CONTINUIDADE A idéia de uma Função Contínua

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Sílvia Valgueiro Castilho
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1 CONTINUIDADE A idéia d uma Função Contínua Grosso modo, uma função contínua é uma função qu não aprsnta intrrupção ou sja, uma função qu tm um gráfico qu pod sr dsnhado sm tirar o lápis do papl. Assim, vrificar qu uma função não é contínua, a partir do su gráfico, é muito simpls. Obsrv os gráficos na figura a sguir. As primiras duas funçõs - f x r x - não aprsntam intrrupçõs, portanto, las são contínuas para todo valor d x. Mais ainda, las são contínuas m todo o su domínio (ou sja, para todo x no conjunto dos númros rais). As dmais funçõs - g x, h x, p x, q x - aprsntam intrrupçõs m x =, portanto, las não são contínuas m x =. Ou, dito d outro modo, las são contínuas m qualqur intrvalo qu não contém x =.

As primiras duas funçõs - f x r x - não aprsntam intrrupçõs, portanto, las são contínuas para todo valor d x.

2 Continuidad, Limits função dfinida m um ponto Bom, agora qu você já sab como distinguir uma função contínua d uma não contínua, a partir do su gráfico, vamos ampliar um pouco mais nosso conhcimnto acrca da continuidad d uma função. Para isso, vamos abordar d três casos difrnts: Caso - Considr os gráficos dscritos a sguir. Obsrv os gráficos das funçõs g(x) q(x). Você já aprndu qu las são dscontínuas, pois xist uma intrrupção m x = (uma bolinha abrta m g(x) uma assíntota vrtical m q(x)). Nss caso, dizmos qu as funçõs g(x) q(x) são dscontínuas m x = ( apnas m x = ). Ainda, as funçõs g(x) q(x) não stão dfinidas m x =, portanto, x = não faz part do Domínio. Nss caso, scrvmos g q não xist f () não xist q() Obsrv ainda, qu RESUMINDO: lim g x 7 x g x x lim g x 7 lim q x x lim q x q Ótimo! Prossguindo... Caso - Considr agora os gráficos dscritos a sguir.

Você já aprndu qu las são dscontínuas, pois xist uma intrrupção m x = (uma bolinha abrta m g(x) uma assíntota vrtical m q(x)).

3 Como antriormnt, as funçõs h(x) p(x) são dscontínuas, pois xist uma intrrupção m x = (as funçõs dão um salto m x = ). Nss caso, também dizmos qu as funçõs h(x) p(x) são dscontínuas m x = ( apnas m x = ). Difrnt do caso antrior, as funçõs stão dfinidas m x =, portanto, x = faz part do Domínio. Escrvmos ntão: Obsrv ainda, qu h 5 p xist h () xist p() RESUMINDO: lim hx7 x lim hx h h 5 x x x lim h x 7 lim p x lim p x x p Finalmnt... Caso 3 - Considr agora os gráficos dscritos a sguir. As funçõs f (x) r (x) são contínuas m x = ( m qualqur outro valor d x), pois as funçõs não aprsntam intrrupção m x = ( nm m nnhum outro valor d x). Nss caso, dizmos qu as funçõs f(x) r(x) são contínuas para todo valor d x. Vjamos ntão o qu acontc com o valor das funçõs m x = com o limit das funçõs quando x s aproxima d, para podrmos comparar como os casos antriors ond as funçõs ram dscontínuas m x =. Você pod obsrvar qu f 7 r xist f () xist r () Ainda, obsrvando atntamnt os gráficos d f (x) r (x), podmos concluir qu: x x lim f x 7 lim r x

Escrvmos ntão: Obsrv ainda, qu h 5 p xist h () xist p() RESUMINDO: lim hx7 x lim hx h h 5 x x x lim h x 7 lim p x lim p x x p Finalmnt... Caso 3 - Considr agora os gráficos dscritos a sguir.

4 Um olhar mais atnto para as xprssõs m dstaqu nos mostra qu, nss caso, lim f x f lim r x r x x o qu não acontcia nos casos antriors, ond as funçõs ram dscontínuas. CONCLUINDO: Dizmos ntão qu uma função satisfita: y f x é contínua m um ponto x = a s a sguint condição stá lim f x f a xa. Toda função polinomial y f x é contínua para todo x.. Toda função racional função dfinida como o quocint d duas funçõs polinomiais é contínua m todo o su domínio. Ou, dito d outra manira, uma função racional é contínua m qualqur intrvalo no qual su dnominador não s anula. 3. Quando uma função y f x stá dfinida m um intrvalo [a,b], dizmos qu: (a) y f x é contínua m x = a, s lim xa f x f a. (b) y f x é contínua m x = b, s lim xa f x f b. (c) y f x é contínua m x ab, s lim f x f x. 0, xx0 0

. Toda função racional função dfinida como o quocint d duas funçõs polinomiais é contínua m todo o su domínio.

5 Exrcícios ) Analis a continuidad das funçõs dadas. 3 x (a) f x x x m, (b) f x m, (c) f x m 3,4 x 5 cos x (d) f x m 0,π x () f x m, x ) Um circuito létrico muda, instantanamnt, d uma batria d 6 volts para uma d volts após sr ligado. Faça o gráfico da voltagm da batria m função do tmpo. Dfina uma função qu rprsnt o gráfico. Analis a continuidad da função. Justifiqu sua rsposta. 3) Encontr o valor d k para qu a função dada sja contínua para todo valor d x m [0,]. f kx, 0 x x, x x 3 4) Dtrmin o valor d k, s possívl, d modo qu a função dada sja contínua para todo valor d x. Justifiqu sua rsposta. 5) Considr a afirmação: 3 5x 0x, x f x x k, x S uma função não é contínua m um ponto, ntão la não stá dfinida nss ponto. Essa afirmação é vrdadira ou falsa? Justifiqu sua rsposta. 6) Dfina o valor da função dada m x = 5 d modo qu la s torn contínua m x = 5. f x x 4 3 x 5 Algumas Rspostas 6, 0 t 7 ) V t, t 7 3) k = 9 4) k = 0 f 6 6) 5 a função é dscontínua m t = 7 pois t7 limv t

Faça o gráfico da voltagm da batria m função do tmpo. Dfina uma função qu rprsnt o gráfico. Analis a continuidad da função. Justifiqu sua rsposta.

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