Circuitos Elétricos II Experimento 2

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1 Experimeto : Frequêcia Complexa Própria. Objetivo: Determiação da frequêcia complexa própria de um circuito RLC utilizado o traitório repetitivo.. Itrodução Seja y( a repota de um circuito liear, de parâmetro cotate, excitado por u(. repota e a excitação etarão relacioada por uma equação diferecial do tipo: i a i d dt ( i) y( ( i) m j b j d dt ( m j) u( ( m j) () edo o a i e b j cotate reai, e admitido-e a = para maior comodidade. fução de traferêcia, que relacioa y( e u(, é obtida tomado-e a traformada de Laplace da equação (), com codiçõe iiciai ula, chegado-e a: Y( b G( U( m b a m b a m b a m () O deomiador da equação (): P ( a a a (3) é o poliômio caracterítico da equação (). O zero ( ) dete poliômio, correpodete ao pólo de G(, ão a frequêcia complexa própria da repota y(. Ete pólo podem er imple ou múltiplo. Examiado-e o mecaimo de iverão da traformada, verifica-e que ao pólo imple correpodem, a repota traitória, parcela do tipo: t e (pólo imple (4) edo o cotate. O pólo múltiplo gerarão uma oma de parcela do tipo: t t t e te t e (5) edo o i cotate e a multiplicidade do pólo meo um. equaçõe (4) e (5) cotituem o modo aturai da repota y(. parte real da frequêcia complexa própria dá o amortecimeto do modo atural, ao pao que ua parte imagiária forece a frequêcia agular de ocilação do modo atural. Seja uma frequêcia complexa própria dada por: j (6) Se a frequêcia própria for real e imple, o correpodete modo atural é do tipo e a frequêcia própria for real e múltipla tem-e modo aturai t e j t j, j =,,...,. Se a repota tiver uma frequêcia própria complexa, eceariamete o cojugado t e ; * erá também uma frequêcia própria; edo, além do mai, imple, o par, dará origem a um par complexo cojugado de modo aturai, que compõem uma parcela da repota do tipo: * t e co( t ) edo a parte real da frequêcia complexa própria e ua parte imagiária. (7)

2 Quado a frequêcia complexa própria de um circuito reduzem-e a um ó par de complexo cojugado, ua determiação experimetal, atravé da medida de e é particularmete imple, como erá vito a eguir.. plicação ao Circuito Reoate Paralelo Coiderado-e o circuito motrado equematicamete a Figura e aplicado-e a LKC ao ó, chega-e a: dv( C Gv( v( dt i ( dt L (8) ( i R L C v( G Derivado-e a equação (8) uma vez, vem: Figura : Circuito RLC paralelo. d v( dv( di ( C G v( (9) dt dt L dt equação (9) etá a forma da equação (), em coequêcia, o poliômio caracterítico do circuito erá: P( C G () L cujo zero ão: ou com: G ; C G G, () C C LC, jd () ; LC d (3) Se >, a frequêcia própria ão complexo (cojugado, o itema é ocilatório e ua repota traitória é do tipo: t v( ve co( t ) (4) cuja forma de oda é aquela motrada o gráfico da Figura. Ob.: Para maior facilidade de obervação de uma forma de oda emelhate àquela da Figura, covém obtê-la com um traitório repetitivo coeguido, por exemplo, excitado-e o circuito com uma oda quadrada de período muito maior que / d, codição facilmete verificável experimetalmete. d

3 v( T.8 evoltória t Figura : Forma de oda referete à equação (4)... Medição de e d Supodo-e que eja obervada a forma de oda decrita pela equação (4) um ocilocópio, deeja-e determiar o parâmetro e d. a) Determiação de d Para a determiação de d mede-e a duração de ciclo do traitório. Etão reulta: d [rad/] ( iteiro) (5) T Covém tomar tão grade quato poível para reduzir o erro de medida. b) Determiação de relação etre doi máximo de v(, eparado por ciclo, é dada por: Portato, Como T =, vem: T e l T l l [ - ] (6) Ob.: O fator de amortecimeto pode também er determiado medido-e a amplitude,,...,, o itate, T, T,..., T, e uado-e uma rotia de ajute de curva. Uma vez determiado e d, e cohecido um do trê parâmetro do circuito, o outro doi podem er determiado. reitêcia R repreeta ão ó evetuai reitore ierido o circuito, como também a perda exitete o demai elemeto (reitêcia paraita. 3

4 .. Determiação do Ídice de Mérito, Q (circuito altamete ocilatório) d No circuito RLC altamete ocilatório pode-e adotar a aproximação d. Nee cao defie-e o ídice de mérito, em, por: R (7) L Q Sedo que R iclui a reitêcia de perda do elemeto L e C. Da equaçõe () e (), e com a aproximação d, reulta: Q (8) Cohecedo-e e, o ídice de mérito pode er calculado. Como verificação, Q pode er obtido determiado-e em quato ciclo a evoltória do ial cai a /e,368 do eu valor iicial. Sedo ee úmero (em geral ão iteiro), reulta: ou, levado-e em coideração a equação (8) l Q (9) Comparado-e ete valor com o calculado pela equação (8) tem-e uma ideia da precião da mediçõe. 3. Parte Prática 3. Medição da Frequêcia Complexa Própria 3.. jutar o gerador de iai para produzir (em aberto) uma oda quadrada de 5Hz, com V (pico a pico) e 5V (offe. Viualizar ee ial utilizado o ocilocópio. 3.. Medir o compoete forecido (valore omiai: R =, R = L = mh, C =, F, utilizado o medidor LCR de bacada, a frequêcia de medida de Hz. Completar a Tabela com o valore medido. Nota: Para cada compoete, elecioe adequadamete o parâmetro a er medido (R, L ou C). O aparelho deverá operar o modo UTO. Verifique io, preioado a tecla RNGE e obervado a idicação do diplay. Utilize o modelo paralelo para determiar o valore da reitêcia paraita do idutor (R L ) e do capacitor (R C ). Notar que ee valore variam com a frequêcia de medida, em epecial R L. Tabela - Valore Medido do compoete em Hz Reitor R = Reitor R = Idutor L= R L = Capacitor C= R C = 4

5 3..3 Motar o circuito motrado equematicamete a Figura 3, o qual R g repreeta a reitêcia itera do gerador (5Ω) e R =R =Ω. Nota: Oberve que o circuito da Figura 3 correpode ao circuito da Figura, batado para io fazer uma traformação de fote (gerador de teão para gerador de correte equivalete). + R g R e ( L C v( gerador de iai Figura Obervar a forma de oda da teão v(. Salvar a imagem para o relatório. Nota: Para obter uma boa viualização do ial, ajute cuidadoamete o gaho horizotal e vertical do ocilocópio, modo a elecioar o traitório correpodete à repota ao degrau de V. jute o ível do diparo para obter uma figura etável e utilize o recuro de Média, atravé da tecla cquire do ocilocópio, com 8 poto, para elimiar ruído do ial Utilizado o curore do ocilocópio, determiar o período T, coforme ugerido em.., ito é, a partir de ciclo iteiro do traitório) e calcular d e f d (=/T). Nota: Poicioe o curor Y a leitura., e utilize como referêcia para a medida de tempo e amplitude realizada com o curore. T = d = f d = Tabela 3..6 Medir a amplitude máxima de dua ocilaçõe coecutiva quaiquer e calcular,, f e Q. O circuito obedece à codição de er altamete ocilatório? = = = f = Q = Tabela 3 5

6 3..7 Medir a amplitude máxima de vária ocilaçõe coecutiva para o cálculo poterior de α, utilizado ajute de curva. Compare ee reultado com aquele obtido em Nota: Depreze a última ocilaçõe, cuja amplitude ejam muito baixa e poam prejudicar o reultado do ajute de curva. = = = 3 = 4 = Tabela Coidere agora o circuito da Figura, a topologia com gerador de correte. Utilizado o valore medido de L e C: a) Calcule a frequêcia e f e compare com o valore obtido em b) Com o valor de obtido em 3..7, determie o valore de d e f d. c) Calcule o valor da reitêcia equivalete R em paralelo, a partir da frequêcia complexa própria obtida para o circuito. d) alie o reultado obtido. 3. Comparação com o Regime Permaete Seoidal 3.. Coiderado o circuito do item 3.. e ajutar o gerador de iai para uma forma de oda eoidal com 3 V (pico a pico) e V (offe. 3.. Variar a frequêcia do ial até obter a máxima amplitude de v(, e aotar a frequêcia em que ito ocorre, bem como a amplitude de v( t ). Comparar o valor da frequêcia ecotrada com f d e f calculada ateriormete. Explicar. Tabela 5 Frequêcia de reoâcia o = 3.3 Medição da Capacitâcia Paraita (C p ) do Idutor 3.3. Retirar o capacitor C do circuito, reultado o circuito motrado equematicamete a Figura 4, o qual C p repreeta a capacitâcia paraita do idutor Trocar o reitor para R =R =Ω e aumetar a frequêcia da oda quadrada para 6Hz Determiar, d, f d, e f empregado o memo procedimeto do ite 3..5 e Tabela 6 = f d = = = f = d = 6

7 3.3.4 Calcular o valor de C p utilizado o valor medido para L o item 3... Nota: pota de prova do ocilocópio pode er modelada por um circuito RC paralelo. O valore correpodete à pota gilet N863B ão: R = M e C pf, para ateuação em x. Verifique a eceidade de levar em cota ete valore a determiação de C p. Capacitâcia C p = Tabela 7 + R g R e ( L C p v( gerador de iai Figura 4 4. Lita de Material Decrição: Quatidade por grupo: reitor,, ¼ W, 5% reitor, ¼ W, 5% idutor mh capacitor (poliéter), F, V gerador de iai com cabo BNC-jacaré ocilocópio com pota de prova multímetro portátil com pota de prova medidor LCR de bacada matriz de cotato (protoboard) 5. Referêcia Bibliográfica Nota de aula da diciplia PEE.35 Laboratório de Eletricidade I, Ecola Politécica da Uiveridade de São Paulo. Nota de aula da diciplia EL 33(L) Circuito Elétrico III, Departameto de Egeharia Elétrica, Faculdade de Egeharia Idutrial. Orii, L. Q., Cooi, D., Curo de Circuito Elétrico, vol., ª ed., Edgard Blücher,. 7