CONTROLABILIDADE E OBSERVABILIDADE

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1 Eduardo obo uoa Cabral CONTROABIIDADE E OBSERVABIIDADE. oiação Em um iema na forma do epaço do eado podem exiir dinâmica que não ão ia pela aída do iema ou não ão influenciada pela enrada do iema. Se penarmo em ermo de função de ranferência fica fácil enender que um cancelameno de um pólo com um zero implica que alguma dinâmica no iema deixa de er ia pela aída e nem pode er alerada pela enrada. Dinâmica econdida ão cauada por cancelameno de pólo e zero dinâmica econdida geram perda de conrolabilidade e/ou oberabilidade. Na forma do epaço do eado não é imple erificar e ocorre um cancelameno de pólo e zero. Para podermo conrolar um iema ele dee er conroláel e oberáel exiem ee para erificar e um iema é conroláel e oberáel.. Conrolabilidade Definição: Um iema IT é conroláel e exie um eor de enrada u para T, com T > e finio, al que o iema ai da condição inicial x para qualquer eado x no ineralo de empo T. Oberaçõe: a Iniciar em não é um cao epecial. Se puder ir para qualquer eado em empo finio, iniciando em, enão e pode de qualquer condição inicial alcançar qualquer eado em empo finio. b Para conrolabilidade baa coniderar a olução forçada do iema, ou eja: x A e τ Bu τ dτ. c A conrolabilidade eá aociada à capacidade de influenciar odo o eado araé da enrada do iema.

2 Eduardo obo uoa Cabral Tee de conrolabilidade: Seja um iema de ordem n, dado por: x & Ax Bu, onde x R n e u R m. Obere que para um iema er conroláel baa analiar a equação do eado, ou eja, o par de marize A e B. Definindo a mariz de conrolabilidade C : n [ B AB A B A B] C. 3 O iema definido pela marize A, B é conroláel e poo C n. Poo de uma mariz repreena o número de coluna ou linha linearmene independene da mariz. Obera-e que para qualquer mariz o número de linha linearmene independene coincide com o número de coluna linearmene independene. Poo de uma mariz: Seja uma mariz de dimenão lxc, o eu poo é dado por:. Poo número de coluna linearmene independene de ;. Poo número de linha linearmene independene de ; 3. Poo inl, c. 3. Oberabilidade Definição: Um iema IT é oberáel e qualquer condição inicial x pode er obida conhecendoe a enrada u e a aída y do iema para odo inane de empo enre e T >. Oberaçõe: a Se a condição inicial do eado x pode er calculada, enão e pode reconruir o eor de eado x em qualquer inane de empo. Noe que e conhecendo a condição inicial x e o eor de enrada u a odo inane, enão e pode calcular x em qualquer inane de empo. b Para eudar oberabilidade baa coniderar o cao de u, ou eja, a olução homogênea, aim:

3 Eduardo obo uoa Cabral A y Ce x. 4 c A oberabilidade eá aociada à capacidade de er odo o eado por meio da aída do iema. Tee de oberabilidade: Seja um iema de ordem n, com o eor de enrada u, enão em-e: x& Ax ;, 5 y Cx ; onde x R n e y R p. Obere que para um iema er oberáel baa analiar o par de marize A e C. Definindo a mariz de oberabilidade O : O C CA CA CA n. 6 O iema definido pela marize A, C é oberáel e poo O n. 4. Exemplo Exemplo : Dado o eguine iema dinâmico: x& y [ ] x u ; x. Tee de conrolabilidade: 4 C [ B AB]. O número de coluna e linha linearmene independene da mariz C é, porano: 3

4 Eduardo obo uoa Cabral 4 Poo C. Tee de oberabilidade: CA C O. O número de coluna e linha linearmene independene da mariz O é, porano: Poo O. Porano, em-e que não é oberáel. O iema O iema é conroláel; Em ermo de função de ranferência, a perda de conrolabilidade e/ou oberabilidade pode er ia como e egue. [ ] G B A I C [ ] 4 G Ou eja, ocorreu um cancelameno de pólo e zero no iema fazendo com que ele eja não oberáel. Exemplo : Dado o eguine iema dinâmico: [ ]. ; x y u x x& Tee de conrolabilidade: [ ] AB B C. O número de coluna e linha linearmene independene da mariz C é, porano: Poo C.

5 Eduardo obo uoa Cabral Tee de oberabilidade: C O. CA 3 O número de coluna e linha linearmene independene da mariz O é, porano: Poo O. Porano, em-e que O iema não é conroláel; O iema é oberáel. Em ermo de função de ranferência, em-e: G C I A B [ ] [ ] G Ou eja, ocorreu um cancelameno de pólo e zero no iema fazendo com que ele eja não conroláel. Porque no exemplo o cancelameno do pólo com o zero fez o iema er não oberáel e no exemplo o cancelameno do pólo com o zero fez o iema er não conroláel? O que faz ea diferença? 5. Tee modal de conrolabilidade e oberabilidade Dado um iema dinâmico IT de ordem n, x& Ax Bu y Cx Du 7 onde x R n, u R m e y R p. Na forma modal o iema é ecrio como: z& Λz WBu y CVz Du 8 onde, 5

6 Eduardo obo uoa Cabral 6 λ n λ λ O WAV Λ mariz do auoalore da mariz A. ν V mariz do auoeore da direia da mariz A. n W mariz do auoeore da equerda da mariz A. Obera-e que o iema na forma modal a mariz Λ é diagonal e, porano, não exie acoplameno enre o eado z i. Na forma modal ν n C CV B WB mariz de aída mariz de enrada Conrolabilidade: Se i B eado z i não é conroláel pelo eor de enrada u. Se qualquer um do modo do iema eado z i não for conroláel enão o iema não é conroláel. Se i B para odo i,...,n, enão o iema A, B é conroláel. Oberabilidade: Se C i eado z i não é oberáel pela aída y. Se qualquer um do modo do iema eado z i não for oberáel enão o iema não é oberáel. Se C i para odo i,...,n, enão o iema A, C é oberáel.

7 Eduardo obo uoa Cabral 6. Cancelameno de pólo e zero em iema IO Um cancelameno de pólo e zero ignifica perda de conrolabilidade e/ou oberabilidade. Fao: O modo dinâmico λ i, i do iema A, B é não conroláel e o iema em um zero com freqüência generalizada igual ao pólo λ i e direção equerda igual a [ i, ]. O modo dinâmico λ i, i do iema A, C é não oberáel e o iema em um zero com freqüência generalizada igual ao pólo λ i e direção igual a [ i, ]. Quando um zero em um iema IO caua perda de conrolabilidade ou oberabilidade, enão ocorre um cancelameno de pólo e zero. Um cancelameno de pólo e zero em iema IO, a freqüência generalizada do zero z i em que er igual a um pólo λ i e a direção do zero em que er a mema direção do auoeor da equerda ou da direia [ i, ], [ i, ] aociado ao pólo. 7. Exemplo Exemplo : Dado o eguine iema dinâmico: x& y [ ] x u ; x. Auoalore do iema: λ de λ ; λ λ. Auoeore da direia: Para λ ;. 7

8 Eduardo obo uoa Cabral 8 Para λ. ; Porano, V Auoeore da equerda: V W Tee de conrolabilidade: Para o modo dinâmico [ ] Ee modo é conroláel. Para o modo dinâmico [ ] 3 Ee modo é conroláel. Como odo o modo dinâmico do iema ão conroláei enão o iema é conroláel. Tee de oberabilidade: Para o modo dinâmico [ ] Ee modo é oberáel. Para o modo dinâmico [ ] Ee modo não é oberáel. Como o modo dinâmico do iema é não oberáel enão o iema é não oberáel. Zero de ranmião: de z z z z Direção à direia do zero:

9 Eduardo obo uoa Cabral Direção à equerda do zero: [ ] [ ] 3 3 Obere que o alor do zero é igual ao pólo do modo dinâmico e a direção à direia dee pólo é a mema direção à direia do zero porano ocorre um cancelameno de pólo e zero cauando uma perda de oberabilidada. 8. Eabilizabilidade e Dececabilidade Para o conrole de um iema dinâmico podem-e uar condiçõe mai fraca do que a conrolabilidade e a oberabilidade. Siema eabilizáel. Um iema é eabilizáel e odo o eu modo dinâmico ináei forem conroláei. Siema deecáel. Um iema é deecáel e odo o eu modo dinâmico ináei forem oberáei. Nea condiçõe exiem dinâmica no iema que não e conhece e não e pode influenciar ia conrole, ma e abe que ão pelo meno eáei, ou eja, decaem para zero quando. 9. Exercício Dado iema na forma de epaço do eado abaixo:. ; 7 u x y u x x& Pede-e não ue o ala para reoler ee problema:

10 Eduardo obo uoa Cabral a Verifique e o iema é conroláel e oberáel uilizando a marize de conrolabilidade e oberabilidade. b Verifique e o iema é conroláel e oberáel uilizando o ee modai de conrolabilidade e oberabilidadel. c Calcule o zero do iema e a ua direçõe aociada reolendo o problema de auoalor generalizado. d Ocorre algum cancelameno de pólo e zero que caue perda de conrolabilidade e/ou oberabilidade? e Calcule a mariz de funçõe de ranferência dee iema e analie e ocorre algum cancelameno de pólo e zero que pode cauar perda de conrolabilidade e/ou oberabilidade. Seja o aião F8 cuja dinâmica longiudinal é dada por:,5 x&,854 y,5,94 x,8,57 x,344,4,6 9,5,6 u,5,87 Pede-e uando o alab: a Verifique e o iema é conroláel e oberáel uilizando a marize de conrolabilidade e oberabilidade. b Calcule a mariz de funçõe de ranferência dee iema e analie e ocorre algum cancelameno de pólo e zero que poa cauar perda de conrolabilidade e/ou oberabilidade.