Transformada inversa de Laplace

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1 Sinai e Siema - 6 Tranformada invera de Laplace Já foi ará apreenada a expreão que define a ranformada invera de Laplace. Ee inegral pode er de reolução complicada. Exiem méodo expedio de ober a ranformada invera. Vamo aqui apreenar um baeado na expanão em fracçõe imple. Méodo da expanão em fracçõe imple Aume-e que a ranformada de Laplace eá repreenada por uma razão de polinómio, o que ocorre empre para a funçõe que no ineream no âmbio da engenharia. m m m m m m... m m... n n an... a a n n N b b b b b b b b X D p p... p Rogério Largo Seúbal 999 6

2 Sinai e Siema - 7 Pólo ão odo diferene p i p j e i j. Em geral n>m io é há mai pólo que zero pelo que X pode er ecrio como uma oma de ermo em cujo denominador apena exie um pólo fracçõe imple: A A An X... p p p A k é o reíduo de X no pólo p k. k A p k N D p k n Da abela: Ae k p k TL Ak p k Rogério Largo Seúbal 999 7

3 Sinai e Siema - 8 Exemplo: Ober x a parir da ua ranformada de Laplace X 5 A A A X O reíduo no pólo {-;-;-} obém-e da eguine maneira: 5 5 A A A Enão X expandido em fracçõe imple e a ua ranformada invera ão: 7 6 TL X x e 7e 6 e u Rogério Largo Seúbal 999 8

4 Sinai e Siema - 9 Pólo de ordem múlipla Cao exiam pólo de ordem uperior à primeira vário pólo iguai aparecem no denominador da função ermo do ipo i r. Exemplo: N A A B B B r X... r r r O pólo com muliplicidade r em r reíduo que e calculam da eguine forma: B X r Noar que X d B X r d d r d B X... r r d Br X! d r r N r Expreão genérica para o reíduo. Rogério Largo Seúbal 999 9

5 Exemplo: Ober a ranformada invera de X X A A A B B A ; X B Pólo riplo S - B viram: B d d Noar que Sinai e Siema -. Aim o reíduo B, B e B Rogério Largo Seúbal 999

6 Sinai e Siema - B d d d d 4 A expanão em fracçõe imple e a ranformada invera vem: X TL x e e e u Rogério Largo Seúbal 999

7 Sinai e Siema - Pólo de complexo conjugado Pólo complexo conjugado ocorrem em pare complexo conjugado: S S * Na expanão em fracçõe imple, o reíduo A e A * ambém ão complexo conjugado: [ ] A e A e u N A * A TL * * * * Rogério Largo Seúbal 999

8 Sinai e Siema - Rogério Largo Seúbal 999 Exemplo: j j F α α α α α α α α α α α α α α j j j j j j A F j j A

9 Sinai e Siema - 4 Rogério Largo Seúbal [ ] [ ] [ ] in co 4 / u e e f u TL TL F TL u TL F TL TL TL F TL F

10 Sinai e Siema - 5 Reolução de equaçõe diferenciai Aplicação da ranformada de Laplace à reolução de equaçõe diferenciai: Tomando a equação diferencial eguine com a condiçõe iniciai dada: d x dx d d x 5u x x Aplicando ranformada de Laplace a ambo o membro: S X S Sx x SX S x X S S 5 S S X S S S 5 S X S 5 Enão: S S S S Para ober a expreão emporal de x é ó calcular a ranformada invera. Rogério Largo Seúbal 999 5

11 Sinai e Siema - 6 Repreenação de Fourier do Sinai O eudo de inai e iema uando repreenação inuoidal é deignado por análie de Fourier Joeph Fourier, A repreenação de Fourier a aplicar depende da clae do inai. A abela apreenada abaixo mora ea relação: Tabela Relaçõe enre a propriedade no empo do inai e a repreenação de Fourier adequada. Propriedade emporal Periódico Não Periódico Coninuo Série de Fourier Tranformada de Fourier Dicreo Série Dicrea de Fourier Tranformada Dicrea de Fourier Rogério Largo Seúbal 999 6

12 Sinai e Siema - 7 Tranformada de Fourier Sinai não periódico em empo conínuo Uma apreenação da ranformada de Fourier pode er feia como um limie da erie de Fourier quando o período ende para infinio. Definição de ranformada de Fourier: jw X jw x e d Tranformada de Fourier Eq. de análie jw x X jwe dw π Tranformada invera de Fourier Eq. de ínee TF x X jw Xjw decreve o inal x como uma função de frequência w e deigna-e como a ua repreenação no domínio da frequência. Rogério Largo Seúbal 999 7

13 Sinai e Siema - 8 Condiçõe de convergência: Condiçõe para garanir que Xjw é finio é que x eja de quadrado inegrável io é que enha energia finia: x Uma condição equivalene é eabelecida e x for aboluamene inegrável: d x d < < e iver um número finio de deconinuidade e de máximo ou mínimo locai em qualquer inervalo finio, e ea deconinuidade forem finia. Rogério Largo Seúbal 999 8

14 Sinai e Siema - 9 Tranformada de Fourier de inai báico Função exponencial: a x e -a u, a> a jw a jw a jw e X jw e u e d e d, a > a jw a jw Xjw é uma função complexa. Pode er repreenado em módulo e fae: j X jw w X jw X jw e, X jw, X jw g a w a x Xjw Fae de Xjw Rogério Largo Seúbal 999 9

15 Sinai e Siema - b x e -a u, a> x a jw ajw a jw X jw e e d e d e d a, a > a jw a jw a w - - Nee cao Xjw é real. Noa: - Em a e b, e a for complexo o reulado é o memo. Apena a condição erá Re{a} >. Impulo de Dirac: x δ jw X jw δ e d Noar que δ para e que e j. δ Rogério Largo Seúbal 999 Xw w

16 Sinai e Siema - Função recangular:, < T x, > T jwt jwt jw T jw jw jwt jwt en wt. e e en wt T w j w wt X jw x e d e d e e T É uma função da forma en x x, deignada por incx Sincw enw/w Função recangular na frequência:, w < w X jw, w > w Aplicando a ranformada de Fourier invera: -T x T Rogério Largo Seúbal 999

17 jw w jw w. jw jw jw jw x X jwe dw e dw e e π π π j w en w. e e en w π j π π w Sinai e Siema - Deve alienar-e aqui a dualidade enre a dua funçõe aneriore: Um recângulo num domínio correponde a uma função inc no ouro. É uma conequência do princípio da dualidade que e enunciará mai à frene. Noa. A função inc, numa formulação exaca, é definida da eguine maneira: en πθ inc θ πθ. Dea forma a ua paagem por zero verificam-e no pono θ ±, ±, ec. Rogério Largo Seúbal 999

18 Sinai e Siema - Sinuóide: jw jw TF π TF{cow } in w e e [ δ ww δ w w] π j j w jw jw TF co w e e πδ [ w w δ w w] -w w Como é conhecido a funçõe inuoidai conêm uma única frequência. Logo era de eperar que a ua repreenação em frequência dee cona dee faco. Em ambo o cao obiveram-e Dirac localizado em ±w apena diferindo na fae. Rogério Largo Seúbal 999

19 Sinai e Siema - 4 Tabela Tranformada de Fourier de funçõe elemenare Função emporal x e -a u Tranformada de Fourier Xjw a jw e -a Re{a}> a Re{a}> a w Noa e -a u a jw Re{a}> δ Dela de Dirac δ- exp-jw Dela araado rec Tincw T T Função recangular w inc w π w rec Função recangular na frequência w Rogério Largo Seúbal 999 4

20 Sinai e Siema - 5 π enw [ δ w w δ w w] Função eno j [ w w δ w w ] cow π δ Função coeno expjw πδw-w Exponencial complexa Propriedade da ranformada de Fourier Uando funçõe imple cuja ranformada podem er conulada em abela e recorrendo à propriedade que e enunciam a eguir podem ober-e facilmene a ranformada de funçõe mai complicada. i. Linearidade TF{x} Xjw TF{y} Yjw TF{axby} axjw byjw Rogério Largo Seúbal 999 5

21 Sinai e Siema - 6 ii. Delocameno no empo TF{x} Xjw TF{x- } exp-jw Xjw A demonração é imple recorrendo a uma mudança de variável: τ - : jw jw τ jw jwτ jw TF x x e d x e d e x e d e X jw { } τ τ τ τ iii. Delocação na frequência Modulação TF {x} Xjw TF{xexpjw }Xjw-w O epecro do inal que e enconrava em redor da origem é delocado para w. Fazendo o produo for por inuóide, recorrendo à fórmula de Euler obéme: TF{ x en w } X j w w X j w w j TF{ xco w } X j ww X j w w Rogério Largo Seúbal 999 6

22 Sinai e Siema - 7 iv. Diferenciação e Inegração TF {x} Xjw TF{x } jwxjw e TF{x n } jw n Xjw Também { } TF x τ dτ X jw πx j δ w jw v. Ecalonameno no empo e em frequência jw TF TF{x} Xjw { x a } X a a, a real não nulo. Fazendo a -, ambém e obém: TF{x-}X-jw Se a > emo uma compreão na ecala de empo de que reula um expanão na frequência e vice-vera. Rogério Largo Seúbal 999 7

23 Sinai e Siema - 8 vi. Conjugado Sendo: TF{x} Xjw enão: TF{x* } X* -jw, Noe-e que : * jw jw X jw x e d x* e d rocando w por -w fica: * * { } jw X jw x* e d TF x*, c.q.d. - Propriedade do conjugado imérico: Se x for real enão x* x, X*-jw Xjw. X-jw X*jw. Conequência : Xjw é uma função par e Fae[Xjw] é impar: X-jw X-jw e jφ-w e X*jw X*jw e -jφw Sendo Xjw X*-jw Xjw X*-jw e Φ-jw -Φjw De igual modo e vê que Re{Xjw} é par e Im{Xjw} é impar. Rogério Largo Seúbal 999 8

24 Sinai e Siema - 9 Exemplo: Função real: x e -a u, a> X jw a jw X jw X * jw porano: a jw, como e eperava. - Conequência da propriedade do conjugado imérico a x real e par enão ambém Xjw é real e par: x x- X-jw Xjw b x real e impar enão Xjw é imaginária pura e par: x -x- X-jw -Xjw e Xjw Im[Xjw] c Separando x na ua componene par e impar, aendendo a a e b, eremo: x x P x I logo TF{x} TF{x P } TF{x I } Pelo que: TF{x P } Re[Xjw] e TF{x I } Im[Xjw] Rogério Largo Seúbal 999 9

25 Sinai e Siema - 4 Exemplo: Função real e par: x e -a, a>, a jw [ ] a Re[ ] a jw a w { } c.q.d x Par[e -a u] {[e -a u e a a TF u-]/}, { e u } { a } a TF Par e u TF e logo vii. Princípio da dualidade Sendo: TF{x} Xjw enão: TF{X} π x-jw Exemplo: Calcular TF. a a Sabemo que: FT { e } a w. A noa função no empo aemelha-e a ea ranformada com a, io é: TF { e } w. w TF Pelo princípio da dualidade obém-e: πe Rogério Largo Seúbal 999 4

26 viii. Convolução Definição da convolução de x com h: x* h x τ h τ dτ Ea propriedade eabelece que : TF{x*h} XjwHjw Sinai e Siema - 4 ix. Relação de Pareval Eabelece que a energia do inal x pode er calculada a parir da ua ranformada: x d X w dw π Rogério Largo Seúbal 999 4

27 Sinai e Siema - 4 Tabela Propriedade da ranformada de Fourier Função emporal Tranformada de Fourier x Xjw Noa a x a y a Xjw a Yjw Linearidade x- exp-jw Xjw Delocameno no empo xa jw X a a Ecalameno no empo x * X * -jw Conjugação x- X-jw Reflexão no empo jw Xjw-w Modulação e x n d x n d x jw n Xjw Derivação dx jw Derivação na j dw frequência Rogério Largo Seúbal 999 4

28 x τ dτ X jw πx j δ w Inegração jw X πx-jw Dualidade x*y XjwYjw Convolução no empo xy x d Sinai e Siema - 4 Xjw*Yjw Convolução na π frequência X w dw π Relação de Pareval Rogério Largo Seúbal 999 4