v 4 v 6 v 5 b) Como são os corte de arestas de uma árvore?

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1 12 - Conjuntos d Cort o studarmos árors gradoras, nós stáamos intrssados m um tipo spcial d subgrafo d um grafo conxo: um subgrafo qu mantiss todos os értics do grafo intrligados. Nst tópico, nós stamos intrssados m um outro tipo d situação: subgrafos cuja rmoção do grafo spara alguns értics d outros. Cort d arstas (ou conjunto d cort) - Em grafo conxo G, um cort d arstas (ou simplsmnt conjunto d cort) é um conjunto d arstas cuja rmoção torna o grafo G dsconxo, dsd qu nnhum subconjunto próprio dstas arstas tnha a msma propridad. Exmplo 1 a) b) Como são os cort d arstas d uma áror? plicação 1: Suponha qu os értics do xmplo 1a) rprsntam 6 cidads intrligadas por cabos d fibra ótica. Dsjamos sabr quais são os pontos fracos dsta rd, isto é, pontos qu ncssitam d cabos adicionais. Estamos procurando, ntr todos os corts d arstas dst grafo, aqul com o mnor númro d arstas. Nst caso, a cidad ncssita d mais cabos. Propridads Qustão: Considr uma áror gradora T m um grafo conxo G um cort d arstas S qualqur dst grafo. Exist alguma arsta m comum ntr T S? Sim, pois caso contrário a rmoção das arstas m S do grafo G não rsultaria m um grafo dsconxo. Torma 1 - Todo cort d arstas d um grafo conxo G contém plo mnos uma arsta m comum com qualqur áror gradora d G. Exmplo 2 - Sja T: S 1 = { Para idntificar os pontos fracos da rd do Exmplo 1 é ncssário ncontrar todos os corts d arsta d G. Como fazr isso? Notas d aula Toria dos Grafos Prof. Maria do Socorro Rangl DMP/UNESP 1

2 Conjunto d cort Fundamntal Sja um grafo G T uma áror gradora d G. Um conjunto d cort fundamntal rlatio à aror T, é um conjunto d cort d G qu contém apnas uma arsta m comum com a áror gradora T. Exmplo 3 G: d a g c h Sja T: b f k amos considrar a arsta. rmoção da arsta d T particiona o conjunto d értics d T m: Ou sja, { } é um cort d arstas d T. Como dtrminar um cort d arstas fundamntal d G rlatio a T qu contnha a arsta? Basta ncontrarmos o conjunto d arstas contndo o ramo {} qu prooqu a msma partição no conjunto d értics d G: { d,, f } Qustão: Quantos cort d arstas fundamntais xistm? (n 1), ou sja 5. Quais são ls? { a, b }, { d,, f }, { a, c, d }, { f, g, h }, { f, h, k } Qustão: Qual é a rlação ntr corts d arsta fundamntais circuitos fundamntais? Podm sr obtidos a partir d uma áror gradora d G. Todo lo d uma áror gradora dfin um circuito fundamntal. Todo ramo d uma áror gradora dfin um cort d arsta fundamntal. Qustão: Como obtr todos os corts d arstas d um grafo G? Torma 2 - soma dirta d dois corts d arstas m um grafo é igual a um trciro cort d arstas ou a união arsta - disjunta d dois corts d arstas. Exmplo 4 - Sja o grafo G áror T do xmplo 3. {d,, f } {f, g, h }= {d,, g, h } é um cort d arstas mas não é fundamntal {a, b } {b, c,, f }= {a, c,, f } Notas d aula Toria dos Grafos Prof. Maria do Socorro Rangl DMP/UNESP 2

3 é um cort d arstas mas não é fundamntal {d,, g, h } {f, g, h }= {d,, f, h, k } não é um cort d arstas mas é união arsta-disjunta d dois corts d arsta {d,, f } {f, h, k }. ssim, é possíl grar todos os corts d arstas d um grafo G a partir dos corts d arstas fundamntais rlatias a uma dada áror gradora d G. Exrcício 1 Considr o Grafo: a) Dtrmin uma áror gradora dst grafo list todos os st cort d arstas fundamntais rlatios a sta áror. b) Usando a opração d soma dirta, dtrmin todos os outros corts d arstas dst grafo 12.1 Conctiidad No studo d conctiidad, ntr outros aspctos, stamos intrssados m studar a ulnrabilidad d um grafo. Podmos obsrar qu cada cort d arstas tm um dtrminado númro d arstas. Estamos intrssados no cort d arstas qu possui o mnor númro d lmntos. Conctiidad d arstas - O númro d arstas no mnor cort d arstas d um grafo G é chamado d Conctiidad d rsta C. Exmplo 4 a) Qual é a conctiidad d arstas d uma áror? b) Qual é a conctiidad d rstas do grafo d xrcício 1? c) Qual é a conctiidad d rstas dos grafos dos xmplos 1 3? d) Qual é a conctiidad d rstas do grafo? Examinando o grafo do xmplo 4d) obsramos qu não é possíl obtr um subgrafo dsconxo rmondo apnas 1 arsta d G. No ntanto, é possíl obtr um subgrafo dsconxo, atraés da rmoção d um értic. ssim, podmos dfinir a conctiidad d értics do grafo. Notas d aula Toria dos Grafos Prof. Maria do Socorro Rangl DMP/UNESP 3

4 Conctiidad d értics - Em um grafo conxo G, um cort d értics é um conjunto d értics cuja rmoção torna o grafo G dsconxo, dsd qu nnhum subconjunto próprio tnha a msma propridad. O númro d értics no mnor cort d értics é chamado d Conctiidad d értics C Exmplo 3 conctiidad d értics dos grafos do xmplo 4. são: a) áror - C 1 b) C 4 c) C 1, C 2 d) C 1 Grafo sparál Um grafo conxo é sparál s a conctiidad d értics é igual a 1. Exmplo - O grafo do Exmplo 4d) é sparál. plicação 2: Suponha qu xistam n staçõs para srm ligadas atraés d m linhas (linhas d tlfon, túnis, stradas, tc) tal qu m n 1. Qual é a mlhor manira d s fazr a conxão? Prcisamos d um grafo com n értics, m arstas com o maior alor possíl para C C. O grafo do xmplo 4d) tm 8 értics 16 arstas C 1 C 3. o passo qu o grafo do xrcício 1 tm C C 4. Ou sja, st último grafo, rprsnta uma forma mlhor d s obtr a conxão. É ncssário dstruir 4 staçõs ou 4 linhas para qubrar a comunicação ntr as staçõs. Qual é o maior alor possíl para C C? Torma 3 - conctiidad d arstas d um grafo é mnor ou igual ao grau do értic d grau mínimo do grafo. Proa: Sja min o értic d grau mínimo do grafo. Sja o grau dst értic. Para sparar st értic dos dmais értics do grafo é ncssário rmor as arstas incidnts m i. Portanto, C. Torma 4 - conctiidad d értics m um grafo G é mnor ou igual à conctiidad d rsta. Usando os Tormas 3 4 tmos podmos stablcr a sguint rlação: C C ). Mais ainda, é possíl mostrar qu 2m C C. n Exrcício: Dtrmin a conctiidad értics d arstas do grafo abaixo. Obsr qu a dsigualdad acima é satisfita stritamnt. Para obtr um grafo com o maior alor possíl para C, inicialmnt construa um grafo rgular d 2m grau n, m sguida acrscnt as arstas rstants. Notas d aula Toria dos Grafos Prof. Maria do Socorro Rangl DMP/UNESP 4

5 Grafo k-conxo - Um grafo G é k-conxo m arstas (ou értics) quando sua conctiidad d arstas (ou értics) é k. Exmplo Conxo, é pont = articulaçõs 1 - Conxo, é pont = articulaçõs u x 1 Conxo m értics 2 Conxo m arstas = articulação 2 Conxo não possui ponts ou articulaçõs Torma 5 Um grafo G é k-conxo s somnt s xistm plo mnos k caminhos disjuntos (xcto nos xtrmos) ntr cada par d értics d G. No grafo d xmplo 6d) tmos: u, u,,,, x, x u, u,,,, x, x ntr os értics u x plicação 3 - Considr qu mnsagiros dm sr niados ntr duas cidad a b. Como algumas stradas podm star bloquadas, qurmos qu cada mnsagiro us stradas difrnts. Quantos mnsagiros podm sr niados? Considr um grafo ond os értics são as cidads as arstas rprsntam stradas. O númro d mnsagiros qu podm sr niados é igual ao númro d caminhos arsta-disjuntos ntr os értics a b. Est númro pod sr dtrminado usando os rsultados acima. Exrcício 2 - Sja o grafo: s t a) Encontr 3 caminhos arsta-disjuntos ntr s t. b) Encontr um cort d arstas contndo 3 arstas qu spar s t. c) Qual é o maior númro possíl d caminhos disjuntos ntr s t? Notas d aula Toria dos Grafos Prof. Maria do Socorro Rangl DMP/UNESP 5

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