PROVA DE MATEMÁTICA APLICADA VESTIBULAR FGV CURSO DE ADMINISTRAÇÃO RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia C. Gouveia

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1 PROVA DE MATEMÁTICA APLICADA VESTIBULAR FGV CURSO DE ADMINISTRAÇÃO Profa. Maria Antônia C. Gouvia 1. A Editora Progrsso dcidiu promovr o lançamnto do livro Dscobrindo o Pantanal m uma Fira Intrnacional d Livros, m 01. Uma psquisa fita plo dpartamnto d Markting stimou a quantidad d livros adquirida plos consumidors m função do prço d cada xmplar. Prço d Vnda Quantidad Vndida R$ 100,00 30 R$ 90,00 40 R$ 85,00 45 R$ 80,00 50 Considr qu os dados da tabla possam sr xprssos mdiant uma função polinomial do 1 o grau y = a.x + b, m qu x rprsnta a quantidad d livros vndida y, o prço d cada xmplar. a) Qu prço d vnda d cada livro maximizaria a rcita da ditora? b) O custo unitário d produção d cada livro é d R$ 8,00. Visando maximizar o lucro da ditora, o grnt d vndas stablcu m R$ 75,00 o prço d cada livro. Foi corrta a sua dcisão? Por quê? 10a a b 30 a 1 y x a b 40 b 130 a) Sndo qu x rprsnta a quantidad d livros vndida y, o prço d cada xmplar, ntão R(x) = xy R(x) = x(-x + 130) R(x) = R(x) = x + 130x o valor d R(x) vai sr 130 máximo para x = 65 R(65) = = = 45 o valor do livro qu 45 maximiza a rcita é RESPOSTA: R$ 65,00 b) L(x) = R(x) C(x) L(x) = x + 130x 8x L(x) = x + 1x L(x) assum o valor máximo 1 para x = 61 L(61) = x L(x) = = 371 o prço d cada livro 371 dv sr ntão RESPOSTA: R$ 69,00.. A ditora fz também um studo sobr o lançamnto do livro m duas vrsõs: capa dura capa d paplão. A psquisa mostrou qu, s a vrsão capa dura for vndida por x rais a vrsão capa d paplão por y rais, srão vndidos, no total, 130x + 70y (x² + y²) xmplars das duas vrsõs. Por uma qustão d stratégia, o grnt d vndas dcidiu qu a vrsão capa dura dv custar o dobro da vrsão capa d paplão. a) Qual dv sr o prço d vnda d cada vrsão, d modo qu a quantidad d livros vndida sja a maior possívl? b) Nas condiçõs do itm a), quantos xmplars a ditora stima vndr no total? 1

2 a) A xprssão 130x + 70y (x² + y²) qu rprsnta o total d livros a sr vndido é uma função d x y, ou sja: f(x,y) = 130x + 70y (x² + y²). Como a vrsão capa dura dv custar o dobro da vrsão capa d paplão, x = y f(y,y) = 60y + 70y (4y² + y²) f(y,y) = 5y + 330y. 330 f(y,y) assum valor máximo para y = 33 x RESPOSTA: O prço do livro d capa dura dv sr R$ 66,00 o do d capa d paplão R$ 33,00. b) Para y = R$33,00, f(y,y) = 5(33) = RESPOSTA: 5445 livros. 3. No stand d vndas da ditora foram slcionados 5 livros distintos, grands, d msmo tamanho, 4 livros distintos, pqunos, d msmo tamanho. Els srão xpostos m uma pratlira junto com um único xmplar d Dscobrindo o Pantanal. a) D quantas maniras difrnts ls podm sr alinhados na pratlira, s os d msmo tamanho dvm ficar juntos Dscobrindo o Pantanal dv ficar m um dos xtrmos? b) No final da fira d livros, a ditora fz uma promoção. Numrou os livros da pratlira d 1 a 10, sortou um livro para o milésimo visitant do stand. Qual é a probabilidad xprssa m porcntagm d o visitant rcbr um livro cujo númro sja a média aritmética d dois númros primos quaisqur comprndidos ntr 1 10? a) LIVROS GRANDES LIVROS PEQUENOS Dscobrindo o Pantanal TOTAL 5!=10 4!= =880 LIVROS PEQUENOS LIVROS GRANDES Dscobrindo o Pantanal 4!=4 5!= Dscobrindo o Pantanal LIVROS GRANDES LIVROS PEQUENOS 1 5!=10 4!=4 880 Dscobrindo o Pantanal LIVROS PEQUENOS LIVROS GRANDES 1 4!=4 5!= TOTAL 1150 Ou:..5!.4! = RESPOSTA: 1150 maniras difrnts b), 3, 4, 5, 5, 6 7. O sortado pod rcbr um dos livros numrados d 1 a 10, ntr sts númros, os qu são a média aritmética d dois númros primos quaisqur comprndidos ntr 1 10, são, 3, 4, 5, 6 7. Logo a probabilidad pdida é: 6 60%. 10 RESPOSTA: 60%.

3 4. Um funcionário do stor d planjamnto da Editora Progrsso vrificou qu as livrarias dos três clints mais importants stão localizadas nos pontos A (0,0), B (1,7) C (8,6), sndo qu as unidads stão m quilômtros. a) Em qu ponto P(x, y) dv sr instalado um dpósito para qu as distâncias do dpósito às três livrarias sjam iguais? b) Qual é a ára do quadrado inscrito na circunfrência qu contém os pontos A, B C? a) O ponto P quidistant dos três pontos A, B C é o cntro da circunfrência qu circunscrv o triângulo ABC. Ao fazr o gráfico da qustão nota-s qu P é o ponto médio do lado AC : P, P 4,3. OUTRO MODO DE RESOLVER: PA PC x y (x 8) (y 6) 16x 1y 100 PB PA (x 1) (y 7) x y x 14y 50 L1/4; PB PC (x 1) (y 7) (x 8) (y 6) 14x y 50 4x 3y 5 4x 3y 5 4x 8y 100 (L L1) 5y 75 y 3 7x y 5 7x 3 5 x 4 RESPOSTA: P(4, 3). L ; L / 3 b) A mdida do raio da circunfrência qu passa plos pontos A, B C (figura acima), é a mtad do lado AC pois P é o ponto médio dst lado (O triângulo ABC é rtângulo). AC 8 6 RESPOSTA: 50u,a A figura mostra a maqut do dpósito a sr construído. A scala é 1 : 500, ou sja, 1cm, na rprsntação, corrspond a 500 cm na ralidad. Qual srá a capacidad, m mtros cúbicos, do dpósito? 3

4 O dpósito é constituído d um prisma rtangular ncimado por um prisma triangular. Como sua maqut foi construída na scala 1 : 500 rprsntando as suas dimnsõs rais por a, b, c d: 0,6 0,9 3 7, 1 a 300cm; a b d c 500 b 450cm; d 1500cm c 3600cm a = 3m; b = 4,5m; d = 15m c = 36m. O volum do dpósito, m m 3, é: 315 4, Pod-s também pnsar qu o dpósito tm a forma d um prisma rto cuja bas é formada por dois trapézios d bass b a + b, altura é d/. Assim o volum do dpósito pod sr calculado: b a b d 4,5 7,5 15 c RESPOSTA: 340m Em uma pard do stand d vndas havia um quadro d 50 cm d comprimnto por 45 cm d largura, tndo ao rdor uma moldura, como mostra a figura. a) Justifiqu por qu não são smlhants os rtângulos intrior xtrior à moldura. b) Exist algum númro ral positivo k qu, substituído no lugar d 5 cm, faria com qu os dois rtângulos do itm a) fossm smlhants? a) As razõs ntr as dimnsõs dos dois rtângulos são: Portanto os rtângulos não são smlhants. C C i 50 5 Li 45 9 Ci Li L C L b),com x x x x 0 x 0 50 x 45 x 50 x 45 x Portanto não xist valor positivo d x qu torn os rtângulos smlhants. 4

5 7. Uma livraria rcbu o pdido d um xmplar do livro Dscobrindo o Pantanal, para cada um d 11 clints. Ela dcidiu adquirir os 11 xmplars da Editora Progrsso vndr os livros a sus clints com um prço ntr 5% 10% a mais qu o prço consguido na ditora. A ditora lh propôs duas opçõs: (1 a ) Comprar 10 livros lvar 1 d graça. ( a ) Comprar 10 livros pagar somnt 9, adquirindo mais um xmplar, o 11 o, com um dsconto d 10% sobr o prço original. a) Qual das opçõs é mais vantajosa à livraria? b) S o prço original d cada livro na ditora for R$ 54,00, qual é o maior lucro qu a livraria pod obtr com a vnda dos 11 livros aos sus clints, m cada caso? a) Considrando qu a ditora vnda cada livro ao prço x. (1 a ) Valor a sr pago na aquisição dos 11 livros: 10x. ( a ) Valor a sr pago na aquisição dos 11 livros: 9x + 0,9x = 9,9x. CONCLUSÃO: A sgunda opção é mais vantajosa. b) Cada livro dvrá sr vndido por (1 + 0,1) R$54,00 = 1,1 R$54,00 = R$59,40. Na primira opção os 11 livros srão adquiridos por 10 R$54,00 = R$540,00. Os 11 livros srão vndidos por 11 R$59,40 = R$653,40. O lucro máximo srá d R$653,40 R$540,00 = R$113,40. Na sgunda opção os 11 livros srão adquiridos por 9,9 R$54 = R$ 534,60. Os 11 livros srão vndidos por 11 R$59,40 = R$653,40. O lucro máximo srá d R$653,40 R$ 534,60 = R$118,80. CONCLUSÃO: Em função do lucro a sgunda opção é mais vantajosa. 8. Para o consumidor individual, a ditora fz sta promoção na compra d crto livro: Compr o livro com 1% d dsconto conomiz R$ 10,80 m rlação ao prço original. Qual é o prço original do livro? A conomia é xatamnt os 1% d dsconto sobr o prço original. Logo: 0,1x = 10,80 x = 90. RESPOSTA: R$90, A ditora aplicou o lucro obtido m 011, R$ ,00, m um fundo d rnda fixa, a crta taxa d juro composta. Após 3 anos, dv rcbr um montant d R$ ,00. a) A qu taxa d juro anual aplicou su dinhiro? Us as informaçõs do gráfico abaixo para justificar a sua rsposta. b) Qual é a soma das duas raízs complxas da quação x 3 +3 x + 3x - 0,78 = 0 qu não são númros rais? 5

6 a) O montant d um capital C aplicado a uma taxa anual x por um príodo d n anos, é: M = C. (1+x) n = (1+x) x + 3x + x 3 = 1,78 x 3 + 3x + 3x 0,78 =0 Plo gráfico 0, é a raiz ral da quação x 3 + 3x + 3x 0,78 =0, logo a taxa d juro é 0% ao ano. b) A soma das raízs da quação x 3 + 3x + 3x 0,78 =0, é 3, como uma d suas raízs é 0,, ntão a soma das duas raízs complxas é 3 0, 3,. RESPOSTA: 3, 10. Para trabalhar na Fira Intrnacional do Livro, a ditora contratou três funcionários: Ana, Bto Carlos, com salários x, y z rais, rspctivamnt. O salário d Ana é igual à soma dos salários d Bto Carlos. No final da fira, a ditora pagou uma gratificação, d valor igual ao salário d Bto, a cada um dos três. Assim, Ana rcbu no total, R$ 300,00, a soma dos valors qu os três rcbram foi d R$ 5 400,00. Qual foi o valor da gratificação qu rcbram? x y z y 800 y z 300 4y z 4600 x y 300 x y z y z 5400 x z 4y 5400 z 700 RESPOSTA: O valor da gratificação foi d R$