Módulo de Círculo Trigonométrico. Secante, Cossecante e Cotangente. 1 a série E.M.

Transcrição

1 Módulo d Círculo Trigonométrico Scant, Cosscant Cotangnt a séri EM

2 Círculo Trigonométrico Scant, Cosscant Cotangnt Exrcícios Introdutórios ] π Exrcício Sja α ; π tal qu sn α, dtrmin, s xistir, o rsultado d todas as razõs trigonométricas d α Exrcício Sja β π, π ] tal qu cos β 0, 6, dtrmin, s xistir: a sn β; b cos β; c tg β; d cotg β; sc β; f cossc β Exrcício Dfinindo a sc x, dmonstr, a partir da rlação fundamntal da trigonomtria, qu tg x + sc x Exrcício 4 Qual o rsultado obtido após a simplificação d E (sc x (cossc x sn x (tg x + cotg x? Exrcícios d Fixação Exrcício S sn α α 0, π ] Quais os valors d cossc α, cotg α cossc α? Exrcício 6 Sabndo qu cossc x /4 x é do primiro quadrant, qual o valor da xprssão 9 (sc x + tg x? Exrcício 7 S cos α, calcul o valor d 4 x sc α sc α cossc α cotg α Exrcícios d Aprofundamnto d Exams Exrcício 0 Sabndo qu sn x π < x < π, o valor cossc x sc x d cotg x Exrcício Quais os valors d t pra qu tnhamos (cos αt t + cos α 0? Exrcício S o númro ral x é tal qu π < x < π sc x, ntão cotg x é igual a Exrcício A partir das fórmulas do cossno da soma do cossno da difrnça, prov qu: a cos(a + b cos(a b sn a sn b b cos cos 4 sn sn c cotg Exrcício 4 cotg a Prov qu sn(x tg x + tg x b Prov qu tg x + tg x ( α c S tg é um númro racional (α kπ, k Z, prov qu cos α sn α são númros racionais d Prov qu tg x cossc(x cotg(x Rciprocamnt, ( s cos α sn α são númros racionais, α prov qu tg é númro racional Exrcício Rsolva a quação trigonométrica (sn x( + cotg x + (cos x( + tg x cos(x, sndo 0 x π Exrcício 6 Sndo α o valor do sn α π, π ] tg αsc α, calcul Exrcício 8 Sja x um númro ral positivo tal qu sc x tg x Calcul sc x + tg x Exrcício 9 Calcul uma xprssão quivalnt a cotg(x + cossc(x matmatica@obmporgbr

3 Rspostas Soluçõs (Extraído da ] Vído Aula π S α ; π sn α, ntão α π i sn α ii cos α 0 iii tg α iv cotg α 0 v sc α vi cossc α 4 E (sc x (cossc x sn x (tg x + cotg x ( ( ( sn x sn x sn x + sn x ( cos ( x sn ( x sn x + cos x sn x sn x ( sn ( x cos ( x sn x sn x ( (sn x sn x Como α stá no quadrant, todas as suas razõs trigonométricas são positivas Pla rlação fundamntal trmos (Extraído da Vído Aula Como β π ], π, trmos o sno, o cossno, a scant, a cosscant com sinais ngativos as tangnt cotangnt positivas Sguindo com a rlação fundamntal da trigonomtria, trmos Portanto: a sn β 0, 8; sn β + cos β sn β + ( 0, 6 sn β 0, 8 sn x + cos x Agora, rsolvndo o qu foi pdido, trmos i sc α ; ii cotg α ; iii cossc α b cos β 0, 6; c tg β 4 ; d cotg β 4 ; sc β ; f cossc β 4 Podmos dividir a rlação por cos x 0 obtndo sn x + cos x sn x cos x + cos x cos x tg x + sc x 6 (Adaptado do vstibular da UFSC Como x 0, π], ntão todas as suas razõs trigonométricas são positivas Tndo cossc x /4, chgamos a sn x 4/, pla rlação fundamntal da trigonomtria, / Por fim, sc x /, tg x 4/ 9 (sc x + tg x ( 9 + ( ] Simplificando a quação m função do sno do cossno d α chga-s a x sc α sc α cossc α cotg α sc α(sc α cossc α cotg α ( sn α cos α cos α cos α sn α cos α 6 ( sn α sn α cos α matmatica@obmporgbr

4 8 Dsnvolvndo a quação inicial, dstacando qu 0, chgamos a sc x tan x sn x sn x sn x Substituindo na rlação fundamntal, trmos sn x 0 (com ou sn x Apnas o primiro srv, pois para o sgundo tríamos 0, absurdo Por fim, sc x tg x 0 Portanto, sc x + tg x 9 (Adaptado do vstibular da UDESC - 0 cotg(x + cossc(x cos(x sn(x + sn(x cos(x + sn(x sn x + sn x + cos x sn x sn x cotg x 0 (Adaptado do vstibular da UFV MG π ] Como x, π trmos qu o cossno, a tangnt, a cotangnt a scant com sinais ngativos o sno a cosscant positivos Sguindo com a rlação fundamntal da trigonomtria, trmos, dsnvolvndo o qu foi pdido, chgamos a cossc x sc x cotg x sn x sn x 4 (Adaptado do vstibular da FURG RS Para cos α 0, trmos t 0 Caso contrário, rsolvndo a quação do o grau m t, chgarmos a 4 4cos 4( cos 4sn α t ± sn α cos α cos α ± sn α cos α sc α ± tg α (Adaptado do vstibular da UNIFOR CE S x π, π ], ntão o sn x < 0 a cotg x > 0 Com sc x chgamos a, pla rlação fundamntal da trigonomtria, sn x obtrmos cotg x sn x Por fim, a As fórmulas do cossno d soma da subtração são cos(a + b cos a cos b sn a sn b ( cos(a b cos a cos b + sn a sn b ( fazndo ( (, trmos cos(a b cos(a + b sn a sn b b Usando a fórmula do itm a, cos(a b cos(a + b sn a sn b, fazndo a b a + b 4 trmos a b, o qu dmonstra o pdido c Provar o solicitado é quivalnt a provar qu com ( cotg ( cotg cos cos ( ( sn sn (sn cos (sn cos sn sn A B sn sn A cos cos + sn sn cos( cos B sn cos sn cos plo itm b, trmos sn( + cos 4 sn sn cos cos 4 Por fim, obtmos A B sn sn cos cos 4 cos cos 4 matmatica@obmporgbr

5 4 a Basta dsnvolvr os dois mmbros da quação b Basta dsnvolvr os dois mmbros da quação c (Extraído da Olimpíada ( Carns d Matmática α Supondo qu tg p, p intiro q intiro não nulo q usando as idntidads dos itns a b trmos sn α p q + p q p pq p + q cos α q + p q q p q + p, 6 A quação tg α sc α sn α é quivalnt a cos α sn α Agora, substituindo na rlação fundamntal da trigonomtria, chga-s a Como α cos α + cos α 4cos α cosα ± π, π ], ntão cos α < 0, o msmo para o sno, por fim, sn α o qu conclui qu cos α sn α são também racionais d Basta dsnvolvr os dois mmbros da quação (Extraído da Olimpíada Carns d Matmática Utilizando a idntidad do itm d trmos qu ( α tg cossc α cotg α sn α cos α sn α Como α kπ, k Z, a divisão por sn α ( xist Além α disso, como cos α sn α são racionais, tg é racio- nal (Adaptado da Olimpíada Pan Africana Dsnvolvndo o mmbro da squrda chgamos a (sn x ( + cotg x + ( ( + tg x (sn x (sn x + + ( ( + sn x (sn x + ( (sn x + Agora, o mmbro da squrda produz o dsnvolvimnto ( (sn x ( + sn x( sn x O qu rsulta m ( + sn x( sn x 0 Então ( sn x, o qu rsulta m x π 4 rad, ou sn x A última quação é quivalnt à sn(4 x / { Daí, } como 0 x π, sgu qu π x 0 Portanto, S 4, 0 Elaborado por Clbr Assis Tiago Miranda Produzido por Arquimds Curso d Ensino contato@cursoarquimdscom 4 matmatica@obmporgbr