J, o termo de tendência é positivo, ( J - J

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1 6. Anxo 6.. Dinâmica da Economia A axa d juros (axa SEL LBO) sgu um modlo. Ou sja, o procsso da axa d juros (nuro ao risco) é dscrio por: dj ( J J ) d J ond: J : axa d juros (SEL ou LBO) no insan : vlocidad d rvrsão à média da axa d juros J : média d longo prazo da axa d juros : volailidad da axa d juros : procsso d Winr O modlo, xib a propridad d rvrsão à média, ond os parâmros J são, rspcivamn, a vlocidad d rvrsão à média a média d longo prazo. Dado >0, smpr qu a axa corrn sivr abaixo da média d longo prazo, J < J, o rmo d ndência é posiivo, ( J - J )>0, fazndo com qu a axa corrn aumn. Da msma forma, s a axa corrn sá acima da média d longo prazo, J > J, o rmo d ndência orna-s ngaivo, ( J - J )<0, provocando uma diminuição na axa corrn. Tal rvrsão à média parc uma hipós basan razoávl uma propridad dsjávl m modlos d axas d juros. O modlo, ao inroduzir o rmo aparcimno d axas d juros d curo prazo ngaivas. J / na componn d volailidad, limina a possibilidad do O prço dos íulos (, consqünmn, a sruura a rmo da axa d juros) pod sr drivado do modlo. Mais spcificamn, o prço dos íulos prfixados é dado por: P(, A(, B(, T ) J ond:

2 ( T ) ( T B(, ) A(, T ) ( )( T ) / ( T ) J / Dv-s obsrvar, nrano, qu o modlo não rprsna prcisamn os prços d mrcado, por isso, não rfl com prcisão a conomia brasilira. Enrano s não é nosso objivo. om o propósio d grar cnários d sado sacionário, com axa d juros m su nívl d quilíbrio, o modlo m um for aplo inuiivo, pois possui uma fórmula xplicia para o prço dos íulos é basada m um modlo d quilíbrio. Ouros modlos mais prcisos d prcificação, como o HJM, não aprsnam sas vanagns são modlos d prvisão ão arbirários quano o. Para a axa ral d câmbio, foi adoado um modlo KLS, com o xpon da axa no rmo d volailidad igual a um, ond su procsso sria dscrio por: d ( ) d m qu: : axa d câmbio ral no insan : vlocidad d rvrsão à média da axa d câmbio ral : média d longo prazo da axa d câmbio ral : volailidad da axa d câmbio ral : procsso d Winr O modlo KLS é uma gnralização do modlo qu pod sr scrio como Esamos, porano, usando um modlo ds ipo para a axa d câmbio ral, com. dr a( b r ) d r. A quação do câmbio ral pod sr rscria como: d d O modlo KLS é uma gnralização do modlo.

3 Nomos qu / nada mais é do qu o dsvio (na ralidad o invrso do dsvio) da axa d câmbio ral com rlação ao su valor d quilíbrio. Ns caso, quando a axa d câmbio nconra-s dsvalorizada, iso é, /, mos E / 0 d, ou sja, spra-s uma valorização ral do câmbio. sumindo, o procsso adoado para o câmbio ral xib rvrsão à média faz com qu a componn d volailidad da axa d variação do câmbio não dpnda do nívl da axa d câmbio. Já para o índic d prços, foi dfinido um procsso browniano gomérico: d d m qu: : índic d prços no insan : axa média d crscimno do índic d prços : volailidad do índic d prços : procsso d Winr O procsso d Winr uilizado nos rês modlos é um procsso d Markov. S z sgu um procsso d Winr é obsrvada uma pquna mudança m z, z, m um pquno inrvalo d mpo, não o procsso d difusão d z m as sguins propridads: (i) dois inrvalos disinos, os z corrspondns são indpndns (Markov). z, m qu N0, (ii) para Uma variávl x sgu um procsso d Winr gnralizado, s su procsso d difusão pod sr scrio como: dx ad b m qu z sgu um procsso d Winr, como o dscrio acima. Ess procsso d Winr gnralizado já raz a idéia d uma componn d ndência ( ad ) oura d volailidad ( b). O procsso d ô é uma xnsão do procsso d Winr gnralizado m qu os coficins das componns d ndência volailidad são variávis, podndo dpndr do valor da própria variávl cujo procsso sá sndo dscrio do mpo. Assim, um procsso d ô, pod sr scrio como: dx a( x, ) d b( x, ) Porano, o procsso qu samos adoando para o índic d prços é um procsso d ô m paricular: d d

4 Por ambém sr muio uilizado, ss procsso rcb um nom spcial, d movimno browniano gomérico. El ambém pod sr scrio como: d d Porano, a axa d variação da inflação m uma componn d ndência consan. Além disso, ssa axa, para qualqur inrvalo d mpo pquno, é normalmn disribuída dado dois inrvalos pqunos d mpo disinos, as axas d variação são disinas. Podmos scrvr qu: d N, ) ( Foi usado ainda um procsso drminísico, rfrn ao índic d prços xrno, dado por: d d m qu: : índic d prços xrno no insan : axa d crscimno do índic d prços xrno Sab-s qu a axa d câmbio nominal N pod sr calculada como: N Aplicando-s o lma d ô nsa úlima quação, o procsso da axa d câmbio nominal é dfinido como: dn d d d d N ond: : coficin d corrlação nr a axa d câmbio ral a axa d inflação inrna Finalmn, a parir dos procssos d difusão do câmbio ral dos índics d prços inrno xrno, s obém o procsso para a axa d câmbio nominal: Ess é um procsso uilizado m física aômica, para dscrvr o movimno dos áomos. 4

5 dn N N d O cnário d PB ral ambém é socásico modlado por um movimno browniano gomérico. dpb PB PBd 4 Porano, a axa d variação do PB m uma componn d ndência consan (µ PB ). Além disso, ssa axa, para qualqur inrvalo d mpo pquno, é normalmn disribuída d manira qu: dpb PB N ( PB 4, ) Finalizando, o PB nominal é a combinação do ral com o cnário d inflação. 6.. onsisência Macroconômica ada um dos rês procssos primiivos modlados (juros, câmbio ral inflação) m um rmo alaório, caracrizado plo procsso d Winr. Enrano, sab-s qu há corrlação nr as variávis macroconômicas. Por xmplo, é difícil imaginar uma siuação na qual os juros caiam ao msmo mpo m qu a inflação sob. Dssa forma, a fim d s r uma consisência macroconômica para o modlo, é uilizada o méodo d faoração d holsky para criar númros alaórios corrlacionados. onsidr uma mariz d covariância simada para as variávis macroconômicas S. omo a mariz d covariância é smpr simérica posiiva smi-dfinida, la pod sr dcomposa S = T, ond é uma mariz riangular infrior. onsidr o vor d númros alaórios corrlacionados. Dfin-s = ω um vor com n variávis alaórias com disribuição normal ω.enão: cov( ) E T T T T T Eω ω S Dsa manira, é grada a mariz d covariância para o procsso d Winr, d modo a assgurar consisência macroconômica na corrlação nr as variávis. Os cnários d juros, axa d câmbio ral inflação são corrlacionadas, msmo s as variávis s afasarm ransioriamn do quilíbrio, xaamn como ocorr hisoricamn. Além disso, uma sruura apropriada d corrlação pod razr consisência macroconômica para o modlo, sm a ncssidad d grar rlaçõs óricas arbirárias nr as variávis. om isso, mos um modlo no qual as variávis smpr rornam para sus valors d quilíbrio, sndo qu pqunos dsvios do quilíbrio são prmiidos. 5

6 6.. Prço dos Tíulos O cuso d carrgamno da Dívida dpnd do cuso d missão d cada insrumno. onform dmonsrado anriormn, o prço da LTN (íulo prfixado) é dfinido plo modlo, d acordo com a quação: P(, A(, B(, T ) J omo a LTN é um íulos prfixado, o su cuso d carrgamno é obviamn a axa na qual l foi miido. No caso das LFTs (íulo à axa Slic), o modlo assum qu las são vndidas ao par, iso é, su prço é igual ao valor d fac. Su cuso, não, é dfinido pla axa d juros Slic composa diariamn ao longo do príodo. Os prços dos íulos indxados à inflação ao câmbio são função da axa prfixada d msmo prazo ajusado por um prêmio d risco. Es prêmio rprsna o quano a axa dss papéis dv ficar abaixo da axa prfixada d msmo prazo. Em ouras palavras, cada prêmio indica a rdução aplicada à axa prfixada m rais d modo a obr a axa d missão xrna ou a axa ral d missão d íulos domésicos indxados à inflação. Ess prêmios são modlados pla quação d Nlson-Sigl, qu associa um prêmio (P) um prazo ( dados os parâmros 0,,, d acordo com a fórmula abaixo: P 0 ( kt No caso dos íulos indxados à inflação, a jusificaiva da xisência d um prêmio qu íulos prfixados pagam a mais sobr uma NTN-B vm do fao d qu os invsidors qu adquirm ss íulos são progidos conra variaçõs na inflação. om rlação aos íulos da dívida xrna, os invsidors são progidos conra a volailidad do câmbio. O fio do prêmio modlado pla quação d Nlson-Sigl pod sr mlhor comprndido graficamn. onform gráfico abaixo, a curva d juros ral é dfinida como a axa d missão prfixada, mnos o prêmio d risco, mnos a xpcaiva d inflação para o príodo. Do msmo modo, a axa d missão xrna é a axa prfixada inrna, mnos o prêmio d risco, mnos a xpcaiva d dsvalorização cambial uso d arrgamno O cuso d carrgamno d cada grupo d íulos dpnd d sua caracríica d rorno: axa prfixada no caso das LTN; axa SEL no caso das LFT; axa ral mais inflação, no caso das NTN-B; cupom cambial mais variação cambial, no caso dos íulos da dívida xrna. 6

7 omo foi assumido qu as LFTs são vndidas ao par, o su cuso d carrgamno é simplsmn a axa SEL sobr o príodo: J LFT O cuso d carrgamno das LTNs m cada príodo é a média pondrada dos cusos d missão d odas as LTN qu ainda são no soqu, conform quação abaixo: LTN r n s0 s s Ond, cada s é um prcnual m da dívida prfixada miida m -s; r s é o cuso d missão da LTN m -s. Para os íulos indxados ao câmbio o cuso d carrgamno é composo pla combinação nr a volução da axa d câmbio nominal o cupom d juros, pondrada plos íulos no soqu. Es cuso médio é calculado d forma similar: n r s0 c s c s Ond cada s é um prcnual do soqu d íulos cambiais no momno qu foram miidos m - s; r é o cupom d juros miidos no momno -s. c s S acrscnarmos a variação do câmbio (dn/n), o cuso oal da dívida cambial é dado por: FX dn ( ) N O cuso dos íulos indxados à inflação (NTN-B) é calculado d manira similar ao cuso dos íulos indxados ao câmbio. A axa d juros ral para cada príodo, odas as axas rais do soqu:, ambém é calculada como a média d n r s0 i s i s i Ond s é um prcnual m do soqu d íulos indxados à inflação m -s; r é a axa d juros ral d um íulo miido m -s. onsidrando-s a corrção pla inflação (d/) adicionalmn à axa ral, o cuso d carrgamno das NTN-Bs é dado por: i s 7

8 NTN B d O cuso oal, para qualqur composição da DPF, é dado pla média pondrada do cuso d carrgamno d cada insrumno. Es cuso é ncssário para o cálculo do cuso da DPF, consqünmn, para a dinâmica da DLSP: D LFT LFT LTN LTN FX FX NTN B NTN B Ond,, D é o cuso d carrgamno da carira; LFT LTN NTN B FX paricipação d cada ipo d íulo na composição da carira scolhida., rprsna a 8