Matemática: Lista de exercícios 2º Ano do Ensino Médio Período: 1º Bimestre

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1 Matmática: Lista d xrcícios 2º Ano do Ensino Médio Príodo: 1º Bimstr Qustão 1. Três amigos saíram juntos para comr no sábado no domingo. As tablas a sguir rsumm quantas garrafas d rfrigrant cada um consumiu como a dspsa foi dividida: S D S rfr-s às dspsas d sábado D às dspsas d domingo. Cada lmnto a ij das matrizs nos dá o númro d rfrigrants qu i pagou a j, sndo Paulo o númro 1, Sandra o númro 2 Edna o númro 3. No sábado, por xmplo, Paulo pagou 1 rfrigrant qu l próprio bbu, 2 d Sandra 3 d Edna (primira linha da matriz S). Qum bbu mais no fim d smana? *Obs.: Paulo 1ª linha, Sandra 2ª linha Edna 3ª linha. - Utilizando a cor azul para idntificar na matriz os rfrigrants consumidos por Paulo, tmos: 1 S D Logo, pla soma dsts lmntos, Paulo bbu 7 rfrigrants. - Utilizando a cor vrmlha para idntificar na matriz os rfrigrants consumidos por Sandra, tmos: S D Logo, pla soma dsts lmntos, Sandra bbu 7 rfrigrants. - Utilizando a cor vrd para idntificar na matriz os rfrigrants consumidos por Edna, tmos: 1 2 S D Logo, pla soma dsts lmntos, Edna bbu 11 rfrigrants Rsposta: Edna com 11 rfrigrants.

2 Qustão 2. Dtrmin a matriz X t 1 2 5, sabndo qu X = Dada a matriz X, ao trocarmos ordnadamnt as linhas plas colunas, obtmos uma nova matriz chamada d transposta d X, rprsntada por X t : t X 2 7. Qustão 3. Sja M = 4 3 4, calcul: a) O mnor complmntar dos lmntos a 11, a 21 a 31. O mnor complmntar do lmnto a ij, da matriz quadrada M, é o dtrminant qu s obtém d M, liminando-s dla a linha i a coluna j. Analogamnt, tmos: a 11 = a 21 = a 31 = b) Os cofators dos lmntos a 11, a 21 a 31. O cofator do lmnto a ij, da matriz quadrada M, é A ij = ( 1) i+j. D ij, m qu D ij é o mnor complmntar d a ij. Analogamnt, tmos: A 11 = ( 1) 1+1. D 11 A 21 = ( 1) 2+1. D 21 A 31 = ( 1) 3+1. D 31 = 1. ( 13) = ( 1). ( 6) = = 13 = 6 = 11

3 c) O valor do dtrminant utilizando o Torma d Laplac na 1ª coluna d M. (i) O dtrminant d qualqur matriz quadrada M d ordm n é igual à soma dos produtos dos lmntos d uma fila plos sus rspctivos cofators. D acordo com os xrcícios antriors (a) (b), tmos: A 11 = 13; A 21 = 6; A 31 = 11. Assim sndo, plo Torma d Laplac (i), tmos: Dt M = a 11. A 11 + a 21. A 21 + a 31. A 31 = 4. ( 13) = 7 Qustão 4. Qual é a invrsa da matriz ? (i) As matrizs A B (quadradas d ordm n) são invrsas (não singulars) s, somnt s, A. B = I n, m qu I n é a matriz idntidad d ordm n. (ii) Exist a invrsa d M, s, somnt s, o dt M 0, caso o dt M = 0, ntão M é não invrsívl (singular). D acordo com (i) (ii), tmos: 3 7 x y z w 0 1 3x 7z 3y 7w 1 0 5x 11z 5y 11w x 2 3x7z 1 7 y 5x11z 0 2 3y7w0 5 z 5y11w1 2 3 w

4 Qustão 5. (U. F. Ubrlândia-MG) S A B são matrizs invrsívis d msma ordm, ntão 1 dt( A. B. A) dt B é igual a: ( A ) 1 ( B ) 1 ( C ) dt A + dt B ( D ) dt (AB) ( E ) N. D. A dt( A. B. A) dt A.dt B.dt A dt A.dt A.dt B dt B dt B dt B 1.dt A.dt B dt 1.dt B A dt B dt B Gabarito: Altrnativa A. Qustão 6. (UFMT) Um projto d psquisa sobr ditas nvolvm adultos crianças d ambos os sxos. A composição dos participants no projto é dada pla matriz O númro diário d gramas d protínas, d gorduras d carboidratos consumidos por cada criança cada adulto é dado pla matriz A partir dssas informaçõs, julgu os itns. ( F ) 6000 g d protínas são consumidos diariamnt por adultos crianças do sxo masculino. ( F ) A quantidad d gorduras consumida diariamnt por adultos crianças do sxo masculino é 50% mnor qu a consumida por adultos crianças do sxo fminino. ( V ) As pssoas nvolvidas no projto consomm diariamnt um total d g d carboidratos. Plas simpls litura das matrizs vrificamos qu os dois primiros itns são falsos. Provari a vracidad do trciro itm: A partir da matriz sab-s qu o númro d adultos nvolvidos no projto é d (somando os lmntos da 1º coluna da matriz cuja dita) o númro d crianças é d 320 (somando os lmntos da 2ª coluna da matriz cuja dita).

5 O númro d carboidratos consumidos diariamnt foi aprsntado na trcira coluna da matriz: (i) (ii) O númro d carboidratos diários consumidos plos adultos nvolvidos no projto é obtido plo produto ntr o lmnto a 13 da matriz antrior o númro d adultos nvolvidos no projto. Portanto, tmos: = 3600 g O númro d carboidratos diários consumidos plas crianças nvolvidas no projto é obtido plo produto ntr o lmnto a 23 da matriz antrior o númro d crianças nvolvidas no projto. Portanto, tmos: = 9600 g. Logo, somando (i) (ii) obtmos o númro diário (m gramas) d carboidratos consumidos plas pssoas nvolvidas no projto. Analogamnt, tm-s: 3600 g g = g. Qustão 7. Escrva na forma matricial os sistmas a sguir: a) x y z 2 x 2y 2z 5 5 x y 5z 1 b) 3 x 5 y 4 z t 8 2 x y 2 z 3 x 2 y z 3 t 1 5 x y 6 t a) b) Qustão 8. Rsolva o sistma x y z 6 x y z 4 2x y z 1 pla Rgra d Cramr. Matriz dos coficints: Matriz Vtor: D : 4 ( S. P. D) Dx x 1 x 1 D 4 4

6 Dy y 3 y 3 D Dz z z 2 D 4 4 Conjunto das Soluçõs (1, 3, 2) Atnciosamnt, Jair Júnior.