Transformada de Fourier

Transcrição

1 Transformada d orir Séri d orir: Uma fnção priódica pod sr rprsntada pla soma d m conjnto d snos o cosnos d difrnts frqências cada ma mltiplicada por m por m coficint Transformada d orir: Uma fnção não priódica pod sr rprsntada por m intgral d m conjnto d snos o cosnos d difrnts frqências mltiplicadas por ma fnção psada Uma fnção prssa nma séri d orir o na transformada d orir pod sr convrtida novamnt para o domínio spacial sm prda d informação o q torna possívl o procssamnto no domínio d orir Dfinição para fnçõs d ma dimnsão D S f for ma fnção contína a sa transformada é dfinida por: I + j f d ond j f A transformada invrsa é dfinida por: I + f A transformada é m gral ma fnção compla: R + ji j é dsignado por spctro d orir o magnitd da transformada: A fas d transformada é dada por: R + I φ tan I R é dsignado por variávl d frqência porq dtrmina a frqência das componnts ortogonais: j cos d jsn Visão por Comptador João Lís Sobral 3

2 Transformada d orir Séri d orir para fnçõs priódicas S v for ma fnção priódica tal q v v ± mt a sa pansão m séri d orir é dada por: + n j n f v C nf para n 3... os coficints C nf da séri são dados por: C nf v T T j nf Como altrnativa pod sr tilizada a forma trigonométrica: d n f + arg + + Cn cos C n n v C Emplo : v 7 + cos + + 4cos 6 9 Emplo : v A -X X T Os coficints da séri para st sinal são: C nf AX T sn nfx nf X Dsnvolvndo a forma trigonométrica para sta fnção: A A A A v + cos f + cos f + cos 3 f Visão por Comptador 3 João Lís Sobral 3

3 Visão por Comptador 4 João Lís Sobral 3 Transformada d orir Transformada discrta d orir DT d fnçõs d ma dimnsão D Para sinais discrtos o intgral transforma-s nm somatório: j f para... - A transformada invrsa é dada por: j f para... - Como cos θ θ θ jsn j [ ] cos jsn f Cada m dos trmos d é dsignado por componnt d frqência DT d fnçõs d das dimnsõs D Para sinais d das dimnsõs D a transformada é m dplo somatório: + N v N vy j y f N v A transformada invrsa é dada por: + N v N vy j v N y f A DT pod sr calclada através d das transformadas -D primiro nas linhas postriormnt aplicando ma sgnda transformada ao rsltado Em gral apnas s visaliza a magnitd o logaritmo dsta da transformada nma scala d tons d cinznto com a componnt d frqência ao cntro O spctro da transformada d orir é simétrico: v v

4 Transformada d orir DT d fnçõs d das dimnsõs D Emplo: Visão por Comptador 5 João Lís Sobral 3

5 Transformada d orir iltragm do domínio das frqências Os filtros no domínio das frqências são aplicados mltiplicando a transformada plos lmntos do filtro ponto a ponto. As baias frqências do spctro são rsponsávis pla variaçõs d tom mais savs. As altas frqências são rsponsávis plos dtalhs da imagm. Os filtros passa-baio atnam as frqências altas do spctro diando passar as frqências baias. Os filtros passa-alto atnam as frqências baias do spctro diando passar as frqências altas. Emplo: Visão por Comptador 6 João Lís Sobral 3

6 iltragm do domínio das frqências iltros d savização passa-baio iltro idal O filtro idal limina todas as frqências spriors a m valor D dsignado por frqência d cort. O filtro idal tnd a originar m fito d anl nas imagns filtradas: Imagm original d 55 raios d cort d pils Visão por Comptador 7 João Lís Sobral 3

7 iltragm do domínio das frqências iltros d savização passa-baio iltros d Bttrworth Introdz m parâmtro ordm do filtro para vitar m cort abrto jnto do raio d cort: H v + [ D v D ] n O filtro d Bttrworth d ordm não introdz o fito d anl no filtro d ordm ss fito não é prcptívl: Visão por Comptador 8 João Lís Sobral 3

8 iltragm do domínio das frqências iltros d ralç passa-alto Podm sr obtidos a partir do filtros passa baio: H passa alto H passa baio iltros idal Bttrworth Gassiano: Visão por Comptador 9 João Lís Sobral 3

9 iltragm do domínio das frqências iltro d passa-alto idal iltro d passa-alto d Bttrworth H v + [ D D v ] n Visão por Comptador 3 João Lís Sobral 3

10 Transformada d orir ast orir Transform T Para imagns com dimnsão potência d ist m algoritmo T q rdz sbstancialmnt a qantidad d cálclos a fctar Propridads da transformada d orir Sparávl m y... A translação da imagm não altra o spctro da imagm Uma rotação da imagm provoca ma rotação smlhant no spctro Distribição: I f y + f y I f y +I f y Escalamnto: I af y ai f y Torma da convolção A convolção no spaço y qival à aplicação d m filtro d frqência corrspondnt à transformada do filtro tilizado f*g G Os filtros idais são mais facilmnt obtidos no domínio das frqências Uma vz obtida a transformada da imagm a aplicação d m filtro no domínio d frqências rqr mnos cálclos q a convolção Visão por Comptador 3 João Lís Sobral 3

11 Transformada d orir Torma da convolção continação prmit intrprtar os filtros no domínio das frqências através da sa transformação m máscara d convolção intrprtar os filtros no domínio spacial através da sa transformação m filtros no domínio das frqências. iltro passa-baio d Bttrworth Visão por Comptador 3 João Lís Sobral 3