2 x. ydydx. dydx 1)INTEGRAIS DUPLAS: RESUMO. , sendo R a região que. Exemplo 5. Calcule integral dupla. xda, no retângulo

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1 Intgração Múltipla Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva UTFP Campus Cornélio Procópio )INTEGAIS DUPLAS: ESUMO Emplo Emplo Calcul 6 Calcul 6 dd dd O fato das intgrais rsolvidas nos mplos srm iguais Não é acidntal. S f é contínua, ntão as duas intgrais itradas são smpr iguais. Dizmos qu a ordm é irrlvant. Entrtanto, uma boa scolha da ordm pod simplificar os cálculos. Em alguns casos, pod não sr possívl calcular a intgral dupla para uma scolha sr possívl para outra. Vrmos isso mais tard com mplos. Emplo a) b) Calcul as intgrais abaio: dd dd c) cos 6 dd. Torma: Sja o rtângulo dfinido plas dsigualdads a b, c d. S f(,) for contínua nst rtângulo, ntão: b d d b f (, )da a c f (, ) dd c a f (, ) dd Emplo Calcul intgral dupla da, sndo a rgião qu consist d todos os pontos (,) tais qu. Emplo Calcul a intgral, :,. da, no rtângulo Obs: Frqüntmnt o rtângulo, :a b,c d é prsso como, bc,d a por simplificação. Emplo 6 Dtrmin o volum do sólido limitado acima plo plano z abaio plo rtângulo,,. Emplo 7 Calcul sn ()da, ond,,. Intgrais duplas sobr rgiõs gnéricas.. Dfinição a) Uma rgião do tipo I é limitada à squrda à dirita por rtas vrticais =a = b é limitada abaio acima por curvas contínuas =g () = g (), ond g () g () para a b. b) Uma rgião do tipo II é limitada abaio acima por rtas horizontais =c = d é limitada à squrda à dirita por curvas contínuas =h () = h (t), ond h () h () para c d Vja Fig Fig..

2 Intgração Múltipla Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva UTFP Campus Cornélio Procópio prsntamos na Fig. a rgião (bas dst sólido): Figura Tipo I Figura gião Assim,, logo a rgião é do Tipo I podmos intgrar dst modo: Figura Tipo II.. Torma a) S é uma rgião do tipo I ntão: b g () f (, )da a g () b) S é uma rgião do Tipo II, ntão: d h () f (, )da c h () f (, )dd f (, )dd V sultado: V u. v Emplo 9 dd Calcul a intgral I ( ) da, ond é a rgião limitada por Solução A rgião stá rprsntada na Fig.. Emplo 8 Calcular o volum do sólido dlimitado supriormnt plo gráfico d z, infriormnt pla rgião dlimitada por =, =, = latralmnt plo cilindro vrtical cuja bas é o contorno d. solução: Figura

3 Intgração Múltipla Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva UTFP Campus Cornélio Procópio Podmos vr qu a rgião pod sr nquadrada nos dois tipos: : ou : Logo, podmos rsolvr a intgral I plos dois tipos: ou ( ) da ( ) da sposta: Emplo Calcular I dd dd I sn( ) da ond é o rtângulo d vértics, π. Solução π π,,,,, π gião rprsntada graficamnt na Fig., Daí I sn( )dd Intgramos primiramnt m rlação à, obtmos: I I I. cos d cos - cos d d Agora, intgrando m rlação à, obtmos: I I sn sn I I sn Também podríamos scolhr a msma rgião porém intgrar d forma invrtida: I sn( ) d d. Porém sta scolha ncssitaria d intgração por parts. Emplo Calcular a Intgral I d d. Figura Podmos tr solução: Vrificamos qu não sria possívl rsolvr a primira intgral d pois a

4 Intgração Múltipla Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva UTFP Campus Cornélio Procópio função f () não possui primitiva lmntar. Assim, é ncssário mudar os limits d intgração. A rgião stá rprsntada graficamnt na Fig. 6, ond vmos qu a rgião é dada por: Assim, I d d A qual é possívl rsolvr. Assim tmos: I I I I. d d. d. d d tmos: Esta intgral podmos rsolvr por substituição d variávis. Assim tmos: I 8 I I 6 8 Figura 6 Emplo Calcul da, na rgião triangular comprndida ntr as rtas,. solução: Considramos como uma rgião do Tipo II. A rgião a rta horizontal corrspondnt ao ponto fio são mostradas na Fig. 7. Para intgrar numa rgião do tipo II, os limits squrdo dirito dvm sr prssos sob a forma =h () = h (). Por isso, dvmos rscrvr as quaçõs dos limits = + = + como = = rspctivamnt. Figura 7 A rta intrcpta a rgião na frontira à squrda = na frontira à dirita =. Esss são os limits d intgração d. Agora, movndo a rta primiro para baio dpois para cima la gra os limits d, sndo = =. Assim,

5 Intgração Múltipla Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva UTFP Campus Cornélio Procópio da da - d 68 d d d Nst mplo podríamos tr tratado como uma rgião do Tipo I, ntrtanto nst caso a frontira suprior é a rta = ( Vja Fig 8) a frontira infrior consist m duas parts, a rta = - + à squrda a rta = + à dirita da origm. Para fazr sta intgração dvmos sparar a rgião m duas parts conform mostra a Fig. 8. Assim, a solução da intgral dvria sr: da da d d O rsultado dsta intgração é o msmo mostrado antriormnt. Invrsão da ordm d intgração Às vzs, o cálculo da intgral itrada pod sr simplificado invrtndo-s a ordm d intgração. Est próimo mplo ilustra sta situação. Emplo Calcul d ou da d d d d Como não ist antidrivada lmntar d, a intgral não pod sr rsolvida intgrando-s primiro m rlação a. Para solucionar st problma dvmos calcular ssa intgral prssando-a com a ordm invrsa d intgração. Na intgração intrna, stá variando ntr as rtas / =. Vja Fig 9. Invrtndo a ordm d intgração dvmos dfinir os limits. Obsrvando a Fig. 9, podmos vr qu fiando d à, irá variar d zro à. Figura 9 Assim, ssa intgral dv sr scrita como s sgu: Figura 8

6 Intgração Múltipla Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva UTFP Campus Cornélio Procópio 6 - d d d d d d Emplo Sja a rgião do plano - dlimitada plos gráficos d =. Calcul I ( ) da. Solução: A Fig aprsnta o gráfico dsta rgião. ( ) da utilizando a rgião, tmos: ( ) da dd dd Vrificamos qu ambas as intgrais possum o msmo rsultado, isto é, I Emplo Dada I = cos d d, invrta a ordm d intgração calcul a intgral rsultant. Solução: Obsrvamos qu da manira como stá dfinida sta intgral, fica difícil a sua rsolução. Assim, uma mudança na ordm d intgração podrá nos facilitar o trabalho. Obsrvamos pla Fig. qu a rgião stá dfinida com as frontiras squrda dirita plos gráficos d =, rspctivamnt com Figura Vrificamos qu a rgião pod sr scrita das duas formas, sndo: ou Utilizando a rgião, tmos: Figura Notamos qu também pod sr dfinida plas frontiras infrior suprior dadas por

7 Intgração Múltipla Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva UTFP Campus Cornélio Procópio 7 rspctivamnt, com. Assim, a intgral pod sr calculada como sndo: I= I = I = I = cos cos d d cos d d cos d d Esta intgral pod sr rsolvida com uma simpls substituição d variávis. (u). Assim, tmos qu: I =. EXECÍCIOS DE INTEGAIS MÚLTIPLAS E. Calcul as intgrais duplas abaio: a) c) ) g) i) E.6 Calcular d d, ond é o dd b) ( )dd rtângulo, 6. ( )dd d) ( )dd E.7 Calcular 8 d d, ond é dd f ) ( )dd a rgião dlimitada por. dd h) dd 6 E.8 Calcular sn d d, ond dd E. Calcul j) f (, )dd ond: dd a)f (, ), é o rtângulo b)f (, ), é o rtângulo c)f (, ) cos(), é rtângulo d)f (, ) ln, é o rtângulo )f (, ), é o rtângulo D E. Calcul da, ond D: E. Dtrmin o volum do sólido qu stá contido abaio do parabolóid z acima da rgião D do plano limitada pla rta = pla parábola =. E. Calcul a intgral sn ( ) d d é a rgião dlimitada por,. E.9 Calcular é o rtângulo, sn sn d d, ond

8 Intgração Múltipla Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva UTFP Campus Cornélio Procópio 8 E. Calcular ln d d, ond é o rtângulo, - E. Calcular d d, ond é a rgião dlimitada por,. E. Calcular spostas d d, ond é a rgião dlimitada por -,, -. E.. a) b) c) d)/ ) f)/6 g) 6 h) i) j)/ E. a ) b) c ) d) ln ln )ln 6ln E. E. E. cos E E7. E. 78 E. ) INTEGAIS TIPLAS E8. E. E9. Torma S f é contínua m uma caia rtangular B a,b c,d r,s, ntão: s d b B f (,, z)dv r c f (,, z)dddz Emplo 6 Calcul f (,, z)dv, G nos sguints itns, sndo: a a)f (,, z) z sp: 68 b)f (,, z) z, com 7 sp: c)f (,, z) z sp: 6 b)f (,, z) (, com- - z, z, comt :,,, ) z, com - z 68 sp: EXECÍCIOS E. Calcul as sguints intgrais triplas: a ) dzdd b ).dzdd c ) d ) ) f ) g ) h)) spostas: a) b) ) f) dzdd dzdd z dzdd z g) 8 c), dz d d dz d d 9 8 d) 8 h) dz d d