Universidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática

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1 Univrsidad Fdral do Rio d Janiro INSTITUTO DE MATEMÁTICA Dpartamnto d Matmática Gabarito da 1 a prova d Gomtria difrncial - 20/09/ Mônica 1. Sja α(s) uma curva rgular plana paramtrizada plo comprimnto d arco qu satisfaz a sguint propridad: su vtor tangnt t(s) faz um ângulo constant θ com α(s), para todo s. A propridad do vtor tangnt t(s) fazr um ângulo constant θ com α(s) pod sr scrita como α(s), t(s) = α(s) cos θ, s. (a) Mostr qu s θ = 0 ntão o traço d α stá contido m uma rta. θ = 0, t(s) α(s) são colinars. Portanto xist uma função C, λ(s), tal qu α(s) = λ(s)t(s). Drivando a rlação antrior usando quaçõs d Frnt, obtmos: t(s) = α (s) = λ (s)t(s) + λ(s)t (s) = λ (s)t(s) + λ(s)k(s)n(s). λ(s)k(s)n(s) + (λ (s) 1)t(s) = 0, o qu implica qu λ(s)k(s) = 0 λ (s) = 1, para todo s. D λ (s) = 1, para todo s, obtmos qu λ(s) = s + a, para alguma constant a IR. (s + a)k(s) = λ(s)k(s) = 0, para todo s, tmos k(s) = 0, para todo s,, portanto, o traço d α stá contido m uma rta. (b) Mostr qu s θ = π/2 ntão o traço d α stá contido m um círculo. θ = π/2, t(s) α(s) são ortogonais. a curva é plana, n(s) α(s) são colinars. Portanto xist uma função C, λ(s), tal qu α(s) = λ(s)n(s). Drivando a rlação antrior usando quaçõs d Frnt, obtmos: t(s) = α (s) = λ (s)n(s) + λ(s)n (s) = λ (s)n(s) λ(s)k(s)t(s). (λ(s)k(s) + 1)t(s) + λ (s)t(s) = 0, o qu implica qu λ(s)k(s) = 1 λ (s) = 0, para todo s.

2 D λ (s) = 0, para todo s, obtmos qu λ(s) = a, para alguma constant não nula a IR. ak(s) = λ(s)k(s) = 1, para todo s, tmos k(s) = 1/a, constant, para todo s,, portanto, o traço d α stá contido m uma sfra d raio a. (c) S α a (t) = ( at cos t, at sn t), t IR, ond a é uma constant não nula, calcul o ângulo ntr α a (t) su vtor tangnt. : tmos: α a(t) = at (a cos t sn t, a sn t + cos t), cos θ a = α a(t) = at a α a (t) = at, α a(t), α a(t) α a (t) α a(t) = o ângulo ntr α a (t) su vtor tangnt é ( ) a θ a = arccos. a2 + 1 a a (a) Sja a uma constant não nula. Ach uma função difrnciávl f : IR IR não constant tal qu as normais à curva α(t) = (a cos t, a sn t, f(t)) sjam parallas ao plano d quação z = 0. A normal à curva α(t) = (a cos t, a sn t, f(t)), n(t) = (n 1 (t), n 2 (t), n 3 (t)), é paralla ao plano d z = 0 quando a trcira coordnada n 3 (t) = 0. a curva α não stá paramtrizada plo comprimnto d arco, calculamos a normal pla fórmula n(t) = α (t) 2 α (t) α (t), α (t) α (t). α (t) = ( a sn t, a cos t, f (t)), α (t) = ( a cos t, a sn t, f (t)), α (t) 2 = a 2 + (f ) 2 (t), α (t), α (t) = f (t)f (t)

3 ntão n 3 (t) = α (t) 2 f (t) α (t), α (t)f (t) = [a2 + (f ) 2 (t)]f (t) (f ) 2 (t)f (t), n 3 (t) = a 2 f (t). n 3 (t) = 0 s somnt s a 2 f (t) = 0, isto é, quando xistm constants rais b 0 (pois f é não constant por hipóts) c tais qu f(t) = bt + c, t IR. Rpar qu o traço da curva α stá contido numa hélic m torno do ixo z. (b) Considr a curva α(t) = (t + 1, 2t 3, t 2 ), t IR. Mostr qu xistm três pontos da curva ond os planos osculadors d α passam por um ponto da forma (1, 0, z), z > 0. O plano osculador d α é o plano qu passa plo ponto α(t) é normal ao vtor binormal b(t). S um ponto Q prtnc ao plano osculador d α, ntão satisfaz a quação α(t) Q, b(t) = 0. Considr um ponto Q = (1, 0, z), qu prtnc a todos os planos osculadors d α. a curva α não stá paramtrizada plo comprimnto d arco, calculamos a binormal pla fórmula b(t) = α (t) α (t) α (t) α (t)., s Q prtnc a todos os planos osculadors dv satisfazr ntão α(t) (1, 0, z), α (t) α (t) = 0. α (t) = (1, 6t 2, 2t), α (t) = (0, 12t, 2), α (t) α (t) = (12t 2, 2, 12t) α(t) (1, 0, z) = (t, 2t 3, t 2 z) α(t) (1, 0, z), α (t) α (t) = 4t(t 2 3z). Assim, Q = (1, 0, z), z > 0 prtnc a todos os planos osculadors s somnt s 4t(t 2 3z) = 0, isto é, quando t = 0 ou t = ± 3z. xistm três pontos da curva, α(0), α( 3z) α( 3z) ond os planos osculadors passam por um ponto da forma (1, 0, z), z > 0.

4 3. Uma curva rgular α : I IR 3 não plana é uma hélic s xist um vtor unitário V d IR 3 qu forma um ângulo constant com α (t), t I. Suponha qu a curvatura d α é positiva. Prov qu α é uma hélic s só s xist um vtor unitário U d IR 3 qu forma um ângulo constant com os vtors binormais d α. ( ) Supomos α(s) paramtrizada plo comprimnto d arco. α é uma hélic xist um vtor unitário U d IR 3 qu forma um ângulo constant com α (s), s, isto é, α (s), U é constant. Drivando a rlação antrior, chgamos a α (s), U = k(s) n(s), U = 0, o qu implica qu n(s), U = 0. d ds b(s), U = b (s), U = τ(s) n(s), U = 0, ntão b(s), U é constant, isto é, o vtor unitário U d IR 3 forma um ângulo constant com os vtors binormais d α, como quríamos mostrar. ( ) Supomos α(s) paramtrizada plo comprimnto d arco. Supomos qu xist um vtor unitário U d IR 3 qu forma um ângulo constant com b(s), s, isto é, b(s), U é constant. Drivando a rlação antrior, chgamos a b (s), U = τ(s) n(s), U = 0, o qu implica qu n(s), U = 0. d ds α (s), U = t (s), U = k(s) n(s), U = 0, ntão t(s), U é constant, isto é, α é uma hélic, como quríamos mostrar. 4. Sja α : I IR 3 uma curva rgular com curvatura positiva. (a) Prov qu s todo plano normal d α passa por um ponto fixo ntão α(i) stá contida m uma sfra S 2 = {p IR 3 ; p c = r}, para algum c IR 3 r IR. Supomos α(s) paramtrizada plo comprimnto d arco s. O plano normal d α é o plano qu passa plo ponto α(s) é normal ao vtor t(s). S um ponto Q prtnc ao plano normal d α, ntão satisfaz a quação α(s) Q, t(s) = 0. Por hipóts, xist um ponto C fixo, qu prtnc a todos os planos normais d α. α(s) C, t(s) = 0,

5 para todo s I. Sja g : I IR, g(s) = α(s) C, α(s) C. Drivando g(s) usando a hipóts, obtmos: g (s) = 2 α (s), α(s) C = 0. Portanto g(s) = r 2, constant não nula, o qu prova qu isto é, α(i) stá contida na sfra (b) Considr a curva α : IR IR 3 dada por α(s) C = r, S 2 = {p IR 3 ; p C = r}. α(t) = ( cos(2t), 2 cos t, sn (2t)). Prov qu α stá contida m uma sfra, mostrando qu todos os planos normais d α passam plo ponto ( 1, 0, 0). S um ponto Q = (x, y, z) prtnc ao plano normal d α, ntão satisfaz a quação isto é, α(t) Q, α (t) = 0, α(t), α (t) = Q, α (t). α (t) = (2 sn (2t), 2 sn t, 2 cos(2t)), um ponto Q = (x, y, z) prtnc ao plano normal d α s satisfaz a quação 4 sn t cos t = 2(x sn (2t) + y sn t + z cos(2t)). o ponto C = ( 1, 0, 0) satisfaz a quação antrior, prtnc a todos os planos normais d α sgu do itm (a) qu o traço d α stá contido numa sfra com cntro m C.