A DERIVADA DE UM INTEGRAL

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1 A DERIVADA DE UM INTEGRAL HÉLIO BERNARDO LOPES Rsumo. O cálculo o valor a rivaa um ingral ocorr com cra frquência na via profissional físicos, químicos, ngnhiros, conomisas ou biólogos. É frqun, conuo, surgir alguma ificula no curso a sua aprnizagm. Es o, assn na ourina ssncial snvolvio aravés um conjuno vaso mplos significaivos, visa, prcisamn, ajuar os suans univrsiários cursos licnciaura ivrsos a ulrapassar os obsáculos rfrios, assim consguino ominar um ma qu é ão simpls quão imporan. Com gran frquência, surg a ncssia calcular a rivaa o ingral cra função m rminao inrvalo on a função ingrana sja conínua ingrávl à Rimann. E é com igual frquência, porvnura aé maior, qu s nconra uma sranha ificula os jovns suans univrsiários no raamno s ma. Com a finalia forncr aos rfrios jovns um o qu mosr, com rigor simplicia, o qu sá m jogo ns omínio como o ma é raao, procu-s à laboração sa noa brv, qu s ilusra com um conjuno mplos consirao razoávl para qu a comprnsão plna o ma a rspiva ominância possam r lugar. A rsposa a sa prnsão é aa, ssncialmn, plo conhcio TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO INTEGRAL. Sja f uma função ingrávl à Rimann no inrvalo [a,b] R. Nsas circunsâncias, a função, F: [ a, b] R, finia por: F f é conínua m [a,b], sno ifrnciávl m qualqur pono [a,b], no-s: EXEMPLO. Prn achar-s, para a função: a ' F f. F + + o valor F ' () sm calcular o ingral m suo sabno qu a função ingrana sá finia m [,7]. Ora, acoro com o nunciao o orma anrior, o valor procurao val: F ' ()

2 COROLÁRIO. S f é uma função ingrávl à Rimann m [a,b] R, conínua, não, F [ a b] finia por: F f é conínua m [a,b], sno ifrnciávl m qualqur pono [a,b], no-s: EXEMPLO. Prn achar-s, para a função: a F ' f. F + + :, R, o valor F ', sm calcular o ingral m suo sabno qu a função ingrana sá finia m [,7]. Ora, acoro com o nunciao o corolário anrior, o valor procurao val: F ' + + EXEMPLO. Prn achar-s, para a função: F sn o valor F ', sm calcular o ingral m suo sabno qu a função ingrana sá finia m [,9]. Ora, no m cona qu s m: F sn o corolário anrior prmi rminar: F ' sn. COROLÁRIO. S f é uma função ingrávl à Rimann m [a,b] R, conínua, não, F [ a b] finia por: g F f g é conínua m [a,b], sno ifrnciávl m qualqur pono [a,b], no-s: s i :, R,

3 s qu as rivaas g s [ ] [ ] ' ' ' F g f g g f g g EXEMPLO. Prn achar-s, para a função: i s s i i isam nos ponos o inrvalo [a,b]. F a rspiva rivaa m orm a, sm calcular o ingral. Ora, nos rmos o anrior corolário, m-s, ns caso: plo qu virá: EXEMPLO. Prn achar-s, para a função: g g s F '. i F log + a rspiva rivaa m orm a, usano o anrior corolário. Tr-s-á, não: EXEMPLO. Prn achar-s, para a função: F ' log log + + F + a rspiva rivaa m orm a, usano o anrior corolário. Tr-s-á, ns caso: F ' EXEMPLO. Prn achar-s, para a função: + sn + a rspiva rivaa m orm a, usano o anrior corolário. Tr-s-á aqui: EXEMPLO. Rsolvr a quação: sn cos.

4 ( ) ( y ) y ln. 6 Tm-s, ns caso: ln ln sh ' ' qu é uma quação ranscnn. Rcorrno a uma calculaora, po obr-s facilmn uma solução aproimaa. EXEMPLO. Achar a prssão a rivaa abaio, sm fcuar a ingração: ln. Tm-s, pois, nos rmos a ourina inicialmn posa: ' ' ln( ) ln ( ) ln ( ) sh. EXEMPLO. Drmin a prssão a rivaa m orm a para a função: Virá, não: + F +. + [ ] [ ] F ' ' ' EXEMPLO. Rsolvr a quação: No caso a prsn quação, m-s: E m-s, por igual: ou sja: + [ ] y y y + + ln. + ( + + ' )' + [ ] y y y + ln y + ln( )

5 y + ln y+ ln. y [ y y ] [ ] Em fac ss rsulaos no m cona a quação inicialmn aa, virá: + + qu é, como s vê, uma quação ranscnn. Diano mão méoos numéricos usano uma calculaora suficinmn pon, obr-s-á uma solução aproimaa. EXEMPLO. Prn mosrar-s qu: + +. Para provar o qu s prn, basa rivar ambos os mmbros sa iguala m orm a, vino: ' + + o qu prova o qu s prnia. EXEMPLO. Prn mosrar-s qu s m: log Usano a ourina ans aprsnaa, virá: ' ( ) log log ( ) o qu rspon ao qu s prnia. EXEMPLO. Sja a função f :R R, conínua prióica príoo T. Prn mosrar-s qu a função: 5 + T F f

6 é uma função consan m R. Claro sá qu, s assim for, a sua rivaa rá s sr nula. Achano ssa rivaa, virá: F ' f ( + T) f. Ora, ao qu a função inicialmn aa é prióica príoo T, rá sr: plo qu: f ( + T) f F ' o qu prova qu Fé uma função consan m R. EXEMPLO. Ach o omínio, su a monoonia calcul os rmos a função: F ln. Aqui, o omínio a função é [,+ [. A primira rivaa a função aa é: F ' ln qu é smpr posiiva m ],+ [ sno nula no pono, plo qu a função aa é sriamn crscn. Dao qu: 6 F ' ln s pono é um minimizan a função aa, on ocorr o mínimo, local absoluo: F() ln(). EXEMPLO. Ach o omínio, su a monoonia calcul os rmos a função: virá: O omínio a função, claro sá, é R. Dao qu: F. F ' F '.

7 Uma vz qu m ],[ a anrior rivaa é ngaiva, a função é crscn nss inrvalo. Em conraparia, no inrvalo ],+ [ a rivaa é posiiva, pla a função aa é crscn nss inrvalo. Assim, no pono zro ocorr um mínimo local absoluo, com o valor: F. EXEMPLO. Ach o omínio, su a monoonia calcul os rmos a função: O omínio sa função é R. Ns caso m-s: F +. F ' + qu é smpr ngaiva m R. Ou sja, a função aa é crscn m R. Não ism, pois, rmos para sa função. EXEMPLO. Ach o omínio, su a monoonia calcul os rmos a função: F. ln Para sa função o omínio é R {}. Tm-s, para sa função: F ' qu é ngaiva m R posiiva m R +. É, pois, crscn no primiro inrvalo crscn no sguno, não isino rmos no omínio a função. EXEMPLO. Daa a função: prn rminar-s: A função aa po scrvr-s na forma: plo qu s rá: sn() F F '. sn() F 7

8 ' sn( ) sn F. EXEMPLO. Para a função qu s mosra sguia, finia m R por: + F cos prn rminar-s o su valor no pono zro, bm como o a sua primira rivaa aí. Ora, fácil é consaar qu s m: + F cos sno qu s m: ( ) + + ' ' ' cos cos F + cos + sn. Assim, o valor a primira rivaa no pono zro val: F '. EXEMPLO. Sja, agora, o cálculo o limi abaio: lim sn sn Para s procr ao lvanamno sa inrminação, ia-s mão a Rgra Hospial, vino: sn lim sn( ) lim Espra-s qu o anrior conjuno mplos aju a mosrar a imporância rivar um ingral sm r a ncssia prviamn o calcular, siuação qu s aprsna, como s iss ao início, com alguma frquência na via práica corrn muios omínios. 8