SISTEMA DE PONTO FLUTUANTE

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Maria Fernanda Carvalho Carvalhal
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1 Lógica Matmática Computacional - Sistma d Ponto Flutuant SISTEM DE PONTO FLUTUNTE s máquinas utilizam a sguint normalização para rprsntação dos númros: 1d dn * B ± 0d L ond 0 di (B 1), para i = 1,,, n, com d 1 0, 1 Um númro nsta forma é dnominado númro d ponto flutuant normalizado; 0 L é chamada mantissa (alguns d1d dn autors considram o sinal ±); B é a bas; d i, com i = 1,,, n, são os dígitos (ou algarismos) da mantissa; n é o númro d algarismos significativos (númro máximo d dígitos usados na rprsntação do númro); é o xpont 1, dnotam os limits infrior suprior, rspctivamnt, do xpont Obsrv qu o zro não pod sr rprsntado dsta forma O conjunto formado plo zro por todos os númros m notação d ponto flutuant é chamado Sistma d Ponto Flutuant na bas B com n algarismos significativos, dnotado por F(B, n, 1, ) Exmplo 1: Vjamos os sistmas d ponto flutuant d algumas máquinas antigas: HP 5, F(10,9,-98,100); Txas SR 50 HP 41C, F(10,10,-98,100); Txas SR 5, F(10,1,-98,100); IBM 360/370, F(16,6,-64,63); Burroughs B 6700, F(8,13,-51,77) Comparando com sua calculadora ou su microcomputador, stas máquinas podm sr ditas obsoltas, no ponto d vista do sistma d ponto flutuant? Exmplo : Vjamos dois númros binários com oito algarismos significativos: n 1 = *, qu rprsnta a quantidad 3,59375 (m bas dz); n = *, qu rprsnta a quantidad 3, (m bas dz) Obsrv qu, no sistma d rprsntação utilizado, n 1 n são dois númros conscutivos, ou sja, não podmos rprsntar nnhum outro númro qu tnha valor intrmdiário Portanto, por xmplo, a quantidad 36 não tm rprsntação xata nst sistma, sndo rprsntada por n 1 ou n, o qu grará um rro, dnominado Erro d rrdondamnto ssim, nquanto os númros rais podm sr rprsntados por uma rta contínua, m notação d ponto flutuant somnt podmos rprsntar pontos discrtos da rta ral Propridads: Vjamos algumas propridads dos númros do sistma d ponto flutuant F = F(B, n, 1, ): 1

(ou algarismos) da mantissa; n é o númro d algarismos significativos (númro máximo d dígitos usados na rprsntação do númro); é o xpont 1, dnotam os limits infrior suprior, rspctivamnt, do xpont Obsrv

2 Lógica Matmática Computacional - Sistma d Ponto Flutuant a) m = 01* B 1 é o mnor númro não-nulo, m módulo, m F; b) M = 0(B 1)(B 1) L(B 1) * B é o maior númro do sistma d ponto flutuant F; n vzs n 1 1 c) cardinalidad (númro d lmntos) d F é (B 1)B ( + 1) + 1; (xpliqu porqu) d) mantissa stá contida no intrvalo [01, 1); ) S x F, ntão x F Exrcício 1: Encontr a cardinalidad, o maior o mnor lmnto positivo dos sistmas d ponto flutuant do xmplo 1 nalisando os rsultados, dcida qual sistma d ponto flutuant é o mlhor, justificando sua rsposta Exmplo 3: Sja o sistma d ponto flutuant F = F(, 3, -1, ) Como a bas é dois, os dígitos possívis são 0 ou 1 ssim, como os númros dst sistma dvm tr até três dígitos, as mantissas podm sr: 0100, 0101, Ests númros rprsntam, rspctivamnt, as quantidads 1, 5/4, 3/ 7/4 E mais, os xponts da bas possívis são 1, 0, 1 ou Portanto, na tabla abaixo scrvmos ( m ngrito) todos os númros positivos do sistma d ponto flutuant, já colocados na bas dz: Exponts Mantissas / 1/4 5/16 3/8 7/ / 5/8 3/4 7/ /4 3/ 7/4 4 5/ 3 7/ Exrcício : Dsnh sobr o ixo ral todos os númros positivos do sistma d ponto flutuant do xmplo 3 Podmos obsrvar qu os númros m notação d ponto flutuant não stão uniformmnt distribuídos no intrvalo [0, 7/] O msmo ocorrrá no intrvalo simétrico [-7/, 0] No ntanto, xistm difrnts zonas d distribuição uniform (por xmplo, 1/4, 5/16, 3/8, 7/16), nas quais notamos qu os númros possum o msmo xpont Mais, ntr xponts sucssivos da bas n = xistm uma quantidad constant d númros d ponto flutuant, dada por B 1 (B 1) 4 E mais, a tabla nos informa a cardinalidad do sistma d ponto flutuant, pois la é igual ao dobro do númro d lmntos positivos (por causa dos ngativos) mais um (o zro) Estas informaçõs ajudam na

lmnto positivo dos sistmas d ponto flutuant do xmplo 1 nalisando os rsultados, dcida qual sistma d ponto flutuant é o mlhor, justificando sua rsposta Exmplo 3: Sja o sistma d ponto flutuant F = F(,

3 Lógica Matmática Computacional - Sistma d Ponto Flutuant vrificação da propridad (c) acima Obsrvamos, também, qu nsta tabla ncontramos o maior o mnor lmnto positivo (com fundo cinza) inda pod-s obsrvar qu há uma rgião ntr o mnor lmnto positivo d F o zro, simtricamnt, ntr o maior lmnto ngativo o zro, dnominada Rgião d Undrflow s rgiõs situadas ants do mnor lmnto ngativo após o maior lmnto d F são dnominadas Rgiõs d Ovrflow Estas rgiõs são dnotadas dadas, rspctivamnt, plos intrvalos = ( m,0) (0,m) R O = (, M) (M, + ) No xmplo acima, = ( 1/ 4,0) (0,1/ 4) R O = (, 7 / ) (7 /, + ) Exrcício 3: Encontr todos os lmntos positivos (m bas dz), a cardinalidad, a rgião d ovrflow a rgião d undrflow para o sistma d ponto flutuant F(3,,-,) Rprsntação m um Sistma d Ponto Flutuant: Como podmos rprsntar númros m um sistma d ponto flutuant? Como uma máquina nxrga os númros qu stão nas rgiõs d undrflow ou ovrflow d su sistma? Notação: x é rprsntado por y x y Obsrv qu x y não é o msmo qu x = y Os númros ncontrados na rgião d ovrflow são nxrgados pla máquina como infinitos, ou sja, o qu chamamos d problma d ovrflow Os númros qu stão na rgião d undrflow são vistos pla máquina como zro, ou sja, x RU x 0 S ncontramos m uma máquina a mnsagm problma d ovrflow, é norm a possibilidad d trmos a divisão por um númro na rgião d undrflow, ou sja, para la, a divisão por zro Quanto a outro númro x, ou x prtnc ao sistma d ponto flutuant, ou x é rprsntado por um lmnto do sistma d ponto flutuant Em gral sta rprsntação é fita d uma das duas formas a sguir Para xplica-las, considrmos dois númros conscutivos do sistma d ponto flutuant, x < x, d tal forma qu x < x < x a) Rprsntação por Cort ou Truncamnto: Esta rprsntação m F(B, n, 1, ) é obtida considrando-s apnas os n primiros algarismos, na bas B, da mantissa do númro Em outras palavras, um númro x é rprsntado plo maior númro m ponto flutuant qu sja mnor qu x, ou sja, T x x (atnção na notação) Obsrv qu sta forma d rprsntação pod grar um grand rro d arrdondamnto Para tanto basta qu x stja muito próximo d b) Rprsntação por rrdondamnto: Nsta rprsntação, x é rprsntado plo lmnto do sistma d ponto flutuant qu stivr mais próximo dl, diminuindo ao máximo o rro d x 3

F são dnominadas Rgiõs d Ovrflow Estas rgiõs são dnotadas dadas, rspctivamnt, plos intrvalos = ( m,0) (0,m) R O = (, M) (M, + ) No xmplo acima, = ( 1/ 4,0) (0,1/ 4) R O = (, 7 / ) (7 /, + ) Exrcício

4 Lógica Matmática Computacional - Sistma d Ponto Flutuant x + x arrdondamnto ssim, s x < x <, ntão x x (atnção na notação) Caso x + x contrário, s x < x, ntão x x Esta rprsntação m F(B, n,1, ) é obtida, no caso d bass pars, considrando-s os n primiros algarismos, na bas B, da mantissa do númro, mas dvmos olhar o próximo dígito (dígito n+1) S l for maior ou igual qu B/, ntão aumntamos o n-ésimo dígito m uma unidad Caso contrário, s mnor qu B/, ntão mantmos o n-ésimo dígito O caso d bass ímpars não srá abordado aqui Não s dv confundir rprsntação por truncamnto rprsntação por arrdondamnto com rro d truncamnto rro d arrdondamnto O rro d truncamnto é o rro dvido ao método numérico aplicado (por xmplo, xpansão truncada d uma séri, linarização d uma função) O rro d arrdondamnto é o rro dvido a rprsntação d um númro ral m um sistma d ponto flutuant Exmplo 4: Em F(10, 4, -98, 100), as quantidads , 01395, são rprsntadas por cort, rspctivamnt, como 03333, 0139, (obsrv qu apnas considramos os primiros dígitos do númro) são rprsntados por arrdondamnto, rspctivamnt, por 03333, 0140, (obsrv qu quando o próximo dígito é maior qu 5, o último algarismo é aumntado d uma unidad) Exmplo 5: O númro ral 9/8 = 115 é scrito na bas dois como 01001* 1 Portanto, l não prtnc ao sistma F(, 3, -1, ) No ntanto, sua rprsntação por cort é 0100* 1 (igual a 1 na bas dz) por arrdondamnto é 0101* 1 (igual a 1,5 na bas 10) Obsrv qu o rro d arrdondamnto m qualqur das duas rprsntaçõs é o msmo, mas isto, m gral, não ocorr Por outro lado, os númros rais x = 5/4 y = 3/8 prtncm a st sistma, mas sua soma, x + y = 13/8, stá fora do sistma d ponto flutuant m qustão Exrcício 4: Rprsnt os númros abaixo, por arrdondamnto por cort, no sistma d ponto flutuant F(6,4,-,3): a) ; b) ; c) ; d) ; ) adição a multiplicação na aritmética d ponto flutuant não possui as msmas propridads do conjunto dos númros rais Elas não são associativas nm distributivas Isto s dv ao fato da rprsntação sr fita após cada opração Para vrmos isto, sja o xmplo abaixo 4

n-ésimo dígito m uma unidad Caso contrário, s mnor qu B/, ntão mantmos o n-ésimo dígito O caso d bass ímpars não srá abordado aqui Não s dv confundir rprsntação por truncamnto rprsntação por

5 Lógica Matmática Computacional - Sistma d Ponto Flutuant Exmplo 6: Considrmos um sistma d ponto flutuant com B = 10 n = 3 uma rprsntação por arrdondamnto Vjamos as sguints opraçõs: ( ) = = ( ) = = , ou sja, a adição não é associativa Exrcício 5: Trabalhando como no xmplo 6 acima, no msmo sistma d ponto flutuant na msma forma d rprsntação, vrifiqu qu: a) ( ) ( ) b) (013/ 797) *849 c) 159*(499 (013*849) / ) (159* 499) + (159* 00) Exrcício 6: Raliz todos os cálculos do xmplo 6 do xrcício 5 acima, mas usando rprsntação por truncamnto Os itns (b) (c) do xrcício 5 acima nos mostram, rspctivamnt, qu o produto não é associativo, nm distributivo m rlação a adição m um sistma d ponto flutuant Sndo assim, os rros d arrdondamnto introduzidos a cada opração influm na solução obtida plo método numérico aplicado Consquntmnt, métodos numéricos matmaticamnt quivalnts podm forncr rsultados difrnts Rspostas d alguns xrcícios: 3) Os lmntos positivos são: 1/7, 4/81, 5/81, /7, 7/81, 8/81, 1/9, 4/7, 5/7, /9, 7/7, 8/7, 1/3, 4/9, 5/9, /3, 7/9, 8/9, 1, 4/3, 5/3,, 7/3, 8/3, 3, 4, 5, 6, 7, 8 O conjunto tm x30+1 = 61 lmntos = ( 1/ 7,0) (0,1/ 7) R O = (, 8) (8, + ) 4) Por arrdondamnto: a) ; b) Problma d Ovrflow; c) ; d) ; ) Por truncamnto: a) ; b) Problma d Ovrflow; c) ; d) ; ) ) a) ( ) , b) (013/ 797) * , c) 159 * ( ) 797, 410 ( ) 400 (013*849) / (159 * 499) + (159 * 00) 796 5

rprsntação, vrifiqu qu: a) (410 499) 00 410 (499 + 00) b) (013/ 797) *849 c) 159*(499 (013*849) / 797 + 00) (159* 499) + (159* 00) Exrcício 6: Raliz todos os cálculos do xmplo 6 do xrcício 5 acima,

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