PSI-2432: Projeto e Implementação de Filtros Digitais Projeto Proposto: Conversor de taxas de amostragem

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1 PSI-2432: Projto Implmntação d Filtros Digitais Projto Proposto: Convrsor d taxas d amostragm Migul Arjona Ramírz 3 d novmbro d 2005 Est projto consist m implmntar no MATLAB um sistma para troca d taxa d amostragm sistmas dss tipo são utilizados m tlcomunicaçõs m sistmas multimídia). Nas páginas sguints você ncontra uma discussão sobr toria d sistmas com variação d taxa d amostragm. O sistma qu você dv implmntar stá dscrito abaixo as sçõs rfridas abaixo stão nas páginas sguints). Projt implmnt no MATLAB um dizimador d 48 khz taxa alta) para 8 khz taxa baixa) um intrpolador d 8 khz para 48 khz. Para tst do su sistma, considr sinais na faixa d 0 a 4 khz, inicialmnt rprsntados na taxa alta, d ond são subamostrados para a taxa baixa postriormnt supramostrados para a taxa alta. Est último sinal pod ntão sr comparado com o sinal original. Sugrm-s sinais snoidais com frqüências tomadas numa grad mínima com pontos m 1 khz, 2 khz, 3 khz 4 khz com comprimnto igual a 100 ciclos do sinal d 1 khz. O sistma dizimador-intrpolador é composto por um filtro antirrcobrimnto Hz), um comprssor d taxa d amostragm M com fator M, um xpansor d taxa d amostragm M com fator M um filtro d rconstrução Fz), como stá squmatizado na figura abaixo. O filtro antirrcobrimnto Hz) dv garantir qu o sinal passant s localiz na banda-bas da taxa baixa dv tr ganho unitário na faixa d passagm conform discutido na Sção 1. Por outro lado o filtro d rconstrução dv bloquar as imagns do sinal da taxa baixa m torno d múltiplos da sua frqüência d amostragm para qu las não aparçam na taxa alta su ganho na faixa d passagm dv sr M conform discutido na Sção 2. É possívl projtar apnas Hz) tomar o filtro d rconstrução como Fz) = MHz). 1) Mça a distorção spctral logarítmica ntr cada sinal original sn) sua vrsão sn) após subamostragm sguida d supramostragm, dada pla xprssão D S = 1 N ) 20 log10 S N k ) 20 log10 Ŝ k 2. ) 2) k=1 1

2 sn) s a n) s M n) s 1 n) sn) Hz) M M Fz) 2

3 Dsconsidr as frqüências ω k m qu acontça 20 log 10 S k ) < 50 db ou 20 log 10 S k ) < 50 db. Dscrva o projto d sus filtros aprsnt os módulos d suas rspostas m frqüência as distorçõs spctrais logarítmicas D S obtidas. Obsrv os sinais rconstruídos aprsnt algum rsultado qu julgar intrssant. Você consgu rprojtar sus filtros para diminuir as distorçõs? Expliqu su procdimnto aprsnt os rsultados obtidos. 1 Dizimação Sja dado um sinal sn) à taxa alta f a, qu s dsja comprimir para f a /M. Para ntndr o qu acontc ao sinal no procsso d comprssão da taxa, imaginarmos ss procsso prcdido por um subamostrador qu opra na própria taxa alta. O amostrador opra com uma portadora pn) = k= qu modula o sinal sn), produzindo o sinal subamostrado δn km) 3) s a n) = sn) pn). 4) A transformada d Fourir m tmpo discrto TFTD) d pn) é P ) M 1 = 2π δ ω 2π ) M k. 5) Da Eq. 4), stablc-s a convolução S ) a = 1 π S jθ) P θ)) dθ, 6) 2π π qu, junto com a Eq. 5), dtrmina a TFTD d s a n) como S a ) = 1 M M 1 S 2π M k)). 7) O sinal s M n) dizimado plo fator M é obtido a partir do sinal subamostrado s a n) como s M n) = s a Mn), 8) tomando-s cada M ésima amostra dscartando-s as intrmdiárias. As TFTDs dssas sqüências rlacionam-s por s M n) n = 3 s a Mn) n 9)

4 qu, com a substituição d variávis m = Mn, fica S ) M = s a m) j ω M m, 10) m= qu pod sr rconhcida como S ) ) M = S a j ω M. 11) Ainda, usando a Eq. 7), obtém-s S M ) = 1 M M 1 S j ω M 2π M k)). 12) Para vitar a distorção d rcobrimnto aliasing ), apnas uma das rproduçõs spctrais do sgundo mmbro dv xistir no intrvalo d frqüência d intrss, qu é a banda-bas da taxa baixa. Para isso, S ) tm qu s anular além d ω = π/m até ω = π, obtndo-s ntão S M ) = 1 M S j ω M ). 13) Como a scala d frqüências d S M ) é xpandida m M vzs m rlação à scala d frqüências d S ), obtém-s pla TFTD invrsa um sinal s M n) = 1 π S ) M n dω 14) 2π π com a msma scala d amplitud qu o sinal sn), ou sja, o filtro antirrcobrimnto Hz) qu é ncssário usar ants do comprssor d taxa dv tr ganho unitário na faixa d passagm. 2 Intrpolação A intrpolação do sinal s M n) dado na taxa baixa f a /M para obtr sua rprsntação na taxa alta f a costuma-s fazr m duas tapas, qu são a xpansâo da taxa d amostragm a filtragm d rconstrução. O xpansor da taxa d amostragm simplsmnt abr spaço ntr as amostras do sinal sinal s M n), grando { ) n sm s n for múltiplo d M s 1 n) = M 0 caso contrário As TFTDs dssas sqüências rlacionam-s por n s 1 n) n = a s M 4. 15) ) n 16)

5 qu, com a substituição d variávis m = n M, fica S 1 ) = qu pod sr rconhcida como m= s M m) jmωm, 17) S 1 ) = S M jmω ). 18) Dsta vz a scala d frqüências d S 1 ) é comprimida m M vzs m rlação à scala d frqüências d S M ), portanto S M ) é priódica com príodo 2π/M. No ntanto, como aumntamos a taxa d amostragm por um fator M, o sinal obtido dv tr nrgia somnt na faixa 2π/M ω 2π/M. Isso significa qu é prciso passar o sinal s 1 n) por um filtro passa-baixas com cort m 2π/M. Ess filtro é qu raliza a intrpolação do sinal original ntr dois valors não-nulos d s 1 n) por isso o nom d filtro intrpolador...) Rpar qu s tomarmos um sinal sn) m uma taxa d amostragm f a, subamostrarmos o sinal para uma taxa f b = f a /M como visto antriormnt, s voltarmos para a taxa original usando um intrpolador, o ganho do filtro d intrpolação tm d sr M na faixa d passagm. 5