ANÁLISE DE ESTRUTURAS II

Transcrição

1 DECivil ANÁLISE DE ESRUURAS II INRODUÇÃO AO MÉODO DOS ELEMENOS FINIOS NA ANÁLISE DE PROBLEMAS PLANOS DE ELASICIDADE Orlano J B A Prira 5

2 Alfabo Grgo Alfa Α α Ba Β β Gama Γ γ Dla δ Épsilon Ε ε Za Ζ ζ Ea Η a Θ θ Ioa Ι ι Capa Κ κ Lamba Λ λ Miú Μ µ Niú Ν ν Csi Ξ ξ Ómicron Ο ο Pi Π π Ró Ρ ρ Sigma Σ σ au Τ τ Ípsilon Υ υ Fi Φ φ ϕ Qui Χ χ Psi Ψ Ómga ω

3 Inroução Divrsos problmas com imporância para a Engnharia pom sr scrios m rmos quaçõs com rivaas parciais Com cpção alguns casos pariculars não é possívl obr uma solução analíica aca para ss problmas O Méoo os Elmnos Finios é acualmn o méoo numérico mais uilizao para obr soluçõs aproimaas para s ipo problmas Divrsos mplos problmas s ipo pom sr nconraos m Engnharia Civil No campo a Engnharia Esruuras pom ciar-s nr ouros os problmas lasicia linar m placas lajs cascas sólios riimnsionais A gnralização mios cálculo auomáico pons m possibiliao o rcurso caa vz mais frqun ao Méoo os Elmnos Finios Dao o carácr aproimao as soluçõs forncias por s méoo o sconhcimno os sus funamnos po conuzir a rsulaos sasrosos na sua aplicação como sucu no caso a pra a plaaforma prolífra Slipnr A na Noruga com um cuso crca 7 milhõs ólars Por sa razão o fuuro Licnciao m Engnharia Civil com o Prfil Esruuras Consrução m ncssia aprnr os funamnos o Méoo os Elmnos Finios Dos problmas Engnharia Esruuras anriormn ciaos os mais fácis para uma inroução ao Méoo os Elmnos Finios são os placas nas quais s ami um sao nsão plano Embora as formulaçõs não convncionais o Méoo os Elmnos Finios aprsnm ivrsas vanagns a formulação convncional Elmnos Finios slocamno compaívis é a mais simpls acualmn a mais uilizaa m aplicaçõs práicas Dao qu s sinam a uma inroução ao Méoo os Elmnos Finios no âmbio a isciplina Anális Esruuras II ss aponamnos inciirão quas clusivamn sobr a aplicação Elmnos Finios slocamno compaívis na anális saos nsão planos m lasicia linar É noar qu a uilização sa formulação o Méoo os Elmnos Finios na anális lásica linar sólios riimnsionais não aprsna ificulas óricas aicionais Conuo qur a posição qur a aplicação práica são subsancialmn mais laboriosas Por sa razão s ipo problmas srá apnas brvmn mncionao nss aponamnos Por sua vz a uilização o Méoo os Elmnos Finios na Anális Elásica Linar Lajs é aboraa nouro volum aponamnos Anális Esruuras II

4 Concios Básicos oria a Elasicia para Esaos Planos nsão D acoro com a NP-76 uma placa é uma pça laminar plana sujia a sforços isns apnas no su plano méio Consir-s qu a spssura a placa é consan qu o su plano méio é o plano Amiam-s como válias as hipóss: σ z σ z σ z ; σ σ σ não variam com z Enão a anális a placa ruz-s à anális um Esao Plano nsão o qual consiui um problma biimnsional Ns capíulo aprsnam-s as rlaçõs funamnais (compaibilia consiuivas quilíbrio) para problmas lasicia linar m Esaos Planos nsão qu s suporão rprsnar placas spssura consan Como mplo uilizar-s-á o omínio biimnsional rprsnao na figura m Γ u E consan (kn/m ) ν m Figura Na fronira cinmáica Γ u impõm-s os valors os slocamnos Ns mplo consira-s qu o lao s nconra ncasrao o qu corrspon a impor um valor nulo para os slocamnos os ponos Γ u Consir-s o campo slocamnos ( ) ( ) u u rprsnao na figura u Es campo slocamnos é compaívl ao qu: - é conínuo m oo o omínio; - saisfaz as coniçõs fronira cinmáicas uma vz qu u ( ) u

5 Figura Amiino como vália a hipós os pqunos slocamnos as rlaçõs formaçõsslocamnos são ε Au on ε é um vcor qu agrupa as componns inpnns o nsor as formaçõs ( ) ( ) ε ε ε γ cujo significao físico s rprsna na figura A é o opraor ifrncial compaibilia A ε ε γ Figura 5

6 ε Para o campo slocamnos anrior o campo formaçõs é ε ε γ Amiino um comporamno fisicamn linar as rlaçõs consiuivas ou rlaçõs nsõs-formaçõs são σ Dε on σ é um vcor qu agrupa as componns inpnns o nsor as nsõs ( ) ( ) σ σ σ σ cujo significao físico s rprsna na figura Amiino a isoropia o marial o opraor D é ao por ν E D ν ν ν on E é o móulo lasicia ou móulo Young ν é o coficin Poisson σ σ σ Figura σ / 96 Para o campo formaçõs anrior o campo nsõs é σ σ E / 96 σ As forças massa as nsõs na fronira qu são quilibraas por um rminao campo nsõs são obias rcorrno às rlaçõs quilíbrio no sio amiia como vália a hipós os pqunos slocamnos sas rlaçõs pom sr sablcias na configuração informaa a sruura 6

7 O campo nsõs quilibra o vcor forças massa quação quilíbrio f f f ( ) s vrificar a A σ f on o opraor ifrncial quilíbrio A é o ransposo o opraor compaibilia A anriormn finio As componns o nsor as nsõs quilibram as nsõs numa faca com n normal rior uniária n s vrificarm as quaçõs quilíbrio n σ n σ n σ n σ n Para o campo nsõs anrior o campo forças massa é ( ) ( ) f f f Para a placa rprsnaa na figura as normais riors uniárias são as inicaas na figura 5(a) As nsõs aplicaas na fronira sáica Γ são inicaas na figura 5(b) bm como as racçõs na fronira cinmáica n Γ E/96 5 E/96 n - n - / n / E/96 E/96 (a) Figura 5 (b) Porano o campo slocamnos inicialmn consirao é a solução aca para a placa a figura quano as forças massa aplicaas são nulas as nsõs aplicaas são: ( ) ( ) E ( ) / no boro horizonal 96 7

8 ( ) ( ) ( ) 5 / 96 E no boro inclinao / 96 Consir-s agora o campo slocamnos ( ) ( ) u u u Como rcício o lior porá vrificar qu s campo slocamnos saisfaz as coniçõs compaibilia qu corrspon à formaa rprsnaa na figura 6(a) qu as corrsponns formaçõs nsõs são ε σ E / rspcivamn 96 qu as forças massa são nulas qu as nsõs na fronira são as rprsnaas na figura 6(b) E/96 E/96 E/96 E/96 (a) Figura 6 (b) 8

9 Cálculo Soluçõs Aproimaas Consir-s o problma rprsnao na figura kn/m Esao Plano nsão m E consan (kn/m ) ν m Figura A solução aca o problma saisfaz simulanamn as coniçõs compaibilia as rlaçõs consiuivas as coniçõs quilíbrio Conuo não é possívl com um númro finio parclas obr a prssão analíica a solução aca s problma Porano é ncssário obr uma solução aproimaa Esa solução porá saisfazr forma aca algumas as coniçõs anriors mas só irá saisfazr as ouras forma aproimaa A alrnaiva mais simpls consis m procurar uma solução aproimaa qu sja compaívl Para s problma pormos consirar uma combinação linar os campos slocamnos usaos no capíulo anrior: u Ψ [ Ψ ( ) Ψ ( ) ] on Ψ ( ) ( ) Ψ Quaisqur qu sjam os valors o campo slocamnos é compaívl Ess valors rprsnam os slocamnos o véric livr o riângulo conform s po obsrvar na figura na qual s rprsnam igualmn as formaas corrsponns a valors uniários caa um os rfrios slocamnos 9

10 Figura Ds moo variano os valors é possívl rprouzir oos os campos slocamnos linars compaívis No capíulo sguin vr-s-á qu ss campos slocamnos corrsponm aos um lmno finio nós com as ncssárias coniçõs apoio As corrsponns formaçõs são ε A Ψ ε B com B A Ψ Ns caso B Por sua vz as nsõs são σ D B Ns caso / 96 DB E / 96 / 96 Para qualqur as formaas a figura as forças massa são nulas Para caa uma as formaas as nsõs na fronira sáica são as rprsnaas na figura

11 E/96 5 E/96 E/96 E/96 E/96 E/96 Figura Combinano as nsõs rprsnaas na figura não é possívl obr na fronira sáica nsõs iguais às o carrgamno rprsnao na figura quaisqur qu sjam os valors No nano é possívl calcular valors ais qu o rabalho as forças massa as nsõs na fronira sáica sja igual ao rabalho o carrgamno ano para os slocamnos a primira formaa a figura como para os slocamnos a sguna formaa a msma figura Ou sja é possívl calcular rsolvno o sisma: Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ f f f f f f Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ As forças massa as nsõs na fronira sáica foram calculaas a parir o campo nsõs no inrior no capíulo Ess cálculos são normalmn viaos ao qu o Princípio os rabalhos Viruais (PV) prmi subsiuir o rabalho as forças com os slocamnos plo rabalho as nsõs com as formaçõs Obém-s assim o sisma Γ Γ Γ Γ f f A D A A D A A D A A D A Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ o qual po sr scrio na forma F com B DB Γ Γ f F Ψ Ψ Nsa forma vrifica-s qu s sisma é o qu ria sr rsolvio para minimizar a nrgia poncial oal nro os campos slocamnos linars compaívis:

12 minπ P Π P min F F 96 / Ns mplo 96 E (kn/m ) E / 9 96 / kn/m F 6 / A mariz é uma mariz rigiz o vcor F é um vcor forças Os rspcivos rmos pom sr imaginaos como forças aplicaas sguno como s po obsrvar na rprsnação gráfica o sisma quaçõs qu s aprsna na figura F F Figura O sisma quaçõs anrior m a msma forma o sisma quaçõs o Méoo os Dslocamnos para sruuras riculaas suao na isciplina Anális Esruuras I Conuo as forças rprsnaas na figura são ficícias São forças quivalns às rais mas apnas no snio prouzirm o msmo rabalho para caa uma as formaas a figura As forças rais corrsponns às formaas a figura são as nsõs rprsnaas na figura o carrgamno ral é o rprsnao na figura Nas sruuras riculaas os rmos a mariz são as forças rais corrsponns às formaas Além isso nas sruuras riculaas caa formaa é a formaa ral quano um slocamno inpnn é uniário os rsans são nulos Em conraparia as formaas rprsnaas na figura são as formaas quano um slocamno noal é uniário o ouro é nulo aicionalmn os slocamnos são rsringios a funçõs linars Finalmn no caso as sruuras riculaas is uma solução paricular aca os rmos os vcors forças são forças rais o qu não aconc no caso a figura Porano ao conrário o qu suc com as sruuras riculaas é naural qu o sisma quaçõs anriormn obio possa forncr para valors ifrns os acos É o qu irá sucr ns caso

13 Rsolvno o sisma quaçõs obém-s (m) 8 E O corrsponn campo slocamnos é (m) 8 E u Ψ Por sua vz o campo nsõs é kn/m DB σ Ess campos nconram-s rprsnaos na figura 5 A solução é compaívl mas não rspia as coniçõs fronira sáicas Por mplo na fronira is um squilíbrio nsõs kn/m

14 σ σ σ Figura 5

15 Méoo os Elmnos Finios Méoos para mlhorar a aproimação Na figura rprsna-s uma solução muio próima a solução aca para o problma consirao no capíulo anrior σ σ σ Figura 5

16 Uilizano a solução rprsnaa na figura como rfrência a solução aproimaa rprsnaa na figura 5 m um rro rlaivo méio no campo nsõs 8% Assim é uma aproimação masiao grossira Porano é ncssário rfinar a aproimação Em lugar uilizar uma função linar m oo o omínio para aproimar caa componn o campo slocamnos uma alrnaiva consis m iviir o omínio m subomínios mbora garanino a coninuia slocamnos nr ls uilizar uma função linar sparaa m caa um Ess subomínios consium os lmnos finios A solução obia no capíulo anrior corrsponia à uilização lmno finio nós conform rprsnao na figura (a) Na figura (b) rprsna-s uma iscrização o omínio m lmnos finios nós Es méoo rfinamno é signao por rfinamno h 6 5 (a) Figura (b) As formaas corrsponns a caa um os 6 slocamnos noais a malha lmnos finios são rprsnaas na figura Em caa lmno os slocamnos são obios por inrpolação linar a parir os slocamnos os nós ss lmno Como s po vrificar m oas as formaas as coniçõs fronira cinmáicas são assguraas al como a coninuia slocamnos 6

17 5 6 Figura Uma sguna alrnaiva para rfinar a aproimação consis m uilizar um polinómio grau mais lvao para aproimar caa componn o campo slocamnos Es méoo rfinamno é signao por rfinamno p Na figura rprsna-s uma iscrização o omínio uilizano lmno finio 6 nós o qu corrspon a fazr uma inrpolação º grau para os slocamnos al como s po obsrvar nas formaas corrsponns a caa um os 6 slocamnos noais rprsnaas na figura 5 Po igualmn vrificar-s qu as coniçõs fronira cinmáicas são assguraas m oas as formaas 6 5 Figura 7

18 5 6 Figura 5 Nauralmn com 6 graus libra apnas a solução sria aina cssivamn grossira qur num caso qur no ouro Na figura 7 rprsna-s a solução obia com a malha uniform 6 lmnos finios rprsnaa na figura 6 à qual corrsponm 7 graus libra Para ssa solução o rro rlaivo méio no campo nsõs é aina % Conuo po obsrvar-s qu a aproimação o campo slocamnos é já rlaivamn boa Figura 6 8

19 σ σ σ Figura 7 Na figura 9 rprsna-s a solução obia com lmno finio riangular 6 nós Ns lmno finio os slocamnos são aproimaos por polinómios 7º grau Daas as coniçõs apoio rprsnaas na figura 8 o númro graus libra é 56 Para a rfria solução o rro rlaivo méio no campo nsõs é 97% A aproimação o campo slocamnos é já muio boa 9

20 Figura 8 Porano o rfinamno p prmiiu obr com um mnor númro graus libra mlhors rsulaos o qu o rfinamno h uniform Poria pnsar-s qu a ivisão o omínio m subomínios sria sncssária No nano o rfinamno h não m obrigaoriamn sr uniform S form colocaos mais lmnos on as variaçõs a solução são mais ifícis rprouzir com as funçõs inrpolação uilizaas como na malha rprsnaa na figura é possívl obr mlhors rsulaos o qu no rfinamno p Es ipo rfinamno é signao por rfinamno h-aapaivo Além isso a gomria os omínios as froniras cinmáicas os problmas com inrss práico raramn são ão simpls como as o mplo qu m sio consirao aé aqui Iso orna inviávl a ivisão o omínio m lmnos finios Uma as vanagns o Méoo os Elmnos Finios sobr vários ouros méoos aproimaos ais como o Méoo as Difrnças Finias é prcisamn a facilia aplicação a omínios coniçõs fronira complicaos Ao uilizar um programa cálculo auomáico é convnin scolhr lmnos finios o grau mais lvao qu sja isponívl Os programas cálculo auomáico comrciais para a anális sruuras prmim uma scolha muio limiaa ipos lmnos finios só ispõm lmnos finios grau rlaivamn baio plo qu a subivisão o omínio é quas smpr inviávl Numa inroução ao Méoo os Elmnos Finios é prfrívl consirar lmnos o grau mais baio possívl por forma a simplificar o su suo

21 σ σ σ Figura 9

22 Figura As soluçõs aproimaas rprsnaas nas figuras prmim mplificar algumas caracrísicas comuns às soluçõs aproimaas obias quano a iscrização fcuaa assgura a compaibilia mas não prmi obr a solução aca O campo nsõs nunca saisfaz oas as coniçõs quilíbrio no inrior na fronira os lmnos Além isso como as nsõs são obias a parir as rivaas os slocamnos a aproimação obia para as nsõs é smpr pior o qu a consguia para os slocamnos A malha lmnos finios é smpr mais rígia o qu a sruura ral Porano quano a acção é consiuía apnas por forças o rabalho qu sas ralizam com os slocamnos aproimaos é smpr infrior ao ral como s po obsrvar na abla Em conraparia a nrgia poncial oal é smpr suprior à ral como s po obsrvar na msma abla Solução rabalho as forças riors (knm/m) Π P (knm/m) Figura 5 - lmno nós /E -666/E Figura 7-6 lmnos nós /E -67/E Figura 9 - lmno 6 nós 6/E -8/E Figura - Solução "aca" 68/E -8/E abla S uma nova iscrização prmiir rprouzir as formaas a iscrização anrior a nova solução srá mlhor o qu a anrior Em rlação à malha lmno nós qualqur um os rfinamnos inicaos na abla fornc um valor mais lvao para o rabalho as forças riors Em gral o rro a solução iminui quano s aumna o númro lmnos um rminao ipo ou quano s aumna o grau os lmnos msmo sm rspiar sriamn a conição anrior

23 No caso paricular m qu a iscrização além garanir a compaibilia prmi rprouzir a solução aca para o campo slocamnos a solução a quação o Méoo os Elmnos Finios corrspon à solução aca o problma S a solução aca é não polinomial a solução lmnos finios convrg para a solução aca quano m oo o omínio o rfinamno n para infinio Por úlimo no-s qu as simaivas rro a priori prmim prvr a aa convrgência qu é possívl obr com um rminao méoo rfinamno mas não forncm uma prvisão com uilia práica para o rro qu sria obio num ao problma com uma rminaa malha Só é possívl sabr s uma solução lmnos finios m uma prcisão aciávl aravés uma simaiva rro a posriori

24 Inrpolação os Dslocamnos Consir-s novamn a iscrização rprsnaa na figura (b) Na figura inicas para ssa iscrização uma numração os lmnos finios m 5 m 5 m 5 m Figura As formaas corrsponns a caa um os 6 slocamnos noais foram já rprsnaas na figura Em caa lmno os slocamnos são obios por inrpolação linar a parir os slocamnos os nós ss lmno Ds moo a prssão analíica o campo slocamnos nro caa lmno pn clusivamn os nós ss lmno Sno assim consir-s o lmno sligao os rsans lmnos a malha al como rprsnao na figura Na msma figura inicam-s uma numração local os nós uma numração local os slocamnos noais s lmno () ()6 ()5 () 5 () () 5 Figura Na figura rprsnam-s as formaas corrsponns a caa um os primiros slocamnos noais o lmno

25 5 () () () Figura Enão acoro com a figura pomos scrvr qu no lmno u sno ()i () uma função linar qu oma o valor no nó i o lmno o valor nos rsans nós Por sa razão ()i é signaa por função inrpolação associaa ao nó i o lmno A função inrpolação associaa ao nó po sr scria na forma () a b c Por sua vz os coficins a b c pom sr calculaos rsolvno o sisma quaçõs c b a Ds qu os nós não sjam colinars o sisma m smpr solução A prssão gral ssa solução é c b a É noar qu s os nós sivrm numraos no snio ani-horário como suc na figura é igual ao obro a ára o lmno Para as coornaas inicaas na figura () () Pom sr scrios sismas quaçõs análogos para as funçõs inrpolação associaas aos nós o lmno As soluçõs sss sismas prmim concluir qu a prssão gral as funçõs inrpolação é

26 ( ) i ( ai bi ci ) com a i j k k j b i j k c i k j : A ( ) s i j k ; s i j k ; s i j k Para as coornaas inicaas na figura () () () () A prssão u po sr obia uilizano acamn as msmas funçõs inrpolação Dsa forma signano por () o subomínio corrsponn ao lmno pomos scrvr qu u u u ( ) ( ) ( ) 5 6 Subsiuino as prssõs as funçõs inrpolação obias anriormn u u 5 6 Para os rsans lmnos po procr-s forma análoga Na figura (a) inicam-s uma numração local os nós uma numração local os slocamnos noais os lmnos as quais coincim com as anriormn uilizaas para o lmno Na figura (b) inicam-s as corrsponns numraçõs para o lmno ()6 ()5 ()6 () () () () () (a) () () () ()5 (b) Figura 6

27 7 O lior porá vrificar qu para o lmno as funçõs inrpolação são () () () () () () Porano o campo slocamnos no lmno é 6 5 u u Subsiuino os slocamnos noais lmnars plos corrsponns slocamnos noais globais os slocamnos no lmno ficam 6 5 u u S procrmos igual forma para o lmno os slocamnos nss lmno são 6 5 u u Esas uas úlimas prssõs são ifrns uma a oura Conuo nos ponos a inrfac nr os lmnos nos quais 5 ambas as prssõs s ruzm a u u Dao qu ao longo a inrfac ambas são funçõs linars assumm os msmos valors m ois nós ra forçoso qu assim sucss Es é um mplo como a compaibilia slocamnos num lao nr ois lmnos sá assguraa quano ao longo ss lao oos os nós prncns a caa um os lmnos coincim com nós o ouro lmno

28 Monagm o Sisma Equaçõs Consirm-s novamn o problma a iscrização rprsnaos na figura 5 kn/m m Esao Plano nsão E consan (kn/m ) 5 m ν 5 m 5 m Figura 5 Para sa iscrização a quação o Méoo os Elmnos Finios é um sisma 6 quaçõs a 6 incógnias: 5 6 F 5 6 F 5 6 F F 5 6 F F F6 A mariz é a mariz rigiz global o vcor F é o vcor forças global al como no capíulo o rmo ij é o rabalho ralizao plas nsõs corrsponns a j ( l s l j) com as formaçõs corrsponns a i ( k s k i) Por sua vz F i é o rabalho ralizao plo carrgamno com os slocamnos corrsponns a i ( k s k i) Os rmos a mariz rigiz pom ambém sr rprsnaos como forças noais quivalns Por mplo quano l s l os rmos a rcira coluna a mariz rigiz global corrsponm às forças ficícias rprsnaas na figura 6 8

29 6 5 Figura 6 Caa uma ssas forças po sr visa como uma soma conribuiçõs caa um os lmnos finios nvolvios na formaa Esas conribuiçõs são ambém forças ficícias as quais pom sr inrpraas como rmos marizs rigiz lmnars A numração local os nós a numração local os slocamnos noais os lmnos finios são para os lmnos as rprsnaas na figura 7(a) para o lmno as rprsnaas na figura 7(b) ()6 ()5 ()6 () () () () () (a) () () () ()5 (b) Figura 7 Ds moo para caa lmno finio po finir-s uma mariz rigiz lmnar () Na figura 8 rprsnam-s as forças ficícias corrsponns aos rmos as marizs rigiz lmnars associaos à formaa a figura 6 () ()6 () () () () ()6 ()5 () () () ()5 () () () () ()6 ()5 () () () Figura 8 9

30 Na ralia al como para a mariz rigiz global o rmo ()ij é o rabalho ralizao plas nsõs corrsponns a ()j com as formaçõs corrsponns a ()i no m cona qu na scção s inha u u ( ) ( ) ( ) não por mplo 6 5 ( ) A D A 5 6 Na scção obv-s qu () () () () Porano 5 ( ) 6 E Fazno os cálculos para oa a mariz rigiz um lmno m conjuno B DB com B () A () ( ) ( ) ( ) ( ) É noar qu acoro com o inicao no capíulo a mariz D é smpr simérica plo qu a mariz rigiz lmnar ambém é smpr simérica Volano ao raciocínio m rmos forças ficícias comparano as figuras 6 8 po vrificar-s qu: () ()5 () () () () ()5 ()5 5 () () 6 ()6 ()6 Na vra para monar a mariz rigiz global a parir as marizs rigiz lmnars não é ncssário snhar formaas como as as figuras 6 8 A única informação ncssária é a rlação nr os slocamnos noais globais os slocamnos noais lmnars para a qual são suficins as figuras 5 7 Esa rlação po sr scria na forma aprsnaa na abla Esa abla é normalmn signaa por abla inciências

31 () () () () ()5 () abla Caa linha a abla inica para um lmno finio qual o slocamno global corrsponn a caa slocamno ss lmno O lmno finio conribui para ij s ano i como j consam a linha S i corrspon a ()k j a ()l não a conribuição o lmno para ij srá igual a ()kl Procno sa forma po vrificar-s qu ns mplo as rsans colunas a mariz rigiz global são: () ()5 () () 5 () 6 ()6 ()5 ()55 ()5 ()5 5 ()5 6 ()65 () ()5 () ()5 ()5 () ()55 ()55 5 () ()5 6 ()6 ()65 5 () 5 ()5 5 () () 5 () ()5 55 () () () 65 ()6 ()6 ()5 6 ()6 6 ()56 6 ()6 ()6 6 ()6 ()56 56 ()6 ()6 ()5 66 ()66 ()66 ()55

32 Dvio à simria as marizs rigiz lmnars a mariz rigiz global ambém é smpr simérica al como s vrifica ns mplo A abla inciências po igualmn sr uilizaa para obr os rmos o vcor forças global m função os rmos os vcors forças lmnars Ns mplo: F F () F F ()5 F F () F () F () F F () F ()5 F ()5 F 5 F () F () F () F 6 F ()6 F ()6 F ()5 al como para o vcor forças global F ()i é o rabalho ralizao plo carrgamno com os slocamnos corrsponns a ()i Por mplo F ( ) 5 6 kn/m Fazno os cálculos para oo o vcor forças um lmno m conjuno F ( ) ( ) f Γ ( ) ( ) Γ Γ( )

33 Cálculo a solução Consirm-s novamn o problma a iscrização rprsnaos na figura 9 kn/m m Esao Plano nsão E consan (kn/m ) 5 m ν 5 m 5 m Figura 9 Monano o sisma quaçõs o Méoo os Elmnos Finios plo procsso scrio na scção rsolvno ss sisma obém-s o vcor slocamnos noais globais: (m) 59 E Conhcios os valors os slocamnos noais um lmno o campo slocamnos nss lmno po sr calculao forma inpnn os slocamnos nos rsans lmnos om-s como mplo o lmno para o qual a numração local os nós a numração local os slocamnos noais são rprsnaas na figura ()6 () () () () ()5 Figura

34 D acoro com sa numração o vcor os slocamnos noais o lmno é Por consguin a prssão o campo slocamnos no lmno srá 6 5 u u Na scção obv-s qu () () () () Porano os slocamnos no lmno são (m) E u Por sua vz as formaçõs são E ε as nsõs são kn/m σ Procno forma análoga para o lmno obém-s qu nss lmno kn/m σ Porano na inrfac nr os lmnos is um squilíbrio nsõs kn/m É noar qu nsa inrfac a sconinuia σ não implica qualqur violação o quilíbrio

35 5 O Elmno Finio Nós Qur na iscrização omínios com gomria complicaa qur na gração malhas não sruuraas ais como a o mplo rfinamno h-aapaivo rprsnao na figura os lmnos finios forma riangular são os mais simpls uilizar oavia num lvao númro casos com inrss práico a iscrização aravés lmnos finios quariláros é a mais cómoa Por sa razão s capíulo inci sobr o mais simpls os lmnos finios quariláros: o lmno finio nós Como mplo consir-s o lmno finio nós rprsnao na figura 5 Na msma figura inicam-s uma numração local os nós uma numração local os slocamnos noais s lmno Figura 5 O slocamno sguno por mplo srá u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sno i () a função inrpolação associaa ao nó i o lmno Procno o msmo moo qu para o lmno nós a função inrpolação associaa ao nó sria agora scria na forma a b c Os coficins a b c rão sr ais qu sjam simulanamn saisfias as sguins quaçõs: ( ) ( ) ( ) ( ) a b c 5

36 Para as coornaas inicaas na figura 5 () É noar qu mbora a função sja bilinar no inrior o lmno varia linarmn ao longo caa um os laos Imagin-s agora um lmno finio igual ao a figura 5 mas roao 5º al como rprsnao na figura Figura 5 Ns caso para a função inrpolação associaa ao nó o corrsponn sisma a quaçõs é b c Ao conrário o qu sucia quano os laos ram parallos aos ios coornaos ns caso o sisma é impossívl rsolvr Para um lmno finio quariláro o conjuno as funçõs inrpolação não é complo iso é não coném oos os monómios i j com i j p ao conrário o qu suc para lmnos riangulars Porano por s procsso não é possívl para lmnos finios quariláros obr uma inrpolação m função as coornaas globais qu sja invarian m rlação a roaçõs Um procsso alrnaivo qu assgura a invariância consis m muliplicar a quação a rca qu passa plos nós pla quação a rca qu passa plos nós iviir o rsulao plos valors qu ssas quaçõs omam no nó obno-s ( )( ) ( )( ) No nano s o lmno não for um parallogramo a função não irá variar linarmn ao longo oos os laos plo qu a coninuia a inrpolação não sará garania como s po vrificar no mplo a figura 5 6

37 5 m 5 6 () m 5 m () m Figura 5 Uilizano qualqur um os ois procssos anriors as funçõs inrpolação lmnars associaas ao nó são rspcivamn ( ) ( ) ( ) Ao longo a inrfac nr os lmnos ( ) ( 5) ( 5) plo qu apsar isir coninuia nos nós não is coninuia ao longo a inrfac Por s moivo a inrpolação m sr fcuaa num sisma coornaas local Na figura 5 rprsna-s um quariláro com um sisma coornaas local Esas coornaas são signaas por coornaas naurais o quariláro - - ξ Figura 5 7

38 A inrpolação o slocamno sguno passa a sr u ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) sno i (ξ) a função inrpolação nas coornaas naurais associaa ao nó i o lmno A qualqur lmno quariláro corrspon nas coornaas naurais ξ o lmno msr quarao rprsnao na figura 55 Porano nas coornaas naurais o lmno sá smpr na siuação o lmno rprsnao na figura 5 qualqur qu sja a posição os sus nós nas coornaas globais - ξ - Figura 55 Para obr as funçõs inrpolação nas coornaas naurais po procr-s como para o lmno rprsnao na figura 5 A função inrpolação associaa ao nó oma valors nulos quano ξ ou quano Além isso m um valor uniário quano ξ plo qu ( ξ )( ) ( ξ ) ( ξ )( ) Procno a forma análoga para os rsans nós ( ξ ) ( ξ )( ) ( ξ ) ( ξ )( ) ( ξ ) ( ξ )( ) Além a prssão u (ξ) é igualmn ncssário sabr a qu pono () corrspon o pono (ξ) Ou sja é ncssário conhcr a prssão a ransformação coornaas Uma forma práica obr a prssão a ransformação coornaas consis m inrpolar a forma o lmno a parir as coornaas os nós Esa inrpolação po sr 8

39 9 ralizaa uilizano as funçõs anriormn uilizaas para inrpolar os slocamnos obno-s: ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ Nsas prssõs a função i (ξ) é signaa por função forma associaa ao nó i o lmno finio Como é simulanamn a função inrpolação os slocamnos o lmno finio é signao por isoparamérico Com cpção algumas formas pariculars não é práico para o lmno nós nm possívl para os lmnos grau suprior qu srão scrios no capíulo 7 obr a prssão analíica a ransformação coornaas invrsa ou sja as prssõs ξ() () Porano apsar sr possívl para qualqur pono (ξ) calcular (ξ) (ξ) u (ξ) não é possívl obr a prssão analíica u () Uma as vanagns a ransformação coornaas consis na simplificação os limis ingração no cálculo as marizs rigiz vcors forças lmnars Qualqur qu sja a posição os nós um lmno ξ ξ ξ f f J on ξ J é o jacobiano a ransformação coornaas iso é o rminan a mariz Jacobiana a ransformação coornaas a qual por sua vz é finia como ξ ξ ξ J Num lao corrsponn a ξ por mplo Γ Γ O inconvnin a ransformação coornaas consis na complicação o cálculo rivaas o qual é ncssário para obr as funçõs a ingrar para calcular as marizs rigiz lmnars É ncssário rcorrr à rgra rivação a função composa: u u u ξ ξ u u u ξ ξ

40 Por sua vz acoro com a rgra rivação a função invrsa ξ ξ ( ξ ) J Ds moo é possívl uilizar lmnos finios quariláros com laos não parallos aos ios coornaos Nauralmn os programas cálculo auomáico para aplicação o Méoo os Elmnos Finios rcorrm smpr a ransformaçõs coornaas Conuo no âmbio ss aponamnos uma inroução ao Méoo os Elmnos Finios o caso paricular o lmno finio rcangular laos parallos aos ios o sisma coornaas global mrc sr raao forma spcial Ns caso paricular a inrpolação nas coornaas globais é possívl fornc acamn o msmo rsulao qu a inrpolação nas coornaas naurais Sno assim é mais práico rabalhar ircamn nas coornaas globais Figura 56 Para o lmno finio nós rprsnao na figura 56 no qual as funçõs inrpolação pom sr calculaas forma análoga à uilizaa para o lmno msr obno-s: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

41 6 Casos Espciais 6 Apoios Inclinaos Consirm-s o problma iscrizao aravés lmno finio a numração local os slocamnos rprsnaos na figura 6 Esao Plano nsão ()8 ()7 º m m E consan (kn/m ) ν f f ( ) ( ) kn/m () () ()5 ()6 () () Figura 6 Na figura 6 rprsna-s a formaa corrsponn a bm como as forças noais quivalns aos rmos a corrsponn coluna a mariz rigiz sn º cos º Figura 6 Po obsrvar-s qu sa formaa é a soma as uas formaas rprsnaas na figura 6 Na primira () cos º; na sguna ()6 sn º Porano as corrsponns forças noais quivalns são as rprsnaas ambém na figura 6

42 () cos º ()6 sn º ()8 cos º ()7 cos º ()86 sn º ()76 sn º () cos º () cos º ()6 sn º ()6 sn º () cos º ()5 cos º () cos º ()6 cos º cos º ()6 sn º Figura 6 sn º ()6 sn º ()66 sn º ()56 sn º Comparano as figuras 6 6 conclui-s qu: cos sn sn sn 8 º 86 º cosº 6 º 7 cosº 76 º Para calcular é ncssário projcar sguno as quaro forças aplicaas no nó slocao Ou sja: cosº cosº cosº snº 6 6snº cosº 66snº snº al como no capíulo a mariz rigiz global po sr monaa a parir a mariz rigiz lmnar rcorrno apnas às inciências inicaas na abla 6 () () () () ()5 ()6 ()7 ()8 - cos º - - sn º abla 6 Procno sa forma para as rsans colunas a mariz rigiz global obém-s: ( )88 ( )8 ( )78 8 cosº 68snº ( )8 ( ) ( )7 cosº 6snº

43 ( )87 ( )7 ( )77 7 cosº 67snº Como a mariz rigiz lmnar é simérica a mariz rigiz global ambém o é Procno forma análoga para o vcor forças global obém-s: F F( )8 F F( ) F F( )7 F cosº F 6snº F

44 6 Apoios Elásicos Consir-s o problma iscrizao aravés lmno finio rprsnao na figura 6 O boro suprior sá apoiao num mio lásico com rigiz k (kn/m /m) k Esao Plano nsão ()8 ()7 m E consan (kn/m ) ν f f ( ) ( ) kn/m () () ()5 ()6 () () m Figura 6 A rigiz o mio lásico rlaciona as nsõs aplicaas no mio lásico com os slocamnos: u k u D moo análogo ao scrio na scção para os lmnos finios a conribuição o mio lásico para o rmo ij a mariz rigiz global é o rabalho ralizao plas nsõs no mio lásico corrsponns a j ( l s l j) com os slocamnos corrsponns a i ( k s k i) Porano os coficins a mariz para os quais is conribuição o mio lásico são: 77 k 87 k 78 k 88 k A conribuição o mio lásico não afca a simria a mariz rigiz global

45 6 Assnamnos Racçõs Apoio Consir-s o problma iscrizao aravés lmno finio rprsnao na figura 65 Além a força massa is um assnamno num apoio Esao Plano nsão ()8 ()7 m E consan (kn/m ) ν f f ( ) ( ) kn/m () () ()5 ()6 () () m Figura 65 Subsiuino o apoio pla corrsponn racção obém-s o problma rprsnao na figura 66 R f f ( ) ( ) kn/m Figura 66 Para s sguno problma consirano qu F F F corrsponm apnas às cargas aplicaas no problma original o sisma quaçõs o Méoo os Elmnos Finios é F F F R Dao qu o sguno problma prn rprsnar o problma original Dsa forma as uas primiras quaçõs ficam com apnas uas incógnias: F F ( ) F ( ) F 5

46 6 Uma vz rsolvio s sisma quaçõs a rcira quação o sisma anrior po sr uilizaa para calcular a racção no apoio: F R O sisma quaçõs a prssão a racção pom sr scrios m função os rmos a mariz rigiz o vcor forças lmnars obno-s 7 7 F F F R Porano F F A D A F F A D A no m cona qu u 7 F R σ A

47 6 Variaçõs mpraura Consir-s o problma iscrizao aravés lmno finio a numração local os slocamnos rprsnaos na figura 67 Esao Plano nsão ()8 ()7 m E consan (kn/m ) ν α consan (ºC - ) () () Variação mpraura (ºC) () ()5 ()6 () m Figura 67 A quação o Méoo os Elmnos Finios F po sr obia a parir a mariz rigiz lmnar () o vcor forças noais lmnar F () plo procsso scrio no capíulo A mariz rigiz lmnar é calculaa a forma habiual: B( ) DB O vcor forças noais lmnar m sr quivaln à variação mpraura Iso é para o lmno sligao os apoios ( o rso a malha caso isiss) o vcor forças noais lmnar m sr quivaln a um campo nsõs qu caus as msmas formaçõs qu a variação mpraura A variação mpraura á origm ao sguin campo formaçõs: α ε α S sas formaçõs ivssm sio provocaas por nsõs sas sriam iguais a D ε Por consguin o vcor forças noais lmnar quivaln à variação mpraura é ao por: F B Dε 7

48 Uma vz monaa rsolvia a quação o Méoo os Elmnos Finios F obios os slocamnos noais lmnars o campo slocamnos no lmno srá ao por u o campo formaçõs por ε () A () () B () () Inrouzino nas rlaçõs consiuivas aprsnaas no capíulo o fio a variação mpraura sas passam a sr σ D (ε ε ) Por consguin o campo nsõs srá ao por σ () D (B () () ε ) DB () () D ε 8

49 7 Elmnos Finios Grau Suprior 7 Elmnos Finios riangulars Consir-s o lmno finio riangular laos rcos com 6 nós rprsnao na figura Figura 7 Procno o msmo moo qu para o lmno nós a função inrpolação associaa ao nó i sria agora um polinómio o ipo i a b c f Porano a função inrpolação é um polinómio complo º grau nas coornaas globais Sno o polinómio complo é smpr possívl rminar os valors os coficins s qu os vérics o riângulo não sjam colinars a inrpolação é invarian m rlação a roaçõs os ios Consir-s agora o lao cujos rmos são os nós Sno rco as coornaas os ponos ao longo o lao são aas por uma função linar ( ( s) ( s) ) ( ( ) s ( ) s) s [ ] Ds moo ao longo ss lao a função inrpolação srá um polinómio º grau m s: i k k s k s Amia-s agora qu o rfrio lao consiui a inrfac com um sguno lmno 6 nós Ao longo o lao caa uma as funçõs inrpolação o sguno lmno é ambém um polinómio º grau Porano a coninuia slocamnos sá assguraa s qu os nós coinciam com nós o sguno lmno Na família os lmnos finios riangulars o mmbro sguin é o lmno nós rprsnao na figura 7 9

50 Figura 7 Os monómios uilizaos na inrpolação pom sr obios aravés o riângulo Pascal rprsnao na figura 7 Figura 7 Ao uilizar lmnos finios grau suprior a isino mais o qu nós m caa lao é lógico qu s aprovi al faco quano for ncssário iscrizar um omínio com froniras curvas não alinhano sss nós m linha rca Ao fazr iso rmos lmnos com laos curvos ais como o lmno finio riangular 6 nós rprsnao na figura Figura 7 Ns caso a função qu fin as coornaas os ponos ao longo um lao ((s) (s)) já não é uma função linar Sno assim a uilização funçõs inrpolação prssas nas coornaas globais já não garan a coninuia slocamnos nos laos 5

51 Por s moivo m lmnos finios com laos curvos a inrpolação m sr fcuaa num sisma coornaas local Para lmnos riangulars as coornaas naurais são as coornaas ára finias a parir um lmno msr riangular laos rcos As funçõs uilizaas para a inrpolação os slocamnos num lmno um rminao grau são igualmn uilizaas para finir a forma ss lmno Ou sja os lmnos são isoparaméricos Como foi rfrio no capíulo 5 os programas cálculo auomáico para aplicação o Méoo os Elmnos Finios rcorrm smpr a ransformaçõs coornaas para oos os lmnos 5

52 7 Elmnos Finios Quariláros São corrnmn uilizaas uas famílias lmnos finios quariláros os lmnos finios Lagrang os lmnos finios Srnipianos Os rês primiros mmbros a família os lmnos finios quariláros Lagrang são rprsnaos na figura Figura 75 As prssõs as funçõs inrpolação nas coornaas naurais pom sr obias forma análoga ao fcuao para o lmno isoparamérico nós no capíulo 5 Para o lmno isoparamérico 9 nós as funçõs inrpolação são: ( ξ ) ξ ( ) ( ξ )( ) ( ξ ) ξ ( ) ( ξ ) ξ ( ) ξ ( ξ ) ξ ( ) 5 6 ξ ξ 7 ( ξ )( ) 8 ξ ξ 9 Sno o lmno finio isoparamérico sas funçõs são ambém uilizaas como funçõs forma o lmno plo qu os laos pom sr curvos Para o lmno isoparamérico 6 nós os monómios uilizaos na inrpolação formam no riângulo Pascal o losango rprsnao na figura 76 5

53 ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ Figura 76 Os rês primiros mmbros a família os lmnos finios quariláros Srnipianos são rprsnaos na figura 77 ξ Figura 77 Para o lmno isoparamérico nós os monómios uilizaos na inrpolação formam no riângulo Pascal a figura rprsnaa na figura 78 ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ Figura 78 5

54 8 Esaos Planos Dformação Sólios riimnsionais 8 Esaos Planos Dformação Amia-s qu m oos os ponos um corpo: γ z γ z ε z ; ε ε γ não variam com z Enão a anális o corpo ruz-s à anális um Esao Plano Dformação o qual consiui um problma biimnsional análogo ao a anális um Esao Plano nsão A única ifrnça nr a formulação o Méoo os Elmnos Finios anriormn aprsnaa a formulação para a anális Esaos Planos Dformação nconra-s nas rlaçõs consiuivas sno agora a mariz lasicia aa por ν ν E D ν ν ν ν ν 8 Sólios riimnsionais A uilização o Méoo os Elmnos Finios na anális sólios riimnsionais é mais laboriosa o qu na anális problmas planos ano o omínio a iscrizar como os lmnos finios são riimnsionais; as funçõs êm rês variávis; o númro componns caa vcor é mais lvao o númro funçõs inrpolação caa grau é mais lvao Em conraparia o pono visa órico não is qualqur ificula aicional As prssõs as rlaçõs funamnais as fórmulas para o cálculo as marizs rigiz vcors forças lmnars são as msmas Nssas prssõs os vcors slocamnos formaçõs o opraor ifrncial compaibilia são rspcivamn ε z u ( z) ε z ε z z u u ( z) ε uz z γ z γ z z γ z ( z) A z z z O vcor as nsõs a mariz lasicia são rspcivamn 5

55 55 z z z z z z z z z σ σ σ σ σ σ σ ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν E D O lmno finio mais simpls é o raro nós rprsnao na figura 8 () ()9 ()5 () () ()6 () () ()7 () () ()8 Figura 8 Para s lmno a prssão o campo slocamnos é: u

56 Na família os lmnos finios raéricos o mmbro sguin é o lmno nós rprsnao na figura 8 Os monómios uilizaos na inrpolação pom sr obios aravés a pirâmi Pascal rprsnaa na msma figura z z z z Figura 8 O corrsponn m D ao quariláro nós é o haro 8 nós rprsnao na figura 8 Figura 8 56

57 9 Bibliografia NP-76 - oria as Esruuras - Vocabulário 969 Luís MSS Casro Elmnos Finios para a Anális Elásica Lajs Insiuo Suprior écnico Lisboa JAC Marins O Princípio os rabalhos Viruais o Méoo os Elmnos Finios na Anális Placas Lajs Rlaório CMES D /988 Pro GSV Parrira Inroução ao Méoo os Elmnos Finios Eição a Associação Esuans o Insiuo Suprior écnico Lisboa 989 JN R An Inroucion o h Fini Elmn Mho McGraw-Hill ª ição Singapura 99 CA Moa Soars Elmnos Finios m Mcânica os Sólios Insiuo Suprior écnico Lisboa 98 OC Zinkiwicz RL alor h Fini Elmn Mho - Basic Formulaion an Linar Problms Volum ª ição McGraw-Hill Brkshir 989 OC Zinkiwicz RL alor h Fini Elmn Mho - Soli an Flui Mchanics Dnamics an Non-Linari Volum ª ição McGraw-Hill Brkshir 99 57