1. A TRANSFORMADA DE LAPLACE

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1 Equaçõ Difrciai - Traformada d Laplac A TRANSFORMADA DE LAPLACE Dfiição: Sja f() uma fução ral dfiida para > Eão a raformada d Laplac d f(), doada por L [ ( ) ] f é dfiida por: L [ f ( ) ] F( ) f( )d, () od aumimo qu é um parâmro ral Dizmo qu a raformada d Laplac xi a igral () covrg para algum valor d, cao corário a raformada ão xiirá Exmplo: Obrvação: Em gral, a variávl é complxa, ma aqui la rá rria a valor rai Ecor a raformada d Laplac da gui fuçõ: f ( ) R L [ f ( ) ] L [ ] d R lim, > f ( ) H( a), vid ção 5 abaixo L [ H( a) ] H( a) d d a R lim, > a f ( ) δ( a) a f ( ) a, vid ção 6 abaixo L [ δ( a) ] δ( a) a R a d, a a (a )R > a L [ ] d lim, > a 5 f ( ) co(a) (a) (a) R (a) a co(a), > a a L [ co(a) ] co(a) d a

2 Equaçõ Difrciai - Traformada d Laplac 6 f (), do aural O rulado é obido aplicado- igração por par: L [ ] d d L [ ] Aim, uado Idução mamáica, a parir d L [ ] acima, obmo qu L [ ]!, para odo aural L [ ], > uado a fórmula d rcorrêcia No xmplo acima, fica claro qu a raformada d Laplac covrg uma cra rgião do plao complxo Uma da propridad qu caracrizam a raformada d Laplac é qu a rgião é dcria pla quação > a, od a é uma coa ral Por ouro lado, podm ocorrr fuçõ para a quai a raformada d Laplac ão xi, io é, a igral () divrg para odo o valor d Aim, ora- impora cohcr codiçõ para a xiêcia da raformada d Laplac d uma cra fução Eão, aprarmo um orma qu ablc a xiêcia da raformada para uma cla d fuçõ baa ampla Com objivo, iicialm, dfiirmo fuçõ ccioalm coíua fuçõ d ordm xpocial Dfiição: Uma fução f() é dia ccioalm coíua ou coíua por par um irvalo a < < b, irvalo pod r ubdividido m um úmro fiio d irvalo o quai a fução f() é coíua poui limi fiio à diria à qurda Figura : fução coíua por par Um xmplo d fução ccioalm coíua é morado graficam a Fig Ea fução m dcoiuidad o poo,,, No qu xim o limi à qurda à diria o poo i, para i,,, ambém, o limi à diria m a à qurda m b

3 Equaçõ Difrciai - Traformada d Laplac Dfiição: Uma fução ral é dia d ordm xpocial γ (ral), xim M T, γ coa rai poiiva, ai qu f ( ) < M γ ou ( ) f < M, para odo > T Exmplo: f é d ordm xpocial, por xmplo, poi <, para odo > ( ) ( ) f ão é uma fução d ordm xpocial poi γ γ ( γ ), Em oura palavra, a fuçõ d ordm xpocial ão podm crcr, m valor aboluo, mai qu uma xpocial M γ, quado crc Fuçõ limiada, ai como o coo, ão mpr d ordm xpocial, bm como a fuçõ poliomiai ambém o ão Torma: (Codiçõ ufici para a xiêcia da raformada d Laplac) S, para odo ral poiivo T, f() é uma fução ccioalm coíua o irvalo fiio < < N é d ordm xpocial γ, para > N, ão ua raformada d Laplac F() xi para odo > γ Prova: Sja T um ral poiivo Eão, T f ()d f( ) d f ( )d () T Como f() é ccioalm coíua o irvalo < < T, mo qu a primira igral o lado dirio da quação () xi Como f() é d ordm xpocial γ, para > T, ambém xi a guda igral, como podmo obrvar abaixo: f T ( ) d f ( ) d f ( ) T d M γ d M () γ Aim, a raformada d Laplac d f() xi, para odo > γ Obrvação: No qu a codiçõ do orma ão ufici, ma ão cária para a xiêcia da raformada d Laplac, ou ja, uma fução ão prc ao grupo pcificado la pod, ou ão, pouir raformada d Laplac Por xmplo, f ( ) co( ) xpocial, ma ua raformada d Laplac xi, poi: ão é d ordm

4 Equaçõ Difrciai - Traformada d Laplac co ( ) d i( ) i( ) d ( ) d, >, od foi uilizada igração por par, coidrado u v ( ) A igral qu aparc o lado dirio da quação acima xi, poi: i ( ) d i ( ) d d, > A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE: Dfiição: S a raformada d Laplac d uma fução f() é F(), io é, L [ f ( ) ] F(), ão f() é chamada d raformada ivra d Laplac d F(), imbolicam, podmo crvr f() L [ F( ) ] Por xmplo, f() é uma fução qu, para poiivo, aum o valor um, a mo d um cojuo d poo iolado, ão L [ ] L [ H( ) ] L [ ( ) ] f Aim, L ou H() ou f () Obrv qu, como a raformada d Laplac ó lva m coidração a par da fução dfiida para, ão podmo afirmar qu, irvalo, H() Além dio, a raformada d Laplac é uma igral dfiida, logo dcoidra dcoiuidad viávi Do poo d via fíico, fuçõ como f() ão aormai ão dvm r coidrada, aim podmo carar um como do a raformada ivra d Laplac da fução complxa F () N ido, a raformada ivra d Laplac d uma fução F() é úica Quado coidramo o parâmro complxo, xi uma fórmula para a ivrão da raformada d Laplac d uma fução F(), dfiida pla igral d Mlli (vid rfrêcia), a qual é uma fórmula baa gral, ma qu ão rá mprgada aqui Ea fórmula origia muio méodo umérico para drmiar a raformada ivra d Laplac d uma fução F() Um méodo baa impl, porao, muio uado é a ivrão por quadraura d Gau, qu é a dfiida por: od f () M k k A k F, k A k k ão parâmro complxo ablado (vid Sroud & Scr, Gauia Quadraur)

5 Equaçõ Difrciai - Traformada d Laplac N udo, o rrigirmo à ivrão da raformada d Laplac aravé d méodo qu um uma abla Para ao, vamo uar a écica d dcompoição m fraçõ parciai (ou diram o orma d Haviid) d complamo d quadrado, a quai rão via ao logo do xo d marial PROPRIEDADES DAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE: Na propridad a guir, aumirmo qu oda a fuçõ volvida obdcm ao orma da xiêcia da raformada d Laplac, a ão r qu diga o corário Propridad : (LINEARIDADE) S L [f()] F() L [g()] G(), ão, para quaiqur a b coa complxa, L [ a f( ) bg( ) ] a L [ f ( ) ] b L [ g ( ) ] af( ) bg( ) ou L [ a F( ) bg( ) ] a L [ F( ) ] b L [ G( ) ] a f( ) bg( ) () () Obrvação: E rulado pod r dido facilm para mai d dua fuçõ Prova: dira da dfiição Exmplo : L co() 5 L ] [ L [ ) ] 5 co( L [ ]! 8 5 Exmplo : Ecor a raformada ivra d Laplac, f(), d 6 F() ( )( )( 6) Sab- qu a fução racioal acima pod r cria como a oma d fuçõ racioai mai impl, da forma: F ( ) A B C, () ( ) ( ) ( 6) ou, fuado a oma da fraçõ, F ( ) ( )( 6) B( )( 6) C( )( ) ( )( )( 6) A () Aim, igualado a xprão origial da F() com a Eq (), obmo qu, 5

6 Equaçõ Difrciai - Traformada d Laplac ( )( 6) B( )( 6) C( )( ) 6 A (5) Em pricípio, podríamo obr A, B C, igualado o cofici da poêcia d No ao, ão ria o méodo mai rápido fici, poi o cao, coduz a um ima d rê quaçõ rê icógia É fácil obrvar qu a igualdad valm mpr, io é, para odo o valor d Aim, colhdo valor para qu orm ulo doi rmo do lado dirio da igualdad (5), dvrmo r: 7 A( )( 6) 6 ou A, 5 ( )( 6) B 6 ou B 6 A( 6 )( 6 ) ou C 5 Aim, F ( ) 7 (6) 5 ( ) ( ) 5 ( 6) Ea écica é domiada Sparação m Fraçõ Parciai Agora, o cálculo da raformada ivra d F() é impl, baado para ao, uar a liaridad () o xmplo da ção Tmo ão qu: 7 f ( ) (7) Não é difícil obrvar qu méodo mpr forc rulado rápido para a raformada ivra d Laplac, dd qu hamo F() como uma fução racioal, com o grau do umrador mor qu o grau do domiador o domiador com raíz impl Rumido procdimo, m- o orma d Haviid: Torma d Haviid: Sja uma fução racioal ( ) ( ) P Q, od P() Q() ão poliômio, com grau(p()) < grau(q()) N S oda a raíz d Q(), com l,,, N, ão impl, ão: L ( ) ( ) N P A Q l, (8) 6

7 Equaçõ Difrciai - Traformada d Laplac od A ( ) F( ) ( ) ( ) P lim, (9) Q do qu Q ( ) doa a drivada d Q(), calculada a raiz Exmplo : Ecor a raformada ivra d Laplac, f(), d F(), ou ja, mo Podmo vr qu Q() ( ) ( ) ( ) ( j) ( j)( ) rê raíz diia, l j, j, Aim, podmo uar o orma d Haviid, coidrado P () Q (), ou ja, P(j) Q ( j) j j ( ) j, P( j) Q ( j) j j ( ) j P( ) Q ( ) Cocluido, mo qu: f () j j j j co() ( ), () Na quação (), uamo a xprão da xpocial complxa para raformar 7 j () co() Obrvm qu, apó a raformação, a fução f() é uma fução ral (m hum rmo imagiário) E fao mpr ocorrrá a ivrão da raformada d Laplac L a f ( ) ou Propridad : (PRIMEIRO TEOREMA DA TRANSLAÇÃO) S L [ ( ) ] F() [ ] F( a) j f, ão () a L [ F( a) ] f ( ) () E rulado pod ambém r chamado d propridad do amorcimo, poi a fução f() for amorcida plo faor xpocial dlocada para a qurda a uidad m rlação a ova variávl Prova: L a f ( ) a [ ] ( ) ( a ) f d f ( ) m a, com a >, ão a raformada d Laplac rá d F( a) Exmplo : Sabdo qu L [ co() ], calcul L [ co() ]

8 Equaçõ Difrciai - Traformada d Laplac L [ co() ] ( ) 5 () Exmplo 5: Calcul L 6 L 6 L 6( ) 8 ( ) 6 6L ( ) 6 L ( ) 6 6 co() i () () O proco ralizado a primira igualdad da quação () acima é cohcido como complamo d quadrado Exmplo 6: Mor qu L a ( a) ( )!, od a é qualqur complxo é aural Uado a propridad acima o xmplo 6 da ção acima, obmo qu L ( a) a L a L ( )! a ( )! (5) ( )! Exmplo 7: Calcul a raformada ivra d Laplac d F() ( ) Uado a dcompoição m fraçõ parciai, a fução F() é rcria como: A ( ) ( ) ( ) ( ) B C A ( ) B( ) ( ) C (6) Eão, comparado o umrador da quação (6), obmo qu A, B C Aim, pla liaridad da raformada ivra d Laplac plo xmplo 5 acima, cocluímo qu: L (7) ( ) Dvmo obrvar qu, cao, mo uma raiz ripla m Aim, ão podmo aplicar o orma d Haviid problma No ao, abaixo apramo uma gralização d orma para o cao d fuçõ racioai cujo domiador ha raíz múlipla 8

9 Equaçõ Difrciai - Traformada d Laplac Torma d Haviid Gralizado: Coidrmo a mma iuação do orma d Haviid S é uma raiz d Q() d muliplicidad m ão ua coribuição para a formação da fução f() é dada por: mk ( ) m Ak f, (8) k ( m k)! od A k lim d! d ( k ) k k m {( ) F( ) }, para k,,,, m (9) Exmplo 8: Calcul L ( ) ( ) 9 9 Uado o orma d Haviid Gralizado, coidrado qu o domiador d F() m como raíz, com m,, com m, vmo qu a raformada ivra d Laplac da fução m a forma: f( ) Al A A, () (! ) ( )! od: A lim ( ) lim ( )! ( ) ( ), () d 9 9 ( 9)( ) ( 9 9) A lim ( ) lim ( )! d ( ) ( ) ( ) () A lim f ( ) lim ( ) ( ) ( ) Cocluido, ( ) ( ) () () 9

10 Equaçõ Difrciai - Traformada d Laplac Exmplo 9: Calcul L ( ) ( ) Como a fução F() m a raíz dupla, plo orma d Haviid Gralizado mo a olução: f ( ) A A B B, (5) (! ) ( )! (! ) ( )! od: A lim ( ) lim ( )! ( ) ( ) ( ), (6) ( ) ( ) ( ) ( ) d A lim ( ) lim (! ) d ( ) ( ), (7) B lim ( ) lim (! ) ( ) ( ) ( ) (8) ( ) ( ) ( ) ( ) d B lim ( ) lim (! ) d ( ) ( ) (9) f Cocluido, ( ) ( ) () Exrcício: Apliqu o orma gralizado d Haviid o xmplo 7 acima Propridad : (SEGUNDO TEOREMA DA TRANSLAÇÃO) S L [ ( ) ] F( ) a L [ f ( a) H( a) ] F( ) f, ão () od a > é um dado ral, ou a L [ F( ) ] H( a) f ( a) Prova: Coidrado qu a ja ral poiivo, ()

11 Equaçõ Difrciai - Traformada d Laplac L [ ( ) ] ( ) ( ) ( u a f a H( a) f a H( a) d f a d ) f( u ) a du a u a f ( u) du F( ), () od foi fia a mudaça d variávl u - a! Exmplo : Sabdo qu L [ ], Pla propridad acima, L [ H( )( ) calcul L H ( )( ) ] [ 6 ] Exmplo : L π / π π H i Exmplo : Calcul a raformada ivra d Laplac da fução F() ( ) É impora ralar qu para aplicar a dcompoição m fraçõ parciai (ou o orma d Haviid), a fução F() dv r racioal Porao, o primiro pao a r xcuado problma é o uo da propridad Aim, L ( ) L H( ) () Agora, para rolvr a raformada ivra d Laplac qu aparc o lado dirio da quação (), podrmo uar a dcompoição m fraçõ parciai No ao, a raíz do poliômio do domiador da fução racioal ão complxa, o qu dificula um pouco o cálculo volvido ( cálculo ficam como xrcício) Aim, é mai covi aplicar o complamo d quadrado o domiador da fução, ou ja, L L ( ) co() ( ) 9 ( ), (5) do qu, a úlima igualdad da Eq (5), uilizamo a propridad Cocluido, ( ) L [ F() ] co(( )) ( ( )) H( ) (6)

12 Equaçõ Difrciai - Traformada d Laplac com () Propridad : (TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS) S L [ ( ) ] F( ) f coiua por par, ão L [ f ( ) ] F( ) f ( ) Prova: L [ f ( ) ] f ( ) d f ( ) f ( ) d f ( ) L [ ( ) ] Propridad 5: (DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR) S L [ ( ) ] F( ) coíua por par, ão ( [ ] ( ) ( ) ( ) ( F f f f ) ( ) f ( ) ( ) ) L f ( ) f, f f f () é K (7) Prova: A dmoração é obida plo Pricípio Idução Mamáica obr, ficado a prova como xrcício Exmplo : S L [ co() ], calcul L [ ) ] 9 ( Uado a liaridad a propridad acima, mo qu L [ ( ) ] L ( co() ) ão L f ( u) L f ( ) d d 9 (8) Propridad 6: (TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS) S L [ ( ) ] F( ) ( ) F du Exmplo : L ( u) du ( ) Propridad 7: (MULTIPLICAÇÃO POR T) S L [ ( ) ] F() d F [ ] ( ) ( ) ( ) F( ) ( ) f, f, ão, para odo aural, (9) d Prova: Sabdo qu F () f ( ) d, a prova é obida uado- o Pricípio da Idução obr Na ba d idução ( ), uamo a rgra d Libiz para difrciação, ou ja, d d f ( ) d [ ] f ( ) d f ( ) ( ) d L [ f ( ) ], ()

13 Equaçõ Difrciai - Traformada d Laplac io é, L [ f ( ) ] F( ) d, o qu comprova a validad da quação (9) para d No pao d idução, vamo upor ão qu a Eq (9) é valida para k, vamo morar ua validad para k Aim, d [ ( )] d k k L [ f ( ) ] L f ( ) o qu dmora a propridad L [ ] L [ ] k L f ( ) Exmplo 5: S L [ ] k k d k d F k d F [ ] ( ) ( ) ( ) ( ), () d k k d d, ão, pla propridad 7 acima, mo qu d () d ( ) d d () ( ) Exmplo 6: Calcul a raformada d Laplac d f (),, < f () Uado a fução d Haviid (vid ção 5 abaixo), a fução f() acima é rcria como H( ) Para calcular ua raformada d Laplac podmo uar a propridad, ou 7, dd qu ommo cro cuidado Por uma quão d implicidad, acolha- uar, mpr qu poívl, primiram a propridad, dpoi a, por úlimo a 7 Aim, L [ f ()] L [( )H( ) ] { L [ ] } ( ) ( ) () ( ) Propridad 8: (FUNÇÕES PERIÓDICAS) S f() é uma fução priódica com príodo T, io é, f ( T) f(), para odo, ão L [ f ( ) ] T f( ) d T (5)

14 Equaçõ Difrciai - Traformada d Laplac Prova: S f() é uma fução priódica com príodo T, ão, od é um úmro iiro, mo qu f ( ) f ( T) f( T) K f ( T ) K T T f T T T d Aim, obmo qu: ( ) d f ( ) d f ( ) d f() K ão, fazdo mudaça d variávl a igrai da Eq (6), rula:, (6) ( ) T T ( ) ( T ) ( ) ( ) T T f d f d f T d f ( T) d K (7) Uado a priodicidad da fução f() lmbrado qu x, x <, obmo: x f T T ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) kt k T T f()d T T f ( ) d, T T d K (8) como quríamo dmorar f Exmplo 7: Drmi F() L [ f ( ) ], od, < (9), < ( ) f ( ) f ( ), para odo Uado a propridad 8 acima, obmo qu: F() f ( ) d d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) / / ( / / / gh / ) ( ) (5) TEOREMA DA CONVOLUÇÃO: Muia vz, para rolvr Equaçõ Difrciai pla aplicação da raformada d Laplac, prciamo ivrr fuçõ do ipo [F()G()] Para ao, vamo dfiir a Covolução r dua fuçõ f() g() Dfiição: A covolução d dua fuçõ f() g(), doada por f g, é dfiida por:

15 Equaçõ Difrciai - Traformada d Laplac f () g() f( τ) g( τ) dτ () Obrva- qu ral poiivo f g é uma fução d, é fácil morar qu, ( f g) () ( g f )( ), para odo Torma da Covolução: S L [ f ( ) ] F() L [ ( ) ] G() L [( *g)()] F( ) G ( ) g, ão: f () ou, implm, L [ F( ) G( ) ] ( f g) () () ( du ( ) Exmplo : Prov qu u) co( u) Coidrado F() L [ ( ) ] G() L [ co() ] Covolução qu:, obmo do orma da ( u) co( u) du L [ F( ) G ( ) ] L ( ) () obmo, da propridad 5 da ção arior, qu L ( ) L [ ( ) ] ( ) d d ( ) ( ), (5) o qu comprova a afirmação acima Exmplo : Calcul a raformada ivra d F() ( ) Sab- qu L L Aim, ( ) L ( ) L ( ) u ( u u ) u ( u)u du du ( )( u ) u ( )( ) u u u u ( )( ) ( ), (6) 5

16 Equaçõ Difrciai - Traformada d Laplac do qu o cálculo da igral acima, foi uilizada dua vz a écica d igração por par Obrvação: Para ivrr a raformada d Laplac acima, ria mai impl uar o orma d Haviid Para mai xmplo rolvido vr o livro Traformada d Laplac, colção Schaum, d Murray Spigl, ou Modra Irodução à Equaçõ Difrciai, colção Schaum, d Richard Broo 5 A FUNÇÃO DE HEAVISIDE A fução d Haviid, ambém chamada d fução Dgrau Uiário, a qual doarmo por H(x) ou U(x), é dfiida como:, x < H ( x) (5), x H(x) (x) H ε x ε ε x (a) (b) Figura 5: A fução d Haviid a fução H ε (x) Ea fução é aprada a figura 5a dv r pada fiicam como a idalização da fução coíua H ε (x), rprada a figura 5b, coidrado ε D acordo com a dfiição d H(x), obmo a ralação da fução, ou ja:, x < c H ( x c) (5), x c Além dio, dada uma fução f(x) qualqur, podmo coruir a gui fução:, x < c g ( x) H( x c) f ( x), (5) f ( x ), x c ou ja, ralaçõ da fução d Haviid podm r uada para ligar uma fução f(x) qualqur Na vrdad, la ambém podm r uada para ligar dligar uma fução, ambém, para dligá-la Para ao, coidrmo a gui opraçõ com ralaçõ da fução d Haviid: 6

17 Equaçõ Difrciai - Traformada d Laplac a) Dado x x rai, com x < x, coruímo: x < x H ( x x ) H( x x) x x < x, (5) x x a qual, muliplicada m oura fução f(x), liga a o poo x dliga-a m x (vid Fig 5b) -H(x-x ) H(x x) H(x x) x x x x x (a) (b) Figura 5: Combiaçõ liar d ralaçõ da fução d Haviid b) Dado um valor ral x, podmo dfiir:, x < x H( x x ), (55), x x a qual, muliplicada m oura fução f(x), dliga-a o poo x (vid Fig 5a) A Drivada d H(x): Sgudo o cocio fudamai do cálculo difrcial, a drivada H ( x) ria ula para odo x ão ria dfiida a origm No ao, a fíica prcia d uma mlhor xplicação d qual a variação m x da fução H(x) Para ao, pado H(x) como do o limi, quado ε, da fuçõ coíua (x), dada pla figura 5b, obmo qu: H ε, ε < x < ε H ε (x) ε (56), x < ε ou x > ε ( x) dx H ε (57) Eão, omado- o limi H ( x ) dx ε, a drivada ( x) H aumirá um valor ão grad m x, al qu: (58) 7

18 Equaçõ Difrciai - Traformada d Laplac Vrmo qu a propridad é uma caracríica da fução dla qu rá iroduzida a guir 6 O DELTA DE DIRAC Na fíica, frqüm coramo o cocio d um pulo d duração ifiiam cura Por xmplo, um corpo m rpouo poo m movimo por mio d um golp iaâo, adquir um momo igual a impulão do choqu, ou ja, τ I mv F( ) d, (6) m qu F() é a força τ é a duração da ação da força A digação golp igifica qu τ é ão pquo qu a mudaça o momo ocorr iaaam Ma, como al mudaça o momo é d um valor fiio, obrva- qu F() dv r ido ifiia dura o golp ula o ouro ia E ipo d formulação ão é corra com o cocio comu d uma fução mamáica, io é, F() ão é uma fução, ma, apar dio, é raada formalm como do uma fução, prmiido o ablcimo d vária propridad, do qu, plo uo da, obém- rulado corro Em vrdad, alvz a dfiição ão ja m mmo fiicam rigoroa Na ralidad, o gráfico da força dvria r o d uma fução form cocrada, com uma ampliud muio grad m comparação ao príodo d ua aplicação, d forma qu a ára ob a curva ja igual a um dado valor I Na maior par do cao, ão cohc a forma xaa da fução upr-cocrada F(), porém o qu é igifica é a iidad d impulão dada pla igral (6) o ia o qual ocorru o impulo, ou ja, Ea fuçõ form cocrada ão frqüm corada a fíica Por xmplo, o circuio lérico, corr form cocrada d duração muio cura ocorrm m proco o quai fcha ou abr um circuio A fim d faciliar opraçõ da fíica mamáica, Paul Dirac propô a irodução da fução dla δ ( x ), qu é dfiida iformalm por:, x δ( x ) (6), x o gráfico da fução é morado a Figura 6 abaixo grad qu: Na vrdad, ( x ) δ é dfiida como do ula, para odo x, u valor m zro é ão δ( x) dx (6) 8

19 Equaçõ Difrciai - Traformada d Laplac δ (x) x Propridad: a) δ ( x) δ( x), ou ja ( x ) Figura 6: A fução dla d Dirac δ é uma fução par Ea propridad é obida diram da dfiição f b) ( x ) δ ( x) dx f ( ) Ea propridad é provada plo orma da média para igrai, ou ja, ε ε f ( x) δ ( x ) dx f ( ς) δ( x) dx f ( ς), (6) ε ε od ς [ ε, ε] f(x) é uma fução coíua Aqui, a igral é coidrada o irvalo [ ε ε],, poi δ ( x ) é ula fora d Também, f(ς) pod r ubiuída por f() m rro aprciávl A propridad acima é alguma vz chamada d propridad d filragm da fução dla, poi δ ( x ) lcioa o valor m zro d f(x) f c) ( x) δ ( x a) dx f( a) Prova- a propridad fazdo a mudaça d variávl y x a a propridad Ea propridad pod r rcria d uma forma mai uual, ou ja, x f ( x) δ ( x a) dx f ( a), (65) x dd qu a [x, x] Obrvação: δ Io é poívl poi ( x ) δ é ula fora d irvalo dh δ dx No coxo do cálculo difrcial com o uo da fução dla, podmo dizr qu ( x ) ( x ) dh ( x c) ( x c) dx, od H(x) é a fução d Haviid 9