Emerson Marcos Furtado

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1 Emrson Marcos Furtado Mstr m Métodos Numéricos pla Univrsidad Fdral do Paraná (UFPR). Graduado m Matmática pla UFPR. Profssor do Ensino Médio nos stados do Paraná Santa Catarina dsd Profssor do Curso Positivo d Curitiba dsd Profssor da Univrsidad Positivo d 2000 a Autor d livros didáticos dstinados a concursos públicos nas áras d matmática, matmática financira, raciocínio lógico statística. Sócio-dirtor do Instituto d Psquisas Projtos Educacionais Praxis d 2003 a Profssor sócio do Colégio Positivo d Joinvill dsd Sócio-dirtor da Emprsa Torma Produção d Matriais Didáticos Ltda. dsd Autor d matrial didático para sistmas d nsino do Grupo Positivo d 2005 a Profssor do Concursos Editora d Curitiba (CEC) dsd 1992, lcionando as disciplinas d raciocínio lógico, statística, matmática matmática financira. Consultor da Emprsa Rsult Consultoria m Avaliação d Curitiba d 1998 a Consultor m Estatística Aplicada com projtos d psquisa dsnvolvidos nas áras socioconômica, qualidad, ducacional, industrial liçõs dsd Mmbro do Instituto d Promoção d Capacitação Dsnvolvimnto (Iprocad) dsd Autor d qustõs para concursos públicos no stado do Paraná dsd 2003.

2 Juros simpls: montant, capital, prazo taxa Na tlvisão, m jornais, m rvistas ou m lojas, é comum ouvirmos falar m juros. Essa palavra também é mncionada quando nos rfrimos à dívida xtrna, às aplicaçõs financiras, ou msmo, a uma dívida pssoal qu, muitas vzs, não srá saldada à vista. Quando uma pssoa ou uma instituição dispõ d fundos para mprstar, o prço dss crédito é chamado d juro. Tcnicamnt, podmos dizr qu juro é o custo do crédito ou a rmunração do capital. O juro xist porqu muitas pssoas prfrm consumir sus bns no prsnt não no futuro. Dssa forma, s uma pssoa não tm todo o dinhiro ncssário para a aquisição d um produto, msmo assim, dsja adquiri-lo no momnto, dv havr uma compnsação por pagá-lo somnt no futuro. Fiqu atnto a algumas dfiniçõs importants: Capital ou principal bm ou quantia m dinhiro sobr o qual há rmunração. Taxa d juros coficint mprgado m uma unidad d tmpo xprsso como porcntagm do capital. Príodo ou tmpo tmpo m qu o capital srá rmunrado. Juros rmunração do capital. Montant capital inicial adicionado ao juro do príodo. Exmplo: Suponha qu uma pssoa aplicou um capital d R$1.000,00 a uma taxa d 20% ao ano plo prazo d três anos. Quanto rndrá d juros simpls ssa aplicação? Quando o rgim d capitalização é d juros simpls, o juro d cada príodo é calculado sobr o capital inicial: J 1 J 2 J ,20 200,00 213

3 O juro total srá a soma dos juros obtidos m todos os anos, ou sja: J J 600,00 E o Montant é a soma do capital com o juro: M Gnralizando, a fórmula para s calcular o valor do juro m um rgim d capitalização simpls é dada por: J C. i. t No xmplo antrior, sria possívl ftuar: J , D forma análoga, para s calcular o valor do montant m um rgim d capitalização simpls podríamos utilizar a sguint rlação: M C + J M C + C. i. t M C. (1 + i. t) Para usarmos ssas fórmulas, é ncssário qu a unidad d tmpo do prazo da taxa d juros sja a msma unidad d mdida do tmpo. Assim, s a taxa for 10% ao mês, por xmplo, o tmpo dv sr também mdido m mss. Taxas quivalnts taxas proporcionais Taxas proporcionais Duas taxas são considradas proporcionais quando os valors das taxas dos príodos formam uma proporção. Ou sja, quando rduzidas às msmas unidads, as taxas sjam iguais. 214

4 Exmplos: As taxas 1% ao mês 6% ao smstr são proporcionais. As taxas 5% ao trimstr 20% ao ano são proporcionais. Taxa quivalnts Duas taxas s dizm quivalnts s, aplicadas a um msmo capital plo msmo prazo d tmpo, ambas produzm o msmo montant. Exmplos: Em um rgim d juros simpls, são quivalnts as taxas: 1% ao mês 6% ao smstr; 5% ao trimstr 20% ao ano. Em um rgim d juros compostos, são quivalnts as taxas: 1% ao mês 6,15% ao smstr; 5% ao trimstr 21,63% ao ano. Conclusão: Os xmplos antriors sclarcm qu, no rgim d juros simpls, as taxas d juros proporcionais smpr srão taxas quivalnts, pois, s o capital é o msmo o príodo d tmpo também é o msmo, obrigatoriamnt a taxa dvrá sr a msma para produzir o msmo montant. No caso do rgim d juros compostos, as taxas proporcionais não são, m gral, taxas quivalnts, pois não produzm os msmos montants. Dscontos simpls Quando uma pssoa compra uma mrcadoria a paga à vista, m gral, rcb por isso um dsconto no pagamnto. Entrtanto, não é apnas m liquidaçõs ou promoçõs d vndas qu utilizamos o concito d dsconto. Exmplo: Paulo fz uma aplicação financira com vncimnto prdtrminado, ants da data do vncimnto, prcisa d dinhiro. Como l pod captar rcursos financiros utilizando o título adquirido na aplicação financira? 215

5 Paulo pod transfrir o título da aplicação para um trciro, rcbndo na transfrência o principal aplicado, adicionado aos juros qu foram capitalizados no príodo. Nss caso, há uma opração d dsconto, pois l prcisou trocar o título por dinhiro ants da data do vncimnto, por isso, não trá dirito ao valor nominal do título. N A i d D t O diagrama ilustra uma opração d dsconto, na qual um título cujo valor nominal (ou d fac) é igual a N (valor nominal) srá dscontado t príodos ants do vncimnto a uma taxa d dsconto i d. O valor atual A é o valor atual (valor dscontado) o valor D é o valor do dsconto. Dsconto racional, ral ou por dntro Um dsconto é dnominado dsconto racional, ral ou por dntro quando é calculado sobr o Valor Atual do título. Exmplo: José possui um título no valor nominal d R$11.000,00, com vncimnto m quatro mss. El prtnd dscontá-lo m uma instituição financira qu raliza o dsconto racional cobra uma taxa d juros simpls d 36% ao ano. Quanto srá o valor do dsconto do valor dscontado? Obsrv a ilustração: N A 4 mss 0 t 216

6 Das informaçõs do problma, tmos: N ,00 n 4 mss A taxa d 36% ao ano é proporcional a 3% ao mês, pois 036, 003,. 12 Quando o dsconto é sobr o valor atual, dv-s pnsar qu aplicando o valor atual nas condiçõs do dsconto racional, o montant é, na vrdad, o valor nominal do título: M C. (1 + i. t) N A. (1 + i. t) A. (1 + 0,03. 4) A. (1,12) A 112, A 9.821,43 Logo, o valor dscontado racional é aproximadamnt igual a R$9.821,43 o dsconto racional é a difrnça ntr o valor nominal o atual do título: D N A D ,43 D 1.178,57 Assim, o valor do dsconto é aproximadamnt igual a R$1.178,57. Fórmulas O montant é dado por: M C. (1 + i. t) Considrando M N (valor nominal) C A (valor atual), tmos: N A. (1 + i. t) 217

7 Isolando na quação antrior o valor atual, tmos: N A 1+it Essa quação prmit rlacionar o valor atual (A) com o valor nominal (N), a taxa d dsconto (i) o prazo d dsconto (t). Mas o dsconto é dado por: D N A Logo, sndo D r o dsconto racional, tmos: D r N N- 1 + it D N.( 1+ it ) - N r 1+ it D r Nit 1 + it Essa última quação prmit rlacionar o dsconto racional (D r ) com o valor nominal (N), a taxa d dsconto (i) o prazo d dsconto (t). Essas fórmulas são útis quando s dsja vlocidad na rsolução da qustão. Por outro lado, las s tornam dsncssárias s considrarmos qu o valor atual é o capital qu, quando aplicado nas msmas condiçõs do dsconto, tm como montant o valor nominal. Dsconto comrcial, bancário ou por fora Um dsconto é dnominado dsconto comrcial, bancário ou por fora quando é calculado sobr o Valor Nominal do título. Exmplo: José possui um título no valor nominal d R$11.000,00, com vncimnto m quatro mss. El prtnd dscontá-lo m uma instituição financira qu raliza o dsconto comrcial cobra uma taxa d juros simpls d 36% ao ano. Quanto srá o valor do dsconto do valor dscontado? 218

8 Solução: Obsrv a ilustração: N A 4 mss 0 t Das informaçõs do problma, tmos: N ,00 n 4 mss A taxa d 36% ao ano é proporcional a 3% ao mês, pois 036, 003,. 12 Quando o dsconto é sobr o valor nominal, dv-s aplicar dirtamnt sobr o valor nominal. Assim, dscontando-s o valor nominal obtém-s o valor atual: A N. (1 i. t) A (1 0,03. 4) A (0,88) A 9.680,00 Logo, o valor dscontado comrcial simpls é igual a R$9.680,00. O dsconto comrcial simpls é igual a: D N A D ,00 D 1.320,00 Assim, o valor do dsconto é igual a R$1.320,

9 Fórmulas O dsconto comrcial d um título, rprsntado por D c, por incidir sobr o valor nominal, é dado por: D c N. i. t Mas, o valor atual do título, rprsntado por A c, é dado por: Logo: A c N D c A c N N. i. t A c N. (1 it) O valor A c é dnominado valor atual comrcial. Concluindo, para rsolvr problmas d dscontos, basta lmbrar qu no dsconto racional, dv-s capitalizar A para s obtr N, no dsconto comrcial, dv-s dscapitalizar N para s obtr A. Taxa d juros ftiva A taxa d juros ftiva é a taxa aplicada sobr o valor dscontado comrcial (ou bancário), qu gra no príodo considrado um montant igual ao valor nominal. Taxa ftiva para dsconto comrcial simpls Sndo i a taxa ftiva, tmos: N N A c.(1+i. t) 1+ i. t A N -1 N Ac i. t - 1 i A t c m qu A c é o valor dscontado no caso d uma opração d dsconto comrcial, N é o valor nominal do título na data do corrspondnt vncimnto t é o prazo d tmpo do título. c 220

10 Vamos calcular a taxa ftiva d juros por mio d um xmplo já rsolvido antriormnt. Exmplo: João prtnd saldar um título d R$11.000,00, quatro mss ants do corrspondnt vncimnto. Sabndo-s qu o dsconto srá dado sobr o valor nominal, qual a taxa ftiva mnsal d juros da opração? Os valors ncontrados foram: N ,00 A c 9.680,00 t 4 mss A taxa mnsal ftiva d juros é dada por: i N Ac i t 4 0,0341 Portanto, a opração foi ralizada a uma taxa ftiva aproximada d 3,41% d juros simpls ao mês. Taxa ftiva para dsconto bancário Sndo i a taxa ftiva, tmos: N N A b.(1+i.t) 1+ i. t A N -1 N Ab i. t - 1 i A t b m qu A b é o valor dscontado no caso d uma opração d dsconto bancário, N é o valor nominal do título na data do corrspondnt vncimnto t é o prazo d tmpo do título. b 221

11 Exmplo: Juca prtnd mprstar d um banco qu cobra, m rgim d juros simpls, uma taxa d juros d 3% ao mês uma taxa administrativa fixa d 2%. El prtnd fazr um financiamnto saldá-lo pagando R$11.000,00 após 4 mss. Qual a taxa ftiva mnsal d juros no financiamnto? Os valors ncontrados foram: N ,00 A b 9.460,00 t 4 mss A taxa mnsal ftiva d juros é dada por: i i N -1 Ab t ,0353 Logo, a opração foi ralizada a uma taxa ftiva aproximada d 3,53% d juros simpls ao mês. Obsrvação: No caso d dsconto racional, a taxa d juros da opração financira é xatamnt igual à taxa ftiva dssa opração, pois ambas são calculadas sobr o valor atual ( não nominal), sm a adição d taxas administrativas. Nss caso, a taxa ftiva é também chamada d taxa d rntabilidad. Rlação ntr taxa ftiva taxa d juros para dsconto comrcial Para rlacionar a taxa ftiva com a taxa d juros para dsconto comrcial, vamos considrar os dscontos racional comrcial. Sndo i a taxa ftiva i a taxa para dsconto comrcial, tmos: 222

12 D r Ni.. t 1 + i. t D c Nit.. Como os dscontos dvm sr iguais, tmos: Exmplo: Ni.. t i Nit.. i 1+ it 1+ it i + i ii. t i - i. it i i i.( 1- it.) i i 1 - it. Numa opração financira d dsconto comrcial a taxa d juros simpls praticada é d 3% ao mês, um título foi dscontado com quatro mss d antcdência m rlação à data do corrspondnt vncimnto. Qual é a taxa ftiva mnsal d juros da opração financira? Das informaçõs do nunciado, tmos: i 3% ao mês t 4 mss Logo: i i 1 - it. i 003, 1-0, i 003, 088, 0,

13 Portanto, a taxa ftiva mnsal d juros na opração financira foi aproximadamnt igual a 3,41%. Rlação ntr dsconto racional comrcial Por mio d xmplos, obsrvamos antriormnt qu, nas msmas condiçõs, o dsconto comrcial é maior do qu o dsconto racional, ou sja: D c > D r Os dscontos comrcial racional são dados, rspctivamnt, por: D c Nit.. Nit D.. r 1 +it. Dividindo mmbro a mmbro as duas últimas quaçõs, obtmos: D D c r D D c r Nit.. Nit.. 1+ it. 1+ it. D D. 1+ it. c r ( ) Dssa forma, o dsconto comrcial pod sr intrprtado como sndo o montant do dsconto racional calculado para um msmo príodo msma taxa. Exmplo: O dsconto comrcial d um título dscontado quatro mss ants do corrspondnt vncimnto à taxa d 3% ao mês é d R$1.320,00. Qual é o dsconto racional? Do nunciado, tmos: i 3% ao mês t 4 mss D c 1.320,00 224

14 Então, o dsconto racional srá dado por: D D. 1+ it. c r ( ) 1.320,00 D.(1+0,03.4) r 1.320,00 1,12.D r D r , , r 1.178,57 Logo, o dsconto racional srá aproximadamnt igual a R$1.178,57. Juros compostos Vamos iniciar o studo dos juros compostos rcordando um xrcício qu foi rsolvido m juros simpls. Para ilustrar, suponha qu uma pssoa aplicou um capital d R$1.000,00 a uma taxa d 20% ao ano plo prazo d três anos. Quanto rndrá d juros compostos ssa aplicação? Informaçõs: Juros compostos. C 1.000,00. i 20% ao ano. t 3 anos. Para uma mlhor comprnsão dos dois rgims d capitalização, vamos aprsntar um studo comparativo por mio d uma tabla: 225

15 Juros simpls Juros compostos 1.º ano J ,00 x 0,2 x 1 200,00 M 1 C + J 1 M , ,00 M ,00 J ,00 x 0,2 200,00 M 1 C + J 1 M , ,00 M ,00 2.º ano J ,00 x 0,2 x 1 200,00 M 2 M 1 + J 2 M , ,00 M ,00 J ,00 x 0,2 240,00 M 2 M 1 + J 2 M , ,00 M ,00 3.º ano J ,00 x 0,2 x 1 200,00 M 3 M 2 + J 3 M , ,00 M ,00 J ,00 x 0,2 288,00 M 3 M 2 + J 3 M , ,00 M ,00 S foss ftuada m rgim d juros simpls, a aplicação rndria R$600,00. Já a aplicação no rgim d juros compostos, rndu R$728,00. Para ilustrar, obsrv nos gráficos os valors dos montants alcançados nos dois rgims a uma msma taxa d juros Montant (Rais) Juros simpls Juros compostos 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 Tmpo m (anos) 226

16 Cálculo do montant m juros compostos Um capital C aplicado a uma taxa d juros i durant um prazo t trá o montant M dado por: M C. (1 + i) t Substituindo os dados do problma, ncontramos o msmo valor do montant: M (1 + 0,20) 3 M (1,20) 3 M ,728 M O juro é smpr a difrnça ntr o montant o capital, ou sja: J M C J J 728 Na fórmula do montant, a xprssão (1 + i) t é chamada d fator d acumulação d um capital é, gralmnt, tablado para difrnts valors d i d t. Taxas quivalnts Duas taxas, rlacionadas com difrnts príodos d capitalização, são considradas quivalnts s, aplicadas ao msmo capital durant o msmo prazo d tmpo, produzirm montants d msmo valor. Exmplo: 1.ª aplicação: aplicar R$1.000,00, durant um ano, à taxa d 1% ao mês; 2.ª aplicação: aplicar R$1.000,00, durant um ano, à taxa d 12,68% ao ano. 227

17 Os montants obtidos m ambas as aplicaçõs trão o msmo valor, obsrv: Cálculo do montant à taxa d 1% ao mês: M 1.000,00. (1 + 0,01) ,80 Cálculo do montant à taxa d 12,68% ao ano: M 1.000,00. (1 + 0,1268) ,80 Como os montants produzidos são iguais, as taxas são quivalnts. Podmos rlacionar duas taxas quivalnts por mio da igualdad xistnt ntr os montants. Para xmplificar, considr um capital C as sguints taxas: M C. (1 + i p ) p M C. (1 + i q ) q Para qu ssas taxas sjam quivalnts, o montant produzido por ambas dv sr o msmo, logo: C. (1 + i p ) p C. (1 + i q ) q Dividindo ambos os mmbros da última igualdad por C, tmos: Exmplo: (1 + i p ) p (1 + i q ) q Em rgim d juros compostos, a taxa mnsal d 10% é quivalnt a qu taxa trimstral? (1 + i p ) p (1 + i q ) q (1 +0,10) 3 (1 + i t ) (1,10) i t 1, i t 1,331 1 i t i t 0,331 i t 33,1% ao trimstr 228

18 Logo, m rgim d juros compostos, a taxa mnsal d 10% é quivalnt à taxa trimstral d 33,1%. Quando a qustão é d quivalência d taxas, a idia é, a partir do msmo Capital, produzir o msmo montant o qu, consquntmnt, nos lvará à igualdad ntr os fators d acumulação d capital. Rsolução d qustõs 1. (Csgranrio) Uma mprsa ofrc aos sus clints dsconto d 10% para pagamnto no ato da compra ou dsconto d 5% para pagamnto um mês após a compra. Para qu as opçõs sjam indifrnts, a taxa d juros mnsal praticada dv sr, aproximadamnt, a) 0,5%. b) 3,8%. c) 4,6%. d) 5,0%. ) 5,6%. 2. (Csgranrio) Um título com valor d fac d R$1.000,00 faltando três mss para su vncimnto, é dscontado m um banco qu utiliza taxa d dsconto bancário, ou sja, taxa d dsconto simpls por fora, d 5% ao mês. O valor prsnt do título, m rais, é: a) 860,00. b) 850,00. c) 840,00. d) 830,00. ) 820, (Csgranrio) Uma quantia d R$20.000,00 aplicada a uma taxa d 2% ao mês no rgim d juros compostos, ao final d três mss, gra um montant, m rais, d: a) ,24. b) ,

19 c) ,16. d) ,00. ) , (Csgranrio) Uma loja ofrc um aparlho clular por R$1.344,00 à vista. Ess aparlho pod sr comprado a prazo, com juros d 10% ao mês, m dois pagamntos mnsais iguais: um, no ato da compra, outro, um mês após a compra. O valor d cada um dos pagamntos mnsais é, m rais, d: a) 704,00. b) 705,60. c) 719,00. d) 739,20. ) 806, (Csgranrio) João tomou um mpréstimo d R$900,00 a juros compostos d 10% ao mês. Dois mss dpois, João pagou R$600,00, um mês após ss pagamnto, liquidou o mpréstimo. O valor dss último pagamnto foi, m rais, aproximadamnt, a) 240,00. b) 330,00. c) 429,00. d) 489,00. ) 538, (Csp) Antônio fz dois invstimntos sguints, m qu ambos pagam juros compostos d 3% a.m. I. três dpósitos mnsais, conscutivos iguais a R$2.000,00; o primiro foi fito no dia 01/03/2009. II. dois dpósitos mnsais, conscutivos iguais a R$3.000,00; o primiro foi fito no dia 01/03/

20 Considrando qu M1 M2 sjam, rspctivamnt, os montants das aplicaçõs I II na data do trciro dpósito corrspondnt ao invstimnto I, assinal a opção corrta: a) M2 - M1 R$90,90. b) M2 - M1 R$45,45. c) M2 M1. d) M1 - M2 R$45,45. ) M1 - M2 R$90,90 7. (Csp) Uma instituição financira capta invstimntos ofrcndo a taxa intrna d rtorno d 5% ao mês. S, ao invstir dtrminada quantia, um invstidor fz duas rtiradas, uma no valor d R$10.500,00 um mês após a data do dpósito, outra, no valor rstant d R$11.025,00, dois mss após o dpósito, ntão o valor invstido foi igual a: a) R$18.000,00. b) R$18.500,00. c) R$19.000,00. d) R$19.500,00. ) R$20.000, (Csgranrio) O gráfico a sguir rprsnta as voluçõs no tmpo do montant a juros simpls do montant a juros compostos, ambos à msma taxa d juros. M é dado m unidads montárias t, na msma unidad d tmpo a qu s rfr à taxa d juros utilizada. Montant (M) Composto Simpls c 0 1 Tmpo (t) 231

21 Analisando-s o gráfico, conclui-s qu para o crdor é mais vantajoso mprstar a juros: a) compostos, smpr. b) compostos, s o príodo do mpréstimo for mnor do qu a unidad d tmpo. c) simpls, smpr. d) simpls, s o príodo do mpréstimo for maior do qu a unidad d tmpo. ) simpls, s o príodo do mpréstimo for mnor do qu a unidad d tmpo. 9. (Csgranrio) Júlio fz uma compra d R$600,00, sujita à taxa d juros d 2% ao mês sobr o saldo dvdor. No ato da compra, fz o pagamnto d um sinal no valor d R$150,00. Fz ainda pagamntos d R$ 159,00 R$206,00, rspctivamnt, dias dpois d contraída a dívida. S quisr quitar a dívida 90 dias dpois da compra, quanto dvrá pagar, m rais? a) 110,00. b) 108,00. c) 106,00. d) 104,00. ) 102, (FCC) Uma mprsa obtv um financiamnto d $ à taxa d 120% ao ano capitalizados mnsalmnt (juros compostos). A mprsa pagou $6.000 ao final do primiro mês $3.000 ao final do sgundo mês. O valor qu dvrá sr pago ao final do trciro mês para liquidar o financiamnto (juros + principal) é: a) $3.250,00. b) $3.100,00. c) $3.050,00. d) $2.975,00. ) $2.750,

22 Dica d studo D nada adianta uma pssoa tr boa dsnvoltura nos cálculos sm o domínio dos concitos. Da msma forma, d nada adianta uma pssoa dominar os concitos sm o plno dsnvolvimnto dos cálculos. Portanto, o êxito no studo da matmática financira rsid na prática d xrcícios no domínio dos concitos. Rfrências FURTADO, Emrson Marcos. Liçõs d Matmática Financira. CEC: Curitiba, MORGADO, Augusto C.; CESAR, Bnjamin. Matmática Financira. Rio d Janiro: Campus, MORGADO, Augusto C.; WAGNER, Eduardo; ZANI, Shila C. Progrssõs Matmática Financira. SBM Socidad Brasilira d Matmática: Rio d Janiro, Gabarito 1. Suponha qu o prço do produto m qustão sja igual a 100 rais. Com o dsconto d 10% sobr o prço anunciado, o valor à vista passa a sr igual a 90 rais. Para pagamnto após um mês, o dsconto é d 5%, ou sja, o pagamnto dv sr d 95 rais. Assim, o juro é d rais sobr o valor qu dvria sr pago à vista, 90 rais. Para calcular a qu prcntual corrspondnt a 5 rais, m rlação a 90 rais (100%), basta dividir 5 por 90. Assim, 5/90 0,056 5,6%. Rsposta: E 233

23 2. S o título srá dscontado por fora, ntão o dsconto é comrcial incidnt sobr o valor nominal do título. Como a taxa d dsconto simpls é igual a 5% ao mês o dsconto é ralizado 3 mss ants do vncimnto, ntão o dsconto srá d 3. 5% 15% sobr o valor do título. Assim, o valor prsnt do título srá 15% mnor do qu o valor nominal, ou sja, srá 85% do valor nominal. Portanto, o valor prsnt (dscontado) é dado por: A 0, ,00 850,00 Rsposta: B 3. O montant d um capital d R$20.000,00, após três mss m rgim d juros compostos à taxa d 2% ao mês é dado por: M (1,02) 3 M , M ,16 Rsposta: C 4. Suponha qu o valor da 1.ª prstação sja igual a x rais. O saldo dvdor, imdiatamnt após o pagamnto da 1.ª prstação, é igual a (1.344 x). Como st saldo dvdor srá quitado após um mês, havrá a incidência d juros na taxa d 10%, ou sja, a 2ª prstação dv sr igual a (1.344 x). 1,10. S as prstaçõs são iguais, dv-s tr: x (1.344 x). 1,10 x 1.478,40 1,10x 1,10x + x 1.478,40 2,10x 1.478,40 x 1.478,40/2,10 x 704 Rsposta: A 234

24 5. O mpréstimo d 900 rais tm saldo dvdor igual a 1, rais após um mês, , após dois mss. O pagamnto d 600 rais após dois mss, dixa saldo dvdor d S o último pagamnto srá fito após três mss do mpréstimo, ainda s dv considrar o juro d 10% sobr o saldo dvdor d 489. Assim, o último pagamnto é igual a 1, ,90., ou sja, aproximadamnt 538,00. Rsposta: E 6. Na data do 3.º dpósito do invstimnto I, o montant do invstimnto I, é dado por: M (1,03) (1,03) (1,03) 0 M , M ,80 Na data do 3.º dpósito do invstimnto I, o montant do invstimnto II, é dado por: M (1,03) (1,03) M , M ,70 Logo, a difrnça ntr M 2 M 1 é dada por: M 2 M 1 90,90 Rsposta: A 7. A taxa intrna d rtorno é aqula qu anula o Valor Prsnt do Fluxo d Caixa, considrando-s rcbimntos pagamntos. Vamos supor qu o invstimnto inicial é igual a X. Logo, com as informaçõs do nunciado, é possívl construir uma tabla qu aprsnt os rcbimntos pagamntos ao longo do tmpo: Tmpo (m mss) Invstimnto (m rais) X

25 Assim, s a TIR é igual a 5% ao mês, dv-s dscontar os valors rcbidos nos instants 1 2 para o instant zro (data focal), somar sts rcbimntos quando lvados à data zro, subtrair o invstimnto inicial igualar a zro o Valor Prsnt: VP X /(1,05) / (1,05) 2 0 VP X /(1,05) / (1,1025) 0 VP X VP X X Logo, o invstimnto inicial foi d R$20.000,00. Rsposta: E 8. O gráfico compara uma aplicação ralizada a juros simpls com outra a juros compostos. Ao final do príodo 1, os gráficos s intrsctam. Assim, ao final do príodo 01 as duas aplicaçõs obtêm o msmo rndimnto. Em um príodo maior qu 01 o montant m um rgim d juros compostos aprsnta maior rndimnto do qu o montant m juros simpls. Entrtanto, para o príodo infrior ao instant 01, o montant m juros simpls aprsnta maior rndimnto do qu o montant m juros compostos. Rsposta: E 9. Júlio pagou R$150 à vista. Logo, o saldo dvdor no instant inicial da compra é igual a Sobr ss saldo dvdor dv-s tr juro d 2%, ou sja, 1, é o saldo dvdor após um mês. S a prstação após um mês é igual a 159 rais, ntão o saldo dvdor srá Sobr ss saldo dvdor há juro d 2%, d modo qu a dívida passará a sr d 1, S o pagamnto após dois mss é d 206, ntão saldo dvdor srá

26 Uma vz qu a quitação srá somnt após três mss da data da compra, ntão o pagamnto ncssário para saldar a dívida dv sr 2% maior do qu 100 rais, saldo dvdor após dois mss, ou sja, dv sr d 1, rais. Ess problma também podria sr rsolvido projtando-s todos os pagamntos para o mês 3 após a compra ftuando a soma dos pagamntos mnos o valor da compra. Rsposta: E 10. A taxa d 120% ao ano é proporcional a 10% ao mês. Esta dv sr a taxa ftiva mnsal utilizada para atualizar o saldo dvdor. O financiamnto é igual a Após um mês, o saldo dvdor é igual a , S o 1.º pagamnto é igual a 6.000, ntão o saldo dvdor logo após o 1.º pagamnto é igual a S ss saldo srá abatido ao final do 2.º mês, ntão havrá incidência d juros à taxa d 10%. Logo, o saldo dvdor é igual a , S o 2.º pagamnto é igual a 3.000, ntão o saldo dvdor logo após o 2.º pagamnto é igual a Ao final do 3.º mês, o saldo dvdor dv sr 10% maior do qu 2.500, ou sja, 1, Portanto, o valor qu dvrá sr pago ao final do trciro mês para liquidar o financiamnto é igual a Rsposta: E 237

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