TRANSFORMADA DE FOURIER

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1 8 RASFORMADA DE FORIER 8. IRODÇÃO o sdo da rprsação d siais m difrs bass comço-s por aalisar siais priódicos, dcompodo-os, iicialm, m somaório mrávl d cissóids, o q gro a séri xpocial d Forir, posriorm, m somaório d sisóids, o q gro a séri rigoomérica d Forir. O domíio das difrs rprsaçõs do sial foi smpr o dos mpos. Vamos, agora, rprsar m sial, priódico o ão, como ma soma coía igral o discra séri d xpociais, mas mdado d domíio, o sa, o vcor é o msmo, mas o domíio d rprsação dixa d sr o dos mpos. Para ss obcivo, aplicarmos o procsso gral d dcomposição, a fim d s obr a dcomposição d qalqr ipo d sial o q s chama a rasformada d Forir. Após, vrmos q a séri d Forir pod sr cosidrada m caso pariclar da rasformada, m q s maém o domíio dos mpos como rfrcial fdamal, mas os vcors d bas passam a sr as cissóids o as sisóids.

2 oria Vcorial do Sial 8. OVO REFERECIAL A rasformada d Forir prmi fcar a rprsação d siais vcors o domíio das frqêcias, cohcdo-s a rprsação do sial o domíio dos mpos. Esa passagm para o domíio das frqêcias é ralizada pla dsigada rasformada d Forir dirca. A opração ivrsa, a passagm do domíio das frqêcias para o dos mpos é ralizada pla rasformada d Forir ivrsa. Os vcors d bas o domíio das frqêcias são xpociais complxas,, aálogas às da séri, mas od é agora ma variávl coía. Para vrificação da orogoalidad das cissóids, calclmos o prodo scalar,, lim lim lim s lim sc d d 8. D modo a comprdr sa xprssão, podmos vrificar pla figra 8. q ora forma d dfiir o implso d Dirac cosis m cosidrar o limi da fção so cardial, sdo τ o parâmro d corolo. δ lim f τ τ lim sc τ τ f τ τ τ 8. τ Fig. 8. Fção so cardial para aproximação ao implso d Dirac.

3 rasformada d Forir 3 S, como habialm, cosidrarmos /, fazdo vai implicar q. Erado com s rslado a qação 8., obém-s, lim sc δ 8.3 Cocli-s, assim, q das cissóids, d frqêcia difr, são orogoais, dado q, δ δ 8. Es rfrcial difr do rfrcial da séri d Forir, ma vz q, mbora sa orogoal, ão é oroormado. 8.3 RASFORMADA DIRECA A rasformada d Forir é a opração q prmi obr as compos d m sial, priódico o ão, m dois domíios difrs, sado as cissóids para rlacioar sss domíios. Sgido o procdimo gral d composição, a figra 8. mosra a aproximação d m sial à dircção. C Fig. 8. Compo d m sial a dircção das cissóids. O cofici d corrlação é, C, δ d 8.5 do m coa.36, a variávl pod-s cosidrar δ 8.6 d

4 oria Vcorial do Sial Dfiido com 8.6, a xprssão 8.5 fica d 8.7 C δ d 8.8 oar q o cofici d corrlação m ma amplid ifiisimal, á q o igral m, m gral, m valor fiio. Para prcbr o rslado d 8.8 cosidrmos ma fção priódica, q pod sr, por xmplo, a oda rcaglar da figra Fig. 8.3 Oda rcaglar. Os coficis da séri d Forir rfrs à fção da figra 8.3 são C s sc 8.9 Para, a figra 8.a mosra o spcro do sial. S 8, como s vrifica pla figra 8.b, o úmro d lihas do spcro ama para o dobro, rlaivam ao caso arior, a amplid rdz-s para mad. S amar para ifiio, a amplid d C rdz-s a m ifiiésimo a disâcia r lihas do spcro d para zro, cofirmado o rslado d 8.8. S mliplicarmos C por, obêm-s as figras 8.c 8.d, smlhas às figras 8.a 8.b, rspcivam, mas com a amplid idpd do príodo da fção. S amar para ifiio, a disâcia r lihas do spcro d para zro a fção discra C d para a fção coía, dfiida por, como mosra a figra 8.5.

5 rasformada d Forir 5 C a b / C / c C d C Fig. 8. Espcro da oda rcaglar: a C para ; b C para 8 ; c C para ; d C para. Fig. 8.5 Fção obida como limi dos coficis da séri d Forir. Do rslado arior, rira-s q lim C lim C C d 8. q é o msmo rslado q o aprsado m 8.8. A rasformada d Forir dirca é, por cosgi, dfiida plo sgi igral: d 8.

6 6 oria Vcorial do Sial O sial é dcomposo a bas formada plas cissóids, prmiido passar da rprsação o domíio dos mpos para a rprsação o domíio das frqêcias, [ ] 8. Esa passagm do sial para a ova rprsação, o ovo domíio, dsiga-s por rasformada d Forir dirca. 8. RASFORMADA IVERSA A passagm ivrsa do domíio das frqêcias para o domíio dos mpos, prmiido a rcpração do sial, é obida pla soma igral d odas as compos. Da xprssão da séri, dfiida por 7., como as dircçõs são ifiisimalm próximas, a soma ir-s-á rasformar o igral, dod lim C C d ficado a xprssão para a rasformada ivrsa 8.3 d 8. Esa opração, q prmi passar a rprsação do sial do domíio das frqêcias para o domíio dos mpos, [ ] dsiga-s por rasformada d Forir ivrsa COVERGÊCIA DA RASFORMADA DE FORIER D modo idêico à séri, vai-s ciar as codiçõs d Dirichl d xisêcia do igral o rasformada d Forir. Esas são as codiçõs q ma fção m q saisfazr para q a sa rasformada xisa, iso é, o igral 8. sa covrg.

7 rasformada d Forir 7 A qsão da xisêcia d rasformada pod sr igorada qado a fção a rasformar é ma dscrição prcisa d ma qaidad física. o ao, é covi sbsiir ma qaidad física por ma fção mamáica mais simpls. Como xmplo, m-s a fção sisoidal, q mamaicam é dfiida m odo o irvalo da fção, qado a ralidad fisicam só pod omar valors para mpos posiivos. Oros xmplos são o implso d Dirac o dgra d Havisid. Rigorosam, hm dss xmplos m rasformada d Forir, o sa, o igral ão covrg para odos os valors d. Codo, hm dls xis fisicam. Dsa forma, é apas d imporâcia práica cosidrar as codiçõs d xisêcia da rasformada. As codiçõs d xisêcia da rasformada são: i A fção é absolam igrávl s xisir m valor M, al q M d d 8.6 raa-s d ma codição sfici para a xisêcia da rasformada d Forir ão d ma codição cssária. D faco, como d 8.7 a codição arior sigifica afirmar sr o spcro limiado spriorm m módlo. Ora, há casos, omadam o dos siais priódicos, m q o igral xis sm q a dsidad spcral sa limiada. ii A fção dv r m úmro fiio d máximos d míimos dro d qalqr irvalo fiio. m xmplo d fção q ão cmpr s rqisio é s/, aprsada a figra 8.6. s/ Fig. 8.6 Fção com m úmro ifiio d máximos m irvalo fiio. iii A fção dv r m úmro fiio d dscoiidads dro d qalqr irvalo fiio. m xmplo d fção q ão cmpr s rqisio é a fção aprsada a figra 8.7, m q cada pdsal rdz-s, scssivam, para mad da amplid para mad da dração.

8 8 oria Vcorial do Sial / / /8 Fig. 8.7 Fção com m úmro ifiio d dscoiidads m irvalo fiio. Como foi rfrido, os siais fisicam ralizávis, corados o sdo d siais sismas, saisfazm sas codiçõs podm, porao, sr rprsados pla rasformada d Forir. Exmplo 8.: Drmiar a rasformada d Forir do pdsal, rprsado a figra 8.8. P - Fig. 8.8 Fção pdsal. Da dfiição d rasformada d Forir m-s q [ P ] P d s sc d 8.8 A figra 8.9 mosra o rslado.

9 rasformada d Forir 9 [P ] Fig. 8.9 rasformada do pdsal. A rasformada d Forir ds sial, d dração limiada os mpos, sds ilimiadam as frqêcias, propridad comm a odos os implsos o siais d rgia. Exmplo 8.: Drmiar a rasformada d Forir d m implso d Dirac. D 8. m-s q [ δ ] δ d 8.9 Dsa forma, o implso d Dirac m por rasformada a fção cosa, como s visaliza a figra 8.. δ Fig. 8. rasformada do implso d Dirac. [δ] Exmplo 8.3: Drmiar a rasformada d Forir do sial aprsado a figra 8.. x α x h, α > H Fig. 8. Expocial dcrsc. ilizado a xprssão 8., obém-s

10 oria Vcorial do Sial X x α + α + α + d d arg α α α + α + d 8. O spcro do sial x, m módlo fas, é aprsado a figra 8.. oar o q foi mcioado para a séri d Forir: q siais rais êm spcro com módlo par fas ímpar. Mais adia irmos comprovar s rslado para a rasformada d Forir. a X b arg[x] Fig. 8. Espcro do sial rfr à figra 8.: a módlo; b fas. Exmplo 8.: Drmiar a rasformada d Forir ivrsa do sial da figra 8.3, dfiido plo s módlo fas. arg[] - Fig. 8.3 Sial para o xmplo 8.. ilizado a xprssão 8., m-s q

11 rasformada d Forir d d + A figra 8. aprsa o sial os mpos. + cos d 8. Fig. 8. Sial co spcro é o aprsado a figra PROPRIEDADES Das dfiiçõs d rasformada dirca ivrsa podm-s ddzir as propridads mais imporas. Em algs siais, las srão m mio ficaz d s calclar a rasformada d Forir, sm r q s rcorrr à dfiição. oras siaçõs, prmiirão simplificar mio do rabalho cssário ao cálclo da rasformada. D r as divrsas propridads da rasformada d Forir, vamos ddzir, a parir da xprssão 8., das propridads spciais: a liaridad a rasformada d Forir do implso d Dirac. Dsigamo-las por fdamais o axiomáicas, porq, como vrmos, a parir dlas da rasformada do implso d Dirac pod-s obr 8. 8., o sa, as fórmlas d rasformação Liaridad S o sial m por rasformada d Forir, o sial m por rasformada, ão a + b a + b 8.

12 oria Vcorial do Sial iso é, a rasformada dma combiação liar d siais é a msma combiação liar das rasformadas d Forir dos siais. Para dmosrar s rslado, ilizmos a dfiição d rasformada d Forir, a [ a + b ] + b d a d + b d a + b 8.3 Coclido, a rasformada d Forir é ma opração liar Mdaça d Escala os mpos S m por rasformada d Forir, ão sdo a ma cosa ral. a 8. a a Para dmosrar 8., a dfiição da rasformada dirca, a a d 8.5 apliqmos a mdaça d variávl, a dod dd /a. Para a> fica q para a< m-s d a a a d 8.6 a a d a a a d a a Dss dois rslados vrifica-s q a a d 8.8 a a a Es orma mosra q, para além d ma alração d amplid, s alrarmos a scala o domíio dos mpos d m facor a, a scala o domíio das frqêcias vm alrada d m facor /a. É mais m xmplo da rlação ivrsa q xis r os dois domíios: mpo frqêcia.

13 rasformada d Forir 3 Exmplo 8.5: Drmiar a rasformada d Forir do pdsal, P, m q sofr ma mdaça d scala d a/. o xmplo 8. vrifico-s q P sc. D acordo com o orma da mdaça d scala, P sc 8.9 Es rslado cora-s rprsado a figra 8.5 mosra q o spcro é mais logo para m sial mais cro. P - P / - Fig. 8.5 Mdaça d scala raslação os mpos S m por rasformada d Forir, ão 8.3 Cosidrmos a dfiição da rasformada dirca a mdaça d variávl -, + d d 8.3 Dpois d rsolvr, rirado as plicas, obém-s d 8.3

14 oria Vcorial do Sial Exmplo 8.6: Drmiar a rasformada d Forir do implso d Dirac arasado d. Como a rasformada do implso d Dirac é, pla propridad arior m-s δ 8.33 o sa, a rasformada do implso d Dirac arasado corrspod a ma roação d fas a sa rasformada d Forir raslação as frqêcias S m por rasformada d Forir, ão 8.3 Cosidrado a dfiição d rasformada dirca, obém-s d d Simrias do Sial Sial Ral S o sial, com a rasformada d Forir, for ral, ão * * 8.36 Para o dmosrar, sa d d 8.37 apliqmos o complxo cogado * * d d * 8.38 Como é ral, m-s

15 rasformada d Forir 5 * d 8.39 Es rslado sigifica q m sial ral m m spcro com simria cogada módlo par fas ímpar, como á s iha vrificado os coficis da séri d Forir. Esa propridad, mio comm m gradzas do mdo ral, dsiga-s por simria cogada Sial Ral Par S o sial além d ral for par, vrifica-s a rlação: * * 8. Cosidrado 8.37, s fizrmos a mdaça d variávl -, obém-s d d 8. od s v m coa q a roca d sial da fção igral corrspod a rocar os limis d igração. S a for aplicado o complxo cogado, rira-s q * * * * d d d 8. Da rlação * cocli-s q s o sial for ral par a rasformada é ral,, como ambém s vrifica q -, a rasformada além d ral ambém é par sial ral par m spcro ral par Sial Ral Ímpar S o sial além d ral for ímpar, vrifica-s a rlação: * * 8.3 A dmosração dss rslados sg o msmo procdimo q o ilizado para o caso arior. Da rlação - * cocli-s q s o sial for ral ímpar a rasformada é imagiária, como ambém s vrifica q --, la é ímpar sial ral ímpar m spcro imagiário ímpar.

16 6 oria Vcorial do Sial Dalidad S m por rasformada d Forir, ão 8. Para o dmosrar ilizmos a dfiição da rasformada ivrsa, d d 8.5 S a úlima rlação fizrmos a roca das variávis por por, obém-s d 8.6 Es rslado diz q a rasformada da fção é -, ma vz q o q s obv foi fcivam a dfiição da rasformada dirca. Exmplo 8.7: Obr a rasformada d Forir da fção pdsal as frqêcias. A rasformada d m pdsal os mpos foi calclada ariorm, do sido obido o rslado [P ]sc. Cosidrado, agora, q a fção pdsal é dfiida as frqêcias, s a fção da rasformada do pdsal for dfiida os mpos, o sa,, a sa rasformada é -, sc P 8.7 A figra 8.6b aprsa a rasformada do so cardial. a - b - -

17 rasformada d Forir 7 Fig. 8.6 rasformada da fção pdsal: a pdsal os mpos rspciva rasformada; b pdsal as frqêcias rspciva rasformada ivrsa. Exmplo 8.8: Drmiar a rasformada d ma cosa, K, a rasformada d m implso d Dirac arasado as frqêcias. Sdo a rasformada d Forir do implso d Dirac a idad, δ, plo orma da dalidad m-s q δ 8.8 dado q δ é ma fção par. sado a propridad da liaridad, m-s K Kδ 8.9 A rasformada da cosa sá rprsada a figra 8.7. K K Fig. 8.7 rasformada d Forir da cosa. Qao ao implso d Dirac arasado as frqêcias, d 8.9, a rasformada ivrsa do implso d Dirac é Pla propridad da raslação as frqêcias, δ 8.5 δ 8.5 s xmplo, vê-s q m sial d dração ilimiada os mpos m xisêcia limiada as frqêcias Simrias da rasformação m coclsão irssa a irar da aplicação da propridad da dalidad é q a rasformação d Forir aprsa ma simria qarária, qado s xprim a frqêcia m Hrz m vz d radiaos por sgdo: [ ] 8.5

18 8 oria Vcorial do Sial sado s caso rprsado a forma gráfica a figra 8.8. f f -f f - Fig. 8.8 Simria qarária. Como mosra a figra 8.8, s rabalharmos com a rasformada d Forir a variávl f Hz m vz da variávl rad/s, a aplicação scssiva da rasformada d Forir qaro vzs codz ao sial origial. Para provar s rslado, a rasformada d Forir é aprsada a variávl f, fazdo a mdaça d variávl f. Para a rasformada dirca, a xprssão é f d f 8.53 do m coa q ddf,a rasformada ivrsa fica f f f df f df 8.5 D saliar como são siméricas as xprssõs das rasformadas dirca ivrsa qado xprssas as frqêcias f. A rasformada dirca é caracrizada pla cissóid ivrsa, -f, fção d pso da igração, qao para a rasformada ivrsa é a cissóid dirca, f. Efcivam, sas são as caracrísicas com q s vão disigir sas rasformadas. Passa-s dma rasformada à ora pla cogação da cissóid d pso da igração. a xprssão 8.5, qado s fca a roca do sial d m ambos os lados da igaldad, obém-s f f df 8.55 a igração passo a sr psada pla cissóid ivrsa, o q modifico a rasformada ivrsa m dirca. o ao, passo-s do domíio das frqêcias para o dos mpos, mas por forma difr da rasformada ivrsa. Iso vrifica a afirmação coida o ramo laral dirio da figra 8.8, o sa, aplicado das vzs a rasformada d Forir dirca a variávl f, obmos -. a xprssão 8.53, qado s roca o sial à variávl, obém-s f f d 8.56

19 rasformada d Forir 9 dado q, como é cssário rocar o sial a -d ivrr os limis d igração, as das rocas d sial do igral compsam-s. A sbsiição d f por -f dá f f d 8.57 Iso comprova a afirmação coida o ramo ifrior da figra 8.8. Fialm, s m 8.5 fizrmos a roca do sial m f, f f df 8.58 dpois d s rocar o sial a -df s ivrrm os limis d igração. Vrifica-s, dsa forma, a afirmação coida o ramo laral sqrdo da figra Covolção os mpos S o sial m por rasformada d Forir, o sial m por rasformada, ão 8.59 A dmosração dsa propridad passa por ilizar a dfiição d covolção, τ τ dτ d τ τ d dτ 8.6 O igral dro d parêss rco corrspod à rasformada d m sial arasado d τ, poddo-s ilizar a propridad da raslação os mpos, τ τ τ d dτ τ dτ τ τ dτ 8.6 Vdo d ora forma mio mais gral, qado ma rasformada faz corrspodr a idad à disribição d Dirac, δ, o sa, δ, à covolção faz corrspodr a mliplicação, 8.6 rciprocam. É o caso da rasformada d Forir, r oras, od s m a xprssão 8.6. Es faco pod comprovar-s com bas a figra 8.9.

20 oria Vcorial do Sial δ? δ? Fig. 8.9 rasformada da covolção. Como foi rfrido o capílo 6, a opração d covolção pod sr dfiida axiomaicam. S compararmos as propridads da comaividad, disribividad, associaividad lmo ro dfiidors da mliplicação com as da covolção, oa-s q apas o lmo ro o módlo é difr: δ a covolção, a mliplicação. Aplicado a rasformada d Forir às igaldads, δ δ 8.63 s dsigarmos por? a opração procrada m q s rasformará a covolção, obém-s?? 8.6 A opração procrada há-d sr a mliplicação algébrica ão a divisão, á q só s caso s vrificam ambém as igaldads 8.65 Como odos os axiomas são idêicos aos corrspods o caso da mliplicação podmos coclir, m rigor, q 8.66 raa-s d m orma gral: ambém é válido para rasformada d Laplac, aida oras, as qais ambém a rasformada d δ é a idad. A xprssão 8.59 é ma das mais imporas para aális d sismas, ma vz q a opração d covolção os mpos covr-s, a rasformada d Forir, ma opração d mliplicação. Como é mais fácil ralizar ma mliplicação d fçõs do q ma covolção, s y for a saída d m sisma liar ivaria o mpo LI, sa pod sr obida pla rasformada ivrsa da mliplicação das rasformadas do sial d rada do sisma da rsposa implsioal do msmo.

21 rasformada d Forir Cosidrado m sisma dfiido pla sa rsposa implsioal, como mosra a figra 8., H é a chamada fção d rasfrêcia do sisma, q é obida aplicado a rasformada d Forir à rsposa implsioal h, y x h Y X H 8.67 Esa propridad ambém é cohcida por orma da covolção. x X h H y Y Fig. 8. Saída d m circio, covolção da rada com a rsposa implsioal. Exmplo 8.9: Calclar a rsposa implsioal para o circio lécrico liar d impdâcia Z, aprsado a figra 8.. I Z Aplicado 8.67,, porao, o Fig. 8. Circio rprsado o domíio das frqêcias. com z a rsposa implsioal d Z. I Z 8.68 [ Z ] i 8.69 i z 8.7 Mias vzs, é mais fácil calclar a rsposa d m circio liar a ma rada gral i, ão dircam os mpos, mas fazdo a rasformada d Forir ivrsa do prodo r a rasformada d Forir do sial d rada a rasformada d Forir da impdâcia, [ I Z ] 8.7

22 oria Vcorial do Sial A xprssão 8.68 graliza, o domíio das frqêcias para qalqr forma d oda fisicam xis, a li d Ohm, bm cohcida para os circios d corr coía. Igalm, para o circio gral com ós, fcado ma aális maricial do circio, s a mariz [z] - [Z], r-s-á [ ] [ i ] [ z ] 8.7 dado q o igral d ma mariz é a mariz do igral dos ss lmos. ambém, [ ] [ I ][ Z ] 8.73 mos, assim, ma gralização aida maior da li d Ohm, od as marizs aparcm d forma codsada com ma rlação d xprssão simpls, do graças à propridad covolção-mliplicação Covolção as Frqêcias S o sial m por rasformada d Forir, o sial m por rasformada, ão 8.7 m q a xprssão da covolção as frqêcias é dada por w w dw 8.75 Pod-s dmosrar s orma sgido o msmo raciocíio sado a dmosração do orma da covolção 8.59, mas m rmos da rasformada ivrsa. Sabdo q δ 8.76 cosidrado?? δ δ 8.77 vrifica-s q a opração a fcar o domíio dos mpos m d sr:

23 rasformada d Forir 3 δ δ 8.78 D modo aálogo a 8.66, 8.79 Esa propridad ambém é cohcida por orma da modlação d amplid, ma vz q s pod ilizar m sial para modlar a amplid d oro. A figra 8. aprsa m modlo dsa opração. Fig. 8. Modlação d amplid. Exmplo 8.: Drmiar a rasformada d Forir do sial: x cos 8.8 S armos aplicar dircam a dfiição ao cálclo da rasformada ds sial rmos algmas dificldads. o ao, pod-s rcorrr à dcomposição, cos aplicar as propridads da liaridad da raslação as frqêcias a rasformada d Forir, dod Assim, A rasformada d 8.8 fica cos δ + δ x cos X [ cos ] 8.83 X [ cos ] X X δ + X + X + δ A figra 8.3 mosra o fio o sial x, ao sr mliplicado pla sisóid d frqêcia mais lvada q a máxima frqêcia do sial, fio ss, cohcido,

24 oria Vcorial do Sial como dissmos, por modlação m amplid. O spcro do sial é rasladado para a frqêcia da sisóid. a x X b x cos - Fig. 8.3 Mliplicação d m sial por ma sisóid: a sial origial a rspciva rasformada d Forir; b rasformada do sial mliplicado pla fção sisoidal. A mliplicação d siais com sisóids m aplicação dirca m lcomicaçõs, qado s prd fcar a rasmissão d vários siais, ao msmo mpo, m drmiado caal d comicação. Por xmplo, as várias saçõs d rádio ilizam o msmo caal d comicação q é a amosfra. Sm m procdimo apropriado, os vários siais d ádio somavam-s, ão havdo, o rcpor, hipós d os sparar figra 8. a. A modlação d amplid é m procsso d cosgir o obcivo proposo figra 8. b. m m + m a m caal m cos b m - - Filro c caal - - Fig. 8. Forma d rasmiir dois siais o msmo caal: a soma dos siais a rasmissão

25 rasformada d Forir 5 dirca; b mliplicação d cada sial por ma poradora; c rcpração d cada sial idividal. Assim, a figra 8.a aprsa-s a irfrêcia r siais m msmo caal, o q ocorr s os dois siais form somados dircam. ma forma d rsolvr o problma cosis m mliplicar cada m dos siais por ma sisóid d frqêcia difr, como mosra a figra 8.b, a qal é dsigada por poradora. Como rfrimos, sa opração é cohcida por modlação do sial m amplid. Os siais podm sr somados o mpo, porq as frqêcias é fácil spará-los, dsd q a difrça r as frqêcias das poradoras sa al q ão prmia a sobrposição dos msmos o spcro. A rcpração d cada sial idividal é fia aravés d m filro adqado, crado a frqêcia da poradora, como s obsrva a figra 8.c. As frqêcias das poradors são bm ossas cohcidas, qado sioizamos ma frqêcia ma sação d rádio m oda média rasformada da Corrlação S o sial m por rasformada d Forir, o sial m por rasformada, ão * Ο 8.85 do m coa a rlação r a corrlação a covolção, * Ο τ 8.86, Da rasformada da covolção, 8.59, m-s q * Ο [ ], τ 8.87 A rasformada d Forir do sgdo rmo dá * [ ] * * * d d d * 8.88 Com s rslado, obém-s * Ο 8.89 τ,

26 6 oria Vcorial do Sial o sa, a rasformada da corrlação dpois da sbsiição d τ por cosis a mliplicação do primiro sial plo cogado do sgdo Drivação os mpos S m por rasformada d Forir, ão d 8.9 d S drivarmos ambos os lados da xprssão da rasformada ivrsa m-s dod s cocli q d d d d d d 8.9 d 8.9 d Coiado a drivar ambos os lados d 8.9 chga-s ao rslado d 8.9. Codo, é cssário r algs cidados qado s prd aplicar sa propridad o cálclo d rasformadas d siais, como vai sr xmplificado d sgida. Exmplo 8.: Drmiar a rasformada d Forir do dgra d Havisid. Como é do cohcimo, a drivada do dgra d Havisid é o implso d Dirac. Vamos aplicar a propridad da drivação os mpos para drmiar a rasformada do dgra d Havisid. Pla xprssão 8.9, a drivada os mpos dh H /d, dá as frqêcias H H. Como dh H /dδ, podíamos psar q H H, como coclsão, q H H /. o ao, s rslado ão sá corrco. Podmos vr q coraria a propridad da simria 8.3 q diz q para m sial r ma rasformada pram imagiária, a sa rprsação os mpos dv sr ral ímpar, o q ão é o caso do dgra d Havisid, pois mbora sa ral ão m simria ímpar. Para rsolvr o problma vamos dcompor o dgra d Havisid as sas compos par ímpar, como mosra a figra 8.5. h H h Hi h Hp +

27 rasformada d Forir 7 Fig. 8.5 Compos par ímpar do dgra d Havisid. Comçado pla compo ímpar, do m coa 8.9, dhhi H i 8.93 d, como a drivada da compo ímpar ambém é o implso d Dirac, á s pod cosidrar q dh Hi δ H i 8.9 d ma vz q s caso a propridad da simria para siais rais ímpars, aprsada m 8.3, ão é corariada. Qao à compo par, do m coa a rasformada d ma cosa, d 8.9 rira-s q δ 8.95 Dsa forma, pla propridad da liaridad, a rasformada do dgra d Havisid é a soma das rasformadas das sas compos par ímpar, h + δ H 8.96 É d saliar q s rslado ambém vrifica a propridad da drivação os mpos. D faco, o lado sqrdo d 8.96 a drivada do dgra d Havisid dá o implso d Dirac. Como drivar os mpos corrspod a mliplicar a rasformada por, o lado dirio d 8.96 obém-s a idad, dado q δ dvido ao faco do implso d Dirac só xisir para, ss poo sar a mliplicar por. oa: s xmplo obv-s, iicialm, m rslado rrado, pois ão foi xclsivam ilizada a propridad da drivação, mbora aparm assim foss. a ralidad, parimos d m sial obido por drivação,, sgidam, igro-s o rslado para obr o sial origial. Ora, a rasformada d Forir para igrar ão basa simplsm dividir por, como vrmos mais adia. S qisrmos ilizar a propridad da drivação, para obr a rasformada d siais scssivam drivados, á ão há problma. Assim, a rasformada da drivada do implso d Dirac é δ 8.97

28 8 oria Vcorial do Sial Como a covolção d ma fção com a drivada do implso d Dirac corrspod a drivar o sial, δ 8.98 à covolção os mpos corrspod a mliplicação as frqêcias, obmos a gralização d 8.9, o d 8.99 d δ 8. A figra 8.6 mosra m diagrama d blocos da sqêcia d drivadas da fção os mpos. δ δ δ Fig. 8.6 Drivação os mpos fio as frqêcias Drivação as Frqêcias S m por rasformada d Forir, ão d 8. d Esa propridad dmosra-s da msma forma como a drivação os mpos, mas ilizado a xprssão da rasformada dirca, Assim, d d d d d d 8. d 8.3 d Coiado a drivar ambos os lados d 8.3 chga-s ao rslado d 8..

29 rasformada d Forir 9 Exmplo 8.: Drmiar a rasformada d m sial gassiao, σ g 8. σ S G for a rasformada d Forir d g, pla propridad da drivação os mpos, obém-s dg d g G σ 8.5 Pla propridad da drivação as frqêcias, m-s dg g 8.6 d, mliplicado por /σ, dg g 8.7 σ σ d Comparado 8.7 com 8.5, obém-s dg σ G 8.8 d A solção dsa qação difrcial é σ G 8.9 o sa, a rasformada d Forir d m sial gassiao é ambém m sial gassiao as frqêcias, σ σ σ Igração os mpos Já q à difrciação o mpo corrspod, as frqêcias, a mliplicar por, pod-s psar q à igração os mpos dv corrspodr a divisão por. Iso é apas par da vrdad. a ralidad, s m por rasformada d Forir, ão τ dτ + δ 8.

30 3 oria Vcorial do Sial Para dmosrar sa propridad irmos r m cosidração q a covolção d m sial com o dgra d Havisid corrspod a igrar ss sial a sar a rasformada d Forir do dgra d Havisid, 8.96, τ dτ hh + δ + δ 8. Exmplo 8.3: Drmiar a rasformada do implso rcaglar ilizado a propridad da igração. A figra 8.7a aprsa o implso rcaglar a 8.5b a drivada ds sial,. A rasformada ds úlimo é x δ + δ X s 8.3 Pla propridad da igração, X x τ dτ + X δ rirado-s q s + s δ sc a b - - Fig. 8.7 Sial para o xmplo 8.3: a pdsal; b drivada do pdsal Igração as Frqêcias S m por rasformada d Forir, ão + δ w dw 8.6

31 rasformada d Forir 3 Para dmosrar sa propridad basa sgir o msmo procdimo q o ilizado a propridad arior, o sa, q a covolção d m sial com o dgra d Havisid corrspod a igrar ss sial. Como o dgra d Havisid aparc as frqêcias, pla propridad da dalidad da mdaça d scala, ms q + δ h H 8.7 Com s rslado, aravés da propridad da mliplicação, comprova-s Propridads Fdamais como Axiomas da rasformada d Forir As xprssõs 8., , rfrs à propridad da liaridad, raslação os mpos raslação as frqêcias, rspcivam, podriam srvir d axiomas dfiidors da rasformada d Forir. Efcivam, com ls, parido da xprssão da covolção com o implso d Dirac, 6.8, a q vamos passar a chamar rasformada d Dirac, podm-s obr as xprssõs da rasformada d Forir da sa ivrsa. D faco, d 6.8 apliqmos a propridad da liaridad, 8., τ δ τ dτ 8.8 [ ] τ [ δ τ ] dτ 8.9 do m coa a rasformada d Dirac arasado, dada por 8.33, obém-s [ ] τ τ dτ q é a xprssão da rasformada d Forir dirca. Do msmo modo, para a rasformada ivrsa, s à xprssão aplicarmos a rasformada ivrsa, obém-s 8. w δ w dw 8. ilizado 8.3, rira-s q [ ] w [ δ w ] dw 8.

32 3 oria Vcorial do Sial w w dw w w dw 8.3 q é a xprssão da rasformada d Forir ivrsa. 8.7 EOREMA DE PARSEVAL a séri d Forir foi obida ma rlação r a poêcia d m drmiado sial as compos do spcro dss sial, o chamado orma d Parsval. Vamos procrar corar rlaçõs r a rgia o poêcia do sial m domíio a rgia o poêcia do sial o oro domíio. Assim, vamos vrificar q, s o sial ivr por rasformada d Forir, a rgia do sial é dada por d d 8. Com fio, d 8.85, a rasformada d Forir da fção d aocorrlação é * τ Ο Ψ 8.5 A rasformação ivrsa ds rslado dá Ψ τ τ d 8.6 Como s vi m 5.9, a rgia d m sial é igal ao valor da aocorrlação a origm, dod iso é, Ψ d 8.7 d d 8.8 o domíio das frqêcias f, fazdo a mdaça d variávl f, m-s q d f df 8.9 aprsado-s, xacam, a msma xprssão para o cálclo da rgia do sial os mpos as frqêcias f.

33 rasformada d Forir 33 ma vz q a rgia oal d m sial, sgdo o orma agora dmosrado, pod sr calclada igrado ao logo d odas as frqêcias calclado a ára do qadrado do módlo, sa qaidad cosis o spcro d dsidad d rgia do sial. Assim, d 8.5, a dsidad d rgia d m sial m fção das frqêcias é a rasformada d Forir da fção aocorrlação dss sial. Ψ τ 8.3 Como acámos, aqado da séri d Forir, o orma d Parsval é m caso pariclar do orma mais gral da ivariâcia do prodo scalar para ma rasformação orogoal,, d d 8.3 Como para as frqêcias ambém é válida a dfiição dada d prodo scalar, podmos cosidrar q, d 8.3, ds modo,,, RASFORMADA DE FORIER A DIMESÕES 8.8. Irodção Dfiição O sdo aprsado para siais a ma variávl a ma dimsão prmi dr o q s passa s os siais ivrm várias variávis várias dimsõs. Cosidrado m sial a dimsõs, f p, m q p p, p,, p, a sa rasformada d Forir é ambém m sial a dimsõs, f p F q 8.3 m q q q, q,, q. As xprssõs das rasformadas dirca ivrsa são: q f p p F q dp 8.35 R

34 3 oria Vcorial do Sial para a rasformada dirca p q f p F q d R q 8.36 para a rasformada ivrsa. O prodo scalar é dfiido por como ormalm. p q p q + p q + + p q Casos Bidimsioal ridimsioal os problmas rlacioados com o mdo físico, q srgm salm cssiam da rasformada d Forir para simplificar a drmiação da solção, aparc volvida ma só variávl, plo q a rasformada idimsioal d Forir, q m o mpo as frqêcias como as variávis dos dois domíios, é a mais ilizada. A rasformada bidimsioal, ormalm dscria as variávis x,y m domíio,v o oro domíio, bm como a rasformada ridimsioal, ormalm dscria as variávis x,y,z m domíio,v,w o oro domíio, ambém êm aplicaçõs imporas, por xmplo, a ópica m aas. Porq o procssamo compacioal ofrc frramas d cálclo pos para o fio, sifica-s m olhar mais dalhado sas das siaçõs. Para a rasformada dirca ridimsioal m-s + + f x y z x yv zw,, dxdydz F, v, w 8.38 para a rasformada ivrsa ridimsioal, f x, y, z x+ yv+ zw F, v, w ddvdw Para o caso bidimsioal basa limiar, sas xprssõs, as variávis rspcivas modificar o xpo d 3 para a rasformada ivrsa. 8.9 LIMIES DO ESPECRO Vamos como s pod obr, msmo sm os drmiar, os valors limi do spcro d m sial, q dão ma idia da sa forma. Da xprssão da rasformada d Forir, 8., pod-s cosidrar q

35 rasformada d Forir 35 d d 8. Dfiido a gradza C, C d 8. chama-s a C coúdo, igral absolo do sial, pod sr visalizado como sdo a ára oal da fção, cosidrado as áras posiivas as gaivas. Da xprssão 8.9 vrifica-s q d d 8. d Dfiido V d variação, igral absola do dcliv por V d d d 8.3 q md o dslocamo oal para cima para baixo do sial, sdo os movimos coados como posiivos, idpdm do sido. Da xprssão 8.99 rira-s q Dfiido Z d zigzagado d d 8. d d d d Z 8.5 q md a variação oal do dcliv do sial. Qalqr variação o dcliv m qalqr dircção, gradal o isaâa, rprsa ma coribição posiiva para o zigzagado do sial. O procdimo coia aé à úlima drivada d. Das xprssõs ariors rsla q C V Z 8.6

36 36 oria Vcorial do Sial, assim, scssivam aé à drivada q prdrmos. Dsa forma, o sial rá m spcro limiado plos valors idicados dos qais s aprsa ma rprsação gráfica a figra 8.8. C V Z Fig. 8.8 Limis do spcro. Exmplo 8.: Obr os limis do spcro do sial da figra 8.9. Fig. 8.9 Sial para o xmplo 8.. O cálclo dos limis do spcro d passa por ilizar as drivadas do sial, aprsados a figra 8.3. d d d d Fig Drivadas do sial. Os coficis são:

37 rasformada d Forir 37 C s d 3 V cos d Z s d Com ss valors, as rlaçõs 8.6 dfim m coo d crvas, abaixo das qais s cora a amplid da rasformada d Forir da fção. 8. CASOS PARICLARES DE IERESSE Com a dfiição d rasformada d Forir dirca ivrsa, com rcrso às sas propridads, é possívl obr a rasformada d Forir d qalqr sial q ha ssa rasformada. Para o caso pariclar dos siais discros, sado ss rprsados por implsos d Dirac, como m sido ilizado m oda a aprsação dsa oria, dixa d sr cssária a disição q salm é fia r a rasformada d Forir coía a rasformada d Forir discra. Havdo ma só dfiição, mio do rabalho m dfiir propridads para os vários ipos d siais dixa d sr cssário, simplificado-s ificado-s vários procdimos do procssamo d Sial. sa scção, srão aprsados algs casos pariclars d spcial irss da rasformada d Forir, como aida a ddção d xprssõs apropriadas aos vários ipos d sial. 8.. rasformada d Forir d Siais Priódicos Vimos o capílo arior q os siais priódicos podiam sr rprsados m séri d Forir. O sial maém o msmo domíio, o dos mpos. o ao, os coficis da séri d Forir são dfiidos as frqêcias, o sa, rprsam m sial priódico m oro domíio. Aqado da irodção à rasformada d Forir, á s vislmbro ma rlação r a séri d Forir d m sial a sa rasformada. Vamos, ão, xpliciam, ssa rlação. Para obr a rasformada d m sial priódico, srão ddzidas as xprssõs apropriadas, ilizado a dfiição d rasformada d Forir as sas propridads. 8 rasformada Dirca Cosidrado q o príodo do sial é /, m-s a sgi xprssão para a séri d Forir:

38 38 oria Vcorial do Sial C 8.8 ma forma d s drmiar a rasformada do sial priódico cosis m obr a rasformada do sial rprsado as sas compos, [ ] C 8.9 Como os coficis C são cosas, aplicado a propridad da liaridad da rasformada d Forir, obém-s C Fala calclar a rasformada do facor [ ] 8.5 frqêcias, m-s [ ]. Pla propridad da raslação as,, d 8.9, a rasformada da fção cosa iária é []δ. Com ss rslados, fica q a rasformada d 8.8 é C δ 8.5 iso é, a rasformada d Forir d m sial priódico é cosiída por implsos localizados as frqêcias harmóicas com valor vzs o rspcivo cofici da séri. A rasformada d ma fção priódica ambém pod sr drmiada d ora forma, viso q m sial priódico é rslado da covolção d m príodo dss sial com m rm d implsos d Dirac. Como plas propridads, ma covolção rasforma-s ma mliplicação as rasformadas, vamos comçar por drmiar a rasformada d m rm d implsos d Dirac. m rm d implsos d Dirac é m sial priódico, d príodo, caracrizado por r m implso d Dirac m cada príodo, δ δ 8.5 Os coficis da séri d Forir do rm d implsos d Dirac foram obidos m 7.8 com m valor C /. ilizado 8.5, a rasformada do rm d implsos d Dirac é

39 rasformada d Forir 39 [ δ ] C δ δ δ δ 8.53 o sa, a rasformada d m rm d implsos d Dirac, d príodo os mpos, cosis m rm d implsos d Dirac d príodo / as frqêcias, mas mliplicado por. Volado à rasformada d qalqr sial priódico, como mosra a figra 8.3, a rasformada do sial cosis a mliplicação da rasformada d m príodo do sial,, com m rm d implsos d Dirac.. Aaliicam m-s Fig. 8.3 rasformada d m sial priódico.. δ δ 8.5 dod, a rasformada d Forir d ma fção priódica pod sr dfiida por

40 oria Vcorial do Sial o δ As xprssõs dvm sr igais, dado q corrspodm à rasformada d Forir d ma fção priódica, Daqi, rira-s a igaldad ficado δ C δ 8.57 C 8.58 C 8.59 A xprssão 8.59 faiza a rlação xis r a rprsação m séri d Forir a rasformada d Forir d m sial priódico. Assim, os coficis da séri d Forir podm sr obidos a parir da rasformada d Forir d ma fção priódica, basado dividir a rasformada da fção, rfr a m príodo, plo príodo do sial. A séri d Forir é, dsa forma, m caso pariclar da rasformada, od s maém o sial rprsado o domíio dos mpos. Es rslado mosra, ambém, como sria possívl radzir mias das propridads da séri d Forir a parir das propridads corrspods da rasformada. Exmplo 8.5: Ddzir a propridad da drivação da séri d Forir, ilizado a rasformada d Forir. Sa ma fção priódica, d príodo, com rasformada. Os coficis da séri são calclados aravés d Sa v a drivada do sial com rasformada V. Os coficis da séri d Forir são dfiidos por 8.59, o q dá V 8.6 C

41 rasformada d Forir com V a rasformada d m príodo da drivada d. Sabdo q, pla propridad da drivação os mpos, s m fica q V 8.6 C C 8.6 Es rslado é coicid com o obido o sdo da séri d Forir. 8 rasformada Ivrsa Para s obr a rasformada d Forir ivrsa d m sial priódico, basa aplicar a dfiição da rasformada d Forir ivrsa ao spcro do msmo, dfiido plos implsos d Dirac, δ d 8.63 Como os coficis ão dpdm da variávl, o somaório pod passar para fora do igral, ficado δ 8.6 Rsolvdo, o igral obém-s d 8.65 q m a msma forma da séri xpocial d Forir, q pod sr corada m 7., qado s cosidra orma d Parsval para m Sial Priódico a aprsação da rasformada d Forir, vi-s q o orma d Parsval prmiia obr a rgia d m sial o domíio das frqêcias. Para siais d poêcia, com são os siais priódicos, foi aprsada aqado do sdo da séri d Forir o orma d Parsval, q rlacioava a poêcia os mpos com o s cálclo as compos.

42 oria Vcorial do Sial Drmiada ma rlação r a séri d Forir d m sial a sa rasformada, srá irssa drmiar ma xprssão para o orma d Parsval q prmia obr a poêcia d m sial priódico aravés da rasformada d Forir dss sial. A xprssão 7.77 aprsa a rlação para o orma d Parsval para m sial priódico. Da rlação com a rasformada obmos as rlaçõs: d C od a úlima xprssão sá rlacioada com a rasformada d Forir d. 8.. rasformada d Forir d Siais Discros 8.66 Como á foi rfrido, m sial discro pod sr cosidrado como m caso pariclar do sial coío, qado dfiido plos implsos d Dirac. Ds modo, a rasformada d Forir ds sial é obida pla xprssão aprsada para a rasformada d Forir. D sgida, srão ddzidas xprssõs mais apropriadas ao masamo ds ipo d sial. 8 rasformada Dirca Cosidrado a xprssão para siais discros, a rasformada d Forir dss sial fica δ d d 8.67 m q é a disâcia r amosras. Como os coficis ão dpdm da variávl, o somaório pod passar para fora do igral, ficado o igral d m implso d Dirac crado m mliplicado pla fção xpocial. O cálclo ds igral dá o valor da fção a posição do implso d Dirac,

43 rasformada d Forir 3 δ d 8.68 Dsa forma, o cálclo da rasformada d Forir dirca d m sial discro, m sbsiição d 8., pod sr ralizado dircam pla xprssão 8.69 Como é ma cosa, fazdo a mdaça d variávl Ω, ambém s pod lidar com a variávl Ω m vz d, como acoc m mias aplicaçõs d procssamo d sial, Ω Ω 8.7 ilizar sa xprssão corrspod a lidar com as amosras dfiidas os valors iiros d, m vz d s sar a lidar a variávl, o q ão casa hm problma á q s passa sm dificldad d ma variávl para a ora. oar q a fção é priódica, d príodo /. Como a xprssão 8.69 cosis a soma psada dsas fçõs, chgamos à coclsão d q a rasformada d Forir d m sial discro, d príodo, é ma fção priódica, a variávl, d príodo /. S rabalharmos com a variávl Ω, 8.7, o príodo da rasformada d Forir é d. Aalisámos a rasformada d Forir d m sial priódico, acabámos d aalisar a rasformada d m sial discro. Como s comprovo, as dfiiçõs grais da rasformada d Forir, aprsadas m 8. para a rasformada dirca m 8. para a ivrsa, podm sr ilizadas para qalqr ipo d sial, coío o discro. Exmplo 8.6: Drmiar a rasformada do sial discro da figra 8.3. α h, < α < H 3 Fig. 8.3 Sial discro para o xmplo 8.6. O sial discro sá dfiido para cada valor iiro da variávl idpd,, por cosgi, a xprssão a ilizar para o cálclo da rasformada d Forir é

44 oria Vcorial do Sial 8.7. o ao, para prcbrmos mlhor a ilização das das xprssõs ariors, pod-s vrificar q m sial dfiido a variávl, q dá origm ao da figra 8.3, é β δ β δ α δ α h H δ com αβ. A rasformada d Forir ds sial é α do m coa 7.9, a xprssão arior fica α α 8.73 S for ilizada a dfiição 8.7, m-s q Ω 8.7 Ω α q é igal à 8.73, com a mdaça d variávl á mcioada. A figra 8.33a aprsa os gráficos para o módlo fas da rasformada do sial a variávl a figra 8.33b mosra sss gráficos a variávl Ω, od s pod vrificar o q foi rfrido qao à priodicidad da rasformada.

45 rasformada d Forir 5 a α b Ω α - Ω arg[] arg[ω] - Ω Fig rasformada d Forir d m sial discro: a a variávl ; b a variávl Ω. 8 rasformada Ivrsa D forma smlha à rasformada dirca, prd-s obr ma xprssão apropriada para a rasformada d Forir ivrsa d siais discros. Para isso, irmos r m coa o faco da rasformada d Forir ds ipo d sial sr ma fção priódica. A figra 8.3 mosra q m sial discro,, pod sr obido mliplicado m sial coío,, com a msma forma da volv do sial discro, por m rm d implsos d Dirac d valor afasados d. Ds modo, a rasformada do sial discro cosis a covolção da rasformada do sial coío,, com oro rm d implsos d Dirac, obido pla rasformada d Forir do rm mporal. Vê-s, pla figra 8.3, q, as frqêcias, dro d m príodo do sial por xmplo, / / s vrifica a rlação.

46 6 oria Vcorial do Sial. Fig. 8.3 A rasformada d Forir d m sial discro pod sr visa como a covolção da rasformada d m sial coío com m rm d implsos d Dirac. Aplicado a xprssão da rasformada d Forir ivrsa a m príodo da fção, d d 8.75 A rasformada ivrsa da fção discra é, como á foi rfrido, a mliplicação d com m rm d implsos d Dirac,. m m δ m d. m m δ m d δ m 8.76 O valor das compos d é obido fazdo do m coa., m d δ m δ m 8.77

47 rasformada d Forir 7 como o somaório m m só é difr d zro qado m, obém-s d 8.78 S, como foi ralizado para a xprssão da rasformada dirca, for prdido rabalhar a variávl Ω m vz d, faz-s a mdaça d variávl Ω. Como dωd, a xprssão da rasformada ivrsa fica Ω Ω dω 8.79 Esa xprssão pod sr ilizada qado qisrmos lidar com o sial discro a variávl, sdo rprsado plas sas compos. 83 Propridads As propridads para a rasformada d m sial discro são as msmas q as aprsadas para o caso coío, scção 8.6, qado o sial sá rprsado plos implsos d Dirac psados plas compos do sial. Como xmplo, cosidrmos a propridad da raslação os mpos. Aplicado 8.3 a m sial discro obém-s o [ ] o 8.8 oω Ω 8.8 Obviam, obrmos o msmo rslado d 8.8, caso s apliq 8.69, o d 8.8, caso s apliq 8.7. Embora qalqr propridad possa sr aplicada aos siais discros, xism das q são mais úis o raamo d siais discros. A primira é a difrciação, m vz da drivação do sial, a sgda é o somaório, m vz do igral do sial. Difrciar S form as compos d m sial discro a sa rasformada d Forir, ão d [ ] 8.8 Para dmosrar s rslado, basa aplicar a propridad da liaridad a propridad da raslação os mpos. d

48 8 oria Vcorial do Sial Somaório S form as compos d m sial discro a sa rasformada d Forir, ão m m + δ 8.83 o capílo 6, aravés da xprssão 6.5, vi-s q o somaório pod sr obido aravés da covolção d m sial discro com o dgra d Havisid discro. Dado q a rasformada da covolção d dois siais corrspod a ma mliplicação das sas rasformadas, comcmos por obr a rasformada do dgra d Havisid discro para s dmosrar a propridad arior. Sgido m procdimo aálogo ao caso coío, cosidrmos o dgra d Havisid discro dcomposo as sas compos par ímpar, rprsadas a figra h Hd h Hi h Hp / / + Fig Dgra d Havisid discro dcomposo as sas compos par ímpar. A compo par do sial é caracrizada por m rm d implsos d Dirac d valor /, somado com m implso d Dirac a origm ambém d valor /, a fim d dar m implso d Dirac d valor, o dgra d Havisid, como s vê a par diria da figra 8.35, h Hp δ m + δ m 8.8 A rasformada ds sial é drmiada pla rasformada do rm d implsos d Dirac pla rasformada do implso d Dirac, ficado H Hp δ + δ Qao à compo ímpar, pod-s vrificar q h Hi hhi δ + δ 8.86

49 rasformada d Forir 9 Aplicado a rasformada a ambos os lados da igaldad, rira-s q H Hi H Hi H Hi Sabdo q o dgra d Havisid discro é dado pla soma das sas compos par ímpar, pla propridad da liaridad, a sa rasformada é a soma das rasformadas das sas compos, H H + H 8.89 Hd Hi Hp Sbsiido plos rslados aprsados m , obém-s H Hd δ + δ + δ 8.9 Como m m h H Hd Hd 8.9 rsla q m m + δ 8.9 como prdíamos provar. 8 orma d Parsval S form as compos d m sial discro a sa rasformada d Forir, ão d 8.93

50 5 oria Vcorial do Sial O lado sqrdo da xprssão 8.93 aprsa a rgia d m sial discro, como a soma dos qadrados das sas compos. Com bas ssa xprssão, pla dfiição d rasformada d Forir ivrsa d m sial discro, obém-s * * d 8.9 rocado a ordm do somaório com o igral, * d 8.95 O somaório idifica-s com a xprssão da rasformada d Forir d m sial discro, dod d * comprovado o rslado d d 8.96 S for prdido rabalhar a variávl Ω m vz d, faz-s a mdaça d variávl Ω, a xprssão 8.93 fica Ω dω 8.97 O orma d Parsval diz q a rgia d m sial discro ambém pod sr obida as frqêcias igrado m príodo da rasformada rasformada d Forir d m Sial priódico discro Como foi ralizado para o caso coío, vamos como drmiar a rasformada d Forir d m sial priódico discro. Dado q m sial priódico m rprsação m séri d Forir, drmimos a rlação r os coficis da séri a rasformada do msmo rasformada Dirca Como mosra a figra 8.36, m sial priódico discro pod sr viso como a covolção d m príodo do sial com m rm d implsos d Dirac. A figra aprsa o caso d sr ímpar, m q --/ -/. o ao, para par a abordagm é smlha, ficado m príodo do sial discro dfiido, por xmplo, o irvalo -/ /-.

51 rasformada d Forir Fig rasformada d m sial priódico discro. Da figra 8.36, a rasformada d,, cosis a rasformada d m sial discro,, mliplicada por m rm d implsos d Dirac. A rasformada do rm d implsos d Dirac é dfiida por Fazdo, δ m 8.98 < > m m q <> rprsa as amosras dro do irvalo d m príodo do sial. Após ralizar a mliplicação, obém-s m < > m δ m 8.99 Para s obr as compos, faz-s /, do m coa., a xprssão arior fica origiado δ m < > m δ m 8.

52 $#" $#"!! $#" $#"!! '& % 5 oria Vcorial do Sial < > 8. S for prdido rabalhar a variávl Ω m vz d, faz-s a mdaça d variávl Ω m 8.99, Ω m < > m < > m < > m m m Ω δ m δ Ω m δ Ω m 8. Fazdo Ω/, as compos da xprssão arior são obidas por < > 8.3 Srá irssa comparar a xprssão da rasformada d Forir d m sial priódico discro, 8., com a xprssão da séri d Forir discra, dado por 7.. Dssa comparação, do m cosidração q // /, obém-s a rlação C 8. Como para o caso coío, a séri d Forir pod sr drmiada plos coficis da rasformada d Forir, rfr a m príodo do sial, a dividir plo príodo rasformada Ivrsa Para a rasformada ivrsa, d 8.78 rira-s q < > * < > d δ δ d d 8.5

53 rasformada d Forir 53 Rsolvdo o igral, obém-s 8.6 < > Mais ma vz, s for prdido rabalhar a variávl Ω m vz d, do m coa 8.79 a forma como m sial discro é rprsado plos implsos d Dirac, obém-s Ω < > < > < > orma d Parsval Ω dω δ Ω δ Ω Ω Ω dω dω 8.7 O orma d Parsval para siais priódicos discros, do prs as rlaçõs r as várias formas q pod assmir a rasformada d Forir, m as sgis formas: < > < > < > < > C 8.8 Como as scçõs ariors, as xprssõs foram ddzidas para siais discros as posiçõs ambém para. Vimos q, s ão irssar o ão for spcificado, corrspoddo a lidar apas com, isso sigifica lidar com Ω. Comparado os dois casos, s fizrmos para o primiro dá o sgdo rslado. Dsa forma, o primiro caso é mais gral, basado r prs as rspcivas dfiiçõs. Exmplo 8.7: Para o sial priódico discro aprsado a figra 8.37: a drmiar a rasformada d Forir rfr icam a m príodo do sial; b drmiar a rasformada d Forir dss sial complo; c drmiar os coficis da séri d Forir pla dfiição, comprovado o rslado aravés da rasformada; d vrificar o orma d Parsval.

54 5 oria Vcorial do Sial Fig Sial para o xmplo 8.7. a Como s pod comprovar, o príodo do sial é. A rasformada d Forir d m príodo do sial é drmiada por 8.69, [ cos + ] b A rasformada d Forir do sial é drmiada por 8., + cos cos + 8. c Os coficis da séri d Forir são drmiados por 8., C + cos + 8. q é msmo rslado q o obido por 7.. d Qao ao orma d Parsval, para os mpos m-s

55 rasformada d Forir 55 as frqêcias P 5 < > P C < > Como s pod vrificar, s rslado é igal ao aprsado m 8., como ra d prvr. 8.. A rprsação d Simz Qado s rabalha com siais sisoidais d ma úica frqêcia é vlgar ilizar ma rprsação chamada fasorial o rprsação d Simz. Cosis m rprsar cada sial sisoidal por m fasor sgdo a rlação: ϕ cos + ϕ 8. Esa rasformação é liar m a grad vaagm da igração os mpos sr sbsiída, as frqêcias, pla divisão por, da drivação os mpos sr sbsiída, as frqêcias, pla mliplicação por, covrdo, assim, qaçõs igro-difrciais m xprssõs algébricas. odo s procsso ão é mais q ma maira simplificada d sar m caso pariclar da mdaça d rfrcial d Forir, q vamos dsigar por rasformada d Simz. O s fdamo é o sgi: para rprsar m sial q a sa forma mporal m ma úica frqêcia vamos cosidrar m rfrcial cosiído plas cissóids dssa frqêcia. Assim, drmia-s as compos plo procsso habial das procçõs, calclado o cofici d corrlação,

56 56 oria Vcorial do Sial,, [ cos ϕ + s ϕ ] ϕ d cos + ϕ [ cos s ] d 8.6 D modo smlha, srá igal a ϕ 8.7 Como é o cogado d, basa cohcr m dls para drmiar complam o sial. Para simplificar, igora-s ambém o rmo / q, sdo cosa para odos os siais, basa, simplsm, cosidrá-lo a rasformação ivrsa. As propridads dsa rasformada dcorrm, aralm, das propridads á sdadas a rasformada d Forir. Dada a sa imporâcia, omadam para o sdo dos circios d corr alrada sisoidal, sg-s m rsmo da rasformada d Simz Dfiição Plo q foi rfrido, dfi-s a rasformada d Simz por cos + ϕ A figra 8.38 aprsa a rprsação gomérica. ϕ 8.8 fasor ϕ origm das fass Fig rasformada d Simz.

57 rasformada d Forir Propridads Dfim-s as sgis propridads para a rasformada d simz: Liaridad a + a + b 8.9 b Difrciação Igração d d d Exmplo 8.8: ilizado a rasformada d Simz, drmiar a corr q passa o circio da figra 8.39, qado alimado por ma f..m. sisoidal com amplid, frqêcia fas ϕ. L i R Fig Circio RL. O sial d rada é cos + ϕ 8. os mpos, a rlação r i é dada pla qação difrcial di L + Ri 8.3 d Efcado a rasformada d Simz aplicado as propridads dscrias ariorm, obém-s o plao d Simz, ϕ LI + RI R + L I 8.

58 58 oria Vcorial do Sial dod I R + a a b ϕ b L 8.5 m q a R + L b arca R 8.6 Efcado a rasformada ivrsa, i a cos + ϕ b 8.7 o sa, é m sial sisoidal d amplid a fas ϕ-b. 8. AMOSRAGEM DE SIAIS Sob drmiadas codiçõs, m sial coío pod sr complam rprsado por amosragm dos ss valors rcprado a parir das sas amosras. Acalm, sa siação rvs-s d mia imporâcia, dvido ao dsvolvimo q sofrram os compadors, q ão lidam com siais coíos, mas com valors discros q podm sr as amosras d siais coíos. Codo, como o mdo físico é coío, ora-s cssário rcprar m sial coío a parir das sas amosras. m xmplo ípico é a gravação d som m CD fia por amosragm do sial, a sa rcpração posrior para q possa sr ovido. Dado o sdo fcado a rasformada d Forir, á s sá as poss das frramas cssárias para a comprsão da siação, plo q irmos vr qais as codiçõs q os siais dvm obdcr para q al sa ralizávl. 8.. orma da Amosragm Cosidrmos m drmiado coo discro d poos, qispaçados a variávl idpd. Como mosra a figra 8., m gral xis m úmro ifiio d fçõs q passam por sss poos. o ao, os siais físicos êm limiaçõs m rmos da axa d variação do sial, d modo q xis algma irdpdêcia r amosras vizihas do sial. Iso sgr q s possa prvr o

59 rasformada d Forir 59 sial a parir d valors passados, sdo possívl dispsar algs valors m disâcias mio próximas mas das oras. Fig. 8. Siais q passam por m coo d amosras. Por cosgi, s m sial for d bada limiada, o sa, o spcro do sial for lo fora d ma drmiada bada d frqêcias, s as amosras sivrm sficim próximas mas das oras m rlação à frqêcia mais lvada do sial, ssas amosras dfim m sial úico. O orma da amosragm qaifica sa siação. orma da amosragm: s for m sial com rasformada limiada, iso é, para > M, ão é drmiado ivocam a parir das sas amosras s,,,, s a frqêcia d amosragm for s M 8.8 s ambém é habial dsigar-s a frqêcia d amosragm por axa d yqis. A figra 8. aprsa m modlo do mcaismo d amosragm d ma fção coía. A fção é mliplicada por m rm d implsos d Dirac, p, d príodo s. p p Fig. 8. Amosragm d ma fção coía. O rm d implsos d Dirac é dfiido por ficado para a fção amosrada p δ s 8.9

60 6 oria Vcorial do Sial p p δ s δ s s 8.3 A figra 8. mosra o fio da amosragm da fção. Essa figra é smlha à figra 8.3, aprsada o âmbio dos siais discros. D faco, a fção amosrada é m caso pariclar d sial discro. Como a mliplicação d fçõs corrspod à covolção das sas rasformadas, a covolção do spcro do sial coío com o rm d implsos d Dirac das frqêcias ora a fção priódica. Pod-s vrificar pla figra q, s a frqêcia d amosragm for a dfiida plo orma d amosragm, o spcro do sial coío é rpido m príodo do spcro do sial amosrado. A. p M s s s s p p A s s s s M s s Fig. 8. Rslado da amosragm d ma fção. Sdo a rasformada do rm d implsos d Dirac dada por P s δ s δ s s 8.3 a rasformada do sial amosrado é