TENSÕES E CORRENTES TRANSITÓRIAS E TRANSFORMADA LAPLACE

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1 TNSÕS CONTS TANSTÓAS TANSFOMADA D APAC

2 PNCPAS SNAS NÃO SNODAS Degrau de ampliude - É um inal que vale vol para < e vale vol, conane, para >. Ver fig. -a. v (a) (b) v Fig. A fig. -b mora um exemplo da geração dee inal. Com a chave abera, a enão em é igual a zero vol. Com a chave fechada em-e, em, a enão vol. Supondo que a chave fechou no inane, em-e o inal na forma de degrau morado na fig..a. Degrau uniário É o degrau em que o valor para > é. Nee cao ele é u. Ver fig.. deignado por ( ) u Fig. Uma dúvida que e poderia er eria obre o valor da função para, uma vez que, pela figura, vemo que o valor pode er qualquer um enre zero e. u é decria analiicamene pela expreõe: Por convenção, em, a função ( ) u Para ( ) u Para ( ) O inal degrau repreenado na fig. -a é deignado por: v u

3 Sinal impulo uniário É um inal que é zero para qualquer e é infinio para. nreano ua área é igual a. Ver fig. 3. δ ( ) Área Fig. 3 e inal é, ambém, chamado de função Dirac e é repreenado por Uma da maneira maemáica de decrevê-lo e refere à fig. 4. h τ δ. τ Fig. 4 Nea figura emo um pulo f de duração τ e ampliude Sua área fica: A τ τ Porano, a área é igual a independenemene do valor de τ. Nee cao poderíamo dizer que δ lim f τ Porano, em-e para δ : τ h área lim h lim τ τ τ h. τ

4 A função δ ampa uniária repreena um impulo com área. É ambém chamada de rampa de inclinação uniária. la é definida como endo a f que obedece a eguine caraceríica: função ( ) Para < Para f f Maemaicamene, deigna-e ee ipo de função como endo u A fig. 5-a mora ea função. A fig. 5-b mora o inal a u rampa com inclinação igual a a. que vem a er uma u a u a (a) (b) Fig. 5 3

5 TANSFOMADA D APAC Aplicação A ranformada de aplace é um algorimo maemáico que permie a reolução de equaçõe diferenciai de uma maneira puramene algébrica. É muio úil para o cálculo de enõe e correne raniória em circuio elérico. Definição Define-e como ranformada de aplace, de uma função emporal f, a igualdade: [ f ] f e d a operação ranforma uma função da variável empo em oura função que depende apena da variável. Por io, é comum dizer: Função f Tranformada de aplace dea função F( ) onde F( ) f e d () xemplo : Deerminação da ranformada de aplace de um degrau uniário Ver fig. 6. u u. Fig. 6 Nee cao F ( ) e d e ( e e ) ( ) 4

6 F ( ) u () Teorema : A muliplicação de uma função emporal, por uma conane, equivale a muliplicação, de ua ranformada de aplace, pela mema conane Seja F( ) f e d Nee cao, a f e d a f e d a F( ) xemplo Deerminação da ranformada de aplace de um degrau de ampliude. Ver fig. 7. f Fig. 7 Nee cao, f u De acordo com o eorema, em-e: ( ) u u u (3) α xemplo 3 - Deerminação da ranformada de aplace da função: f e F α ( ) e e d e ( α ) d Porano: 5

7 F( ) e α ( α ) α α xemplo Deerminação da ranformada de aplace da derivada de uma função: Sabemo que d d ( U V ) U dv d V du d df d Muliplicando, o doi lado da igualdade, por d fica: ( U V ) U dv V du d negrando o doi lado da igualdade em-e: U V UdV Vdu ou UdV UV VdU (4) Sabemo que f e d F( ) Vamo fazer U Nee cao, V (5) f e dv e d e Vamo aplicar ea igualdade na equação (4) f e d f e e d [ f ] ou 6

8 f f ( ) ( ) df e d d e d ou F f ( ) ( ) df d ou df d ( ) f ( ) F (6) xemplo 4 Tranformada de aplace da inegral de uma função f. Supondo que F ( ) é a ranformada de aplace de enão v v A f d F A ( ) v( ) (7) f é demonrável que e xemplo 5 - Tranformada de um impulo de área A. É, ambém, demonrável que: A A δ (8) xemplo 6 Tranformada de aplace de uma rampa de inclinação C. C f para < f para C eulado: F ( )

9 xemplo 7 - Tranformada de aplace de uma enoide eulado: F f Aen β β β ( ) A xemplo 8 Tranformada de aplace de uma co-enoide eulado: f Aco β F ( ) A β Ani-ranformada de aplace Se a ranformada de aplace de f é F ( ) F ( ), é f, ou eja: e [ f ] F( ), enão a ani-ranformada de aplace de enão [ F ( ) ] f (9) É coume deignar a função no empo com lera minúcula e a ranformada com lera maiúcula. xemplo: quivale a i i ( ) 8

10 Aplicação da ranformada de aplace para a deerminação de enõe e correne em circuio elérico. xercício : - Deerminar a correne i no circuio da fig. 8, apó o fechameno da chave. Suponha que o capacior eá decarregado. i C Fig. 8 Solução: Apó o fechameno da chave, em-e um circuio fechado. Nee cao, pode-e aplicar a egunda lei de ohm: i i d () C Vamo aplicar a ranformada de aplace a odo o ermo, lembrando que a fone de alimenação excia o circuio na forma de degrau. Porano ua ranformada é ( ) Ver equação (3). A enão no capacior é v c C ( ) i d Sua ranformada é: V c ( ) C V c ( ) Ver expreão (7) Como, em noo cao, a enão no capacior, no inane inicial, é zero, reula: ( ) V c C Porano, a ranformada de aplace da expreão () fica: 9

11 C () Nea expreão, repreena a ranformada de aplace da correne i. A eguir, deermina-e, algebricamene, a expreão de : C C ou C () C Finalmene, faz-e a ani-ranformada de. Dea maneira, obém-e a expreão da correne i em função do empo. Para a ani-ranformação ua-e abelameno, da ranformada de aplace, publicado em manuai ou em livro didáico que raam do eudo de raniório em circuio elérico. Na úlima página dea apoila emo reproduçõe parciai dee abelameno. Para o cao dee exercício preciamo ani-ranformar a expreão. C A linha. da abela mora que e α α Por comparação concluímo que: C C e Porano, a correne i fica repreenada pela expreão: i C e (3) A fig. 4 mora como varia ea correne ao longo do empo.

12 i Fig xercício : - Deerminar a correne i e a enão v, no circuio da fig., logo apó o fechameno da chave. i v Fig. Solução: a) Deerminação da correne i. Apó o fechameno da chave, aplica-e a egunda lei de ohm: di i (4) d Aplica-e a ranformada de aplace a odo o ermo, lembrando que a exciação é um degrau de ampliude. Porano ua ranformada é dada pela igualdade (3). Para di ranformar o ermo aplica-e a expreão (6), lembrando que a correne no induor, d no inane inicial, é zero. (5) Nea expreão, repreena a ranformada de aplace da correne i. A eguir, deermina-e, algebricamene, a expreão de :

13 ( ) ou ( ) (6) Preciamo deerminar a ani ranformada da expreão No abelameno, fornecido, não enconramo nenhuma expreão emelhane a ea. nreano, a linha.5 informa que a ani-ranformada de ( α )( γ ) é γ α e e γ α Se fizermo α concluiremo que a ani-ranformada de ( γ ) é e γ γ Fazendo a idenidade com o reulado do noo problema, em-e: ( γ ) Concluímo que γ Porano, a ani-ranformada da função reula: i e

14 i e (7) ou ( ) A fig. mora ea correne em função do empo. i a) Deerminação da enão no induor Fig. Pela expreão (3) abemo que a enão no induor é dada pela expreão: v di d Pela expreão (6) abemo que, quando a correne inicial é nula, a ranformada de aplace dea enão é: V ( ) Subiuindo o valor de pelo valor fornecido pela expreão (6), em-e: V ( ) V ( ) A ani-ranformada reula: v e (8) A fig. mora a variação dea enão no induor ao longo do empo. 3

15 v Fig. xercício 3: - Deerminar a correne i, no circuio da fig. 3, logo apó o fechameno da chave. Supõe-e que, ano a correne inicial da bobina quano a enão inicial no capacior, ão nulo. C v quação diferencial: Fig. 3 di i id C d Tranformada de aplace: C onde repreena a ranformada de aplace de i, ou eja, ( ) Deerminando, algebricamene, o valor de, enconra-e: ( ) 9 C Preciamo achar a ani-ranformada da expreão: 4

16 C A abela não fornece a ani-ranformada da forma com que ea expreão e apreena. Preciamo mudar ua forma para e enquadrar na abela. Vamo fazer α e C ω Porano C α ω Vamo omar e ubrair, ao denominador, o ermo eula: α α ω α α ω α ( ) ( α ω α ) Cao a Se ω α enão podemo uar a idenidade ( α ) ( ω α ) ( ) α β β ω α Cao b Se ω α enão podemo uar a idenidade < ( α ) ( ω α ) ( ) α β onde β ω α ou β α ω Solução para o cao a A linha.3 da abela fornece: 5

17 ( α ) β e α en β β Nee cao α e 3 β en β i Subiuindo o valore: α β C 4 ω α chega-e ao reulado final C e en i C A fig. 4 mora como varia ea correne em função do empo. i ( ) Solução para o cao b Fig. 4 Seguindo procedimeno emelhane chega-e ao reulado: 6

18 4 e enh i 4 C C 5 onde enh θ ignifica eno hiperbólico de θ. A fig. 5 mora ea correne veru variação do empo. i Fig. 5 Maneira práica de reolução do circuio quando a condiçõe iniciai ão nula. Deenha-e o circuio no domínio da ranformada de aplace com a eguine relaçõe: mpedância de reior mpedância de induor mpedância de capacior C xemplo: Circuio C érie. Ver fig. 6. ( ) C () Fig. 6 Calculando a correne, reula 7

19 ( ) ( ) C Supondo exciação em degrau, em-e: ( ) C ou ( ) 6 C Comparando (6) com (9), vemo que ão idênica v no induor do circuio da fig. 3. Solução: Supondo que a ranformada de aplace de v é V ( ), uilizamo, para ee cálculo, o circuio morado na fig. 7, cujo parâmero eão enquadrado no domínio da ranformada de aplace. Conidere ω α xercício 4 - Deerminar a enão ( ) C () V ( ) Fig. 7 Pela lei de ohm em-e: ( ) V ( ) Vimo que ( ) Porano: C 8

20 V ( ) C Como ω α enão podemo uar a idenidade C α β ( ) onde α e β C Deerminação da Ani-ranformada de F ( ) ( α ) β Na linha.33, e fizermo a, eremo f β α ( α β ) e en( β ψ ) onde ψ g β α Apó alguma operaçõe e implificaçõe algébrica chega-e ao reulado da enão no induor: v ( ) e en ψ C C 4 4 9

21 4 onde ψ g C Cao onde e em valore iniciai não nulo Seja o cao de um induor de valor, com uma correne inicial. Ver fig. 8-a. C V (a) (b) Fig. 8 Nee cao, quando a bobina é percorrida por uma correne, a enão equivalene nee um induor fica: V ( ) A egunda parcela correponde a uma fone de enão cuja força eleromoriz poui valor. A repreenação, no circuio, eá morada na fig.9-a. V ( ) C V V C ( ) (a) (b) Fig. 9 Seja o cao onde e em uma enão inicial, de valor V, no capacior. Ver fig. 9-b. Quando ee capacior é percorrido por uma correne, a enão equivalene nee componene fica: ( ) V C V C

22 A egunda parcela correponde a uma fone de enão cuja força eleromoriz poui o valor V. A repreenação no circuio eá morada na fig. 9-b xercício 5 Dado o circuio da fig., a) Deerminar a correne i apó o fechameno da chave. b) Deerminar a enção v C apó o fechameno da chave. i C V v C Fig. Solução: A fig. mora o circuio no domínio da ranformada de aplace: ( ) C V V C ( ) V a) C Fig. V C V C V C A linha., da abela, no fornece a ani ranformanda. eula: i V e C

23 b) ( ) V C V C ou ( ) V V C C V C C V C ou ( ) ( V ) V C A linha. fornece a ani-ranformada da egunda parcela. A linha.5, quando e faz α, fornece a ani-ranformada da primeira parcela. eula: v c ( V ) C e V C C ou vc e Ve xercício 6 Dado o circuio da fig., a) Deerminar a correne i apó a chave mudar do pono A para o pono B. b) Deerminar a enão v apó a chave mudar do pono A para o pono B. A B v Fig. Solução: Ane de mudar a chave de A para B: Correne conínua aravé do induor:

24 Apó a mudança de A para B: Correne inicial no induor: a) A fig. 3 mora o circuio equivalene no domínio da ranformada de aplace: () V ( ) Fig. 3 Aplicando a egunda lei de Ohm, em-e: Uando a ani-ranformaçõe da linha.5 ( fazendo α ) e da linha., reula: V i b) ( ) e e onde V ou ( ) ou ( ) ( ) V Ani ranformando (linha. da abela), reula: 3

25 V ( ) ( ) e onde Teorema do valore iniciai e finai. Sendo F ( ) a ranformada de aplace de f ( ), o eorema do valor inicial afirma: lim f lim F Porano, podemo calcular o valor inicial de uma função emporal uilizando ua ranformada de aplace. Baa muliplicar F ( ) por e calcular o valor de eu limie quando ende para o infinio. Da mema forma, o eorema do valor final afirma: lim f ( ) lim F Porano, podemo calcular o valor final de uma função emporal uilizando ua ranformada de aplace. Baa muliplicar F ( ) por e calcular o valor de eu limie quando ende a zero. Vamo verificar a afirmaçõe uilizando o reulado do exercício 5. Vimo, no exercício 5 que a correne no circuio reulou Valor inicial i V e C Podemo ver que V limi No domínio da ranformada de aplace ínhamo: ( ) V C Podemo ver que 4

26 ( ) lim lim V V C o confirma a validade do eorema do valor inicial Valor final Volando à expreão de i Podemo ver que i V e lim i C No domínio da ranformada de aplace ínhamo: ( ) V C Podemo ver que lim ( ) V lim C o confirma a validade do eorema do valor final xercício 7 Trabalhando apena no domínio da ranformada de aplace, deerminar o valore inicial e final da correne no induor do circuio do exercício 6 Solução: ( ) 5

27 ( ) Valor inicial lim ( ) lim Porano ( ) limi (valor inicial) Valor final lim ( ) lim Porano ( ) limi (valor final) Por inpeção no circuio do exercício 6, pode-e confirmar em dificuldade o reulado dee exercício Uilização do eorema do valore iniciai e finai. Muia veze, quando e rabalha com circuio muio complicado, a obenção da aniranformada de aplace fica exremamene rabalhoa. Se eamo inereado, apena, em conhecer o valore iniciai e finai da enõe e correne, no divero pono do circuio, não eremo a neceidade de calcular a ani-ranformada. 6