquer fluxo de rede, o fluxo aravé de qualquer core- é igual ao valor do fluxo*. Para qualquer fluxo de rede, o fluxo aravé de qualquer core- é igual ao valor do fluxo*. +8=19 /1 -+=19 +8=19 /1 -+=19 15+=19 *Oberve que ee fluxo em rede não é máximo *Oberve que ee fluxo em rede não é máximo Core mínimo Core mínimo No problema de core mínimo, deve-e enconrar um core- no qual a capacidade do core é menor do que a capacidade de qualquer ouro core-. Na verdade, reolver ee problema é igual a reolver o problema de fluxo máximo. O fluxo máximo em um fluxo em rede é igual a capacidade mínima de um core. Porque? É o core mínimo que limia o fluxo na rede, e coneqüenemene define o fluxo máximo

10 Core mínimo Core mínimo Oberve a eguine rede com fluxo máximo igual a 2. Exie um conjuno de area forward cheia que limiam o fluxo. Oberve a eguine rede com fluxo máximo igual a 2. Exie um conjuno de area forward cheia que limiam o fluxo. /1 /1 8 Core mínimo Core mínimo Como achar a area (ou vérice) que fazem pare de um core mínimo? Segundo Sedgewick: The Ford-Fulkeron algorihm give preciely uch a flow and cu: When he algorihm erminae, idenify he fir full foward or empy backward edge on every pah from o in he graph. Le C be he e of all verice ha can be reached from wih an undireced pah ha doe no conain a full forward or empy backward edge and le C be he remaining verice. Then, mu be in C, o (C, C ) i na -cu, whoe cu coni enirely of full forward or empy backward edge. /1 9 0

11 Core mínimo Core Mínimo /1 Dea forma, podemo uilizar uma buca em largura obre a rede reidual a parir de. O vérice u-v que perencem ao core mínimo ão aquele que u foi marcado na buca em largura e v não foi marcado. Veja que não é precio fazer uma chamada adicional a buca em largura. Pode-e uilizar o reulado da úlima buca realizada pelo algorimo de Edmond-Karp. 1 2 Exercício Submiõe direo no UVa: 19 Saboage. 55 XYZZY; Enviem oluçõe para o Rafael por e- mail para conabilizar o pono. Fluxo de cuo mínimo Com frequência o problema de fluxo máximo poui mai de uma olução. Nea iuaçõe pode-e ear inereado em enconrar, enre a oluçõe, uma que poua uma caraceríica epecial: Um fluxo máximo com a menor quanidade de area, ou; Um fluxo máximo de menor caminho.

12 Fluxo de cuo mínimo Ee problema ão coniderado mai difícei que o problema de fluxo máximo e caem em uma caegoria genérica de problema de fluxo de cuo mínimo. Nee problema epecificamo que cada area poui ambém um cuo aociado. O objeivo é enconrar enre oda a oluçõe de fluxo máximo, aquela que poui o menor cuo. Fluxo de cuo mínimo O cuo do fluxo de uma area em uma rede de fluxo é o produo do fluxo da area pelo eu cuo. O cuo de um fluxo é a oma do cuo do fluxo da area que perencem ao fluxo. 5 6 Fluxo de cuo mínimo 2/2 Fluxo = Fluxo de cuo mínimo Fluxo = Cuo = 21 2/1 2/2 Fluxo = 2/1/1 1 Fluxo = Cuo = 20 2/2 2/2/1 2 8

13 Fluxo de cuo mínimo Para cuo mínimo, preciamo redefinir a rede reidual: Ele em a mema caraceríica da rede para problema de fluxo máximo, enreano adicionamo uma informação: e o fluxo é poiivo, enão a area de reorno em cuo x. Se o fluxo é menor do que a capacidade, enão a area de ida em cuo x. No demai cao a area (ida ou reorno) não é repreenada. 9 Fluxo de cuo mínimo 2/1/1 1 Fluxo = Cuo = 21 2/-2 1/1 1/-1 50 Fluxo de cuo mínimo Um fluxo máximo é um fluxo máximo de cuo mínimo e e omene e a ua rede reidual não coném ciclo negaivo direcionado. Fluxo de cuo mínimo 2/1/1 1 Fluxo = Cuo = 21 2/-2 1/1 1/

14 Fluxo de cuo mínimo 2/1/1 1 Fluxo = Cuo = 21 2/-2 1/1 1/-1 Fluxo de cuo mínimo Seja x a capacidade mínima da area no ciclo, podemo adicionar x à area de ida e x à area de vola: Io não alera a diferença de fluxo de enrada/aída de cada vérice; Ma modifica o cuo da rede em x veze o cuo do ciclo. 5 5 Fluxo de cuo mínimo Fluxo = Cuo = 21 Fluxo de cuo mínimo Fluxo = Cuo = 21 2/1/1 1 Cuo do ciclo = -1 Capacidade mínima = 1 2/-2 1/1 1/-1 2/1/1 1 Cuo do ciclo = -1 Capacidade mínima = 1 2/-2 1/1 1/

15 Fluxo de cuo mínimo 2/2/1 2 Cuo do ciclo = -1 Capacidade mínima = 1 Fluxo = Cuo = 20 2/-2 1/1 1/ Fluxo de cuo mínimo O algorimo para enconrar um fluxo máximo de cuo mínimo é: 1. Enconrar um fluxo máximo; 2. Procurar por um ciclo negaivo, cao não exia erminar;. Aumenar o fluxo no ciclo negaivo e volar ao pao Fluxo de cuo mínimo Exercício Implemenar: Bellman_ford_reidual: variação do algorimo de Bellman-Ford para rede reiduai; Bellman_ford_cycle_e_minco: variação do ee de ciclo para Bellman-Ford ma que reorna um vérice qualquer envolvido em um ciclo negaivo ou -1 e não houver um ciclo negaivo