DE EXERCÍCIOS DE VARIÁVEIS COMPLEXAS

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1 Cálculo Avançado A - Variávis Complas LISTA DE EXERCÍCIOS DE VARIÁVEIS COMPLEXAS ) Encontr todas as singularidads das funçõs abaio, aprsntando-as m forma algébrica: a) f ( ) sc() b) j 5 + j f () ( j) j c) f ( ) cot gh( j + ) f ( ) cosh + snh ) f ( ) f) f ( ) snh ( ) + cosh( ) sn ( ) ( ) f h) f ( ) + j cosh + snh i) f ( ) j) f ( ) k) f ( ) m) f () + 5 cosh( ) + f ( ) f ( ) + ( )( ) o) f ( ) f ( ) + ( j) j 8 q) f () cosh( ) cosh( ) + r) f () ( 5 ) sn + 6j 6 sn ( / ) 6 ( + 6) ( / ) sn cos 5 + ( + ) j cos ) Dtrmin todas singularidads das funçõs abaio classifiqu cada singularidad como rmovívl, pólo d uma dada ordm ou ssncial: a) b) cos() f () sn( + ) f () ( + j) ( j) ) sn( ) f () f () ( ) cos ( ) ( + ) h) j f () + sn( ) f () snh( ) / c) f () ( + j) f) f () ( + ) i) f ()

2 Cálculo Avançado A - Variávis Complas j) f () tg() k) m) f () cos() /(( + )) f () j f () o) sn( ) f () f () ( )( j) ( + ) snh( ) f () q) f () cosh () r) f () j + ( ) sn() s) f () + ( ) t) f () cos sc () ) Encontr a part ral imaginária das funçõs f() abaio, usando as Equaçõs d Cauch-Rimann, dtrmin todos os pontos do plano complo nos quais a função é drivávl, calculando sua drivada: a) f () j b) f () j c) f () ) f () + f () j f) f () + Im( ) f () R() h) f () 8 + f () i) ( ) j) f () j + k) f () + f () j + j m) f () R() Im( ) f () j o) f () Im + f () ) Vrifiqu s as funçõs do problma acima são analíticas ou, caso contrário, indiqu as singularidads da função f() 5) Nas qustõs a sguir, calcul a intgral ( ) Obsrv qu todos os caminhos fchados são positivamnt orintados: a) f (), ond C é qualqur caminho fchado ao rdor d j j sn( ) b) f (), ond C é a circunfrência 5 f d para a função o caminho dados C c) f () 5 + j, ond C é a circunfrência + j

3 Cálculo Avançado A - Variávis Complas ) f) f () f () f (), ond C é o rtângulo d vértics ± ± j ( ) j, ond C é a circunfrência ( + j) cos( j) ( + j), ond C é qualqur caminho fchado ao rdor d j f ( ) h) f ( ), ond C é a circunfrência j + ( + j) sn( ), ond C é qualqur caminho fchado ao rdor d ( + ) i) f ( ) R( + ), ond C é o sgmnto d rta d + j até 5j j) f () + j, ond C é o sgmnto d rta d 0 até j k) f ( ) () Im( j) m) o), ond C é o quadrado d vértics 0,, + j j f, ond C é a circunfrência unitária cntrada na origm f () f () f () ( snh ( ) ) cosh, ond C é um caminho fchado ao rdor d + cos( ) ( + j), ond C é o triângulo d vértics 0, 8j 8j sn( ) ( + j) cos(), ond C é a circunfrência d raio cntrada na origm f (), ond C é a circunfrência d raio cntro j ( + j) 6) Calcul as intgrais m cada um dos problmas até 6, considrando qu todos os caminhos fchados são orintados positivamnt: a) + C ( ) ( + j) d, ond C é a circunfrência d raio cntro j cos( ) b) d, ond C é o quadrado d lados parallos aos ios, mdindo, cntrado m j C +

4 Cálculo Avançado A - Variávis Complas c) C d, ond C é a circunfrência d raio cntro j j d, ond C é a circunfrência d raio cntrada na origm C + j ) d, ond C é a circunfrência d raio cntrada na origm C + 6 cos( ) f) d, ond C é a circunfrência d raio / cntro j/8 C ( + 9) C j d, ond C é a circunfrência d raio cntrada m j ( j) 8 j+ h) d, ond C é a circunfrência d raio, cntrada m j C + j i) d, ond C é qualqur caminho fchado ao rdor d C ( ) j) C ( j) d, ond C é qualqur caminho fchado ao rdor d 0 j sn() cos() k) d, ond C é a circunfrência d raio cntrada na origm C + cosh() C ( 9) d, ond C é qualqur caminho fchado ao rdor d 0 qu não contnha o m) d, ond C é a circunfrência j C d, ond C é a circunfrência 5 C + j o) q) ( j) d C + ( + ) cosh( ) ( j)( j) C + ( + j), ond C é a circunfrência 8 d, ond C é a circunfrência j C d, ond C é a circunfrência j

5 Cálculo Avançado A - Variávis Complas r) cos C ( j) ( + )( ) d, ond C é a circunfrência + j 7) Sndo C o círculo + j, orintado positivamnt, dfin-s a função: j F (, ) d C ( ) ( ) Calcul F(j, -j), F(j, -5j) F(-j, j) 8) Sndo C o círculo, orintado positivamnt, dfin-s a função: j F ( ω, N) d C N ( ω) Calcul F(, ), F(, ) F(0, 5) RESPOSTAS: ) a) + k ou + k + jln 5 ; b) 0, ± j, ± ; c) k + j; 0,, ± j,, ± j ; k k ) ln + j + ; f) j, ± j ; j + ; 8 h), ± j,, ± j ; i) l n + k j ; j) ± j, ± j, ± j ; k) + jk ; ; m) ±, ± ; 0, ( ± j), ( ± j), ± j k j + ; o) j, ± j, + ± ; ( ± ± j) ; k + ln q) ln 5 + j ; r) + jk ) a) Pólo d ordm m 0 b) Pólo duplo m -j; pólo simpls m j c) Singularidad ssncial m 0 Singularidad rmovívl m ) Pólos simpls m j j; pólo duplo m f) Pólo duplo m - Singularidad rmovívl m j, pólo simpls m -j 5

6 Cálculo Avançado A - Variávis Complas h) Pólo simpls m nj, para todo n 0 intiro; singularidad rmovívl m 0 i) Pólos simpls m, -, j -j j) Pólos simpls m ( n + ) 6, para todo intiro n k) Pólos simpls m ( n + ), para todo intiro n Singularidad ssncial m 0 - m) Pólo d ordm m 0 Singularidad rmovívl m 0 ; pólo duplo m j o) Pólo d ordm m - Pólo triplo m 0 q) Nnhuma singularidad r) Pólo duplo m - n s) Pólo simpls m - t) Pólos triplos m, para todo intiro n ) a) u(, ), v(, ) ; m todo complo; f () b) u(, ), v(, ) ; m todo complo; f () j c) u(, ), v(, ) 0; m nnhum ponto do plano complo ) u(, ) +, v(, ) ; m todo complo não nulo; u (, ) 0, v(, ) ; m 0; f (0) 0 f) u (, ), v(, ) ; m nnhum ponto do plano complo u (, ), v(, ) ; m nnhum ponto do plano complo f () h) u(, ) 8 +, v(, ) 8 ; m todo complo; f () 8 i) u(, ), v(, ) ; m 0; f (0) 0 j) u(, ), v(, ) ; m nnhum ponto do plano complo k) u(, ) u(, ) +, v(, ) ; m todo complo 0, + ( + ) ; f () j v(, ) ; m todo complo j; f () + ( + ) + j m) u (, ), v(, ) 0 ; m nnhum ponto do plano complo u (, ) 6, v(, ) + 6 ; m todo complo; f () 6j o) u(, ), v(, ) 0 ; m nnhum ponto do plano complo ( + ) + u(, ), v(, ) ; m nnhum ponto do plano complo ( ) ) As funçõs dos problmas b, h n são analíticas As funçõs dos problmas c,, f, g, j, m, o p possum singularidads m todos os pontos do plano complo As funçõs dos problmas d k possum uma singularidad m 0 A função do problma l possui uma singularidad m j

7 Cálculo Avançado A - Variávis Complas 5) a) j b) j c) ( ) 8j ) [ cos() jsn() ] f) j cosh() j 6) a) j b) cosh( ) c) 0 j/ ( ) ) j f) j j 7) F(j, -j) j [ cosh( ) + ] h) 5( j) cos( 56) i) 9 j j) 0 k) 0 j m) j cosh(snh( )) h) 0 i) j 8j j) [ ] k) jsnh() cosh( ) j [ cosh( 9) ] 9 8 m) j, F(j, -5j) 0 F(-j, j) 8) F(, ) j, F(, ) 8 j F(0, 5) 0 9 j 8-9snh() j cos + jsn o) [ snh ( ) + j cosh( ) ] [ ( ) ( )] 0 + j o) ( ) 0 q) 0 r) [ cos( ) + j] 7