Gabarito - Colégio Naval 2015/2016 Matemática Prova Amarela

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1 Gabarito - Colégio Naval 05/06 Profssors: Carlos Eduardo (Cadu) André Flip Bruno Pdra Rafal Sabino Gilbrto Gil QUESTÃO Dada a inquação, podmos rscrvê-la, a partir do Torma d Bolzano, concluímos: , ou sja: Sja S o conjunto solução. Tmos: S 5 68 S,7 8, logo: GABARITO: (B) _ QUESTÃO Dado o sistma abaio, tmos as possívis classificaçõs: ay 6 S : y c ( i) Sistma Possívl Dtrminado ( S. P. D.) : a a ( ii) Sistma Possívl Indtrminado ( S. P. I.) : a 6 = a c 9 c ( iii) Sistma Impossívl ( S. I.) : a 6 a c 9 c

2 Gabarito - Colégio Naval 05/06 LETRA C: S a c 9, o sistma S não admit solução; O sistma é impossívl ( SI.. ), pois a c 9. LETRA E: S a c 9, o sistma S admit infinitas soluçõs; O sistma é indtrminado ( S. P. I. ), pois a c 9. Portanto, tmos dois gabaritos, ltra C ltra E. OBS: duplo gabarito - anular qustão. GABARITO: (C ou E) _ QUESTÃO Rscrvndo os númros tmos: Ou sja, k k 0 0 Para o qu s pd, tmos: i k i i 0 89 n i má GABARITO: (A) _

3 Gabarito - Colégio Naval 05/06 QUESTÃO Dados do problma: r 7 m t 5h r m t? Tmos a rgra d três: Ára m Tmpoh.5 5. t.5 5 t 0. t GABARITO: (C) _ QUESTÃO 5 Dados do problma: n n n, ;, p,5 p,5 7 p M Tmos qu: p ( n ) p( n ) p( n ) 5,6 p p p n ( i) M 5,6 n( má), n ( ii) M 5,6 n( mín),,5.,,5.. 7 n, ;, Logo, n,5,5,5.,,5.. 7 ( má ) n( mín) 0,8,5,5 GABARITO: (C) _

4 Gabarito - Colégio Naval 05/06 QUESTÃO 6 D um triângulo d lados, 5 (Triângulo Rtângulo). Sobr suas alturas podmos afirmar qu:. h. h 5. h S Para o msmo rsultado d ára, quanto maior a altura, mnor srá a mdida do lado rlativo sta altura, ou sja: l Para o mnor lado, a altura rlativa a st lado srá a maior do triângulo. h GABARITO: (C) _ QUESTÃO 7 O polígono da figura é um polígono rgular d 7 lados, o qu é grado por 7 pssoas. Cada pssoa olha 00 m para o lado squrdo para o lado dirito. Est polígono, portanto, tm

5 Gabarito - Colégio Naval 05/06 lado igual 00 m prímtro igual a 500 m. Est prímtro, por sua vz, é igual ao prímtro da circunfrência d raio igual a 900 m utilizando a aproimação para = conform o nunciado. Nss sntido, o polígono d 7 lados pod sr considrado uma aproimação para a circunfrência do nunciado. E com 7 pssoas é possívl uma busca ficint, logo a rsposta mais próima do mínimo pod sr 5 ou 9 pssoas. C circ p r n. l pol r..900 n 7 l 00 OBS: duplo gabarito - anular qustão. GABARITO: (B ou C) _ QUESTÃO 8 A rta qu liga os cntros das circunfrências tocará no ponto (N) d tangência ntr las o ponto (M) d tangência ntr a circunfrência mnor o sgmnto BC. A rta MO é prpndicular ao lado BC, ou sja, srá paralla a AB. Como ssa rta passa plo ponto médio d AC, tmos qu MO é a bas média do triângulo ABC. Daí: AB MO R R 5 Logo a ára do smicírculo srá:.5 S,5 GABARITO: (B)

6 Gabarito - Colégio Naval 05/06 QUESTÃO 9 Da prssão podmos infrir qu 0 S y, ntão: y y y Ou sja, y y y y 0 y y y 0 y y y y y y. 0 0, Tmos, ntão: ( i) 0 ( ii) não ist não ist ( iii) 0 Para, tmos qu: OBS: O nunciado da qustão é vago na fras Para cada valor possívl d, obtém-s o rsultado da soma d problma: com su invrso, ou sja, podmos concluir outros gabaritos no Important: a raiz ral do problma tm multiplicidad. I ) Rsultados possívis para apnas: i) 0 (Não há st gabarito nas opçõs)

7 Gabarito - Colégio Naval 05/06 ) ii (GABARITO D) II) Rsultados possívis para : i) 0 0 ii) (Não há st gabarito nas opçõs) (GABARITO B) OBS: duplo gabarito - anular qustão. GABARITO: (B ou D) QUESTÃO 0 A mnor quantidad d trocas é 6. Sgu abaio a troca: trocando os pars (,) (,6), tmos: trocamos o par (,) (6,9) obtmos: E por fim trocando o par (8,) (,7), Logo obtmos GABARITO: (B)

8 Gabarito - Colégio Naval 05/06 QUESTÃO Dado o oprador tmos: Logo, O númro trminará m zros. GABARITO: (D) QUESTÃO Concluímos do nunciado qu: 70k 7k8 6k 8 k 5 S k 5 8 GABARITO: (A) QUESTÃO Sjam H A,H B H C os pés das alturas do triângulo ABC. Not qu os simétricos do Ortocntro m rlação aos lados prtncm ao círculo circunscrito, como sugr a figura. Assim tmos

9 Gabarito - Colégio Naval 05/06 qu o triângulo formado plos pontos ELF plos pés das alturas na razão d :, pois H H B A EL. Assim HH B A r EL R. HAHB HC são smlhants Calculando a ára por Radical d Hron, tmos qu: p 80 0 p5 S p p a p b p c ABC Sabmos qu a ára pod sr calculada por: abc SABC 5 7 R R R 7 Como R r r GABARITO: (C)

10 Gabarito - Colégio Naval 05/06 QUESTÃO Primiramnt, a razão ntr as áras é igual a razão ntr os sgmntos EC AE. Traço a altura EM do a partir do ponto E sobr o lado AB, s chamarmos AB l, AE a, EC b. Olhando para o triângulo AME tmos: AM AE a ME AE a E no triângulo ACD tmos: AD AD AC l E ainda: a MB l Finalmnt tmos qu a smlhança ntr os triângulos EMB ABD : EM AD MB AB a a l l l a a l 5a l l a 5 l Como b l a, tmos b 5

11 Gabarito - Colégio Naval 05/06 Logo a razão b a. GABARITO: (B) QUESTÃO 5 Not os triângulos SMR RSN d bass MS SN colinars, ou sja: a MS SN a Obsrv qu o ângulo ˆ SRN md 90º 5º. Como ˆ MRN md 90º, obtmos qu md 5º, ou sja, o sgmnto RS é bisstriz intrna no triângulo rtângulo MRN. Aplicando torma da bisstriz intrna, obtmos: ˆ MRS MS MR NS NR a NS NS t NR t a NR Escrvndo o Torma d Pitágoras, obtmos: MR NR MN t t a

12 Gabarito - Colégio Naval 05/06 t a 5 Obsrv a razão d áras d msma bas: a SSRM MS S MN a MRN Logo, S SRM t.t S SRM t² a a² GABARITO: (A) QUESTÃO 6 Aplicando torma d Pitágoras no triângulo ABC tmos: y 6 y 6 y 6 Sja S a ára do triângulo ABC. y S Substituindo a prssão d y na prssão d S, trmos:

13 Gabarito - Colégio Naval 05/06. 6 S 6 S Substituindo S S 6k k k 9k k, obtmos: Dtrminarmos o K v para qu S sja máimo: K v b 9 8 a. Encontramos para y : k 8 8 y Encontramos para a ára máima do triângulo ABC as mdidas dos cattos AB AC. Como o nunciado do problma informa qu os cattos têm mdidas difrnts, concluímos qu não podmos construir o triângulo rtângulo ABC d ára máima. OBS: Em rlação à bas AC, d mdida fia igual a 6, ncontrarmos ára máima do triângulo para a maior altura (mtad da hipotnusa). O nunciado da qustão, no ntanto, não prmit

14 Gabarito - Colégio Naval 05/06 sta altura, pois os cattos sriam d mdidas iguais, o qu configuraria um triângulo rtângulo isóscls. Nss sntido, tríamos d posicionar o ponto B mais próimo possívl da posição rprsntada na figura acima, ou sja, não consguirmos dfinir st ponto mais próimo. Não dfinimos, portanto, valor máimo para a ára. GABARITO: (E) QUESTÃO 7 Para um númro n natural par, tmos qu os númros intiros no intrvalo dois não s dividm. Sabmos qu Nss sntido, tmos qu 06, 00 n, n dois a qualqur divisão d dois númros no intrvalo smpr srá mnor qu, ou sja, não há uma divisão d dois númros no intrvalo qu rsult m um númro intiro maior ou igual a. Nss sntido, tmos: 00 n00 B=,00 B 05, 00 N n( B) N n( B) 05 Ou sja: S N S N GABARITO: (A) QUESTÃO Sabmos qu Os divisors positivos d d N d 0 0 N qu são múltiplos d são dados por:

15 Como Gabarito - Colégio Naval 05/06, ntão: 5 d N 000 d GABARITO: (D) QUESTÃO 9 Olhmos para Contramplos dos itns propostos: ITEM I II: A,,, B 5,6,7 AB,,,,5,6,7, ou sja: p n A Tmos: q n A 7 n AB N n Subconj( AB) N n Subconj( AB) 7 Do itm I: Do itm II: N p q 7( F) N pq. 08 7( F) ITEM III: A,, B,, AB,,,, ou sja: p n A Tmos: q n A n AB N n Subconj( AB) N n Subconj( AB) 5 Do itm III: N pq 7 7 5( F) ITEM IV: A,, B,,, AB,,, A B,, p n A q n A, ou sja:

16 n AB N n Subconj( AB) Gabarito - Colégio Naval 05/06 N n Subconj( AB) 5 Do itm IV: N p 7 5( F) Tmos, portanto, qu todas as altrnativas são falsas. GABARITO: (A) QUESTÃO 0 Primiramnt, traçando a altura AH, tmos qu HB 5,, por Pitágoras m AHC tmos: AH HC AC AH 5 Logo a ára do triângulo ABC é dada por: 0. S ABC 60 Not qu os triângulos AQR, SCT, BPU ABC são smlhants, logo: SAQR AR 60 SAQR S AC 69 ABC SPBU PB 60 SPBU S AB 69 ABC

17 Como S PBU S SCT Gabarito - Colégio Naval 05/06, tmos qu a ára do hágono srá: S S S S S Hágono ABC AQR PBU STC SHágono SHágono S 5. Hágono v 60.5 b 69 a O intiro qu mais s aproima dst valor é. GABARITO: (B)