Análise Matemática III

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1 João Paulo Pais d Almida Ilda Marisa d Sá Ris Ana Esr da Viga Rodrigus Víor Luis Prira d Sousa Anális Mamáica III Dparamno d Mamáica Escola Suprior d Tcnologia d Gsão Insiuo Poliécnico d Bragança Smbro

2 João Paulo Pais d Almida Ilda Marisa d Sá Ris Ana Esr da Viga Rodrigus Víor Luis Prira d Sousa Anális Mamáica III Cadrno d Exrcícios d Apoio às Aulas Práicas Dparamno d Mamáica Escola Suprior d Tcnologia d Gsão Insiuo Poliécnico d Bragança Smbro

3 Conúdo Equaçõs Difrnciais Ordinárias d a Ordm. Concios Básicos Equaçõs Sparávis Equaçõs Difrnciais Exacas. Facor Ingran Equação Difrncial Linar. Equação d Brnoulli Exrcícios Variados Aplicaçõs Equaçõs Difrnciais Ordinárias d Ordm Suprior a Um 9. Equaçõs difrnciais linars homogénas d ordm dois. Rdução d ordm Equaçõs difrnciais linars homogénas d ordm dois com coficins consans Equaçõs d Eulr-Cauch Exisência Unicidad. O Wronskiano Equaçõs difrnciais não homogénas. Méodo dos coficins indrminados. Méodo da variação dos parâmros Equaçõs difrnciais linars d ordm n, homogénas não homogénas Exrcícios variados Sismas d Equaçõs Difrnciais Ordinárias Linars 5. Sismas d Equaçõs Linars com Coficins Consans Homogénos Sismas d Equaçõs Linars Não Homogénos Exrcícios Variados O Méodo da Transformada d Laplac 9. Cálculo da Transformada d Laplac Propridads da Transformada d Laplac Função Dgrau Uniário d Havisid Função δ d Dirac Convolução Sismas d Equaçõs Difrnciais Linars A Formulario

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5 Capíulo Equaçõs Difrnciais Ordinárias d a Ordm. Concios Básicos Exrcício.. Rsolva as sguins quaçõs difrnciais. a. x b. sin(x) c. x d. x x Exrcício.. Indiqu a ordm d cada uma das sguins quaçõs difrnciais. Vrifiqu qu a função dada é solução da quação corrspondn. (noa: a, b c são consans rais arbirárias) a. x, c x x x b., a cos x b sin (x x) c. x, x ax bx c d., x (a cos x b sin x). x, x (i) O qu aconc s subsiuirmos a solução da quação difrncial anrior por x? (ii) E s, na solução indicada, subsiuirmos por? E por qualqur ouro númro? Exrcício.. Para cada alína vrifiqu qu é solução da quação difrncial dada. Drmin c d modo qu a corrspondn solução paricular saisfaça a condição dada. a. x, x c, ( > ), quando x. b..8, c x., quando x.

6 c. x, cx, 6 quando x. d. x, x c, ( > ), ().. g x, c sc x, () π. f. x, x c, ( > ), (). (i) O qu aconc s alrarmos a condição inicial para (a), a consan qualqur? Exrcício.. Suponha-s qu a aclração d um auomóvl, m função do mpo é dada por a() ms. S no insan, o auomóvl inicia a sua marcha, qual a disância qu l prcorr ao fim d 5 s? (Noa: S () é a disância prcorrida ao fim d s, não a vlocidad a aclração, são dadas rspcivamn por, v() () a() ()) Exrcício..5 Um objco m quda livr m aclração consan igual à aclração da gravidad, g 9.8 ms (dsprzando a rsisência do ar). S () for a alura, m função do mpo, do objco rlaivamn ao solo considrando qu o objco é dixado cair d uma alura no insan, mosr qu () g.. Equaçõs Sparávis Exrcício.. Drmin a solução gral das sguins quaçõs difrnciais (nalguns casos sugr-s uma mudança d variávl). Vrifiqu m cada alína o rsulado obido. a. 5x. b. x. c. x, (/x u). d. cosc.. k. f. ( x), ( x v). g. x. h. ( x ). i. x x, (/x u). j. x ln (x). k. ln cog x. l. x(x ) cos () x sin. m. dr dθ r an θ. n. x d dx ( ) arcan. o. x cos x sin d dx a sin d dx.

7 Exrcício.. Rsolva os sguins problmas d valor inicial (PVI s) a. x/, (). b. x, (). c. x, (). d. dr/d r, r().5.. x x sc (/x), () π. f. x (x ), () /6. g., (). h. cosh x sin, () π/. i. cos () x sin ()/( x ), () π/. Exrcício.. Us as subsiuiçõs indicadas para rsolvr as EDOs sguins: a. ( x) x, x v. b. (x ), x u.. Equaçõs Difrnciais Exacas. Facor Ingran. Exrcício.. Dada a função u(x, u), drmin a quação difrncial xaca du sboc algumas soluçõs u(x, ) consan. a. u x. b. u /(x ). c. u x. d. u x /. Exrcício.. Mosr qu as quaçõs sguins são xacas rsolva-as.. x dx x d.. θ (dr r dθ).. sinh x cos dx cosh x sin d.. (cog x ) dx x cosc d. Exrcício.. As EDOs sguins são xacas? Rsolva o PVI. a. dx x d, () /. b. x d ( x ) dx, (). c. sin (ω) dx ω cos (ω) d, () ωπ/. d. [(x ) x ] dx x d, ().. (x dx d) x, ().

8 Exrcício.. Vrifiqu m cada alína qu a função dada é facor ingran da EDO. Rsolva a EDO. a. sin dx cos d, f(x, ) x. b. dx [ an (x )] d, f(x, ) cos(x ). c. (a ) dx (b )x d, f(x, ) x a b. d. ( ) dx x d, f(x, ) ( )/x.. cos dx an (x) sin d, f(x, ) cos (x). Exrcício..5 Enconr um facor ingran para a quação difrncial rsolva-a. a. ( ) dx (x ) d. b. cosh x cos dx sinh x sin d. c. ( cos x ) dx x sin d. d. x an dx sc d.. x cosh dx sinh d. f. x dx x d. g. ( x) dx x( x) d h. ( x x ) dx (x x ) d Exrcício..6 Mosr qu oda a quação difrncial sparávl da forma M(x) dx N() d é xaca. Exrcício..7 Em cada alína drmin os valors da consan a para os quais a EDO é xaca. Rsolva a quação difrncial. a. x ( ax ) x. b. x (ax ). Exrcício..8 Drmin odas as funçõs f(x) para as quais a EDO sin x f(x) é xaca. Rsolva a EDO para sas funçõs f(x). Exrcício..9 Drmin odas as funçõs f(x) para as quais a quação difrncial f(x) x m como facor ingran a função u(x, ) x. Exrcício.. Drmin os valors da consan a para os quais a EDO sc an m como facor ingran a função f(, ) a cos. Rsolva a EDO para sss valors d a.

9 . Equação Difrncial Linar. Equação d Brnoulli. Exrcício.. Drmin a solução gral das sguins quaçõs difrnciais linars d a ordm. a.. b. x x. c..5. d. x.. cos x. f. k kx, k consan. g. x x /x. h. sin x cos x. i. x x sinh 5x. j. x x x. k. x an x. l. ( ) cog x. Exrcício.. Rsolva os sguins problmas d valor inicial. a., () b. ( x ) x, () c. an x, (π) d. ( ) anh x, ()., () f. 6x x /x, () Exrcício.. Rduza as sguins quaçõs à forma linar. No qu algumas quaçõs rduzm-s à forma linar s s rocar a variávl dpndn pla indpndn. a. b. x/ c. (6 x) d. / ( x) /. x x f. (an )/(x ) g. (sinh x) h. x (x ) x x, ( sug. z ) Exrcício.. A quação d Riccai é uma quação da forma p(x) g(x) h(x) (no-s qu a quação d Riccai é uma quação d Brnoulli s h(x) ). a. Mosr qu a Equação d Riccai é rduívl a uma quação d Brnoulli aravés da mudança d variávl dpndn u v, ond v v(x) é uma solução paricular conhcida da quação d Riccai. b. Vrifiqu qu x é solução da quação difrncial x ( x) /x. Drmin a rspciva solução gral.

10 Exrcício..5 A quação d Clairau é uma quação da forma x g( ). a. Drmin a solução gral da quação difrncial x /. (sugsão: driv ambos os mmbros da quação m ordm à variávl x.) b. Mosr qu a quação d Clairau x g( ) admi como solução gral a família d rcas dada por cx g(c) a solução singular dada por g ( ) x. No qu as rcas anriors são angns a sa solução singular. (sugsão: driv ambos os mmbros da quação m ordm à variávl x.).5 Exrcícios Variados Exrcício.5. Drmin a solução gral das quaçõs difrnciais sguins usando um dos méodos sudados. Vrifiqu a solução nconrada. a. 7 sin x b. a b, (a ) c. 5 9x d. ( x ). sin (x) sin () dx cos (x) cos () d f. (x x cosh ) dx x sinh d g. x x, (sug. /x u) h. x x sc (/x) i. (x ) dx (x x) d j. x an dx sc d k. x l. cos x sin x Exrcício.5. Drmin a solução dos sguins problmas d valor inicial. a. anh x, () π b. ( ), () / c. x x, () / d. x x, (). 9 sc dx sc x d, () f. (x ) dx x d, () g. x dx x d, () h. x sinh d cosh dx, () i. x x, () j. /, () k. x x, () l. (x sin ) d an dx, () π/6

11 Exrcício.5. Drmin a solução gral da quação difrncial, x/ ( x) ( x/ ). x Sugsão. Us a mudança /x u vrifiqu qu x /x x dx ln ( x/x ). Exrcício.5. Drmin a solução gral das sguins quaçõs d Riccai, sndo uma solução paricular dada. a. x x x, x b. an x sc x sin x, sc x.6 Aplicaçõs Aplicação.6. (Crscimno/Dcaimno Exponncial). Numa culura d bacérias, a axa d crscimno é proporcional à quanidad () prsn no insan. S () duplica num dia, qual a quanidad d bacérias sprada ao fim d dias? ao fim d uma smana?. A dcomposição do urânio radiocivo, m cada insan, é proporcional à quanidad prsn. S num racor nuclar o urânio 9 U 7 prd % da quanidad inicial num dia, drmin a rspciva mia-vida. Quano mpo srá ncssário para qu s dcomponha 99% da quanidad original d 9 U 7 no racor?. Considr um fóssil d uma plana com crca d anos. Qu prcnagm d 6 C, m função da quanidad inicial, dvrá sar prsn no fóssil? Aplicação.6. (Tmpraura) A Li d Nwon do arrfcimno afirma qu a variação da mpraura d um corpo imrso num ambin a mpraura consan é, m cada insan, proporcional à difrnça nr as mprauras do corpo a ambin.. Um corpo à mpraura d 5 o C é colocado num quaro fchado cuja mpraura é manida consan a o C. Dcorrido minuo, o corpo sá à mpraura d o C. Quano mpo srá ncssário para o corpo sar a uma mpraura próxima da ambin, digamos.9 o C?. Um corpo à mpraura d o C é colocado num ambin m qu a mpraura é manida consan a o C.Ao fim d min a mpraura do corpo é d 6 o C. a. Drmin a xprssão qu dá a mpraura do corpo m função do mpo. b. Calcul a mpraura do corpo ao fim d min. c. m qu insan a mpraura do corpo é d 5 o C?

12 Aplicação.6. (Movimno). Considr qu para a dscolagm d um cro avião são ncssários km d pisa. Suponha qu o avião m uma vlocidad inicial d ms. S a aclração for consan, qual a vlocidad do avião no momno da dscolagm? O qu aconc s a aclração do avião for d.5 ms? Dsprz o ario.. Uma bola é airada na vrical, d baixo para cima, a parir d uma alura d m do solo com a vlocidad d 5 m/s. Considrando g 9, 8 ms dsprzando o ario, drmin: a. A alura máxima qu a bola aing. b. Quano mpo dmora a bola a aingir o solo. c. A vlocidad da bola no momno m qu aing o solo.. Um corpo d massa m cai d uma alura d 5 m do solo. Supondo qu a rsisência do ar é proporcional à vlocidad com consan d proporcionalidad k m/, drmin a alura a vlocidad do corpo m cada insan.. Considr o msmo problma mas suponha agora qu a rsisência é proporcional ao quadrado da vlocidad com a msma consan. Aplicação.6. (Gomria). Drmin: a. As curvas no plano-x qu, m cada pono (x, ), êm dcliv x/. b. As curvas no plano-x cujas rcas angns m cada pono (x, ) passam na origm.. Drmin a família d curvas no plano-x qu vrificam a propridad d a ára da rgião dlimiada plo ixo das abcissas, pla curva dssa família plas rcas vricais x a x é proporcional ao comprimno do arco da curva nr as duas vricais. Noa: o comprimno do arco da curva nr dois ponos A B cujas abcissas são x a x, rspcivamn, é dado por s a d dx. Drmin família d curvas no plano-x qu, m cada pono (x, ), êm dcliv igual à soma das coordnadas do pono. Escrva a xprssão da curva dssa família qu passa na origm.. A solução da quação difrncial r (a /r) sin θ qu vrifica a condição r () a, a é uma curva no plano chamada lmniscaa. Drmin a xprssão da curva rprsn-a. (noa: r θ são coordnadas polars) dx Aplicação.6.5 (Trmodinâmica, Racçõs Químicas). A li d Bol-Mario para gass idais afirma qu para um gás (considrado idal) a baixa prssão mpraura consan, a axa d variação do volum V (P ) é igual a V/P. Rsolva a rspciva quação difrncial.. Expriências mosram qu a vlocidad d uma racção química, a mpraura consan, é proporcional ao produo das concnraçõs das subsâncias ragns. Suponha uma ração nr duas subsâncias A B, A B C, ond ragm a mol dm da subsância A com b mol dm da subsância B. S () for o númro d mols por liro qu ragiram ao fim d sgundos, drmin a sua xprssão assumindo qu as concnraçõs a b são difrns.

13 Capíulo Equaçõs Difrnciais Ordinárias d Ordm Suprior a Um. Equaçõs difrnciais linars homogénas d ordm dois. Rdução d ordm. Exrcício.. As sguins quaçõs difrnciais d a ordm podm sr rsolvidas usando o méodo da rdução d ordm. Drmin uma solução das sguins quaçõs difrnciais. a. /x b. c. x d. x x. x x f. (x ) (x ) x Exrcício.. Vrifiqu qu as funçõs dadas são soluçõs das rspcivas quaçõs difrnciais. Drmin a solução gral das quaçõs difrnciais. a. b. x c. cog(x) d. x (x ). cosh(x) sinh(x) f. x x, (x) sin(x) x g. x 5x 9, (x) x h. ( x ) x, (x) x i. x (ln(x) ) x, (x) x

14 Exrcício.. Vrifiqu qu as funçõs dadas formam uma bas d soluçõs das EDO s dadas. PVI s. Rsolva os a. 9, (), () 6, (x) cos(x), (x) sin(x) b., (), (), (x) x, (x) x x c. x, (), ().5, (x) x /, (x) x / Exrcício.. Drmin uma EDO d a ordm homogéna qu admia como bas d soluçõs as sguins funçõs: a. (x) sin(x), (x) cos(x) b. (x) x, (x) x x c. (x) x, (x) x. Equaçõs difrnciais linars homogénas d ordm dois com coficins consans. Exrcício.. Drmin a solução gral das sguins EDO s. Faça a vrificação da sua rsposa. a. 9 b. 6 c. 9 d f. 6 g. h. 8 i. 6 6 j. 6 π k. k (k ) l. k k (k ) Exrcício.. Rsolva os PVI s. Faça a vrificação da sua rsposa. a., (), () b., (), () / c. 9 6, (), () d. 5, (), () 5., (), () 7 f. 6 7, ().5, ()

15 g., (), () h. 9, (π), (π) i. k (k ), (), (). Equaçõs d Eulr-Cauch Exrcício.. Drmin a solução gral das quaçõs difrnciais sguins. a. x x 6 b. x c. x d. x x. x x f. x g. x x h. x 7x 9 Exrcício.. Rsolva os sguins PVI s faça um sboço do gráfico da solução. a. x x, ().5, () b. x x 5, (), () 6 c. x x, (), () d. x x, (), (). Exisência Unicidad. O Wronskiano Exrcício.. Vrifiqu s as sguins funçõs são linarmn indpndns nos inrvalos indicados, uilizando o Wronskiano. a. x, x, m qualqur inrvalo b. x, x ln x, (x ) c. sin(x), cos(x) sin(x), (x < ) d. ln(x), (ln(x)), ( x )., an(x), ( x < π/)

16 Exrcício.. Considr a sguin quação difrncial a. Mosr qu () () ], [. são soluçõs da quação difrncial anrior no inrvalo b. Mosr qu () () formam um sisma fundamnal d soluçõs no inrvalo ], [. c. Drmin a solução qu saisfaz () ()..5 Equaçõs difrnciais não homogénas. Méodo dos coficins indrminados. Méodo da variação dos parâmros Exrcício.5. Drmin a solução gral das quaçõs difrnciais sguins, usando o méodo dos coficins indrminados para drminar uma solução paricular da quação difrncial. a. 8x b. x c. x d. x x cos(x) f. 6 6x x 6x g. sin(x) h. 5 5x 7 sin(5x) i cosh(x) j. 9x 5 cos x Exrcício.5. Rsolva o sguin problma d valor inicial x x () () Exrcício.5. Drmin a solução gral das sguins EDO s, usando o méodo d variação dos parâmros para drminar uma solução paricular da quação difrncial. a. x x b. 9 sc(x) c. x cos x d. x /x. x x f x x g. x x 6 x h. x x x cos x i. x ( x)x x j. x 8x 7x 5x

17 .6 Equaçõs difrnciais linars d ordm n, homogénas não homogénas Exrcício.6. Vrifiqu qu as funçõs dadas formam uma bas d soluçõs das quaçõs difrnciais. Rsolva os PVI s. a., x, x, x ; (), (), (), (), () b. x, x, x ;, (), () 5, () c., cos x, sin x;, () 5, (), () Exrcício.6. Drmin a solução gral das quaçõs difrnciais sguins. a. b c. () d. (). f. Exrcício.6. Rsolva o sguin PVI. () 8 8 () () () () (Noa: λ λ 8λ 8λ (λ λ) ) Exrcício.6. Drmin a solução gral das quaçõs difrnciais sguins. a. cos x 5 sin x b. x sin x c. x x x x d. x x x x ln x. x x f. 6 8 x x g. 8 x x h. x x x / Exrcício.6.5 Rsolva os sguins PVI s. a. () 9 sinh x () () 6 () () 6 b. x x 6x 6 x 5 () () ()

18 .7 Exrcícios variados Exrcício.7. Rsolva os sguins problmas d valors d fronira. a. () (π/) b. 8 () () / Exrcício.7. Drmin a solução gral das quaçõs difrnciais sguins. a. 7 b. x c. x x d. x. x cos(x) f. sinh x Exrcício.7. Rsolva os sguins problmas d valor inicial. x x 6 π x sin(πx) a. () 5 () 5 π b. x x 6x () () c. d. x x 6x 6 6 x () 5 () () () () ()

19 Capíulo Sismas d quaçõs difrnciais.. Sismas d quaçõs difrnciais com coficins consans homogénos. Exrcício.. Enconr a solução gral dos sguins sismas d quaçõs difrnciais. a) Y Y b) Y Y 5 c) Y Y d) Y Y ) Y Y f) Y Y g) Y Y h) Y Y i) Y Y j) Y Y 5 9 k) Y Y 5 l) Y Y m) Y Y Exrcício.. Rsolva os sguins problmas d valor inicial a) Y Y 5 ; ( ) ; ( ) 7

20 6 b) Y Y ; ( ) ; ( ) c) Y / Y ; ( ) ; ( ) d) Y Y ( ) ; ( ) ) ( ) ( ). Sismas d quaçõs difrnciais linars não homogénos Exrcício.. Enconr a solução gral dos sguins sismas linars não homogénos, usando o Méodo d Variação d Parâmros a) b) cos c) Exrcício.. Rsolva os sguins P.V.I s usando o méodo d Variação d Parâmros a) 6 ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) Exrcício.. Enconr a solução gral dos sguins sismas linars não homogénos, usando o Méodo da diagonalização. a) 5 b) c) 6

21 7. Exrcícios variados Exrcício.. Vrifiqu qu o vcor 8 6 é solução do sisma Exrcício.. Rsolva os sguins sismas/problmas d valor inícial d quaçõs a) 5 ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) 7 ( ) ( ) d) Exrcício.. Considr a mariz k A a) Drmin k d modo qu sja valor próprio d A. b) Considr k, nconr as marizs d mudança d bas. c) Rsolva o problma d valor inicial. com ( ) ( )

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23 Capíulo O Méodo da Transformada d Laplac. Cálculo da Transformada d Laplac Exrcício.. Calcul a ransformada da Laplac d cada uma das sguins funçõs usando a dfinição (a b são consans). a. f() b. f() a c. f() a b d. f() ab. f() cos (a) f. f() sin (a) cos (b) g. f() cos (a) h. f() sin (a) i. f() sin (a) j. f() sinh a k. f() cosh a l. f() sin (a) cos (b) m. f() {, < <, n. f() { sin, < < π, π Exrcício.. Rsolva os sguins problmas d valor inicial. a., (), (). b. 5, (), (). c. 7 cos, (), (). d., (), ().., (), (). f. sin, () (). Exrcício.. Sabndo qu x dx π/, us a dfinição para calcular L { / }. (Sug. No ingral, faça a mudança d variávl u )

24 . Propridads da Transformada d Laplac Exrcício.. Uilizando as propridads a abla calcul as ransformadas d Laplac das sguins funçõs. a. f() b. f() c. f() sin (a) d. f() cos (a). f() f. f() cos () Exrcício.. Calcul a ransformada d Laplac invrsa d cada uma das sguins funçõs. consans) (a b são a. F (s) d. F (s) g. F (s) s(s ) s s 5 b. F (s) s (s a) b h. F (s) Exrcício.. Rsolva os problmas d valor inicial: a. sin, (), (). b. sin, (), (). c. 7 sin, (), (). d., (), ().., (), () 5. s (s ) c. F (s). F (s) (s ) f. F (s) (s a )(s b ) i. F (s) 7 (s ) s 7 5 (s 7) (s 5) (s s s) Exrcício.. Sabndo qu L {f()/} s F (u) du, ond F (s) L {f()}, calcul as ransformadas d Laplac das sguins funçõs: a. f() sin b. f() cos a c. f() a b Exrcício..5 Sja F (s) L {f()}. Sabndo qu f() /L {F (s)}, calcul as ransformadas d Laplac invrsas das sguins funçõs: ( ) ) s a a. F (s) ln b. F (s) ln ( a c. F (s) arcg a s a s s

25 . Função Dgrau Uniário d Havisid Exrcício.. Drmin as ransformadas d Laplac invrsas das funçõs. a. F (s) s s b. F (s) s s c. F (s) s s d. F (s) s s s s s. F (s) s s s Exrcício.. Rsolva os problmas d valor inicial: {, < a., <, (), (). { cos, < π/ b., π/ {, < c. 7,, (), ()., (), ().. Função δ d Dirac Exrcício.. Rsolva os sguins problmas d valor inicial. a. δ( ) δ( ), (), (). b. sin () δ( π), (), (). c. δ( ), (), (). d. δ() δ( ), ().. δ( π) δ( π), (), ()..5 Convolução Exrcício.5. Para os sguins pars d funçõs, f g, drmin a sua convolução f g. a. f() a, g() b, a b. b. f() cos (a), g() cos (b). c. f(), g() sin.

26 Exrcício.5. Us a propridad da convolução para calcular as ransformada d Laplac invrsa d cada uma das funçõs sguins. a. F (s) d. F (s) s(s ) s (s )(s ) b. F (s). F (s) s (s ) s (s ) c. F (s) s (s ).6 Sismas d Equaçõs Difrnciais Linars Exrcício.6. Rsolva os problmas d valor inicial. ( ) ( ) ( ) a., () ( ) ( ) b., () 5 ( ) ( ) ( ) c., () ( ) ( ) ( ) d., ()

27 Apêndic A Formulario Equaçõs Difrnciais Ordinárias d a Ordm Equaçõs Exacas. Facor Ingran. Dada uma quação difrncial não xaca M(x, ) dx N(x, ) d. ( ). S R M N N x facor ingran da quação difrncial dada.. S R ( ) N M x M facor ingran da quação difrncial dada. dpnd apnas da variávl x não a função v(x) R(x) dpnd apnas da variávl não a função ṽ() R() dx é d é Equaçõs linars. Rdução à forma linar. Dada uma quação linar d a ordm p(x) r(x), a solução gral é (x) h r(x) h dx c h, ond h p(x) dx. S a quação não é linar podmos, m alguns casos, rduzi-la à forma linar mdian uma mudança d variávl convnin. Por xmplo, a quação d Brnoulli, p(x) r(x) α, α R, rduz-s à forma linar usando a mudança d variávl u α. Equaçõs Difrnciais Ordinárias Linars d ordm n> Caso n: p(x) q(x) r(x) Equação homogéna d coficins consans É uma quação qu pod sr scria na forma: a b (A) a, b são consans. Equação caracrísica associada: λ aλ b (B). Soluçõs: λ, λ. Tipo d raízs d (B) Solução gral d (A) Caso rais disinas λ, λ (x) C λx C λx, C, C R Caso dupla λ a/ (x) (C C x) λx, C, C R Caso complxas conj. λ λ α iβ (x) αx [C cos (βx) C sin (βx)], C, C R

28 Equação homogéna d coficins variávis: quação d Eulr-Cauch É uma quação qu pod sr scria na forma: x ax b (C) a, b são consans. Equação algébrica associada: m (a )m b (D). Soluçõs: m, m. Tipo d raízs d (D) Solução gral d (C) Caso rais disinas m, m (x) C x m C x m, C, C R Caso dupla m ( a)/ (x) (C C ln x)x m, C, C R Caso complxas conj. m m α iβ (x) x α [C cos (β ln x) C sin (β ln x)], C, C R Méodo da rdução d ordm Considr-s a quação p(x) q(x) (x) uma solução da quação. Uma bas para as soluçõs da quação é {, } ond (x) u(x) (x), sndo u(x) dx dx p(x) Equação não homogéna Equação não homogéna: p(x) q(x) r(x) (NH) Equação homogéna associada: p(x) q(x) (H) A solução gral d (NH) pod sr scria na forma: gral d (H) p uma solução paricular d (NH). (x) h (x) p (x), ond h é a solução Méodo Da Variação Dos Parâmros. Sja {, } uma bas para as soluçõs d (H) W (, ) o wronskiano d,. Enão (x)r(x) p (x) (x) W (, ) dx (x)r(x) (x) W (, ) dx Caso paricular: Méodo Dos Coficins Indrminados. Aplica-s a quaçõs do ipo: a b r(x) a, b consans. Rgra básica: r(x) k αx scolha para p C αx kx n (n N) k n x n k n x n k x k k cos (βx) k cos (βx) k sin (βx) k sin (βx) k cos (βx) k sin (βx) k αx cos (βx) αx [k cos (βx) k sin (βx)] k αx sin (βx) αx [k cos (βx) k sin (βx)]

29 Rgra da Modificação: S na scolha d p, dada pla abla anrior, mos uma solução da quação homogéna associada, mulipliqu-s por x (ou por x s ssa solução corrspond a uma raíz dupla da quação caracrísica). Obsrvação: A rgra básica admi a sguin gnralização: Rgra básica:(gnralização) r(x) αx P n (x) cos (βx) αx P n (x) sin (βx) scolha para p x s αx ([ a n x n a n x n a x a ] cos (βx) [ b n x n b n x n b x b ] sin (βx) ) idm Noa: o parâmro s corrspond ao númro d vzs qu αiβ é raíz do polinómio caracrísico. Sismas d Equaçõs Difrnciais Ordinárias Linars São sismas d quaçõs difrnciais linars qu podm sr scrios na forma: A()g(), ond A() é uma mariz n n (), g() são vcors n. A solução gral do sisma pod sr scria na forma () (h) () (p) () sndo (h) () a solução gral do sisma homogéno associado (p) () uma solução paricular do sisma não homogéno. Sisma Homogéno d coficins consans: A (H) Dado λ R al qu xis um vcor não nulo x para o qual s vrifica Ax λx não o vcor () x λ, é solução do sisma homogéno (H). Caso (I): A mariz A possui n vcors próprios x (), x (),..., x (n) linarmn indpndns. Sjam x (),..., x (n) vcors próprios da mariz A associados aos valors próprios λ,..., λ n rspcivamn. No-s qu os valors próprios podm sr iguais. Enão uma bas para as soluçõs d (H) srá dada plos vcors (i) () x (i) λ i i... n. A solução gral do sisma (H) é () C x () λ C n x (n) λn. Caso (II): A mariz A não possui n vcors próprios x (), x (),..., x (n) linarmn indpndns. (II)-: λ µ é raíz dupla da quação d (A λi) corrspondndo apnas a um vcor próprio x. Uma solução para o sisma (H) srá () () x µ. Uma sgunda solução srá () x µ u µ, ond u é um vcor qu saisfaz (AµI)u x. Tmos qu (), () são linarmn indpndns.

30 (II)-: próprio x. λ µ é raíz ripla da quação d (A λi) corrspondndo apnas a um vcor Uma solução para o sisma (H) srá () () x µ. Uma sgunda solução srá () x µ u µ, ond u saisfaz (A µi)u x. Uma rcira solução srá () x µ u µ v µ, sndo v um vcor solução d (A µi)v u Tmos qu (), (), () são linarmn indpndns. (II)-: x (), x (). λ µ é raíz ripla da quação d (A λi) corrspondndo dois vcors próprios Duas soluçõs l.i. do sisma (H): () () x () µ, () () x () µ. Trcira solução: () x µ u µ, ond x é uma combinação linar d x () x () al qu o sisma (A µi)u x sja possívl. Tmos qu (), (), () são linarmn indpndns. Sisma Não Homogéno: A() g() (NH) Méodo da variação dos parâmros Para drminar a solução paricular (p) do sisma (NH), considr-s Y() uma mariz fundamnal para o sisma homogéno associado a (NH), iso é Y() é uma mariz n n cujas colunas são n vcors linarmn indpndns qu são solução do sisma homogéno. A solução paricular é dada por, (p) () Y()u(), ond u() Y ()g() d. Méodo da Diagonalização Aplica-s a sismas do ipo Ag(), ond A é uma mariz n n consan qu possui bas d vcors próprios x (),..., x (n) associados, rspcivamn, aos valors próprios λ,, λ n. Considr-s a mariz cujas colunas são os vcors próprios d A, X [ x () x ()... x (n) ]. A mariz D X AX é uma mariz diagonal cujos lmnos da diagonal principal são os valors próprios d A, a ii λ i, i,, n. Usando a mudança d variávl z X ransforma-s o sisma A g() no sisma z Dz h(), ond h() X g(). Obém-s assim um sisma composo por n quaçõs difrnciais linars d a ordm dado, m coordnadas, por z i λ i z i h i (), i,..., n. Após rsolvr cada uma dsas quaçõs linars rorna-s à variávl inicial. A solução gral do sisma srá o vcor () Xz()

31 Transformada d Laplac No qu s sgu considra-s F (s) no. L {f()} df. Propridads da Transformada d Laplac s f() d. L {αf() βg()} α L {f()} β L {g()} (linaridad). L {f ()} s F (s) f(). L {f ()} s F (s) sf() f (). L { f()} d ds F (s) 5. L { a f() } F (s a) ( o orma do dslocamno) 6. L {H c () f( c)} sc F (s) ( o orma do dslocamno) 7. L {(f g)()} L {f()} L {g()} ond f g f( u)g(u) du. Tabla d Transformadas f() F (s) f() F (s) s (s > ) 6 cosh (a) s s (s > a) a n n! s n (s > ) 7 sinh (a) a s (s > a) a a s a (s > a) 8 H c() cos (a) 5 sin (a) c s (s > ) s s a (s > ) 9 δ( c) c (s > ) a s (s > ) a Convolução Dadas duas funçõs, f g, a convolução d f com g é f g f( u)g(u) du.