1 - RECORDANDO 2 - INTERSEÇÃO ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA. Exercício Resolvido 1: Frente III. na última equação, tem-se:

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1 Matmática Frnt III CAPÍTULO 23 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA 1 - RECORDANDO Na aula passada, nós vimos as quaçõs da circunfrência, tanto com cntro na origm ( ) como a sua quação gral ( ). Nós também vimos as posiçõs rlativas ntr um ponto uma circunfrência: o ponto pod sr intrior (s, prtncnt (s ) ou xtrior (s ) à circunfrência d cntro raio. Substituindo na última quação, tm-s: Nsta aula, nós vamos pnsar m um problma difrnt: imagin qu m vz d um ponto uma circunfrência, nós tmos uma rta uma circunfrência. Qual é a intrsção dssas duas figuras? Como podmos dtrminá-la? Também vamos vrificar como dizr rapidamnt a posição rlativa uma rta uma circunfrência (s a rta é scant, tangnt ou xtrior à circunfrência). Como, dvm xistir dois valors d qu sjam soluçõs da quação. E como, há dois valors corrspondnts para. Portanto, há dois pontos na intrsção ntr a rta a circunfrência Calculando : 2 - INTERSEÇÃO ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA Para dtrminar a intrsção ntr uma rta uma circunfrência, vamos fazr os sguints passos: Obtnha a quação rduzida d ; Passo 2: Substitua (da quação rduzida d ) na quação d ; Passo 3: Rsolva a quação do 2º grau; Passo 4: Rsposta: a intrsção ntr a rta: a circunfrência : é o conjunto Passo 4: substitua na quação d : Exrcício Rsolvido 1: Ach a intrsção ntr a rta a circunfrência :. Passo 2: Sja um ponto da intrsção ntr. Logo,. Logo: Figura 1 figura do xrcício rsolvido 1 CASD Vstibulars MAT III 1

2 Exrcício Rsolvido 2: Exrcício Rsolvido 3: Ach a intrsção ntr a rta a circunfrência :. Passo 2: Sja um ponto da intrsção ntr. Logo,. Logo: Ach a intrsção ntr a rta a circunfrência :. Passo 2: Sja um ponto da intrsção ntr. Logo,. Logo: Substituindo na última quação, tm-s: Substituindo na última quação, tm-s: Passo 3: Calculando o dssa quação, tm-s: Como, dv xistir só um valor d qu sja solução da quação. E como, há apnas um valor corrspondnt para. Portanto, há apnas um ponto na intrsção ntr a rta a circunfrência Calculando : Passo 3: Calculando o dssa quação, tm-s: Como, não dv xistir nnhum valor d qu sja solução da quação. Portanto, não há nnhum ponto na intrsção ntr a rta a circunfrência Rsposta: a intrsção ntr a rta circunfrência : é a Passo 4: Rsposta: a intrsção ntr a rta a circunfrência : é o conjunto. Figura 3 figura do xrcício rsolvido 3 Figura 2 figura do xrcício rsolvido 2 2 MAT III CASD Vstibulars

3 3 - POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA 4 RETA TANGENTE A UMA E CIRCUNFERÊNCIA CIRCUNFERÊNCIA POR UM PONTO Como nós acabamos d vr nos xrcícios rsolvidos 1, 2 3, há 3 possibilidads para a posição rlativa ntr uma rta uma circunfrência. Elas são: Rta scant à circunfrência: nss caso, a rta corta a circunfrência m dois pontos distintos. Nss caso, o da quação do 2º grau (quando substituímos o na quação da circunfrência) é positivo. Ess é o caso do xrcício rsolvido 1; Rta tangnt à circunfrência: nss caso, a rta corta a circunfrência m um único ponto. Nss caso, o da quação do 2º grau (quando substituímos o na quação da circunfrência) é zro. Ess é o caso do xrcício rsolvido 2. Rta xtrior à circunfrência: nss caso, a rta não corta a circunfrência m nnhum ponto. Nss caso, o da quação do 2º grau (quando substituímos o na quação da circunfrência) é ngativo. Ess é o caso do xrcício rsolvido 3. Obsrvação: Você s lmbra qu uma rta tangnt a uma circunfrência é prpndicular à rta qu passa plo cntro plo ponto d tangência? Isso pod sr visualizado na figura abaixo: a rta, ou rta s, é prpndicular à rta t no ponto T. Logo, a distância do cntro O da circunfrência à rta t é OT=R. Assim: tangnt a Para dtrminar a quação d uma rta tangnt a uma circunfrência, sabndo um ponto da rta, podmos fazr os sguints passos: Escrva a quação d m função do su coficint angular, sabndo qu passa plo ponto ; Passo 2: Dtrmin o cntro o raio d ; Passo 3: Escrva a quação gral d, m função d ; Passo 4: Lmbr-s qu como é tangnt a, ; Passo 5: Elvando a quação ao quadrado, calcul o coficint angular d dtrmin a quação d. Exrcício Rsolvido 4: Dtrmin a quação rduzida d, sabndo qu passa plo ponto é tangnt à circunfrência. Passo 2: Passo 3: (Equação gral d t, com ) Passo 4: é tangnt a Figura 4 rta t tangnt à circunfrência CASD Vstibulars MAT III 3

4 Passo 5: A última quação é bastant inconvnint: la lida com módulo raiz quadrada. Para nos livrarmos dls rsolvrmos dois problmas d uma só vz, vamos lvá-la ao quadrado. Então: Passo 5: A última quação é bastant inconvnint: la lida com módulo raiz quadrada. Para nos livrarmos dls rsolvrmos dois problmas d uma só vz, vamos lvá-la ao quadrado. Então: S S Rsposta: a quação rduzida d t é ou Rsposta: a quação rduzida d t é Figura 5 figura do xrcício rsolvido 4 Exrcício Rsolvido 5: Dtrmin a quação rduzida d, sabndo qu passa plo ponto é tangnt à circunfrência. Passo 2: Figura 6 figura do xrcício rsolvido 5 Exrcício Rsolvido 6: Dtrmin a quação rduzida d t, sabndo qu t passa plo ponto é tangnt à circunfrência. Passo 3: (Equação gral d t, com ) Passo 4: t é tangnt a Passo 2: Passo 3: (Equação gral d t, com ) 4 MAT III CASD Vstibulars

5 Passo 4: t é tangnt a 6 - RESUMO Nst capítulo, nós vimos as posiçõs rlativas ntr uma rta uma circunfrência: Passo 5: A última quação é bastant inconvnint: la lida com módulo raiz quadrada. Para nos livrarmos dls rsolvrmos dois problmas d uma só vz, vamos lvá-la ao quadrado. Então: Rta scant à circunfrência: corta a circunfrência m dois pontos distintos ocorr quando o da quação do 2º grau (quando substituímos o na quação da circunfrência) é positivo; Rta tangnt à circunfrência: corta a circunfrência m um único ponto ocorr quando o da quação do 2º grau (quando substituímos o na quação da circunfrência) é zro; Rta xtrior à circunfrência: não corta a circunfrência m nnhum ponto ocorr quando o da quação do 2º grau (quando substituímos o na quação da circunfrência) é positivo; Como, não xist nnhum valor possívl para m. Portanto: Rsposta: a rta t não xist! Também vimos como calcular as rtas tangnts a uma circunfrência qu passam por um ponto. Além disso, notamos qu o númro d rtas tangnts varia com a posição rlativa ntr : Passam duas rtas tangnts por s é xtrior a ; Passa uma rta tangnt por s é prtncnt a ; Não passa nnhuma rta tangnt por s é intrior a ; Obsrvação: Figura 7 figura do xrcício rsolvido 6 Como nós acabamos d vr nos xrcícios rsolvidos 4, 5 6, há 3 possibilidads para o númro d rtas tangnts a uma circunfrência qu passam por um ponto Passam duas rtas tangnts por. Nss caso, o ponto é xtrior a. Ess é o caso do xrcício rsolvido 4; Passa uma rta tangnt por. Nss caso, o ponto é prtncnt a. Ess é o caso do xrcício rsolvido 5; Não passa nnhuma rta tangnt por. Nss caso, o ponto é intrior a. Ess é o caso do xrcício rsolvido 6; CASD Vstibulars MAT III 5

6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nívl II Nívl I 1. O raio da circunfrência d cntro ), tangnt à rta é: a) 3 b) 1 c) 26 d) 2 ) 2. Sja P um ponto do ixo das ordnadas prtncnt à rta d quação 2x - 3y - 6 = 0. A quação da circunfrência d cntro m P, tangnt ao ixo x é: 8. (UNESP - 06) Sja C a circunfrência d cntro (2,0) raio 2, considr O P os pontos d intrsção d C com o ixo Ox. Sjam T S pontos d C qu prtncm, rspctivamnt, às rtas r s, qu s intrcptam no ponto M, d forma qu os triângulos OMT PMS sjam congrunts, como mostra a figura. a) b) c) d) ) 3. (UNESP - 99) O comprimnto da corda qu a rta y = x dtrmina na circunfrência d quação (x + 2) 2 + (y - 2) 2 = 16 é a) b) c) d) ) 4. (UNESP - 05) A rta r d quação intrcpta a circunfrência d cntro na origm raio m dois pontos P Q, sndo qu as coordnadas d P são ambas positivas. Dtrmin: a) a quação da circunfrência os pontos P Q; b) a quação da rta s, prpndicular a r, passando por P. 5. (UFF - 99) A rta y - 2x + 5 = 0 tangncia, no ponto M, a circunfrência C d quação x 2 + y 2 = 5. A rta intrcpta C nos pontos M Q. Dtrmin: a) o valor d p; b) as coordnadas dos pontos M Q. 6. O valor positivo d, tal qu a rta é tangnt à circunfrência é: a) 26 b) 6 c) 3 d) 4 ) 2 7. (ITA - 00) Duas rtas r 1 r 2 são parallas à rta 3x - y = 37 tangnts à circunfrência x 2 + y 2-2x - y = 0. S d 1 é a distância d r 1 até a origm d 2 é a distância d r 2 até a origm, ntão d 1 + d 2 é igual a a) b) c) d) ) a) Dê a quação d C, sabndo qu a quação d s é, dtrmin as coordnadas d S. b) Calcul as áras do triângulo OMP da rgião sombrada formada pla união dos triângulos OMT PMS 9. (FUVEST - 98) Um quadrado stá inscrito numa circunfrência d cntro (1,2). Um dos vértics do quadrado é o ponto (-3,-1). Dtrmin os outros três vértics do quadrado. 10. (FATEC - 07) A ára do quadrilátro dtrminado plos pontos d intrscção da circunfrência d quação com os ixos coordnados, m unidads d ára, é igual a a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 ) (FUVEST - 09) Considr, no plano cartsiano Oxy, a circunfrência C d quação (x - 2) 2 + (y - 2) 2 = 4 sjam P Q os pontos nos quais C tangncia os ixos Ox Oy, rspctivamnt. Sja PQR o triângulo isóscls inscrito m C, d bas PQ, com o maior prímtro possívl. Então, a ára d PQR é igual a: a) b) c) d) ) 6 MAT III CASD Vstibulars

7 12. (UNICAMP - 09) A circunfrência d cntro m (2, 0) tangnt ao ixo y é intrcptada pla circunfrência C, dfinida pla quação x 2 + y 2 = 4, pla smirrta qu part da origm faz ângulo d 30 com o ixo x, conform a figura a sguir. Nssas condiçõs, dtrmin a) as coordnadas dos pontos A, B, C, D d intrsção da circunfrência com o gráfico da função. b) a ára do pntágono OABCD. 16. (FATEC - 98) Um quadrado ABCD stá inscrito na circunfrência d quação x 2 + y 2 = 9, sus lados são parallos aos ixos cartsianos. S o vértic A stá contido no primiro quadrant, a quação da rta tangnt à circunfrência no ponto A é a) Dtrmin as coordnadas do ponto P. b) Calcul a ára da rgião sombrada. 13. (UFRJ - 05) A rta y = x + k, k fixo, intrcpta a circunfrência x 2 + y 2 = 1 m dois pontos distintos,, como mostra a figura a sguir. a) b) c) d) ) 17. (UNESP - 04) Considr a circunfrência x 2 + (y - 2) 2 = 4 o ponto P(0, -3). a) Encontr uma quação da rta qu pass por P tangnci a circunfrência num ponto Q d abscissa positiva. b) Dtrmin as coordnadas do ponto Q. 18. Uma circunfrência d raio 2, localizada no primiro quadrant, tangncia o ixo x a rta d quação. Então, a abscissa do cntro dssa circunfrência é: a) Dtrmin os possívis valors d k. b) Dtrmin o comprimnto do sgmnto m função d k. 14. (UNICAMP - 03) As quaçõs (x + 1) 2 + y 2 = 1 (x - 2) 2 + y 2 = 4 rprsntam duas circunfrências cujos cntros stão sobr o ixo das abscissas. a) Encontr, s xistirm, os pontos d intrscção daqulas circunfrências. b) Encontr o valor d a IR, a 0, d modo qu duas rtas qu passam plo ponto (a, 0), sjam tangnts às duas circunfrências. 15. (FUVEST - 10) No sistma ortogonal d coordnadas cartsianas Oxy da figura, stão rprsntados a circunfrência d cntro na origm raio 3, bm como o gráfico da função a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 ) 5 Nívl III 19. (FUVEST - 08) São dados, no plano cartsiano d origm O, a circunfrência d quação x 2 + y 2 = 5, o ponto P = (1, 3 ) a rta s qu passa por P é paralla ao ixo y. Sja E o ponto d ordnada positiva m qu a rta s intrcpta a circunfrência. Assim sndo, dtrmin a) a rta tangnt à circunfrência no ponto E. b) o ponto d ncontro das alturas do triângulo OPE. 20. (FUVEST - 10) No plano cartsiano xoy, a rta d quação x + y = 2 é tangnt à circunfrência C no ponto (0,2). Além disso, o ponto (1,0) C. Então, o raio d C é igual a a) b) c) d) ) CASD Vstibulars MAT III 7

8 21. (ITA - 04) Sjam os pontos. 17. a) b) a) Dtrmin a quação da circunfrência C, cujo cntro stá situado no primiro quadrant, passa plos pontos A B é tangnt ao ixo y. b) Dtrmin as quaçõs das rtas tangnts à circunfrência C qu passam plo ponto P. 22. (FUVEST - 97) Considr as circunfrências qu passam plos pontos (0, 0) (2, 0) qu são tangnts à rta y = x + 2. a) Dtrmin as coordnadas dos cntros dssas circunfrências. b) Dtrmin os raios dssas circunfrências. 18. D 19. a) b) 20. B 21. a) b) 22. a) b) 1. D GABARITO BIBLIOGRAFIA Não há rfrências bibliográficas 2. C 3. B 4. a) b) 5. a) b) 6. D 7. E 8. b) 9, Os outros vértics são 10. B 11. D 12. a) ) b) 13. a) b) 14. a) b) 15. a) b) 16. B 8 MAT III CASD Vstibulars