Total. UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma A /1 Prova da área IA

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1 UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Deparameno de Maemáica Pura e Aplicada MAT68 - Turma A - 6/ Prova da área IA Toal Nome: Regra Gerai: Não é permiido o uo de calculadora, elefone ou qualquer ouro recuro compuacional ou de comunicação. Trabalhe individualmene e em uo de maerial de conula além do fornecido. Devolva o caderno de queõe preenchido ao final da prova. Regra para a queõe abera: Seja ucino, compleo e claro. Juifique odo procedimeno uado. Indique idenidade maemáica uada, em epecial, ien da abela. Ue noação maemáica coniene. Idenidade: Carão: en(x = eix e ix i enh(x = ex e x (a+b n = j= ( n j a n j b j, co(x = eix +e ix coh(x = ex +e x ( n n! = j j!(n j! en(x+y = en(xco(y+en(yco(x co(x+y = co(xco(y en(xen(y Propriedade: Linearidade L{α +βg(} = αl{} +βl{g(} Tranformada da derivada 3 Delocameno no eixo 4 Delocameno no eixo 5 Tranformada da inegral 6 Filragem da Dela de Dirac 7 Tranformada da Dela de Dirac 8 Teorema da Convolução 9 Tranformada de funçõe periódica Derivada da ranformada Inegral da ranformada L { f ( } = L{} f( L { f ( } = L{} f( f ( L { e a } = F( a L{u( af( a} = e a F( L{u( a} = e a { } L f(τdτ = F( δ( ad = f(a L{δ( a} = e a L{(f g(} = F(G(, onde (f g( = f(τg( τdτ T L{} = e T e τ f(τdτ L{} = df( d { } L = F(d Série: x = x n = +x+x +x 3, < x < n= x ( x = e x = n= x n n! nx n = x+x +3x 3 +, < x < n= = +x+ x! + x3 +, < x < 3! ln( +x = ( n xn+ n+, < x < n= arcan(x = ( n xn+ n+, < x < n= en(x = ( n xn+ (n +!, < x < n= co(x = ( n xn (n!, < x < n= enh(x = coh(x = n= n= ( +x m = + x n+ (n+!, < x < x n (n!, < x < n= m(m (m n+ x n, n! < x <, m,,,... Funçõe epeciai: Função Gamma Γ(k = x k e x dx Propriedade da Função Gamma Função de Beel modificada de ordem ν Função de Beel de ordem I ν(x = Γ(k + = kγ(k, k > Γ(n+ = n!, n N m= J (x = ( m ( x m+ν m!γ(m +ν + ( m m= Inegral eno Si( = m! ( x en(x dx x m Inegrai: xe λx dx = eλx λ (λx +C ( x x e λx dx = e λx λ x λ + λ 3 +C x n e λx dx = λ xn e λx n x n e λx dx+c λ xco(λxdx = co(λx+λxen(λx λ +C xen(λxdx = en(λx λxco(λx λ +C

2 Tabela de ranformada de Laplace: F( = L{} = L {F(} n, (n =,,3,... n (n!, 3 π, π k, (k > k Γ(k a ( a e a e a ( a n, (n =,,3... (n! n e a ( a k, (k > Γ(k k e a ( a( b, (a b a b ( a( b, (a b a b (e a e b (ae a be b +w w en(w +w co(w a a enh(a a coh(a ( a +w w ea en(w a ( a +w ( +w ( +w e a co(w w( co(w w 3(w en(w ( +w w 3(en(w wco(w ( +w w en(w ( +w w (en(w+wco(w ( +a ( +b, ( 4 +4a 4 ( 4 +4a 4 ( 4 a ( 4 a 4 (a b b a (co(a co(b 4a 3[en(acoh(a co(a enh(a] a en(aenh(a a 3(enh(a en(a a (coh(a co(a F( = L{} = L {F(} a b e a π 3(eb +a +b +a ( a 3 ( a k, (k > e (a+b a b I J (a π e a (+a π k Ik Γ(k a (a e k, (k > J ( k e k co( k π e k 3 π enh( k 37 e k k, (k > k π 3e 4 38 ln( ln( γ, (γ,577 a 39 ln (e b e a b ( +w 4 ln ( co(w ( a 4 ln ( coh(a 4 an ( w en(w 43 co ( Si( ( a anh ( a a anh w ( +w ( e w π Onda quadrada {, < < a =, a < < a f(+a =, > Onda riangular = a, < < a +, a < < a a f(+a =, > Reificador de meia onda en(w, < < π w = π, w < < π w ( f + π =, > w w ( π Reificador de onda complea +w coh w = en(w a e a ( e a Onda dene de erra = a, < < a = f( a, > a

3 Queão (. pono A ranformada de Laplace da função u( é 3 ( 3e ( (X e e ( e Queão (. pono A ranformada de Laplace da função enh( é ln + (X + ln + ln e Queão 3 (. pono Sabendo que L{} = F( é correo afirmar que d F( d d F( d d F( d d F( d (X d F( d = L{} = L{} = L{} = L{ } = L{ } d F( = L{f (} d Queão 4 (. pono Conidere a função f : R + R dada no gráfico abaixo:

4 A ranformada de Laplace da função é e +e +e 3 e 5 e +e +e 3 e 5 (X e +e +e 3 e 5 e +e +e 3 e 5 e +e +e 3 e 5 Queão 5 (. pono Dado que aifaz a equação enão a ranformada de Laplace de f é (X F( = (+ F( = F( = ( + ( +e e τ f(τdτ = enh( F( = F( = + F( = Queão 6 (. pono Conidere a função F( = e k a+b para conane a e b reai, +c+d c, k e d >. Marque qual gráfico abaixo ceramene NÃO pode repreenar a ranformada invera da função F(. 3 3 (X

5 Queão 7 (. pono Conidere a funçõe = u( + ( u( + ( 3u( 3 e g( = u(+( u( +( u( 3 a (. pono Eboce o gráfico de f, g, f e g. b (. pono Calcule L{}, L{f (}, L{g(} e L{g (}. Solução: a f ( g( g ( b L{f (} = e +e 3 L{} = e +e 3 L{g (} = e +e 3 +e 3 L{g(} = e +e 3 +e 3 Queão 8 (. pono Conidere o ocilador harmônico onde w é uma conane poiiva. y +4y = en(w y( = y ( = a (. pono Reolva o problema de valor inicial para w =. b (. pono Reolva o problema de valor inicial para w. Solução: a Uamo a ranformada de Laplace para reolver o PVI: Y( y( y (+4Y( = Y( = Y( = +4 ( +4( +4 ( +4

6 Pelo iem da abela, emo: y( = 8 (en( co( b Uamo a ranformada de Laplace para reolver o PVI com w : Y( y( y (+4Y( = Pelo iem da abela, emo: w Y( = Y( = w +w w ( +4( +w w (w w 4 w +w y( = en(+ en(w (w 4 4 w