2. senh(x) = ex e x. 3. cos(t) = eit +e it. 4. sen(t) = eit e it 5. cos(2t) = cos 2 (t) sen 2 (t) 6. sen(2t) = 2sen(t)cos(t) 7.

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1 UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Deparameno de Maemáica Pura e Aplicada MAT68 - Turma D - / Segunda avaliação - Grupo 3 4 Toal Nome: Carão: Regra a obervar: Seja ucino porém compleo. Juifique odo procedimeno uado. Ue noação maemáica coniene. Ao uar iema de coordenada curvilínea(cilíndrica, eférica ec), indique a correpondência para o iema de coordenada careiana (x,y,z). Trabalhe individualmene e em uo de maerial de conula além do fornecido. Devolva o caderno de queõe preenchido ao final da prova. Não é permiido deacar folha nem uar folha adicionai. Formulário:. coh(x) = ex +e x. enh(x) = ex e x 3. co() = ei +e i 4. en() = ei e i i 5. co() = co () en () 6. en() = en()co() 7. (a+b) n = n j ) j=( n a n j b j, ( ) j n = n! (n j)!j!

2 Queão (.5 pono): Enconre a função f() cuja ranformada de Laplace é dada por F() = (+ln())( e ) e eboce o gráfico de f() para enre e 5. Indique no gráfico oda o valore noávei (pono de máximo, mínimo e exremo de inervalo). Deixe claro como você obeve ee valore noávei. Solução Primeiro obervamo que o ermo pode er expandido em érie de poência e conforme e = e k = +e +e 4 +e 6 +e 8 + aim emo: F() = (+ln())( e ) = (+ln()) e k +ln() A ranformada invera do ermo é dada pelo iem 7 da abela: L = e ln = +ln() Agora calculamo, uando a propriedade do delocamene no eixo : L {F()} = L (+ln()) e k = u( k) ( k) Para raçar o gráfico, verificamo que a função f() enre e 5 é dada por:, < <, f() = + ( ), < < 4, + ( ) + ( 4), 4 < < 5. f() /6 5/4 /3 5/6 /4 3 4 Para ober o valore noávei, baa calcular: f(+) = lim + f() = = f( ) = lim f() = = /4 f(+) = lim + f() = + = 5/4 f(4 ) = lim 4 f() = 4 + = 5/6 f(4+) = lim 4+ f() = = /6 f(5) = = /3

3 Queão (.5 pono): Conidere o mecanimo implificado de reação química apreenado a eguir: R S T onde a concenração de R, S e T ão dada em mol/l por x(), y() e z(), repecivamene e ão regida pelo eguine iema de equaçõe diferenciai ordinária: x () = αx() y () = αx()+γy() z () = γy(), onde α e γ ão conane poiiva. Sabendo que a concenraçõe iniciai ão dada por: x() =, y() = z() =. Uando a eoria da Tranformada de Laplace, obenha a olução dada pela funçõe x(), y() e z() quando α =, e γ =. Solução Calculamo a Tranformada de Laplace do iema uado a propriedade da linearidade e da derivada: X() x() = αx() Y() y() = αx() γy() Z() z() = γy(). Da primeira equação, emo: Da egunda equação, emo: Da erceira equação emo: Y() = αx() γ = X() = x() +α = + Z() = γy() αx() ( γ)(+α) = (+)( ) = (+)( ) Agora, podemo ober a incógnia aravé da Tranformada Invera de Laplace: () x() = L {X()} = e por ab(7) y() = L {Y()} = e e por ab() com a = e b = 3 Y() z() = L {Z()} = L = y(τ)dτ, por prop(5) = ( e τ e τ) dτ = ( ) e e = e +e

4 Queão 3 (3.) Calcule a ranformada: Iem a (.75) L{ln} Iem b (.75) L{( 3)u( ) ( )u( 3)} { Iem c (.5) L e ( ++5)( ++) (+)(+)(+3) Solução iem a Pela propriedade da derivada da ranformada, emo: } L{ln} = d d L{ln} Pelo iem 38 da abela de Tranformada e da propriedade da linearida, emo: Porano: L{ ln} = L{ ln γ}+l{γ} = ln + γ L{ln} = d d [ ln + γ ] = = ln+( γ) Solução do iem b Primeiro obervamo que [ ln γ ] ( 3)u( ) ( )u( 3) = f( )u( ) g( 3)u( 3) onde f() = e g() = + Aim, podemo uar a propriedade do delocameno no eixo : L{( 3)u( ) ( )u( 3)} = L{f( )u( ) g( 3)u( 3)} ( = F()e G()e 3 = ) ( e + ) e 3 Solujao do iem c Procedendo com a decompoição em fraçõe parcia emo: f() = L ( ++5)( ++) + 6e (+)(+)(+3) {[ ] [ = L (+) + 3 +e (+) ]} +3 {[ ] [ = L (+) + + (+) + 3 +e (+) ]} +3 = e [en()++)]+u( ) [ 3e ( ) 6e ( ) +3e 3( )]

5 Queão 4 (.) Conidere a função f() cujo gráfico é dado abaixo f() Eboce o gráfico da derivada g() dea função e calcule a Tranformada de Laplace F() e G(). Repoa: g() = f () Aim, é fácil ver que g() = u() u( ) u( 4)+u( 5) δ( 5) G() = e e 4 + e 5 e 5 = [ e e 4 +e 5] e 5 Uamo a propriedade da derivada: L{g()} = L{f ()} = F() f() = F() Porano, F() = G() = [ e e 4 +e 5] e 5