Augusto Massashi Horiguti. Doutor em Ciências pelo IFUSP Professor do CEFET-SP. Palavras-chave: Período; pêndulo simples; ângulos pequenos.

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1 DETERMNAÇÃO DA EQUAÇÃO GERAL DO PERÍODO DO PÊNDULO SMPLES Doutor m Ciências plo FUSP Profssor do CEFET-SP Est trabalho aprsnta uma rvisão do problma do pêndulo simpls com a dmonstração da quação do príodo do pêndulo simpls não linar, isto é, não usando a aproximação sno(o) = O,mas mostrando a xpansão para chgar à quação qu não fica limitada a pqunos ângulos. Palavras-chav: Príodo; pêndulo simpls; ângulos pqunos. This articl prsnts a study about th simpl pndulum problm with th dmonstration 01 th non-linar priod quation 01simpi pndulum, that is, without using th approximation sno(o) = O, but showing th xpansion to rach th quation that is not limitd to small angls. Ky-words: Priod; simpl pndulum; small angls. NTRODUÇÃO o studo d movimntos priódicos (Nussnzvig, 1983), tm norm importância para comprnsão d divrsos problmas mcânicos. Dntr os divrsos casos, o pêndulo simpls (Yung-Kuo, 1984), é o mais fácil d sr rproduzido, visto qu ncssitamos apnas d um fio ou similar um corpo d massa lvada quando comparada com a do fio, d modo qu a massa dst último pod sr dsprzada m primira aproximação. Assim, o cntro d massa do sistma massa-fio stará muito próximo do cntro d massa do corpo. Caso s quira um problma mais complxo, basta lvar m conta ambas as massas trmos uma abordagm dada plo pêndulo composto (Symon, 198). O problma do pêndulo simpls prmit divrsas abordagns, sja para a simpls dtrminação d um modlo simplificado para a quação do príodo (Marion,1991), sja para dtrminação mpírica da quação do príodo (Silvira, 1986 Horiguti; Pascholati, 00), sja para a dtrminação do cálculo da gravidad (Lima; Piacntini, 1984), ou como mot para introdução do cálculo numérico (Castro Barbosa; Carvalhas; Costa, 006). Em gral, a maioria das abordagns trabalha com a xprssão do príodo do pêndulo simpls para pqunos ângulos: T~ 7rJ! ' o qu d crta forma possui uma crta limitação qu não atrapalha a anális d dados. Nosso objtivo consist m dmonstrar a quação m sgunda aproximação, a qual stá mais próxima da ralidad não fica rstrita a pqunos ângulos. Para isto, irmos rsolvr a quação difrncial do pêndulo simpls: d ml- dt = -mgsn(), sm utilizar a aproximação sn (9) 9 para ângulos pqunos. N st trabalho irmos fazr uma rvisão do problma do pêndulo simpls para Sinrgia, São Paulo, v. 7, n. 1, p , jan.jjun. 006

2 qualqur ângulo, iniciando com a rsolução para pqunos ângulos, finalizando com a dtrminação da quação do príodo para qualqur ângulo (Mdina; Vlazco; Salinas, 006) a comparação com o modlo simplificado. RESOLUÇÃO DO PÊNDULO SMPLES PARA PEQUENOS ÂNGULOS o problma do pêndulo simpls pod sr rprsntado pla figura 1, na qual tmos um corpo suspnso por um fio, ond a massa do corpo é muito maior do qu a massa do fio, fazndo com qu o cntro d massa do sistma corpo-fio praticamnt coincida com o cntro d massa do corpo. Dsta forma, podmos tratar o problma analisando as forças sobr um ponto qu é o cntro d massa do corpo. 18 Figura. Rprsntação das forças atuants no pêndulo simpls. Dcompondo a força Pso nas componnts tangncial (Pta) normal (PN)' vrificamos qu a rsultant das forças srá: F R l = -Etan = -mgsn() Para rsolvrmos o problma, usamos a sgunda Li d Nwton d forma qu, scrvndo m coordnadas polars: d mt - = -mg sn (). dt Em gral, a rsolução dsta quação difrncial utiliza a aproximação para pqunos ângulos d forma qu o problma fica smlhant à quação do MHS: ond d f':::-@o, = ~ jf-. Usando a dfinição d pulsação, isto = Jf,o príodo do pêndulo simpls srá T dado por T = Jf~ Lmbramos qu sta rsolução fica limitada m trmos d ângulo, impossibilitando análiss para movimntos d maior amplitud. EQUAÇÃO DO PERÍODO PARA QUALQUER ÂNGULO Nosso problma consist m rsolvr a quação difrncial (ED) sm a aproximação angular, isto é,.. g = sn Jl ' supondo qu o pêndulo foi abandonado d um ângulo 8, 0 Primiramnt usamos a dfinição da vlocidad angular:. d{}. d{}. {}= - ~ ()dt= - dt ~ ()dt= d{}. dt dt Multiplicando a dfinição acima nos dois mmbros da ED da quação difrncial tmos: Od{) = - g snôdi) ~ Oédt = - g snôdt). m qu o lado squrdo dssa quação pod sr rscrito como:..... dti,. dt).. 1 (') {}{}dt= -{}dt = {}-dt = ()d{)= -d\{} dt dt Sinrgia, São Paulo, v. 7, n. 1, p.59-63, jan.jjun. 006

3 nquanto qu no lado dirito da quação srá dado por - sn éb' = d (cos ). Dss modo, a ED ficará como: d(ép)= g d(cos9), a qual pod sr intgrada quação para ângulos d 8 0 até 8, nquanto qu a vlocidad angular varia d O atég : ij 8 Sd(tr)=~ Sd(cosB)~tr =~(cosb-cosbo)~ o for,. f ~ d = fi dt ~(cosb-cosbo) ft Para dtrminarmos o smipríodo d oscilação, tmos d intgrar sta quação d -8 0 até 8 0, ou sja: S o d (g T -8 0 ~ (cos - cos o ) = ~f. A rsolução dssa intgral não é trivial. Dvmos primiramnt usar a idntidad trigonométrica com o ângulo variando d -nl até n, vamos obtr: ~ 1fT = H-sn(6; }n($f d$ tmos: 1t Usando a xpansão binomial ( rn n(n + 1) l-x) =l+nx+ \: x +...! cosli = 1- sn' (~) 1 (1-sn'(6~1+sn'( ~ JJ =Hl~ As intgrais trigonométricas são conhcidas: Fazmos agora a mudança d variávl: por: Assim, a quação do príodo srá dada H 1 (8 0J 9 4(8 0J T=n -[l+-sn - +-sn - + g 4 64 d8 = sn(~ }OS($ )t$ l_sn(6; }n ($) + 5 sn6(80j sn s (8 0 J+...] Ao compararmos sta quação com o modlo simplificado, isto é, To = 1fl, vamos obtr uma rlação ntr as duas soluçõs: Sinrgia, São Paulo, v. 7, n. 1, p.49-63, jan.jjun. 006

4 T (Bo) 9 4(Bo) To= 1+ 4 sn + 64 sn + 5 6(Bo) (Bo) +sn - + sn a qual prmit qu sja confccionado um gráfico m trmos do ângulo inicial90' conform a gráfico 1. 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1, 1,1.> ~ L-" 1(:j4 nf ~ 1,0 O 31r4 (radianos) Gráfico 1. Rprsntação das rlaçõs ntr os príodos o ângulo inicial. Podmos notar qu o modlo simplificado do cálculo do príodo do pêndulo simpls é uma ótima aproximação para ângulos d até n1 radianos, visto qu a difrnça m rlação ao modlo mais prciso fica acima dos 99,5 %, nquanto qu a simplificação constitui uma boa aproximação até ângulos d n6 radianos, com uma prcisão d 98,0 %. Porém, msmo para ângulos supriors a n6 radianos, o modlo simplificado ainda proporciona uma boa stimativa para o cálculo do príodo do pêndulo, visto qu a prcisão mínima dst modlo fica m tomo dos 80,0 %, isto s stivrmos lvando m conta qu apnas uma oscilação srá analisada. O fato d o modlo simplificado não dpndr da amplitud proporciona divrsas facilidads m trmos xprimntais. Em trmos xprimntaisé muito comum sugrirmos o uso d pêndulos com um grand comprimnto, visto qu os ângulos pqunos são mais fácis d srm obtidos, fazndo com qu o xprimnto fiqu rstrito aos limits m qu o modlo simplificado constitui uma boa aproximação. sto justifica o fato d qu não é comum a utilização do modlo mais prciso m xprimntos do nsino médio, apsar d constituir um ótimo momnto para discussão dos limits dos modlos matmáticos, d forma a dmonstrar qu muitas vzs um modlo simplificado pod xplicar muito bm um dtrminado fnômno dntro d crtos limits qu s podm construir modlos mais complxos, os quais aprsntam rsultados qu s aproximam mais da ralidad. Sinrgia, São Paulo, v. 7, n. 1, p , jan.jun. 006

5 REFERÊNCAS CASTRO BARBOSA, A. C.; CARVALHAES, C. G..; COSTA, M. V. T. A computação numérica como frramnta para o profssor d fisica no nsino médio. Rvista brasilira d nsino d fisica, v. 8, 006, p HORGUT, A. M.; PASCHOLAT, C. E. Dtrminação mpírica do príodo do pêndulo simpls. Apostila d fisica para o Tcnolágico, CEFET-SP, 00. LMA, F. R. R.; PACENTN, Pêndulo simpls - um método simpls ficint para dtrminar g: uma solução para o nsino médio. Cadrnos catarinnss d nsino d fisica. (1) p Florianópolis, dz MARON, J. B. Dinámica clásica d as partículas y sistmas, p , Barclona: Rvrté, MEDNA, C.; VELAZCO, S.; SALNAS, 1. Control xprimntal di modlo d pêndulo matmático, Rvista brasilira d nsino d flsica, v. 4, 006, p. 54. NUSSENZVEG, H. M. Curso d fisica. V., p Rio d Janiro: Edgard Blüchr, SLVERA, F. L. Estudo mpírico da rlação ntr o príodo a amplitud d um pêndulo simpls. Cadrnos catarinnss d nsino d fisica, 3 (3) p , Florianópolis, dz SYMON, K. R. Mcânica, p Rio d Janiro: Campus,. d., 198. YUNG-KUO, L. Problms and solutions on mchanics, p. 0-1, World scintific, Sinrgia, São Paulo, v. 7, n. 1, p ,jan,jun. 006