Integral Indefinido - Continuação

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1 - ontinuação Técnicas Intgração (Primitivação) OBJETIVO: Aprsntar técnicas para trminar a função F() conhcia como primitiva tal qu F () f() ou: f() F() As principais técnicas primitivação FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL são: INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO INTEGRAÇÃO POR PARTES INTEGRAÇÃO POR DEOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES RAIONAIS INTEGRAÇÃO UTILIZANDO SUBSTITUIÇÕES (POR MEIO DE IDENTIDADES) TRIGONOMÉTRIAS INTEGRAÇÃO POR PARTES

2 Técnicas Intgração Intgração por parts: Quano s calculava a rivaa o prouto uas funçõs aplicávamos uma rgra: chamávamos uma as funçõs u, a outra função v sua rivaa ra aa por u v uv. Emplo: Sja f(). sn. hamamos u, v sn f (). sn. cos A intgração por parts ir-s-á aplicar a sts casos m qu a função é constituía por um prouto também nos casos m qu uma as funçõs po sr rivaa rptiamnt a outra po sr intgraa rptiamnt. Algumas Técnicas IntgraçãoI ntgração por parts onsir f() ) uas funçõs rivávis. A rgra o prouto é igual a: Ou sja, [ f ( ). ) ] f '( ). ) f ( ). g'( ) [ u. v] ' u'. v uv'

3 Em trmos intgrais infinios, vm: [ f ( ). ) ] f '( ). ) f ( ). g'( ) ( [ f ). ) ] [ f '( ). ) f ( ). g'( ) ] [ f ). ) ] f '( ). ) f ( ). g'( ) ( [ f ( ). ) ] f '( ). ) f ( ). g'( ) Em trmos intgrais infinios, vm: ( u. v) u'. v u. v' ( uv) ( u'. v u. v') ( u. v) u'. v u. v' ( u. v) u'. v u. v'

4 Rarranjano os trmos, tmos: f ( ). g' ( ) f ( ). ) f '( ). ) u. v' u. v u'. v, Ou sja, u f() v ) u f (); v g (). qu é a fórmula a intgração por parts. Usano a rgra substituição, a fórmula acima po sr simplificaa para: uv uv vu Emplo : Usano o métoo a intgração por parts, trmin: Solução Usamos a fórmula simplificaa a intgração por parts, fazno: u, u ; v sn, v cos. Então: uv uv vu.cos. sn sn.cos. sn cos c. cos

5 Obsrvaçõs O objtivo a intgração por parts é passar um intgral qu não sabmos como calcular para um intgral qu sabmos calcular. uv Gralmnt, scolhmos v primiro sno a part o intgrano, incluino, qu sabmos intgrar manira imiata; u é a part rstant. Obsrvação: A intgração por parts nm smpr funciona. EXEMPLO 0 alcular Sja, portanto: u Dst moo: v Solução u v uv vu INTEGRAÇÃO POR PARTES O intgral ao v sr scrito na forma uv. Então: u v v a constant po sr incluía apnas no final. 5

6 EXEMPLO 0 alcular Solução INTEGRAÇÃO POR PARTES Sja: u v Assim: u v v Portanto: u v uv vu ( ) ou: () O último intgral é quivalnt ao original, com a cção qu foi substituío por. Tmos intgrar novamnt por parts Sja: u v 6

7 Assim: u v v Portanto: ou: u v uv v u ( ) () Substituino () m () rsulta: Portanto: [ ] ( ) 7

8 INTEGRAÇÃO POR DEOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES RAIONAIS Métoo os coficints intrminaos EXEMPLO Dtrminar ( )( ) Solução INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DEOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES RAIONAIS O intgrano é uma fração própria, uma vz qu o numraor possui grau o nominaor possui grau 5. Pla FATORIZAÇÃO o polinómio o nominaor, ( ) prsnt no nominaor, ficamos com o trmo: A 8

9 ontinuano a fatorizar o nominaor o polinómio, ( ) prsnt no nominaor, vm: B D E ( ) Assim, a composição m fraçõs racionais o intgrano é: 6 ( )( ) 0 9 A B D E ( ) Multiplicar os ois laos a quação por ( )( ) ( )( ) ( )( ) B ( )( ) ( )( ) ( )( ) D E ( ) A vm: 6 ( )(D E) 0 9 ( ) A ( )( )(B ) Epanino o lao irito ragrupano trmos smlhants rsulta: (A B) (B ) (6A B D) (6B D E) (6 9A E) Equacionano os coficints corrsponnts caa lao, obtém-s um sistma quaçõs 5 incógnitas: 9

10 0 9 E 6 9A 0 E D 6B 6 D B 6A B B A A solução st sistma rsulta: 0 E D 0 B A Portanto: ) ( ) )( ( Logo: ) ( ) )( ( ln ln u u u u u u ) ( ln ln u u u u u u

11 ) ( u u u u ) ( u u u ) ( ) ( ) ( Finalmnt: ln ln ) )( ( Solução INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DEOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES RAIONAIS EXEMPLO 0 Dtrminar

12 ( ) DEOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES RAIONAIS 9 A B ( ) ( ) 9 A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 (A ) ( A B) B A 9 A B B A B ( ) 7 9 ( ) 7 9 ( ) 9 ln 7 ln

13 EXEMPLO 0 Dtrminar Solução INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DEOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES RAIONAIS ( ) ( )( ) A B ( )( ) ( ) ( ) Multiplicano os ois laos por ( )( ) vm: (A B ) (A B ) A Intgral Infinia Portanto: A B 0 A B 0 A Finalmnt: ( )( ) ( ) 6( ) A B 6 Logo: 6 ln ln ln 6

14 FIM Bibliografia: