Total. UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma C /2 Prova da área IIA

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1 UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Deparameno de Maemáica Pura e Aplicada MAT68 - Turma C - 7/ Prova da área IIA Toal Nome: Regra Gerai: Não é permiido o uo de calculadora, elefone ou qualquer ouro recuro compuacional ou de comunicação. Trabalhe individualmene e em uo de maerial de conula além do fornecido. Devolva o caderno de queõe preenchido ao final da prova. Regra para a queõe abera: Seja ucino, compleo e claro. Juifique odo procedimeno uado. Indique idenidade maemáica uada, em epecial, ien da abela. Ue noação maemáica coniene. Idenidade: Carão: enx) = eix e ix i enhx) = ex e x a+b) n = j= n j) a n j b j, cox) = eix +e ix cohx) = ex +e x n n! = j) j!n j)! enx+y) = enx)coy)+eny)cox) cox+y) = cox)coy) enx)eny) Propriedade: Linearidade L{αf) +βg)} = αl{f)} +βl{g)} Tranformada da derivada 3 Delocameno no eixo 4 Delocameno no eixo 5 Tranformada da inegral 6 Filragem da Dela de Dirac 7 Tranformada da Dela de Dirac 8 Teorema da Convolução 9 Tranformada de funçõe periódica Derivada da ranformada Inegral da ranformada L { f ) } = L{f)} f) L { f ) } = L{f)} f) f ) L { e a f) } = F a) L{u a)f a)} = e a F) L{u a)} = e a { } L fτ)dτ = F) f)δ a)d = fa) L{δ a)} = e a L{f g))} = F)G), onde f g)) = fτ)g τ)dτ T L{f)} = e T e τ fτ)dτ L{f)} = df) d { } f) L = Fŝ)ŝ Série: x = x n = +x+x +x 3, < x < n= x x) = e x = n= x n n! nx n = x+x +3x 3 +, < x < n= = +x+ x! + x3 +, < x < 3! ln +x) = ) n xn+ n+, < x < n= arcanx) = ) n xn+ n+, < x < n= enx) = ) n xn+ n +)!, < x < n= cox) = ) n xn n)!, < x < n= enhx) = cohx) = n= n= +x) m = + x n+ n+)!, < x < x n n)!, < x < n= mm ) m n+) x n, n! < x <, m,,,... Funçõe epeciai: Função Gamma Γk) = x k e x dx Propriedade da Função Gamma Função de Beel modificada de ordem ν Função de Beel de ordem I νx) = Γk +) = kγk), k > Γn+) = n!, n N m= J x) = x m+ν m!γm +ν +) ) ) m m= Inegral eno Si) = m! x enx) dx x ) m Inegrai: xe λx dx = eλx λ λx )+C x x e λx dx = e λx λ x λ + ) λ 3 +C x n e λx dx = λ xn e λx n x n e λx dx+c λ xcoλx)dx = coλx)+λxenλx) λ +C xenλx)dx = enλx) λxcoλx) λ +C

2 Tabela de ranformada de Laplace: F) = L{f)} f) = L {F)} n, n =,,3,...) n n )!, 3 π, π k, k > ) k Γk) a a) e a e a a) n, n =,,3...) n )! n e a a) k, k > ) Γk) k e a a) b), a b) a b a) b), a b) a b e a e b) ae a be b) +w w enw) +w cow) a a enha) a coha) a) +w w ea enw) a a) +w +w ) +w ) e a cow) w cow)) w 3w enw)) +w ) w 3enw) wcow)) +w ) w enw) +w ) w enw)+wcow)) +a ) +b ), 4 +4a 4 ) 4 +4a 4 ) 4 a ) 4 a 4 ) a b ) b a coa) cob)) 4a 3[ena)coha) coa) enha)] a ena)enha)) a 3enha) ena)) a coha) coa)) F) = L{f)} f) = L {F)} a b e a ) π 3eb +a +b +a a) 3 a ) k, k > ) e a+b) a b I J a) π e a +a) π k Ik Γk) a a) e k, k > ) J k) e k co k) π e k 3 π enh k) 37 e k k, k > ) k π 3e 4 38 ln) ln) γ, γ,577) a 39 ln e b e a) b +w ) 4 ln cow)) a ) 4 ln coha)) 4 an w ) enw) 43 co ) Si) a ) anh a ) a anh w +w ) e w π ) Onda quadrada {, < < a f) =, a < < a f+a) = f), > Onda riangular f) = a, < < a +, a < < a a f+a) = f), > Reificador de meia onda enw), < < π w f) = π, w < < π w f + π ) = f), > w w π ) Reificador de onda complea +w coh w f) = enw) a e a e a ) Onda dene de erra f) = a, < < a f) = f a), > a

3 Queão.) Conidere um ocilador harmônico modelado pelo problema de egunda ordem abaixo. my )+γy )+ky) = y) = y y ) = y onde m = Kg, k = 5N/m, y = m, y = m/ e γ é uma conane não negaiva. Marque, na primeira coluna, o iem que NÃO pode repreenar a olução dee iema e, na egunda, o iem que apreena a faixa onde γ pode aumir valore para que o iema fique ubamorecido. exponenciai muliplicada por coeno e eno rigonomérico γ exponenciai X) < γ <, coeno e eno rigonomérico. γ > coeno e eno hiperbólico. γ exponenciai muliplicada por polinômio de grau no máximo. γ = X) polinômio Queão. pono) Seja f) = δ ) e g) = indicam repecivamene L{f)} e L{g)}: e 3 e 3 e 4 e 3 X) e fτ)dτ. Ainale a alernaiva que X) e 4 3 Queão 3. pono) Conidere a função definida como: +, < f) = 3 ), < 3, > 3 Marque a alernaiva que correpondem repecivamene a L{f )} e L{f)}: X) e +e 3 e +e 3 e +e 3 3 +e +e 3 e +e 3 e +e e +e 3 + e +e 3 X) e +e 3 + +e +e 3

4 Queão 4. pono) Conidere o problema de valor inicial dado por: x )+3x) = 3u) x) = Marque a alernaiva que correpondem repecivamene a L{x)} e x): X) +3 e 3 +e 3 X) e 3 +e 3 +e 3 e 3 Queão 5. pono) Marque a alernaiva que correpondem repecivamene a L{ co)} e L{e co)}: +) +) + X) +) + +) [ +) ] + [ +) ] [ +) ] X) +) + + ) + ) + + +) + ) +

5 Queão 6.5 pono) A emperaura em um forno indurial evolui no empo conforme o eguine modelo implificado: u ) = u) T a )+q) q ) = T f u)) u) = 5 q) = 5 onde u) repreena a emperaura medida no forno, T a = 5 C é emperaura ambiene, T f = 5 C é emperaura de conrole, q) é a poência de aquecimeno. Ue a écnica da ranformada de Laplace para reolver o problema acima. a).5) Calcule a ranformada de Laplace U) = L{u)} e Q) = L{q)} e preencha o reângulo abaixo: U) = Q) = b).5) Calcule u) = L {U)} e q) = L {Q)} e preencha o reângulo abaixo: u) = q) = Repoa Tomando ranformada de Laplace, emo: U) u) = U) T ) a +Q) Q) q) = T f U) Subiuindo a conane, obemo: U) 5 = U) 5 ) +Q) Q) 5 = 5 U) Reagrupando o ermo: U)+) = 5 +Q)+5 Q) = 5 U)+5 Subiuindo a egunda equação na primeira, enconramo: equivalene a muliplicando ambo o lado por : U)+) = 5 + U) ++ ) [ 5 U)+5 = U) ++ ) = ] +5

6 Aim Porano 55 U) = ) = +) + 5 +) + 5 +) = ) Q) = [ ] 5 U)+5 = ) u) = 5 5e +7) q) = 5 5e +9)

7 Queão 7.5 pono) Reolva a eguine equação difero-inegral: Com y) =. y )+3y)+ SY) +3Y)+ Y) yτ)dτ = co) Y)+3+ ) = + = + Y) +3+) = + Y) = +) +3+) = +)+)+)) = aim: y) = 4 5 e + e + 3 co) en)