Análise de Sistemas Lineares

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1 Aáli d Sima iar Dvolvido plo Prof Dr Emilo Rocha d Olivira, EEEC-UFG, 6 Traformada d aplac A ididad d Eulr dfi uma rlação r o ial xpocial o iai oidai a forma ± j = co ( ) ± j ( ) N cao, é dfiido como a frqüêcia do ial m radiao por gudo Admiamo qu xia uma frqüêcia complxa = σ ± j Aim, criamo o ial xpocial ( σ± j ) σ σ Dvolvdo ial, obmo = = co ( ) ± j ( ) Dizmo qu σ é o faor d amorcimo é a frqüêcia do ial Dado um ima TI com rpoa ao impulo h(), o qu acoc com ima quado ua rada é o ial j x () =? Como havíamo fio ariorm para o ial priódico, calculamo a covolução r x() h(): y ( τ) () h() x() = h( τ) x( τ) dτ = h( τ) Dfiido H () h() τ y = dτ τ = d () = H ( ) τ, obmo: y() h( τ) τ = d Cocluímo qu y() m a mma forma d oda o mpo qu o ial x(), poi H() ão dpd do mpo A fução H() m impora aplicaçõ a Egharia Elérica rá udada mai ard O qu o ira agora, é qu um ial gérico x() qu ão é priódico lva a uma rpração mlha à raformada d Fourir, udada m aula paada Em uma forma mai práica para o propóio da diciplia, dado um ial qualqur x(), dfiimo ua Traformada d aplac () pla igral: () = x() d Na quação, o ímbolo idica qu icluímo dcoiuidad impulo o ia = Aim, criamo um par d raformada d aplac, ormalm idicado m uma da forma a guir: = x x { } { } ( ) ( ) ( ) = ( ) x( ) ( ) Exmplo Drmi a raformada d aplac do ial x ( ) = ( ) Solução Uilizado a dfiição da raformada d aplac: ( + ) ( + ) () = () = = = x d d d + Sabmo qu é um úmro complxo N poo, prciamo o crificar qu a par ral d ( + ) ja mor qu zro, cao corário, a igral ão pod r avaliada quado Eão, crvmo: () = ( ) () = + + Com R() > Em gral, para um ial qualqur x( ) a = ( ) Ecoramo ão o par d raformada d aplac: () a + a, coramo (), ( ) > a R + a τ = dd qu ( ) > a R 85

2 O fao d obrmo rriçõ ao valor d o úlimo xmplo idica qu dvmo r um cro cuidado o cálculo da raformada d aplac A rriçõ obida o cálculo da raformada dlimiam uma rgião o plao complxo Ea rgião é chamada d rgião d covrgêcia, algu auor abrviam por RDC Iluramo a x a = figura a guir a RDC do ial () ( ) Exmplo Drmi a raformada d aplac do ial coa x( ) K ( ) = Solução Uilizado o par d raformada do úlimo xmplo, mo a = Porao, coramo: K K (), R ( ) > A RDC do ial m quão é morada a guir Exmplo Drmi a raformada d aplac do ial impulo x( ) δ( ) Solução Uilizado a dfiição, mo: () = δ() d = = = Eão, mo um ovo par d raformada: A RDC é odo o plao complxo δ ( ) j Exmplo Drmi a raformada d aplac do ial x( ) = ( ) Solução Aplicado a igral: j ( j ) ( j ) () = d = d = j Aqui, prciamo garair qu R () > () = = j Aim, ficamo com o par: + j Na codição, drmiamo: + j = ( j ) ( + j ) j () + j, R ( ) > O cálculo da raformada ivra d aplac rá fio aravé d uma abla, uilizado par d raformada cohcido A razão dio é qu o cálculo diro da raformada ivra volv igração o plao complxo, o qu fog ao copo d oa diciplia 86

3 Propridad da raformada d aplac A propridad da raformada d aplac ão fudamai para qu hamo uma aplicação fici m Egharia Elérica Para rlmbrar, crvmo a rlação r x() () a guir: { } = x() () = x() Propridad da liaridad Sjam doi iai x () x (), do quai cohcmo a raformada d aplac () (), rpcivam Par o ial z() dado pla combiação liar d x () x (), ou ja, = C x + C x, obmo: () () () () Z z { } = () = { C x () + C x ( ) } = C ( ) + C ( ) z d j Exmplo Já drmiamo o par () + j j = co ( ) + j ( ) Aim, mo o doi par d raformada: co ( ) ( ) ( ) ( ), R ( ) >, R ( ) >, R () > Porém, Propridad do dlocamo o mpo Dado o par x( ) ( ) mpo x( ) m raformada (), dd qu > Sja o ial dlocado z() = x( ) Tmo qu: Z () = z() d = x( ) Criado uma ova variávl d igração τ =, vm: Z ( τ+ ) τ () = x() τ dτ = x() τ dτ = () d, podmo morar qu o ial dlocado o Eão, ablcmo a propridad: x( ) ( ) Em palavra, o dlocamo à diria do ial x() produz uma muliplicação m frqüêcia por xpocial Exmplo Drmi a raformada d aplac do ial pulo ragular dlocado () T x = rc T Solução O gráfico do ial aaliado é morado a guir E ial pod r dcompoo pla oma d doi iai diio, coform morado a guir: Eão, mo qu x() = u() u( T ) crvmo ( ) x( ) { } = { u( ) u( T ) } = 87

4 Aplicado a propridad da liaridad ( ) u( ) K Cohcmo o par K () a propridad do dlocamo, K ( T ) { } { u( T ) } = N xmplo, K =, drmiamo o primiro rmo d () Aplicado T K Porao: T () = A RDC da raformada do ial dlocado x( ) é a mma RDC do ial u() Aim, mo um ovo par: T T rc T, R ( ) > Propridad do dlocamo a frqüêcia Ea propridad ablc qu: x ( ) ( ) a Exmplo Drmi a raformada d aplac do ial oidal amorcido x( ) ( ) ( ) Solução Eboçamo o gráfico do ial x() a guir = co u Dado o par co( ) ( ) obmo o par, R ( ) >, aplicamo a propridad d ralação m frqüêcia + a a co( ) ( ), R ( ) > a ( + a) Erao, ial pod aida r coidrado como a par ral do ial a+ j a a z = = co + j () ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) Aim, a parir da ididad do par ( ) ( ) raformada: a ( ) ( ), R ( ) > a ( + a) Propridad da difrciação o domíio do mpo Sja o par x( ) ( ) da drivada d x() é calculada por: () () d x d x = d d d Igrado por par, drmiamo: d x() = x d () + x() d = lim x() Aumido qu () xi, implica qu x( ) () () x( ) [ ] lim = { [ ] x( )} + (), R ( ) >, obmo um ovo par d Eão, a raformada d aplac Aim, ficamo com a propridad da difrciação: d x = d E rulado idica qu opraçõ d difrciação o domíio do mpo ão raformada m opraçõ algébrica o domíio Para a drivada d ordm, obmo: 88

5 () d x = () x( ) x ( ) d Eddo o rulado para a drivada d ordm : d x() = x x d ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x Exmplo Drmi a rpoa do circuio TI a guir ao ial d ão v() aplicado d i d v Solução A quação difrcial qu rg o circuio é + i() = Coidrado ulo o 6 d 5 d valor iiciai d i() v() aplicado a raformada d aplac ao doi lado da quação, drmiamo: I() + I() = V () I() = V () Para corar V(), vrificamo qu v ( ) = { u(,) u(,) } Sabmo qu { () } = Aplicado a propridad do dlocamo o mpo, mo qu,, { (,) (,) } = [ ] Subiuido a xprão d I():,, I() = [ ] + 4 Colocado o faor m vidêcia o domiador d I(), chgamo a:,, I() = Aqui, abmo qu = () A muliplicação d + I() produz um dlocamo o mpo do ial ( ) (,) (, ) i() = 5 (,) 5 (,) O gráfico d ial é morado a guir ( ) + () Eão, obmo d forma dira: plo rmo xpociai m Propridad da igração o domíio do mpo Para o par d raformada x() () dmorar qu: x τ () dτ = (), podmo 89

6 Propridad da difrciação o domíio Sja o par x( ) ( ) ivra d aplac da drivada d () rlacioa com x() por: d () ( ) x d D uma forma gral: d ( ) ( ) () x d Podmo dmorar qu a raformada Exmplo Drmi a raformada d aplac do ial rampa uiária Solução O ial rampa é dfiido por r( ) = ( ) Dada a propridad d difrciação o domíio dado qu qu u() d, ão: () = d Porao, mo qu (), com R ( ) > Uma forma alraiva d calcular a raformada é vrificar qu r() = () = u( τ) dτ Eão, uilizado a { } = propridad da igração o mpo: u() τ dτ = u() τ Propridad d mudaça d cala Coidrado o par cohcido x( ) ( ), com R () > σ dmorar qu: x a a ( a ), com R ( ) > a σ, é poívl 9