TRANSFORMADA DE LAPLACE Conceitos e exemplos

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1 TRANSFORMADA DE LAPLACE Conceio e exemplo Diciplina MR7 A finalidade dea apoila é dar o conceio da ranformada de Laplace, eu uo na olução de problema e por fim um aprendizado do méodo de reoluçõe. Muia veze na buca da olução de problema de engenharia é precio ubiuir funçõe de uma variável (geralmene a variável empo) por uma repreenação dependene da freqüência ou por funçõe de uma variável complexa dependene da freqüência. Ea ranformação écnica, relacionando funçõe do empo a funçõe dependene da freqüência de uma variável complexa é chamada de ranformada de Laplace. A ua grande uilidade é na aplicação dea ranformação maemáica na buca de oluçõe para equaçõe diferenciai de coeficiene conane e lineare. Definição: Seja f() a função real de uma variável, definida por >. Enão a ranformada de f() pode er ecria como: F() e f () d A função F() da variável é denominada de ranformada de Laplace da função f(, ou eja L[f()]. F() L f () O invero da ranformada de Laplace é dado por: L πj - ( ) e f ( ) σ j [ F() ] F() e d f () para > σ j EXEMPLO: Qual a ranformada de Laplace da função f(). d e F() e d EXEMPLO: Qual a ranformada de Laplace da função f() e -a. Aplicando-e a definição emo: F() e d e e e [ ] PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE São propriedade que podem er uada na olução de equaçõe diferenciai de coeficiene conane lineare. São ela: Pág.

2 Diciplina MR7. A ranformada de Laplace é uma ranformação linear enre funçõe definida no domínio do empo e. Se F () e F () ão repecivamene a ranformada de Laplace de f () e f (), enão podemo ecrever que: af() a F() ão a ranformada de Laplace de: af() af (), onde a e a ão conane arbirária. EXEMPLO: A ranformada de Laplace da funçõe e - e e - ão L[e - ] proriedade, emo: e L[e- ]. Pela L[e - e - ] L[e - ] L[e - ] 5. A ranformação invera de Laplace é uma ranformação linear ene funçõe definida no domínio do de do empo. Se f () e f () ão a ranformada invera da funçõe F () e F () repecivamene, enão podemo ecrever que: b f () b f () é a ranformada invera de Laplace de b F () b F (), onde b e b ão conane arbirária. EXEMPLO: A ranformada de Laplace da funçõe e ão L - [ Pela propriedade, emo: 4 L [ ] L [ ] 4L [ ] e 4e. A ranformada de Laplace da derivada ] e- e L - [ ] e-. df d de uma função f() cuja ranformada de Laplace é F() é: df L[ ] F() f ( ), onde f( ) é o valor inicial de f(), qdo ende a zero para valore poiivo. d EXEMPLO: A ranformada de Laplace de Vio que L[e - ] e o lim e, enão: d L[ (e ) ] F() f( ) [ d ] 4. A ranformada de Laplace da inegral F() é dada por: d (e ) d pode er deerminada pela aplicação da propriedade. f( τ )dτ de uma função f(), cuja ranformada de Laplace é F() L[ f ( τ)d τ ] Pág.

3 EXEMPLO: A ranformada de Laplace de L [ propriedade 4. Vio que L[e - ], enão: Diciplina MR7 e τ dτ ] pode er deerminada pela aplicação da L[ e τ dτ ] F() ( ) ( ) 5. O valor inicial f( ) da função f(), cuja ranformada de Laplace é F() é dada por: f( ) limf() limf(). EXEMPLO: A ranformada de Laplace de e - é L[e - ]. O valor inicial de e- pode er deerminado pela propriedade 5, como: lim e lim F() lim ( ) 6. O valor final f( ) da função f(), cuja ranformada de Laplace é F() é dada por: f() lim lim F(). EXEMPLO: A ranformada de Laplace de - e - é L[ - e - ] deerminado pela propriedade 6, como: lim[ e ] lim F() lim ( ) 7. A ranformada de Laplace da função f(/a), ecalada em empo é dada por: L[f(/a)] a F(a), onde F() L[f()]. ( ). O valor final de - e- pode er EXEMPLO: A ranformada de Laplace de e - é. A ranformada de Laplace de e- pode er deerminada uando a propriedade 7. (Ecalada em empo), onde L[f ( ) af() a, onde a L[e - ] [ ] ( ) 8. A ranformada invera de Laplace da função F(/a) ecalada em frequencia é dada por: L - [F(/a)] af(a), onde L - [F()] f(). Pág.

4 EXEMPLO: A ranformada invera de é e-. A ranformada invera de deerminada uando a propriedade 8. (Ecalada em freqüência), onde: L - [ ] e -. ( ) Diciplina MR7 ( ) 9. A ranformada de Laplace da função f( T) reardameno onde T> e f( T) para T é: L[f( T)] e -T F()., onde F() L[f()]. pode er EXEMPLO: A ranformada de Laplace da função e - definida como: ( ) e > f() é. A ranformada de Laplace da função, pode er deerminada uando a propriedade 9 com reardameno T, onde: L [f( - T)] e -T. F(), enão: L [e -.L[e - ] L[e - ] e.. A ranformada de Laplace da função e -a f() é dada por L[e -a f()] F( a), onde F() L[f()]. Tranlaçao complexa. EXEMPLO: A ranformada de Laplace de co é. A ranformada de e-.co pode er deerminada por meio da propriedade, como a. Enão L[e -.co] é F( a) e F() L[f()]. F(a) ( ) 4 5. A ranformada de Laplace do produo de dua funçõe f () e f () é dada pela inegral da convolução complexa. σ j L[f (). f ()] L[f ().f ()] F ( ω)f ( ω)d ω, F () L[f ()], F () L[f ()]. πj σ j EXEMPLO: A ranformada de Laplace de e - co pode er deerminada por meio da propriedade (Convolução complea), io é, vio que L[e - ] é e L(co)., enão: σ j L[e - ω co] ( )( )dω πj ω ω 4 5 σ j Pág. 4

5 Diciplina MR7. A ranformada invera de Laplace do produo de dua ranformada F () e F () é dada pela inegrai de convolução. L - [F (). F ()] o f ( σ)f ( σ)dσ f ( σ)f ( σ)d σ, onde L - [F () f (), L - [F ()] f (). EXEMPLO: A ranformada invera de Laplace da função F(), pode er deerminada ( )( ) pela aplicação da propriedade. Vio que L - [ ] é e- e L - [ ] é co, enão: L - ( ) [ ( )( )] e τ co τ.dτ e e τ co τ.d τ (co en e ). A propriedade e exemplo foram copiada do livro Siema de Reroação e Conrole Diefano, J.J e Subberud, A.R. e William, I,J. Coleção Schaum, 97. Uma abela reumida da ranformada de Laplace f() L{ f() } Ref e a n in ω co ω e a in ω e a co ω Pág. 5

6 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS Diciplina MR7. Dada a função Y() a eguir reecreva a função em fraçõe parciai. ( ) Y(), decrevendo Y() em fraçõe parciai emo: ( )( ) c c c Y() b, onde b e com: ( ) c ½. ( )( ) ( ) c ( ) ( ) c ( ) -. -½. Y() ( ). Dada a função Y() a eguir reecreva a função em fraçõe parciai. 9 Y() 9 b c c c ( )( )( 4) 4, onde b e com: 9 9 c ( )( 4) c ( )( 4) 9 9 c 4 ( )( ) 6 5 Y() ( ) ( ) 6( 4) TRANSFORMADA INVERSA USANDO FRAÇÕES PARCIAIS. Dada a função Y() deerminar a função invera de Laplace por fraçõe parciai. L[y()] 5 Y() ( ) ( ) 6( 4) y() 5 e e e 6 4 SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. Dada a equação diferencial, pede-e: Pág. 6

7 A equação é dy dy dy 6 6y u() d d d Diciplina MR7 Aplicndo-e a ranformada de Laplace, emo: Y() 6 Y() Y() 6Y() Y() ( 6 6) ( )( )( ) Deenvolvendo-e em fraçõe parciai, emo c c c c4 Y() b,b. ( 6 6) ( )( )( ) c 5, ( )( )( ) c 5, ( )( ) c 5, ( )( ) c 4 5. ( )( ) A olução é: y() 5 5e - 5e - 5e -.. Dada a equação diferencial a eguir e abendo-e que y( )- e dy d, deerminar y(). d y dy y u() degráu uniário. d d Enão: d y Y() -.Y( dy ) Y() (-) Y(). d d dy d Y() Y( ) Y(). y Y(). u(). A equação fica: Y() - Y() Y() Y() Y() Y() Pág. 7

8 Diciplina MR7 A equação final fica: Y() Y() Y() - -. Y() ( ) - - ( ) E Y(), enão: Y() ( ) c. ( )( ) ( ) c. ( ) ( ) c ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) c c b, onde b. c A equação final no empo erá: y() ½ e - - ½ e -. ½ - e - - ½ e -. Pág. 8