EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NOTAS DE AULA

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1 Minisério da Educação Univrsidad Tcnológica Fdral do Paraná Campus Curiiba Grência d Ensino Psquisa Dparamno Acadêmico d Mamáica EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NOTAS DE AULA Prof. a Paula Francis Bnvids

2 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Conúdo AULA INTRODUÇÃO DEFINIÇÃO CLASSIFICAÇÃO Tipo: Ordm: Grau: Linaridad: ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: RESOLUÇÃO: Curvas Ingrais: Solução:....6 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)....7 TEOREMA DA EXISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO....8 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AUTÔNOMAS... 4 AULA EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS Rsolução:... 8 AULA.... EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS..... Função Homogêna..... Equação Homogênas Rsolução:... AULA EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES REDUTÍVEIS AS DE VARIÁVEIS SEPARADAS. 6 a b.. O drminan é difrn d zro... 6 a b.. O drminan a a b b é igual a zro AULA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS Faor Ingran... AULA EQUAÇÕES LINEARES: Faor Ingran: Subsiuição ou d Lagrang:... 8 AULA

3 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids.6 EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES: Equaçõs d Brnoulli:... 4 AULA Equação d Ricai AULA EQUAÇÕES DE A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM ENVOLTÓRIAS E SOLUÇÕES SINGULARES Dfiniçõs: Equação da Envolória Soluçõs Singulars Equação d Clairau... 5 AULA Equação d Lagrang: Ouros ipos d quação d a Ordm grau difrn d um: AULA EXERCÍCIOS GERAIS AULA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM MODELOS MATEMÁTICOS MODELO MATEMÁTICO DINÂMICA POPULACIONAL MEIA VIDA DECAIMENTO RADIOTAIVO CRONOLOGIRA DO CARBONO RESFRIAMENTO MISTURAS DRENANDO UM TANQUE DISSEMINAÇÃO DE UMA DOENÇA CORPOS EM QUEDA Corpos m quda a rsisência do ar CORRENTE DESLIZANTE CIRCUITOS EM SÉRIE AULA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE A ORDEM E ORDEM SUPERIOR EQUAÇÕES LINEARES E HOMOGÊNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES Caso : Raízs Rais Disinas Caso : Raízs Múliplas Caso : Raízs complas disinas AULA EULER - CAUCHY... 9 AULA EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS... 95

4 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 6.. Solução por coficins a drminar (Dscars): AULA Solução por variação d parâmros AULA Méodo do Oprador Drivada Dfinição Propridads Equaçõs Difrnciais Oprador Anulador Coficins indrminados - Abordagm por Anuladors Rsolução d Equaçõs Linars...4 AULA EXERCÍCIOS GERAIS... 7 AULA MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL: Sisma Massa-Mola: Movimno Livr não amorcido ED do Movimno Livr não amorcido: Solução Equação do Movimno: Sisma Massa-Mola: Movimno Livr Amorcido ED do Movimno Livr Amorcido: Sisma Massa Mola: Movimno Forçado ED do Movimno Forçado com Amorcimno: ED d um Movimno Forçado Não Amorcido: Circuio m Séri Análogo - Circuios léricos RLC m séri EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO Dflão d uma viga: Soluçõs Não Triviais do Problma d Valors d Conorno: Dformação d uma Coluna Fina: Corda Girando:... AULA SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SISTEMA CANÔNICO E SISTEMA NORMAL:... 6 AULA SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMÉTRICA... 9 AULA MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM Vor solução O Problma d Valors Iniciais Eisência d uma única solução Sismas homogênos Princípio da Suprposição Indpndência Linar Criério para Soluçõs Linarmn Indpndns Conjuno fundamnal d solução Solução Gral - Sismas Homogênos...7 4

5 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 9..6 Sismas não homogênos Solução Gral - Sismas Não-Homogênos Uma Mariz Fundamnal Uma Mariz Fundamnal é Não-Singular Mariz Espcial...4 Ψ é uma Mariz Fundamnal ( ) AULA SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS Auovalors rais disinos Auovalors complos Auovalors d Muliplicidad dois... 5 AULA SISTEMAS NÃO HOMOGÊNEOS Coficins Indrminados Variação d Parâmros AULA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS: DEFINIÇÃO: Emplos d Equaçõs Difrnciais Parciais: Ordm Grau d uma Equação Difrncial Parcial: FORMAÇÃO: Eliminação d consans arbirárias: EQUAÇÃO LINEAR DE PRIMEIRA ORDEM: Méodo d Lagrang AULA OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO COMPLETA: MÉTODO DE CHARPIT EQUAÇÕES COM DERIVADAS PARCIAIS EM RELAÇÃO APENAS A UMA DAS VARIÁVEIS AULA RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE A ORDEM PELO MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS Solução Sparação d Variávis Classificação d Equaçõs

6 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. INTRODUÇÃO Ans d mais nada, vamos rcordar o qu foi aprndido m Cálculo!!! A drivada d d d uma função () nada mais é do qu uma oura função () nconrada por uma rgra apropriada. Como por mplo, a função é difrnciávl no inrvalo (, ), a sua drivada é d.. S fizrmos rmos: d d. () d Vamos supor agora qu su profssor lh dss a quação () prgunass qual é a função rprsnada por? Apsar d você não fazr idia d como la foi consruída, você sá a frn d um dos problmas básicos dsa disciplina: como rsolvr ssa quação para a dsconhcida função ()? O problma é smlhan ao familiar problma invrso do cálculo difrncial, ond dada uma drivada, nconrar uma anidrivada. Não podmos diar d lado a difrnça nr a drivada a difrncial, pois, mbora a drivada a difrncial possuam as msmas rgras opracionais, sss dois opradors êm significados basan difrns. As difrnças mais marcans são: a drivada m significado físico pod grar novas grandzas físicas, como por mplo a vlocidad a aclração; a difrncial é um oprador com propridads puramn mamáicas; a drivada ransforma uma função m oura, manndo uma corrspondência nr os ponos das duas funçõs (por mplo, ransforma uma função do sgundo grau m uma função do primiro grau); a difrncial é uma variação infinisimal d uma grandza; a drivada é uma opração nr duas grandzas; a difrncial é uma opração qu nvolv uma grandza; o rsulado d uma drivada não coném o infiniésimo m sua sruura; consqunmn, não is a ingral d uma drivada; a ingral só pod sr aplicada a um rmo qu connha um difrncial (infiniésimo); s for fio o quocin nr os dois difrnciais, m-s: d d m oal smlhança com a dfinição d drivada. A consquência dira dss fao é qu a drivada não é o quocin nr duas difrnciais, mas compora-s como s foss ss quocin. Iso significa qu a parir da rlação: d d f ( ) é possívl scrvr: d f ( )d qu s dnomina quação difrncial. 6

7 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids uma das aplicaçõs mais imporans nvolvndo drivadas difrnciais é a obnção da quação difrncial, apa fundamnal para a inrodução do Cálculo Ingral.. DEFINIÇÃO Equação difrncial é uma quação qu rlaciona uma função suas drivadas ou difrnciais. Quando a quação possui drivadas, sas dvm sr passadas para a forma difrncial. Emplo : d ) d ) d d d d ) d d 4) "' ( ") ' cos 5) ( ") ( ') d d 6) 5 d d z z 7) z z 8) z. CLASSIFICAÇÃO.. TIPO: S uma quação conivr somn drivadas ordinárias d uma ou mais variávis dpndns m rlação a uma única variávl indpndn, como m () a (6), as drivadas são ordinárias a quação é dnominada quação difrncial ordinária (EDO). Uma ED pod conr mais d uma variávl dpndn, como no caso da quação (6) Uma quação qu nvolv as drivadas parciais d uma ou mais variávis dpndns d duas ou mais variávis indpndns, como m (7) (8), a quação é dnominada quação difrncial parcial (EDP)... ORDEM: A ordm d uma quação difrncial é a ordm d mais ala drivada qu nla aparc. As quaçõs (), () (6) são d primira ordm; (), (5) (7) são d sgunda ordm (4) é d rcira ordm. 7

8 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids.. GRAU: O grau d uma quação difrncial, qu pod sr scria, considrando a drivadas, como um polinômio, é o grau da drivada d mais ala ordm qu nla aparc. Todas as quaçõs dos mplos acima são do primiro grau, co (5) qu é do sgundo grau. As quaçõs difrnciais parciais srão visa mais adian. Emplo : d d d d d d d d a ordm o grau d d ln ln d d ln d. d d d a ordm o grau Obsrv qu nm smpr à primira visa, pod-s classificar a quação d imdiao quano a ordm grau...4 LINEARIDADE: Dizmos qu uma quação difrncial ordinária n n d d d an ( ) a ( ) a( ) a( ) g( n n K n d d d d ordm n é linar quando são saisfias as sguins condiçõs: ) A variávl dpndn odas as suas drivadas ', ",... n são do primiro grau, ou sja, a poência d cada rmo nvolvndo é um. ) Os coficins a, a,... a n d, ',... n dpndm quando muio da variávl indpndn. Emplo : ) ( ) d 8d d d ) 7 d d d d ) 5 4 d d São rspcivamn quaçõs difrnciais ordinárias linars d primira, sgunda rcira ordm. ) 8

9 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids.4 ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: Uma rlação nr as variávis, ncrrando n consans arbirárias ssnciais, como 4 C ou A B, é chamada uma primiiva. As n consans, rprsnadas smpr aqui, por lras maiúsculas, srão dnominadas ssnciais s não pudrm sr subsiuídas por um númro mnos d consans. Em gral uma primiiva, ncrrando n consans arbirárias ssnciais, dará origm a uma quação difrncial, d ordm n, livr d consans arbirárias. Esa quação aparc liminando-s as n consans nr as (n ) quaçõs obidas junando-s à primiiva as n quaçõs provnins d n drivadas sucssivas, m rlação a variávl indpndn, da primiiva. Emplo 4: Obr a quação difrncial associada às primiivas abaio: a) C b) C sn C cos c) C 9

10 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids d) C C ) a cos( b) ond a b são consans f) C C -

11 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids.5 RESOLUÇÃO: Rsolvr uma ED é drminar odas as funçõs qu, sob a forma finia, vrificam a quação, ou sja, é obr uma função d variávis qu, subsiuída na quação, ransform-a numa idnidad. A rsolução d uma quação difrncial nvolv basicamn duas apas: a primira, qu é a prparação da quação, qu consis m fazr com qu cada rmo da quação nha, além d consans, um único ipo d variávl. A sgunda apa é a rsolução da quação difrncial consis na aplicação dos méodos d ingração..5. CURVAS INTEGRAIS: Gomricamn, a primiiva é a quação d uma família d curvas uma solução paricular é a quação d uma dssas curvas. Esas curvas são dnominadas curvas ingrais da quação difrncial. Emplo 5: d d.5. SOLUÇÃO: É a função qu quando subsiuída na quaçãodifrncial a ransforma numa idnidad. As soluçõs podm sr: Solução gral: A família d curvas qu vrifica a quação difrncial, (a primiiva d uma quação difrncial) conm anas consans arbirárias quanas form as unidads d ordm da quação. Solução paricular: solução da quação dduzida da solução gral, impondo condiçõs iniciais ou d conorno. Gralmn as condiçõs iniciais srão dadas para o insan inicial. Já as condiçõs d conorno aparcm quando nas quaçõs d ordm suprior os valors da função d suas drivadas são dadas m ponos disinos. Solução singular: Chama-s d solução singular d uma quação difrncial à nvolória da família d curvas, qu é a curva angn a odas as curvas da família. A solução singular não pod sr dduzida da quação gral. Algumas quaçõs difrnciais não aprsnam ssa solução. Ess ipo d solução srá viso mais adian. As soluçõs ainda podm sr: Solução plícia: Uma solução para uma EDO qu pod sr scria da forma f ( ) é chamada solução plícia. Solução Implícia: Quando uma solução pod apnas sr scria na formag (, ) raa-s d uma solução implícia.

12 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Emplo 6: Considrmos a rsolução da sguin EDO: d ( ) d c d d A solução gral obida é obviamn uma solução plicia. Por ouro lado, pod-s dmonsrar qu a EDO: d m como solução: C, ou sja, uma solução implícia. d Emplo 7: Vrifiqu qu 4 é uma solução para a quação d no inrvalo (, ). 6 d Rsolução: Uma manira d comprovar s uma dada função é uma solução é scrvr a quação difrncial como d d vrificar, após a subsiuição, s a difrnça acima é d d zro paraodo no inrvalo. d 4 d d 6 d 4 Subsiuindo na E.D., mos Esa condição s vrifica para odo R PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI) d Sja a quação difrncial d primira ordm f (, ) sujia a condição inicial d ( ), m qu é um númro no inrvalo I é um númro ral arbirário, é chamado d problma d valor inicial. Em rmos goméricos, samos procurando uma solução para a quação difrncial dfinida m algum inrvalo I al qu o gráfico da solução pass por um pono ( o, o ) drminado a priori. Emplo 8: Sja c. a família a um parâmro d soluçõs para ' no inrvalo (, ). S spcificarmos qu (), não subsiuindo na família, mos:

13 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids c. c. S spcificarmos qu (), não mos: c. c.. d Srá qu a quação difrncial f (, ) possui uma solução cujo gráfico passa plo d plo pono ( o, o )? Ainda, s sa solução isir, é única? Emplo 9: As funçõs 4 são soluçõs para o problma d valor inicial 6 d d ( ) Podmos obsrvar qu o gráfico dsas soluçõs passam plo pono (,). Dsa forma, dsja-s sabr s uma solução is, quando is, s é a única solução para o problma..7 TEOREMA DA EXISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO Sja R uma rgião rangular no plano dfinida por a b, c d, qu coném o df pono (, ) m su inrior. S f (, ) são conínuas m r, não is um inrvalo I, d cnrado m uma única função () dfinida m I qu saisfaz o problma d valor inicial d f (, ), sujio a ( ) d. Três prgunas imporans sobr soluçõs para uma EDO.. Dada uma quação difrncial, srá qu la m solução?. S ivr solução, srá qu sa solução é única?. Eis uma solução qu saisfaz a alguma condição spcial?

14 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Para rspondr a sas prgunas, is o Torma d Eisência Unicidad d solução qu nos garan rsposa para algumas das qusõs dsd qu a quação nha algumas caracrísicas. d Torma: Considr o problma d valor inicia p( ) q( ) d ( ) S p() q() são coninuas m um inrvalo abro I conndo, não o problma d valor inicial m uma única solução nss inrvalo. Alramos qu dscobrir uma solução para uma Equação Difrncial é algo similar ao cálculo d uma ingral nós sabmos qu ism ingrais qu não possum primiivas, como é o caso das ingrais lípicas. Dssa forma, não é d s sprar qu odas as quaçõs difrnciais possuam soluçõs..8 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AUTÔNOMAS As quaçõs difrnciais da forma são chamadas d auônomas. d f ( ) () d Uilizando a manipulação formal inroduzida por Libniz (646-76), podmos scrvr a quação () na forma: d () d f ( ) Cuja rsolução é: ( ) ( ) d (4) f ( ) Para jusificar a quação (4) ncssiamos qu sja bm dfinida no inrvalo d f ( ) d inrss A, ond f ( ) qu sja conínua ns inrvalo A. Pois, como m d f ( ) A, o Torma da Função Invrsa garan qu is uma função invrsa da função (), iso é, F() al qu df f () m A, o qu jusifica o procdimno formal. d Porano, a solução do problma d condição inicial d f ( ) d ( ) (5) é obida pla solução do problma d d f ( ) ( ) (6) 4

15 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids com a invrsão da função (). As quaçõs auônomas aparcm na formulação d uma grand quanidad d modlos. Smpr qu uma li d formação afrma qu: a aa d variação d uma quanidad () é proporcional a sa msma quanidad, mos uma quação auônoma da forma d k (7) d Como, f ( ) k, não f ( *) s *. Dvmos procurar soluçõs sparadamn nos dois inrvalos < < < <. Considrando inicialmn o problma d Cauch d k d (8) ( ) E su problma invrso d d k (9) ( ) Cuja solução invrsa é dada por ou sja, ( ) ln k k [ ln ln ] d C d k ln k ( ) R. k ( ) k( ) para Emplo : Considr a quação auônoma sua solução gral, para a k d d k a, é obida considrando-s sua forma difrncial 5

16 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Porano, d d k a d k a ln k a C k k ( C [ a ], ) k ( C ) k a k a Ns caso, a solução d quilíbrio. k d a k AULA - EXERCÍCIOS Nos rcícios d a, obr a quação difrncial associada a primiiva: ) C ) C ) C ( ) 4) C cos C sn 5) (C C ) C 6) C C - 7) ln a 8) 5 C 9) A B C ) A B C ) C C C ) ln A B ) Obr a quação difrncial da família d círculos d raio, cujos cnros sjam sobr o io. 4) Vrifiqu qu é uma solução para a quação " ' no inrvalo (, ). 5) c Vrificar qu para qualqur valor d c a função é uma solução da quação difrncial d a d ordm no inrvalo (, ). d 6) Vrificar qu,, C, C C C são odas soluçõs da quação difrncial ". 7) Vrificar qu 4 C 4, < são soluçõs d ' 4. 4, 6

17 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Rsposas: ) d d d d ) ) d d 4) 4 d d d d d 5) d d d d d 6) d d d d d d 7) ln 8) d 5 d d 9) d ) d d d d d d ) d d d 6 6 ) ) d d d " ' ( ') d d 4) Esa condição s vrifica para odo númro ral. 5) Variando o parâmro C, podmos gra uma infinidad d soluçõs. Em paricular, fazndo c, obmos uma solução consan. Logo a c função é uma solução m qualqur inrvalo qu não connha a origm. 6) No qu C é uma solução para qualqur scolha d c, mas C, C não saisfaz a quação, pois, para sa família d função mos " - - C 7

18 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA. EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU São quaçõs d a ordm o grau: d F (, ) d ou Md Nd m qu M M(,) N N(,). Esas funçõs êm qu sr conínuas no inrvalo considrado (-, ). EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS A quação difrncial M(, ) d N(, ) d srá d variávis sparávis s: M N form funçõs d apnas uma variávl ou consans. M N form produos d faors d uma só variávl. Iso é, s a quação difrncial pudr sr colocada na forma P ( ) d Q( ) d, a quação é chamada quação difrncial d variávis sparávis... RESOLUÇÃO: Para rsolvrmos al ipo d quação difrncial, como o próprio nom já diz, dvrmos sparar as variávis, iso é, dvrmos diar o coficin da difrncial d como sndo uma função clusivamn da variávl, não ingramos cada difrncial, da sguin forma: P ( ). d Q( ). d C Emplos: Rsolvr as sguins quaçõs: d ) d 8

19 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids ) d d 4 ) d d 4) g. sc d gsc d 5) ( ) d d 9

20 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 6) d d ( ) d 7) d 8) Rsolva o problma d valor inicial d 4, ( ) d

21 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA EXERCÍCIOS Rsolvr as sguins quaçõs difrnciais. d ) g. d ) 4 d ( ) d ) ( ) d - ( ) d 4) d ( ) d d 5) d 4 6) ( ) d ( ) d d d 7) a d d 8) sc g d sc g d 9) ( a )( b )d ( a )( b )d ) ( ) d d ) ( )d d d ) cos d d ) cos d 4 4) d ( ) d Rsposas: ) cos C ) ln( ) C ) ( )( ) C 4) C 5) arcg C 6) ln C k a ln a 7) 8) g. g C a aln b.arcg a b ) c( ) 9) C ). C ) ) K sn sn C 9 4) ( ) C 6

22 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS.. FUNÇÃO HOMOGÊNEA Uma função f f(, ) é dnominada homogêna d grau k s, para odo R, val a rlação f(, ) k f(, ). Uma função f f(, ) é homogêna d grau s, para odo R, val a rlação f(, ) f(, ) Emplos: ) A função f(, ) é homogêna d grau, pois f (, ) ( ) ( ) ( ) f (, ) ) g(, ) 4 é homogêna d grau zro pois, ( ) g(, ) ( ) f (, ) ) f(,) 5 é homogêna d grau rês pois, f (, ) ( ) 5( ) 5 ( 5 ) f (, ) S f(, ) for uma função homogêna d grau n, no qu podmos scrvr n n f (, ) f, f (, ) f, são ambas homogênas d grau n. Emplo: Sja f (, ) f (, ) homogêna d grau. Logo, f (, ). f, f,.. EQUAÇÃO HOMOGÊNAS A quação M (, )d N(, )d srá chamada d quação difrncial homogêna s M N form funçõs homogênas d msmo grau. Emplos: ) d d

23 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids ) ' ) ' arcg... Rsolução: Sja a quação homogêna Md Nd Tm-s: d M d N Dividindo-s o numrador o dnominador do sgundo mmbro por lvado a poncia igual ao grau d homognidad da quação, rsulará uma função d /. d d F () É ncssário, no nano, subsiuir a função / por uma oura qu prmia sparar as variávis. Dssa forma, subsiui-s por u. Drivando.u m rlação a m-s Subsiuindo () () m (), mos: u du d du d du F( u) u F( u) F( u) u d u. () d d du u () d Qu é uma quação d variávis sparávis. Em rsumo: Pod-s rsolvr uma Equação Difrncial Homogêna, ransformando-a m uma quação d variávis sparávis com a subsiuição.u, ond u u() é uma nova função incógnia. Assim, d du ud é uma quação da forma f(, ) pod sr ransformada m uma quação sparávl.

24 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Emplo: ( ) d d 4

25 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA EXERCÍCIOS Rsolva as sguins quaçõs: ) ( ) d ( ) d ) ( ) d ( 4) d ) ( ) d ( ) d 4) ( ) d ( ) d 5) ( ) d d d d 6) 4 4 d d 7) Drmin a solução d ( )d d sujia a condição inicial ( ). 8) Drmin a solução d ( )d 6 d sujia a condição inicial () Rsposas: ) K 4 ) k ) K 4) 5) 6) ln C ou ln k arcg arcg ± C 8 7) 8) 9 C 5

26 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 4. EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES REDUTÍVEIS AS DE VARIÁVEIS SEPARADAS São as quaçõs qu mdian drminada roca d variávis s ransformam m quaçõs homogênas ou m quaçõs d variávis sparávis. São quaçõs da forma: a b c d d F a ond a, a, b, b, c c são consans. b c Obsrvmos qu a quação acima não é d variávis sparávis porqu mos uma soma das variávis ambém não é homogêna pla isência d rmos indpndns, porano dvrmos liminar ou a soma ou o rmo indpndn. O qu quival a fuar uma ranslação d ios. Para ss ipo d quação m dois casos a considrar:.. O DETERMINANTE a a b b É DIFERENTE DE ZERO Rsolução: Sja o sisma () a b c cuja solução é dada plas raízs a b c A subsiuição a sr fia srá: u α v β d du d dv α β. 6

27 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Obsrva-s qu, gomricamn, quivalu a uma ranslação dos ios coordnados para o pono ( α, β ) qu é a inrsção das ras componns do sisma (), o qu é vrdadiro, uma vz u o drminan considrado é difrn d zro. Assim sndo, a quação ransformada srá: dv au bv aα b β c F du au bv aα bβ c Como α β são as raízs do sisma: dv a u bv F du au bv qu é uma quação homogêna do ipo viso anriormn. Emplo: Rsolvr a quação d d 7

28 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids.. O DETERMINANTE a a b b É IGUAL A ZERO. Assim, obsrv-s qu o méodo aplicado no o caso não fará snido, d vz qu as ras no sisma sriam parallas sua inrsção sria vrificada no infinio (pono impróprio). A quação s rduzirá a uma d variávis sparávis. a b Como, os coficins d são proporcionais, d modo qu s pod a b scrvr: a b a b a b a b Chamando a rlação consan () d m, pod-s scrvr: a b c m a b c () a ma b mb Assim: d d a b c F m( a b ) c Fazndo a b, sndo f(), m-s: Drivando m rlação a : ( a) b Equação ransformada: d d d a b d b d d d d a a c F m c b G( ) qu é uma quação d variávis sparávis. 8

29 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Emplo: Rsolvr a quação d d 6 9

30 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids ) ( )d ( )d ) ( 4 )d ( 5 )d ) ( )d ( 5 8 )d 4) ( )d ( )d 5) d d ( )d ( 6 )d d d 4 6) 7) AULA 4 - EXERCÍCIOS Rsposas: ) 6 K ) ( ) K( ) 5( 4 ) ) ln[ 5( 4 ) 4( )( 4 ) ( ) ] arcg k 4) - 9ln( 7) C 5) ln( -) K 6) - 7ln( - - ) C 7) K

31 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 5.4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS Uma quação do ipo M(,)d N(,)d () é dnominada difrncial aa, s is uma função U(,) al qu du(,) M(,)d N(,)d. A condição ncssária suficin para qu a quação () sja uma difrncial aa é qu: M N Dada a quação difrncial aa MdNd () sja uf(,)c sua solução, cuja difrncial dada por: u u du d d () Enão, comparando () () rmos: u M (, ) u N(, ) () (4) Para obrmos a sua solução uf(,) dvrmos ingrar, por mplo,a prssão (), m rlação à variávl, da qual rmos f (, ) M (, ) d g( ) Drivando parcialmn (5) m rlação à rmos: f M (, ) d g'( ) Igualando (6) (4) rsula: M (, ) d g'( ) N(, ) Isolando g () ingrando m rlação a acharmos:. M (, ) d g ( ) N(, ) d C (7) Subsiuindo (7) m (5) rmos a solução gral da quação aa, qu é: M d f M d (, ) (, ) N (, ) (, ) d C Logo, a solução é da forma P U (, ) Md N d C ond cosuma-s dnoar P Md (5) (6)

32 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Emplos: ) ( )d d ) ( ) d ( ) d

33 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids.4. FATOR INTEGRANTE Nm smpr a ED é aa, ou sja, Md Nd não saisfaz, isso é: N M. Quando isso ocorr vamos supor a isência d uma função F(, ) qu ao muliplicar oda a ED pla msma rsula m uma ED aa, ou sja, F(,)[Md Nd], sa é uma ED aa. S la é aa, is u(,) c M F d u. N F d u. FN FM N M u Tomando a condição d aidão FN d FM F N N F F M M F achar F por aqui é loucura!!!!!!! Vamos supor não qu F(,) F() N F N F M F dividindo udo por FN organizando, mos: N N F F M N N N M N F F N M N F F rscrvndo: d N M N df F ingrando: C d R F ) ( ln d R F ) (. ) ( ond: N M N R ) ( analogamn, supondo F(,) F() qu orn aa FMd FNd rmos: d R F ) (. ) ( ond:

34 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids M N R ( ) M Em rsumo: M N Quando a prssão Md Ndnão é difrncial aa, iso é,, mosra-s qu há uma infinidad d funçõs F (, ), ais qu F ( Md Nd) é uma difrncial aa. A sa função F (, ), dá-s o nom d faor ingran. F(): F(): M N R ( M N ) N R( ) M R( ) d F( ) F( ) R( ) d Emplos: Rsolvr as sguins quaçõs difrnciais ransformando m aas aravés do faor ingran. ) d ( ) d 4

35 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids ) ( ) d d 5

36 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 5 EXERCÍCIOS ) ( ) d ( cos ) d ) d ( ) d ) d d 4) snh.cos d cosh.sn d θ 5) ( rdr r dθ ) d d d 6) 7) (cos 4 ) d sn d 8) g d sc d 9) sn d cos d ) Enconr a solução paricular d d ( ) d para () ) ( )d d ) ( )d ln d Rsposas: 4 4 ) C ) K 4) coshcos K 5) r K ) sn K 6) K 7) cos 4 C 8) g C 9) sn. C ) ) 5 5 k ) ln k 6

37 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 6.5 EQUAÇÕES LINEARES: Uma quação difrncial linar d a ordm o grau m a forma: d P( ) Q( ) () d S Q(), a quação é dia homogêna ou incompla; nquano, s Q(), a quação é dia não-homogêna ou compla. Analisarmos dois méodos d solução d quaçõs difrnciais dss ipo a sabr:.5. FATOR INTEGRANTE: Es méodo consis na ransformação d uma quação linar m ouro do ipo difrncial aa, cuja solução já sudamos anriormn. Poso iso, vamos rornando à quação original d nosso problma: d P Q d Vamos rscrvr sa úlima sob a forma ( P Q) d d Pd Pd Muliplicando ambos os mmbrospor (faor ingran) obmos a prssão Pd P Q d d. Aqui, idnificamos as funçõs M N : ( ) Drivando M com rlação a N com rlação a, obmos: M N Pd Pd ( P Q) M P Pd N P Pd confirmando assim, qu a quação ransformada é uma quação difrncial aa. 7

38 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids.5. SUBSTITUIÇÃO OU DE LAGRANGE: Ess méodo foi dsnvolvido por Josph Louis Lagrang (mamáico francês: 76-8) criador da Mcânica Analíica dos procssos d Ingração das Equaçõs d Drivadas Parciais. O méodo consis na subsiuição d por Z. na quação (), ond φ () Z ψ (), sndo Z a nova função incógnia a função a drminar, assim Z.. Drivando m rlação a, m-s: Subsiuindo () m () vamos obr: d d d dz Z () d d d dz Z PZ Q d d d dz Z P Q () d d Para ingral a quação (), amina-s dois casos pariculars da quação () a sabr: i) P, não d Q, logo, Qd C (4) d ii) Q, não P (quação homogêna) qu rsula m d Pd qu é d d d variávis sparávis. Daí, Pd. Ingrando ssa úlima, rsula m ln C Pd. Aplicando a dfinição d logarimo, passamos a scrvr a solução C Pd C Pd. Fazndo C k, mos Pd k (5) qu rprsna a solução da quação homogêna ou incompla. Agora, vamos psquisar na quação () valors para Z, uma vz qu Z., rmos a solução da quação () qu uma quação linar compla (não-homogêna). S igualarmos os coficins d Z a um cro faor, o valor daí obido podrá sr lvado ao rso da quação, possibiliando a drminação d Z uma vz qu pod sr drminado a parir dsa condição. d Assim, vamos impor m (), qu o coficin d Z sja nulo. Fio iso, P (6), qu é da d msma forma já sudada no caso ii. Assim, Pd dz k. Subsiuindo s rsulado m Q d dz obmos k Pd dz Pd Q. Daí, Q dz Pd Qd. Ingrando s úlimo d d k k (Turim, 5 d janiro d 76 Paris, d abril d 8)foi um mamáico francês d origm ialiana criador da Mcânica Analíica dos procssos d Ingração das Equaçõs d Drivadas Parciais 8

39 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids rsulado, mos Z : Z k k Pd k Pd Pd Qd C (7). Lmbrando qu Z., vamos obr, subsiuindo Qd C, ond rsula, finalmn m: Pd Pd.Q.d C (8) qu é a solução gral da quação () d Emplos: Rsolvr a quação d por: a. Faor ingran b. Lagrang 9

40 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids d co g ) d d ) ( ) arcg d d ) g. cos d d 4) d d 5) d d 6) g sn d AULA 6 EXERCÍCIOS 7) Achar a solução paricular para ( ) m d d.g cos d 8) Rsolvr o problma d valor inicial, ( ) d Rsposas: ) [ ln( sn) C] ) arcg arcg C. ) sn C sc 4 4) C 5) 4 C 6 sn 6) sc C 7) cos 8) 7 4

41 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 7.6 EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES: Rsolvr quaçõs difrnciais não linars é muio difícil, mas ismalgumas dlas qu msmo sndo não linars, podm sr ransformadasm quaçõs linars. Os principais ipos d ais quaçõs são:.6. EQUAÇÕES DE BERNOULLI: Equação da forma: d d n P( ) Q( ) () para n n, ond P() Q() são funçõs coninuas conhcidas como quação d Brnoulli. Nss caso, a idéia é ralizar uma subsiuição na quação acima, dmodo a ransformá-la m uma EDO linar. Pois, s: n P() g() caso anrior n [P() g()] caso anrior homogêna Solução: Transformação d variávl: Subsiui por n Driva-s m rlação a : n d d ( n) () d d Subsiuindo (), qu é: d d d d n P Q Q n P m () mos: ( n) n n ( Q P) d d Jakob Brnoulli, ou Jacob, ou Jacqus, ou Jacob I Brnoulli (Basilia, 7 d Dzmbro d 65 - Basilia, 6 d agoso d 75), foi o primiro mamáico a dsnvolvr o cálculo infinisimal para além do qu fora fio por Nwon Libniz, aplicando-o a novos problmas. 4

42 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids como n n ( n)( Q P ), mos: ( d d n )( Q P) d d d d [( n) P] ( n) Q Emplo: Tornando-s assim uma quação linar a sr rsolvida plo méodo anrior. d d 4

43 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 7 EXERCÍCIOS ) d d ) ln ) 4) 5) 6) 7) d d d d d 4 d d d d d d d Rsposas: C. ln(. ) C ) ) ) C. 4 4) ln C 5) 6) 7) C. ln K C 4

44 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids.6. EQUAÇÃO DE RICATTI AULA 8 A quação d Jacopo Francsco Riccai é da forma: d d P( ) Q( ) R( ) () ond P, Q R dsignam funçõs d. Obsrvamos qu, quando P() mos a quação linar, quando R() mos a quação d Brnoulli. Josph Liouvill 4 mosrou qu a solução da quação d Riccai só é possívl quando s conhc uma solução paricular. Caso conrário, la só é ingrávl aravés d uma função ranscndn 5. Rsolução: Conhcndo-s uma solução paricular da quação (), pod-s rsolvr facilmn a quação fazndo a sguin mudança d variávl: z () ond z dpndm d. Como é solução, mos: d d P Q R () Por ouro lado, drivando () m-s: d d d d dz d (4) Subsiuindo () (4) na quação () : d d dz P( z) Q( z) R d Dsnvolvndo agrupando os rmos: d d dz Pz d ( P Q) z P Q R (5) (Vnza, 8 d Maio d Trviso, 5 d Abril d 754) foi um mamáico físico ialiano qu fuou rabalhos sobr hidráulica qu foram muio imporans para a cidad d Vnza. El próprio ajudou a projar os diqus ao longo d vários canais. Considrou divrsas classs d quaçõs difrnciais mas é conhcido principalmn pla Equação d Riccai, da qual l faz um laborado sudo du soluçõs m alguns casos spciais. 4 (Sain-Omr, Pas-d-Calais, 4 d Março d 89 - Paris, 8 d smbro d 88) foi um mamáico francês. 5 Uma função é chamada d ranscndn quando não é algébrica (pod sr prssa m rmos d somas, difrnças, produos, quocins ou raízs d funçõs polinomiais). As funçõs rigonoméricas, ponnciais logarímicas são mplos d funçõs ranscdns. 44

45 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Subsiuindo () m (5) ragrupando, rsula m: dz d ( P Q) z Pz (6) qu é uma quação d Brnoulli na variávl z, cuja solução já foi dsnvolvida. Em rsumo: Para sua rsolução algébrica dvrmos conhcr uma solução paricular qualqur d (), na qual a mudança d variávis z, irá liminar o rmo indpndn R() ransformando a quação d Riccai numa quação d Brnoulli. Emplo: Mosrar qu - é solução paricular da quação ( ) procurar a solução gral. d d 45

46 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 8 EXERCÍCIOS d ) Vrificar s é solução paricular da quação. Em caso afirmaivo, d calcular a solução gral d ) Mosrar qu é solução paricular da quação calcular a sua solução d gral. d ) Sabndo qu é solução paricular da quação ( ) calcular a d sua solução gral. d 4) Calcular a solução da quação sabndo qu é solução d paricular. d 5) Dar a solução gral da quação sabndo qu - é solução d paricular. Rsposas: 5 K ) K 4 ) k ( ) C ) ( ) C k 4) k C 5) C 46

47 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 9. EQUAÇÕES DE A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM. ENVOLTÓRIAS E SOLUÇÕES SINGULARES.. DEFINIÇÕES: Curvas ingrais: Família d curvas qu rprsna a solução gral d uma quação difrncial. Envolvida: É cada uma das curvas ingrais. Rprsna gomricamn uma solução paricular da quação. Envolória: Tomando-s como mplo a família d curvas dpndns d um parâmro f (,,α ), dfin-s como nvolóriaa curva angn a odas as linhas qu consium a família d curvas ingrais. Assim sndo, pod-s afirmar qu is uma ou mais nvolórias para uma msma família, como ambém podrá não havr nnhuma. Por mplo, uma família d circunfrências concênricas não aprsna nvolória. 47

48 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids.. EQUAÇÃO DA ENVOLTÓRIA Sja f (,,α ) uma família d curvas dpndns do parâmro α. Dfin-s como nvolória a curva qu é angn a oda a linha qu consium a família d curvas. Pod-s isir uma ou mais nvolórias para uma msma família d curvas, como ambém podrá não havr nnhuma. As curvas qu forma a família são chamadas nvolvidas. Gralmn, a nvolória é dfinida plo sisma: f (,, α) f (,, α) () α cuja quação pod sr obida pla liminação do parâmro α m (). Também podmos obr a quação da nvolória sob a forma paramérica, rsolvndo o sisma para. Emplo: Obr a nvolória d uma família d circunfrência com cnro sobr o io raio igual a 5. 48

49 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids.. SOLUÇÕES SINGULARES Uma quação difrncial não linar d a ordm pod s scria na forma alrnaiva d F,, d Foi viso qu uma quação difrncial pod aprsnar rês ipos d solução: gral paricular singular (vnualmn) A solução gral é do ipo f (,,C ), qu rprsna uma família d curvas (curvas ingrais), a cada uma das quais sá associada uma solução paricular da quação dada. A nvolória dssa família d curvas (caso isa) rprsna a solução singular da quação original. D fao, o coficin angular da ra angn m um pono d coordnadas (, ) da nvolória da curva ingral corrspond a d. Além disso, m-s qu os lmnos, d d d cada pono da nvolória saisfazm à quação acima, pois são lmnos d uma curva d ingral. Porano, a nvolória é uma solução da quação qu não rsula da fiação da consan C, por sa razão, é uma solução singular. Emplo: Drminar a solução gral a solução singular da quação d d d d 49

50 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids..4 EQUAÇÃO DE CLAIRAUT A Equação d Clairau 6 m a forma d d φ. d d Rsolução: Chamando d d p a quação d Clairau fica p φ( p) Drivando a quação anrior m rlação a, rmos: () d d dp d dp d dp d p. φ'( p) ( '( p) ) dp d φ () p C A solução gral é dada subsiuindo-s m () p plo su valor C Assim, C φ(c) é a solução gral da quação d Clairau (família d ras) D (), m-s: φ '( p) () φ '( p) Eliminando-s p nr () () m-s uma rlação F(,) qu rprsna a solução singular. Emplos: Drminar a solução gral a solução singular da sguin quaçõs d Clairau: d d d d 6 (Paris, d Maio d 7 Paris, 7 d Maio d 765) foi um mamáicofrancês.prcursor da gomria difrncial, ralizou sudos fundamnais sobr curvas no spaço. 5

51 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 9 EXERCÍCIOS ) Dar a nvolória das sguins famílias d curvas: a) 4α α b) ( α ) α d ) Obr a solução singular da quação d d d ) Achar a solução gral a solução singular da quação: d d 4) Drminar a solução gral a solução singular das sguins quaçõs d Clairau: d d a. ln d d Rsposas b. d d d d d d c. d d d d d. 5 4 d d. d d d 4 d ) a ) 7 b) 4 ) ± ) C C (solução gral) (solução singular) 4 4) a. C lnc (gral) ln (singular) b. C C (gral) (singular) c. C (gral) C 4 7 (singular) d. C ( 5 C ) 4 (gral). ( 5 ) 6 (singular) C 4 C (gral) 4(± ) (singular) 5

52 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA..5 EQUAÇÃO DE LAGRANGE: A quaçõs da Lagrang m a forma F d d d φ d () Obsrvamos qu a quação d Clairau é um caso paricular da quação d Lagrang, s d d F. d d Rsolução: A solução da quação d Lagrang, gralmn é dada sob a forma paramérica. Chamando d p a quação d Lagrang fica F( p) φ ( p ). d Drivando a quação anrior m rlação a, rmos: dp p F( p) F'( p) φ'( p) d d Muliplicando por dividindo por [p F(p)], m-s: dp dp p F( p) F'( p) φ'( p) d dp d dp d D ond s pod scrvr d P Q dp d dp F'( p) p F( p) φ'( p) p F( p) Como m gral não srá possívl isolar p na solução da quação linar anrior, a solução gral da quação d Lagrang srá dada na forma paramérica: ( p) ( p) 5

53 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Emplo: Rsolvr a quação d d d d 5

54 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids..6 OUTROS TIPOS DE EQUAÇÃO DE A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM: Rsolvr as sguins quaçõs: a) d 4 b) d d sn d ln d d 54

55 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 55 AULA - EXERCÍCIOS ) d d d d ) d d d d ) d d d d 4) d d d d 5) d d d d. 6) d d d d ln 7) d d d d Rsposas ) [ ] ( ) [ ] p C p p p C p p p p ln ) ln( ) ln ln p C p p K p ) C p C p C 4) c arcsnp p p p ln 5) p p p p c p 6) c p p p ln p 7) c p arcg p p p ln ln

56 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 4. EXERCÍCIOS GERAIS Calcul as Equaçõs Difrnciais abaio: ) d ( ) d ) d d ) ( ) d d 4) cos snd sn cos d d d ( ) d ( ) d 5) cos( ) 6) 7) d d d 8) ( ) d d 9) d ( ) d ) ( 4) d ( 5) d ) d d 4 ( ) d (9 ) d ) ) cos( ) d cos( ) d d 4 4) d 5) ( 6 ) d (6 4 ) d 6) d d ( sn ) d ( cos ) d (sc. g ) d (sc. g ) d 7) 8) 9) (cos ) d snd, drminar a solução paricular para. ) d d d ) d d d ) d ( ln ) d )Achar a solução paricular para b a m d d d ( ) d d d d ( ) d ( ) d 4) 5) 6) d 7) 8)Conhcndo-s a solução paricular quação solução gral. d ( ) d da calcular sua Calcular a solução gral a singular das sguins quaçõs: 9) d d d ) d d ) d ) d d d d d d d sn d d d Rsolvr as sguins quaçõs d Lagrang: d d ) d d d d 4) d d 56

57 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids ) 6 ln( C) ) C ln C( ) ln sc sc cos sc( ) co g( ) ) 4) C 5) C 6) C 7) C ln( ) X ln 8) C 9) C ) ( ) C( ) ) ln( 4 8 5) 8 4 C ) 6 C ln(6 ) ) sn ( ) ln C 4) C 4 5) C 6) ( ) C 7) cos C 8) sc sc (- ) C 9) cos ) C ) C ) ln C ) 4) ab C 5) C C C C C C 6) 7) 8) a Rsposas: C C 9) 7 4 ) C C ± ( ) C ) C Não há solução singular ) C snc arccos ( Cp p) ) ( Cp p 6 C p p 4) C p p 57

58 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM MODELOS MATEMÁTICOS 5. MODELO MATEMÁTICO É frqunmn dsjávl dscrvr o comporamno d algum sisma ou fnômno da vida ral m rmos mamáicos, qur sjam ls físicos, sociológicos ou msmo conômicos. A dscrição mamáica d um sisma ou fnômno, chamada d modlos mamáicos é consruída lvando-s m considração drminadas mas. Por mplo, alvz quiramos comprndr os mcanismos d um drminado cossisma por mio do sudo do crscimno d populaçõs animais nss sisma ou daar fóssis por mio da anális do dcaimno radioaivo d uma subsância qu sja no fóssil ou no rao no qual foi dscobra. A consrução d um modlo mamáico d um sisma comça com: i. a idnificação das variávis rsponsávis pla variação do sisma. Podmos a principio opar por não incorporar odas ssas variávis no modlo. Nsa apa, samos spcificando o nívl d rsolução do modlo. A sguir, ii. laboramos um conjuno d hipóss razoávis ou prssuposiçõs sobr o sisma qu samos nando dscrvr. Essas hipóss dvrão incluir ambém quaisqur lis mpíricas aplicávis ao sisma. Para alguns propósios, pod sr prfiamn razoávl nos connarmos com um modlo d baia rsolução. Por mplo, você provavlmn já sab qu, nos cursos básicos d Física, a força rardadora do ario com o ar é às vzs ignorada, na modlagm do movimno d um corpo m quda nas proimidads da suprfíci da Trra, mas você for um cinisa cujo rabalho é prdizr prcisamn o prcurso d um projéil d longo alcanc, rá d lvar m cona a rsisência do ar ouros faors como a curvaura da Trra. Como as hipóss sobr um sisma nvolvm frqünmn uma aa d variação d uma ou mais variávis, a dscrição mamáica d odas ssas hipóss pod sr uma ou mais quaçõs nvolvndo drivadas. Em ouras palavras, o modlo mamáico pod sr uma quação difrncial ou um sisma d quaçõs difrnciais. Dpois d formular um modlo mamáico, qu é uma quação difrncial ou um sisma d quaçõs difrnciais, sarmos d frn para o problma nada insignifican d nar rsolvêlo. S pudrmos rsolvê-lo, julgarmos o modlo razoávl s suas soluçõs form consisns com dados primnais ou faos conhcidos sobr o comporamno do sisma. Porém, s as prdiçõs obidas pla solução form pobrs, podrmos lvar o nívl d rsolução do modlo ou lvanar hipóss alrnaivas sobr o mcanismo d mudança no sisma. As apas do procsso d modlagm são não rpidas, conform disposo no sguin diagrama. 58

59 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Nauralmn, aumnando a rsolução aumnarmos a complidad do modlo mamáico, assim, a probabilidad d não consguirmos obr uma solução plícia. Um modlo mamáico d um sisma físico frqunmn nvolv a variávl mpo. Uma solução do modlo ofrc não o sado do sisma; m ouras palavras, os valors da variávl (ou variávis) para valors apropriados d dscrvm o sisma no passado, prsn fuuro. 5. DINÂMICA POPULACIONAL Uma das primiras naivas d modlagm do crscimno populacional humano por mio d mamáica foi fio plo conomisa inglês Thomas Malhus, m 798. Basicamn, a idéia por rás do modlo malhusiano é a hipós d qu a aa sgundo a qual a população d um pais crsc m um drminado insan é proporcional a população oal do pais naqul insan. Em ouras palavras, quano mais pssoas houvr m um insan, mais pssoas isirão no fuuro. Em rmos mamáicos, s P() for a população oal no insan, não ssa hipós pod sr prssa por: d k d, ( ). k () ond k é uma consan d proporcionalidad, srv como modlo para divrsos fnômnos nvolvndo crscimno ou dcaimno. Conhcndo a população m algum insan inicial arbirário, podmos usar a solução d () para prdizr a população no fuuro, iso é, m insans >. ds O modlo () para o crscimno ambém pod sr viso como a quação rs, a qual d dscrv o crscimno do capial S quando uma aa anual d juros r é composa coninuamn. Emplo: Em uma culura, há inicialmn bacérias. Uma hora dpois,, o númro d bacérias passa a sr /. S a aa d crscimno é proporcional ao númro d bacérias prsns, drmin o mpo ncssário para qu o númro d bacérias ripliqu. 59

60 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Rsolução: ( o ) ( ) o d k d d kd Ingrando com rlação a a quação acima,mos: d kd ln k c ln ln c k ln c k k c Para ( ) quação anrior fica da sguin forma: Volando para a quação subsiuindo o valor d c c. k k c Para dscobrirmos o valor d k, uilizamos (). k ln k k,455 k. volando novamn a quação, mos k,455 para qu o númro d bacérias ripliqu, 6

61 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids,455,455 ln,455,455,986, 79 srão ncssários,7 horas aproimadamn. 5. MEIA VIDA Em física, mia-vida é uma mdida d sabilidad d uma subsância radioaiva. A miavida é simplsmn o mpo gaso para mad dos áomos d uma quanidad A s dsingrar ou s ransmuar m áomos d ouro lmno. Quano maior a mia-vida d uma subsância, mais sávl la é. Por mplo, a mia do ulra radioaivo rádio, Ra-6, é crca d 7 anos. Em 7 anos, mad d uma dada quanidad d Ra-6 é ransmuada m Radônio, Rn-. O isóopo d urânio mais comum, U-8, m uma mia-vida d aproimadamn d anos. Nss mpo, mad d uma quanidad d U-8 é ransmuada m chumbo, Pb-6. da K.A () d A() A A ( ) A A A. k Emplo: Um raor convr urânio 8 m isóopo d pluônio 9. Após 5 anos foi dcado qu,4% da quanidad inicial A d pluônio s dsingrou. Enconr a mia vida dss isóopo s a aa d dsingração é proporcional à quanidad rmanscn. Rsolução: 5 A A,4A,99957 A Rsolvndo a quação: da ka d da kd A ln A k c A ln k c A k c A c. k 6

62 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Sabndo qu A ( ) A, mos: Para drminar k, usamos o fao d qu qu A (5 ),99957A, logo A A c c c A k A() A. k A(5) A. 5k A(),99957 A A. 5k A ),8867. A Ln,99957 ln A ( 5 5, 867 A. A.,867 -,4 5 k K -, ,69 -,867 4,8 4,8 anos Volando a quação, mos qu: Para dscobrir a mia vida basa fazr: A( ) A( ) A A 5,8667 A A,5, ln,5,8667,695, ,7, Logo o mpo d mia vida é d aproimadamn 4.8 anos 6

63 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 5.4 DECAIMENTO RADIOTAIVO O núclo d um áomo consis m combinaçõs d próons nêurons. Muias dssas combinaçõs são insávis, iso é, os áomos dcam ou ransmuam m áomos d oura subsância. Esss núclos são chamados d radioaivos. Por mplo, ao longo do mpo, o alamn radioaivo lmno rádio, Ra-6, ransmua-s no gás radônio radioaivo, Rn-. Para modlar o fnômno d dcaimno radioaivo, supõ-s qu a aa d da/dsgundo a qual o núclo d uma subsância dcai é proporcional a quanidad (mais prcisamn, ao númro d núclos) A() d subsâncias rmanscn no insan : da K.A () d Nauralmn as quaçõs () () são iguais, a difrnça rsid apnas na inrpração dos símbolos nas consans d proporcionalidad. Para o crscimno, conform spramos m (), k>, para o dcaimno, como m (), k<. O modlo () para o dcaimno ambém ocorr com aplicaçõs biológicas, como a drminação d mia vida d uma droga o mpo ncssário para qu 5% d uma droga sja liminada d um corpo por crção ou mabolismo. Em química, o modlo d dacaimno () aparc na dscrição mamáica d uma ração química d primira ordm, iso é, uma ração cuja aa ou vlocidad d/d é diramn proporcional à quanidad d uma subsância não ransformada ou rmanscn no insan. A qusão é qu: Uma única quação difrncial pod srvir como um modlo mamáico para vários fnômnos difrns. 5.5 CRONOLOGIRA DO CARBONO Por vola d 95, o químico Willard Libb 7 invnou um méodo para drminar a idad d fóssis usando o carbono radioaivo. A oria da cronologia do carbono s basia no fao d qu o isóopo do carbono 4 é produzido na amosfra pla ação d radiaçõs cósmicas no nirogênio. A razão nr a quanidad d C-4 para carbono ordinário na amosfra para sr uma consan, como consquência, a proporção da quanidad d isóopo prsn m odos os organismos é a msma proporção da quanidad na amosfra. Quando um organismo morr, a absorção d C-4, aravés da rspiração ou alimnação, cssa. Logo, comparando a quanidad proporcional d C-4 prsn, digamos,m um fóssil com a razão consan na amosfra, é possívl obr uma razoávl simaiva da idad do fóssil. O méodo s basia no conhcimno da mia-vida do carbono radioaivo C-4, crca d 5.6 anos. O méodo d Libb m sido usado para daar móvis d madira m úmulos gípcios, o cido d linho qu nvolvia os prgaminhos do Mar Moro o cido do nigmáico sudário d Turim. 7 Willard Frank Libb(Grand Vall, 7 d Dzmbro d 98 Los Angls, 8 d Smbro d 98) foi um químicosadunidns.é rconhcido pla dscobra do méodo d daamno conhcido por daação por radiocarbono (carbono-4), rcbndo por iso o Nobl d Química d 96. 6

64 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Emplo: Um osso fossilizado coném um milésimo da quanidad original do C-4. Drmin a idad do fóssil. Rsolução: A() A. k A k.56 A. ln ln 56k 56k -,69 K -,776 A quação fica da sguin forma: A() A. -,776,776 A A.,776 ln ln -,776-6, A idad do fóssil é d aproimadamn anos. 5.6 RESFRIAMENTO D acordo com a Li mpírica d Nwon do sfriamno/rsfriamno, a aa sgundo a qual a mpraura d um corpo varia é proporcional a difrnça nr a mpraura d um corpo varia proporcionalmn a difrnça nr a mpraura do corpo a mpraura do mio qu o rodia, dnominada mpraura ambin. S T() rprsnar a mpraura d um corpo no insan, T m a mpraura do mio qu o rodia dt/d a aa sgundo a qual a mpraura do corpo varia, a li d Nwon do sfriamno/rsfriamno é convrida na snnça mamáica dt K(T Tm ) () d k T c T m ond k é uma consan d proporcionalidad. Em ambos os casos, sfriamno ou aqucimno, s T m for uma consan, é lógico qu k<. 64

65 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Emplo: Um bolo é rirado do forno, sua mpraura é d ºF. Três minuos dpois, sua mpraura passa para ºF. Quano mpo lvará para sua mpraura chgar a 75 graus, s a mpraura do mio ambin m qu l foi colocado for d aamn 7ºF? Rsolução: T() dt F k( T Tm ) d T() dt F k( T 7) d T(?) 75 dt kd ( T 7) T m 7 ln( T 7) k c ( T 7 ln k c T 7 k c A solução gral da ED é dada por: k T c. 7 Sabndo qu T ( ) mos qu: Logo: T. k 7 T() C. k. 7 C Tmos ainda qu T ( ), com isso: A quação fica da sguin forma:. k 7 k k ln k ln k, k,9869 T( ) Para qu a mpraura do bolo chgu m 75 graus, com isso, srá ncssário, minuos.,98 7 ], , ,98 ln, 65

66 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 5.7 MISTURAS A misura d dois fluidos algumas vzs dá origm a uma quação difrncial d primira ordm para a quanidad d sal conida na misura. Vamos supor um grand anqu d misura connha galõs d salmoura (iso é, água na qual foi dissolvida uma drminada quanidad d libras d sal). Uma oura salmoura é bombada para dnro do anqu a uma aa d rês galõs por minuo; a concnração d sal nssa sgunda salmoura é d libras por galão.quando a solução no anqu sivr bm misurada, la srá bombada para fora a msma aa m qu a sgunda salmoura nrar. S A() dnoar a quanidad d sal (mdida m libras) no anqu no insan, a aa sgundo a qual A() varia srá uma aa liquida: da Taa d nrada Taa d saída R R s d d sal d sal (4) A aa d nrada R d sal (m libras por minuo) é: Taa d nrada Concnração d sal d salmoura no fluo d nrada R ( gal / min). ( kb / gal ) aa d nrada d sal 6lb / min Uma vz qu a solução sá sndo bombada para fora para dnro do anqu a msma aa, o númro d galõs d salmoura no anqu no insan é consan igual a galõs. Assim sndo, a concnração d sal no anqu no fluo d saída é d A()/ lb/gal, a aa d saída d sal R s é: Taa d saída Concnração d sal d salmoura no fluo d saída R s (gal / min). A lb / gal aa d saida d sal A lb / min A quação (4)orna-s não: Emplo: da A 6 (5) d Dos dados do anqu acima considrado da quação (4), obmos a quação(5). Vamos colocar agora a sguin qusão: s 5 libras d sal fossm dissolvidas nos galõs iniciais, quano sal havria no anqu após um longo príodo? 66

67 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Rsolução: da A 6 d da A 6 d Pd Pd A. Qd C A.6d C A 6 C A 6 C. Para A ( ) 5 mos: 5 6 C. C 55 Logo, a solução fica da sguin forma: A 6 55 A solução acimafoi usada para consruir a sguin abla: (min) A(lb) 5 66,4 97, ,7 55,57 57, ,9 Além disso podmos obsrvar qu A 6 quando. Nauralmn, isso é o qu spraríamos nss caso; duran um longo príodo, o númro d libras d sal na solução dv sr ( gal).(lb/gal) 6 lb. Ns mplo supusmos qu a aa sgundo a qual a solução ra bombada para dnro ra igual à aa sgundo a qual la ra bombada para fora. Porém isso não prcisa sr assim; a misura salina podria sr bombada para fora a uma aa maior ou mnor do qu aqula sgundo a qual é bombada para dnro. Por mplo, s a solução bm misurada do mplo acima for bombada para fora a uma aa mnor, digamos d gal/min, o liquido acumulará no anqu a uma aa d ( ) gal/min gal/min. Após minuos, o anqu conrá galõs d salmoura. A aa sgundo a qual o sal sai do anqu é não: A R gal lb gal s ( / min). / Logo, a Equação (4) orna-s: da A da 6 ou A 6 d d 67

68 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Você dv vrificar qu a solução da úlima quação, sujia a A()5, é: A ( ) 7 6 (4,95 )( ) 5.8 DRENANDO UM TANQUE Em hidrodinâmica, a Li d Toriclli sablc qu a vlocidad v do fluo d água m um buraco com bordas na bas d um anqu chio aé a uma alura h é igual a vlocidad com qu um corpo (no caso, uma goa d agua) adquiriria m quda livr d uma alura h, iso é, v gh, ond g é a aclração dvida a gravidad. Essa úlima prssão origina-s d igualar a nrgia cinéica mv com a nrgia poncial mgh rsolvr para v. Suponha qu um anqu chio com água sja drnado por mio d um buraco sob a influência da gravidad. Gosaríamos d nconrar a alura h d água rmanscn no anqu no insan. Considr o anqu ao lado: S a ára do buraco for A h (m pés quadrados) a vlocidad d saída da água do anqu for v gh (m pés/s), o volum d saída d água do anqu por sgundo é A h gh (m pés cúbicos/s). Assim, s V() dnoar o volum d água no anqu no insan, dv d A gh (6) ond o sinal d subração indica qu V sá dcrscndo. Obsrv aqui qu samos ignorando a possibilidad d ario do buraco qu possa causar uma rdução na aa d fluo. Agora, s o anqu for al qu o volum d água m qualqur insan possa sr scrio como V ( ) Awh, ond Aw dv dh (m pés quadrados) é a ára consan da suprfíci d água, não Aw. d d Subsiuindo ssa úlima prssão m (6), obmos a quação difrncial dsjada para a alura d água no insan : dh Ah gh (7) d A É inrssan noar qu (7) prmanc válida msmo quando A w não for consan. Nss caso, dvmos prssar a suprfíci suprior da água como uma função d h, iso é, A w A(h). w h 68

69 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Emplo: Um anqu coném inicialmn galõs d salmoura com lbs d sal. No insan, comça-s a diar no anqu água pura à razão d 5 gal/min, nquano a misura rsulan s scoa do anqu à msma aa. Drmin a quanidad d sal no anqu no insan. Rsolução: : :!: " : # $ 5 ": # í 5 Tmos a sguin quação para rsolvr al problma: Logo, m-s qu: " (")! A solução dsa quação é: ()/, () Quando, sabmos qu Q a. Lvando sss valors m (), nconramos c, d modo qu () pod sr scria como: ()/, No-s qu quando, como ra d s sprar, pois só s adiciona água pura no anqu. 69

70 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 5.9 DISSEMINAÇÃO DE UMA DOENÇA Uma donça conagiosa, por mplo, um vírus d grip, spalha-s m uma comunidad por mio do conao nr as pssoas. Sja () o númro d pssoas qu conraíram a donça () o númro d pssoas qu ainda não foram posas. É razoávl supor qu a aa d/d sgundo a qual a donça s spalha sja proporcional ao númro d nconros ou inraçõs nr sss dois grupos d pssoas. S supusrmos qu o númro d inraçõs é conjunamn proporcional a () a (), iso é, proporcional ao produo, não: d k (8) d ondk é a consan d proporcionalidad usual. Suponha qu uma pquna comunidad nha uma população fia d n pssoas. S uma pssoa infcada for inroduzida na comunidad, pod-s argumnar qu () () são rlacionadas por n. Usando ssa úlima quação para liminar m (8), obmos o modlo d k( n ) (9) d Uma condição óbvia qu acompanha a quação (9) é (). Emplo: Cinco raos m uma população sávl d 5 são inncionalmn infcados com uma donça conagiosa para sar uma oria d dissminação d pidmia, sgundo a qual a aa d variação da população infcada é proporcional ao produo nr o númro d raos infcados o númro d raos sm a donça. Admiindo qu ssa oria sja corra, qual o mpo ncssário para qu mad da população conraia a donça? Rsolução: Sndo N() o númro d raos infcados no insan.., 5 5 N() é o númro d raos sm a donça no insan. Pla oria. /.(5.) Essa quação é difrn da usada aé aqui, pois a aa d variação não é mais proporcional a apnas o númro d raos qu possum a donça. Dssa forma a difrncial é. 5/./ / Sndo uma quação ainda sparávl, aplicando dcomposição m fraçõs parciais, mos: Subsiuindo não mos.(5.),,.,, 5. 7

71 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids / Ingrando: / ( 5 4(5.)( 4/ 5 (.) (5.)/ /. 5. 5(/). 5.,,(567)). 5.,,7) S m, N5, mos qu 5 495,,7,. Enão:. 5..,,7) Para qu N 5, no mpo, mos qu 5 55.,,7).,,7) 99,,7) (99)5/ / /.99 Sndo o valor numérico da consans da proporcionalidad k, mos qu:.99 / <. 7

72 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 5. CORPOS EM QUEDA Para consruir um modlo mamáico do movimno d um corpo m um campo d força, m gral iniciamos com a sgunda li do movimno d Nwon. Lmbr-s da física lmnar qu a primira li do movimno d Nwon sablc qu o corpo prmancra m rpouso ou coninuará movndo-s a uma vlocidad consan, a não sr qu sja agindo sobr l uma força rna. Em cada caso, isso quival a dizr qu, quando a soma das forças F F iso é, a k força liquida ou rsulan, qu ag sobr o corpo for difrn d zro, ssa força líquida srá proporcional a sua aclração a ou, mais prcisamn, F m.a, ond m é a massa do corpo. Suponha agora qu uma pdra sja jogada par acima do opo d um prédio, conform ilusrado na figura abaio: Qual a posição s() da pdra m rlação ao chão no insan? A aclração da pdra é a drivada sgunda d s d S assumirmos como posiiva a dirção para cima qu nnhuma oura força além da gravidad ag sobr a pdra, obrmos a sgunda li d Nwon d s m d mg ou d s d g () Em ouras palavras, a força liquida é simplsmn o pso F F - W da pdra próimo á suprfíci da Trra. Lmbr-s d qu a magniud do pso é W mg, ond m é a massa g é a aclração dvida a gravidad. O sinal d subração foi usado m (), pois o pso da pdra é uma força dirigida para baio, oposa a dirção posiiva. S a alura do prédio é s a vlocidad inicial da pdra é v, não s é drminada, com bas no problma d valor inicial d sgunda ordm d s d g s ( ) s, s '() v (), Embora não sjamos nfaizando a rsolução das quaçõs obidas, obsrv qu () pod sr rsolvida ingrando-s a consan g duas vzs m rlação a. As condiçõs iniciais drminam as duas consans d ingração. Você podrá rconhcr a solução d (), da física lmnar, como a fórmula s ( ) g v s. Emplo: Dia-s cair um corpo d massa d 5kg d uma alura d m, com vlocidad inicial zro. Supondo qu não haja rsisência do ar, drmin: a) A prssão da vlocidad do corpo no insan ; b) A prssão da posição do corpo no insan ; c) O mpo ncssário para o corpo aingir o solo. 7

73 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Rsolução: Primiramn adoamos o sisma d coordnada como na figura abaio, sndo posiivo o snido para baio. Como não há rsisência do ar, usamos a quação dv g d Esa é uma quação linar sparávl. Assim: dv gd dv gd v g c a) Como v(), sgu qu v() g b) Para drminar a prssão da posição no insan, fazmos: d g d d gd d g ( ) g d c Sndo (), sgu qu: ( ) g c) Para (), mos: g S adoarmos g m / s, rmos: 4,5s 7

74 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 5.. CORPOS EM QUEDA E A RESISTÊNCIA DO AR Ans dos famosos primnos d Galilu na orr inclinada d Pisa, acrdiava-s qu os objos mais psados m quda livr, como uma bala d canhão, caíam com uma aclração maior do qu a d objos mais lvs, como uma pna. Obviamn, uma bala d canhão uma pna, quando largadas simulanamn da msma alura, cam a aas difrns, mas isso não s dv ao fao d a bala d canhão sr mais psada. A difrnça nas aas é dvidaa rsisência do ar. A força d rsisência do ar foi ignorada no modlo dado m (). Sob algumas circunsâncias, um corpo m quda com massa m, como uma pna com baia dnsidad formao irrgular, nconra uma rsisência do ar proporcional a sua vlocidad insanâna v. S nssas circunsancias, omarmos a dirção posiiva como orinada para baio, a força liquida qu ag sobr a massa srá dada por F F F mg kv, ond o pso F m. g do corpo é a força qu ag na dirção posiiva a rsisência do ar F k. v é uma força chamada amorcimno viscoso qu ag na dirção oposa ou para cima. Vja a figura abaio: Agora, como v sa rlacionado com a aclração a aravés d a dv/d, a sgunda li d Nwon orna-s dv F m.a m.. Subsiuindo a força liquida nssa forma d da sgunda li d Nwon, obmos a quação difrncial d primira ordm para a vlocidad v() do corpo no insan. dv m d mg kv () Aqui k é uma consan d proporcionalidad posiiva. S s() for a disancia do corpo m ds dv d s quda no insan a parir do pono inicial, não v a. Em rmos ds, () é d d d uma quação difrncial d sgunda ordm: d s m d mg k ds d ou d s ds m k mg d d () 74

75 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Emplo: Um corpo d massa m é lançado vricalmn para cima com uma vlocidad inicial v. S o corpo nconra uma rsisência do ar proporcional à sua vlocidad, drmin : a) a quação do movimno no sisma d coordnadas da figura abaio, b) uma prssão da vlocidad do corpo para o insan, c) o mpo ncssário para o corpo aingir a alura máima. Rsolução: dv (a) Ns sisma d coordnadas, a Eq.: mg kv m pod não sr a quação d d movimno. Para sablcr a quação apropriada, no qu duas forças auam sobr o corpo: () a força da gravidad dada por mg () a força da rsisência do ar dada por kv, rsponsávl por rardar a vlocidad do corpo. Como ssas forças auam na dirção ngaiva (para baio), a força rsulan qu aua sobr o corpo é mg kv. Aplicando dv F m ragrupando os rmos, obmos como quação do movimno: d dv k v g () d m (b) A Equação () é uma quação difrncial linar, cuja solução é vv ; logo, k m mg v c, ou k v c k m mg k. Em, mg c v. A vlocidad do corpo no insan é: k v v mg c k k m mg k 75

76 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids (c) O corpo aing a alura máima quando. Logo, dvmos calcular quando. Subsiuindo rsolvndo m rlação a, mos > '? A (>A / ' C D7 EF / G ' C D7 EF / ',/? H 5. CORRENTE DESLIZANTE Suponha qu uma corrn uniform d comprimno L m pés sja pndurada m um pino d mal prso a uma pard bm acima do nívl do chão. Vamos supor qu não haja ario nr o pino a corrn qu a corrn ps ρ libras/pés. A figura abaio (a) ilusra a posição da corrn quando m quilíbrio; s foss dslocada um pouco para a diria ou para a squrda, a corrn dslizaria plo pino. Suponha qu a dirção posiiva sja omada como sndo para baio qu () dno a disancia qu a rmidad diria da corrn ria caído no mpo. A posição d quilíbrio corrspond a. Na figura (b), a corrn é dslocada m pés é manida no pino aé sr sola m um mpo inicial qu dsignarmos por. Para a corrn m movimno, conform mosra a figura (c), mos as sguins quanidads: 76

77 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Pso da corrn: Massa da corrn: Força rsulan: W (L pés). ( ρ lb/pés) L ρ m W/g L ρ / L L F ρ ρ p d Uma vz qu a m a F orna-s d Lρ d d ρ ou (4) d 64 d L Emplo: Uma corrn com pso uniform com 9,6 mros d comprimno sá pndurada m um cilindro fio na pard. A corrn é dslocada d forma qu a rmidad diria sja 4 mros abaio da sua posição d quilíbrio solada num insan. Com sss dados, dsja-s sabr m quano mpo a corrn cairá do cilindro ( L). Considr o pso da corrn como P Lρ 9, 6ρ? 9,8 /² Rsolução: m P g 9,6ρ 9,8 ρ F L (S)ρ L (S)ρ ρ (S) ma F, d² d² ρ ρ d d Sndo λ d X d, (λ ) λ, λ ± C S C (S,, 4C C Como v, ]^ C 4C 4C C C C S (S ]S vc S C (S, v, C C Sndo 9,6, u S 77

78 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 9,6u' u u 9,6u' u 9,99 ou u,9 Como b, S b só é possívl u 9,99 S 9,99,965 dsf 5. CIRCUITOS EM SÉRIE Considr o circuio m séri d malha simpls mosrado ao lado, conndo um induor, rsisor capacior. A corrn no circuio dpois qu a chav é fchada é dnoada pori(); a carga m um capacior no insan é dnoada por q(). As lras L, C R são conhcidas como induância, capaciância rsisência, rspcivamn, m gral são consans. Agora, d acordo com a sgunda Li d Kirchhoff, a volagm aplicada E() m uma malha fchada dv sr igual à soma das qudas d volagm na malha. A figura abaio mosra os símbolos as fórmulas para a rspciva quda d volagm m um induor, um capacior um rsisor. Uma vz qu a corrn i() sá rlacionada com a carga q() no capacior por i dq/d, adicionando-s as rês qudas d volagm. Induor Rsisor induância L : hnrs(h) rsisênci a R : ohms ( Ω) di quda d volagm: L quda d volagm : ir d dq di d q ir R L L, d d d Capacior capaciânc ia C :farads ( f ) quda d volagm : q c quacionando-s a soma das volagns aplicadas, obém-s uma quação difrncial d sgunda ordm d q dq L R q E( ) d d c 78

79 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Para um circuio m séri conndo apnas umrsisor um induor, a sgunda li d Dirchhoff sablc qu a soma das qudas d volagm no induor (L(di/d)) no rsisor (ir) é igual a volagm aplicada no circuio (E()). Vja a figura abaio. Obmos, assim, a quação difrncial linar para a corrn i(). di L Ri E() d ondl R são consans conhcidas como a induância a rsisência, rspcivamn. A corrn i() é ambém chamada d rsposado sisma. A quda d volagm m um capacior com capaciância C é dada por q()/ci, ond q é a carga no capacior. Assim sndo, para o circuio m séri mosrado na figura (a), a sgunda li d Kirchhoff nos dá Ri q E( ) C mas a corrn i a carga q são rlacionadas por i dq/d, dssa forma, a quação acima ransforma-s na quação difrncial linar Emplo: R dq q E( ) d C Uma baria d vols é concada a um circuio m séri no qual a induância é ½ Hnr a rsisência é ohms. Drmin a corrn i s a corrn inicial for. Rsolução: L induância ½ di L Ri E d Para i() R rsisência di 6 i c d 5 i corrn di 6 i 4 c d 5 E volagm aplicada P Q 4 79

80 Equaçõs Difrncias Logo: d Pd [ 4d ] i c 4 i c 6 i c 5 AULA - EXERCÍCIOS Prof a Paula Francis Bnvids 6 6 i 5 5 ) Enconr uma prssão para a corrn m um circuio ond a rsisência é Ω, a induância é 4 H, a pilha fornc uma volagm consan d 6 V o inrrupor é ligado quano. Qual o valor da corrn? ) Um circuio RL sm fm aplicada possui uma rsisência d 5 ohms, uma induância d hnris uma corrn inicial d ampèrs. Drmin a corrn no circuio no insan. ) Uma força lromoriz é aplicada a um circuio m séri LR no qual a induância é d, hnr a rsisência é d 5 ohms. Ach a curva i() s i(). Drmin a corrn quano. Us E V. 4) Uma força lromoriz d V é aplicada a um circuio m séri RC no qual a rsisência é d Ω a capaciância é d - 4 farads. Ach a carga q() no capacior s q(). Ach a corrn i(). 5) Uma força lromoriz d V é aplicada a um circuio m séri RC no qual a rsisência é d Ω a capaciância é 5-6 farads. Ach a carga q() no capacior s i(),4. Drmin a carga da corrn m,5s. Drmin a carga quando. 6) Sab-s qu a população d uma cra comunidad crsc a uma aa proporcional ao númro d pssoas prsns m qualqur insan. S a população duplicou m 5 anos, quando la riplicará? 7) Suponha qu a população da comunidad do problma anrior sja após anos. Qual ra a população inicial? Qual srá a população m anos? 8) A população d uma cidad crsc a uma aa proporcional à população m qualqur mpo. Sua população inicial d 5 habians aumna 5% m anos. Qual srá a população m anos? 9) Sab-s qu uma culura d bacérias crsc a uma aa proporcional à quanidad prsn. Após uma hora, obsrvam-s filiras d bacérias na culura, após, quaro horas, obsrvam-s filiras. Drmin: a) a prssão do númro aproimado d filiras d bacérias prsns na culura no insan : b) o númro aproimado d filiras d bacérias no início da culura: 8

81 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids ) Sab-s qu a população d drminado país aumna a uma aa proporcional ao númro d habians do país. S, após dois anos, a população duplicou,, após rês anos, a população é d. habians, sim o númro inicial d habians. ) Uma pssoa dposia $, m uma poupança qu paga 5% d juros ao ano, composos coninuamn. Drmin: a) O saldo na cona após rês anos. b) O mpo ncssário para qu a quania inicial dupliqu, admiindo qu não nha havido riradas ou dpósios adicionais: ) Uma cona rnd juros composos coninuamn. Qual a aa d juros ncssária para qu um dpósio fio na cona dupliqu m sis anos? ) Uma pssoa dposia 5 rais m uma cona d paga juros composos coninuamn. Admiindo qu não haja dpósios adicionais nm riradas, qual srá o saldo da cona após 7 anos, s a aa d juros for 8.5% duran os quaro primiros anos 9.5% duran os úlimos rês anos. 4) Cro marial radioaivo dcai a uma aa proporcional à quanidad prsn. S ism inicialmn 5 miligramas d marial, s, após duas horas, o marial prdu % d sua massa original, drmin: a) A prssão da massa rmanscn m um insan : b) A Massa do marial após quaro horas: c) O mpo para o qual o marial prd mad d sua massa original (mia vida) 5) O isóopo radioaivo d chumbo, Ph 9, dcrsc a uma aa proporcional à quanidad prsn m qualqur mpo. Sua mia vida é d, horas. S grama d chumbo sá prsn inicialmn, quano mpo lvará para 9% d chumbo dsaparcr? 6) Inicialmn havia miligramas d uma subsância radioaiva prsn. Após 6 horas a massa diminui %. S a aa d dcrscimno é proporcional à quanidad d subsância prsn m qualqur mpo, drminar a mia vida dsa subsância. 7) Com rlação ao problma anrior, nconr a quanidad rmanscn após 4 horas. 8) Em um pdaço d madira quimada, ou carvão, vrificou-s qu 85,5% do C-4 inha s dsingrado. Qual a idad da madira? 9) Um rmômro é rirado d uma sala, m qu a mpraura é 7 º F, colocado no lado fora ond a mpraura é º F. Após,5 minuo o rmômro marcava 5 º F. Qual srá a mpraura marcada plo rmômro no insan minuo? Quano lvará para marcar 5 º F? ) Sgundo a Li d Nwon, a vlocidad d rsfriamno d um corpo no ar é proporcional à difrnça nr a mpraura do corpo a mpraura do ar. S a mpraura do ar é o C o corpo s rsfria m minuos d o C para 6 o C, dnro d quano mpo sua mpraura dscrá para o C? ) Um indivíduo é nconrado moro m su scriório pla scrária qu liga imdiaamn para a polícia. Quando a polícia chga, horas dpois da chamada, amina o cadávr o ambin, irando os sguins dados: A mpraura do scriório ra d o C, o cadávr inicialmn inha uma mpraura d 5 o C. Uma hora dpois mdindo novamn a 8

82 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids mpraura do corpo obv 4. o C. O invsigador, supondo qu a mpraura d uma pssoa viva é d 6.5 o C, prnd a scrária. Por qu? No dia sguin o advogado da scrária a libra, algando o qu? ) Sob as msmas hipóss subjacns ao modlo m (), drmin a quação difrncial qu govrna o crscimno populacional P() d um país quando os indivíduos m auorização para imigrar a uma aa consan r. ) Usando o concio d aa liquida, qu é a difrnça nr a aa d naalidad a aa d moralidad na comunidad, drmin uma quação difrncial qu govrn a volução da população P(), s a aa d naalidad for proporcional a população prsn no insan, mas a d moralidad for proporcional ao quadrado da população prsn no insan. 4) Suponha qu um sudan porador d um vírus da grip rorn para um campus univrsiário fchado com mil sudans. Drmin a quação difrncial qu dscrv o númro d pssoas () qu conrairão a grip, s a aa sgundo a qual a donça for spalhada for proporcional ao numro d inraçõs nr os sudans gripados os sudans qu ainda não foram posos ao vírus. 5) Suponha um grand anqu para misuras connha inicialmn galõs d água,no qual foram dissolvidas 5 libras d sal. Água pura é bombada pra dnro do anqu uma aa d gal/min, não, quando a solução sa bm misurada, la é bombada para fora sgundo a msma aa. Drmin uma quação difrncial para a quanidad d sal A() no anqu no insan. 6) Uma solução d 6 kg d sal m água sá num anqu d 4l. Faz-s nrar água nss anqu na razão d 8l/min a misura manida homogêna por agiação, sai do anqu na msma razão. Qual a quanidad d sal isn no anqu no fim d hora? 7) Suponha qu a água sa saindo d um anqu por um buraco circular m sua bas d ára A h. Quando a água vaza plo buraco, o ario a concnração da corrn d água nas proimidads do buraco rduzm o volum d água qu sa vazando do anqu por sgundo para ca h gh, ond c (<c<) é uma consan mpírica. Drmin uma quação difrncial para a alura h d água no insan para um anqu cúbico, como na figura ao lado, O raio do buraco é pol g pés/s. 8) Para um movimno m ala vlocidad no ar al como o paraqudisa mosrado na figura ao lado, caindo ans d abrir o paraqudas a rsisência do ara sa próima d uma poncia da vlocidad insanâna. Drmin a quação difrncial para a vlocidad v() d um corpo m quda com massa m, s a rsisência do ar for proporcional ao quadrado d sua vlocidad insanâna. 8

83 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 9) Um paraqudisa, psando 7 Kg, sala d um avião abr o para qudas passados s. Ans da abrura do paraqudas, o su coficin d ario é K 5 Kg s-. Qual a vlocidad do paraqudisa no insan m qu s abr o paraqudas? ) Uma pquna barra d mal, cuja mpraura inicial é d C, é colocada m um rcipin com água frvndo. Quano mpo lvará para a barra aingir 9 C s sua mpraura aumnar m sgundo? Quano mpo lvará para a barra aingir 98 C? ) Um anqu coném liros d fluido no qual foram dissolvidos gramas d sal. Uma salmoura conndo grama d sal por liro é não bombada para dnro do anqu a uma aa d 4 L/min; a solução bm misurada é bombada para fora à msma aa. Ach o númro A() d gramas d sal no anqu no insan. ) Um grand anqu coném 5 galõs d água pura. Uma salmoura conndo libras por galão é bombada para dnro do anqu a uma aa d 5 gal/min. A solução bm misurada é bombada para fora à msma aa. Ach a quanidad A() d libras d sal no anqu no insan. Qual é a concnração da solução no anqu no insan 5 min? ) Um grand anqu sa parcialmn chio com galõs d um fluido no qual foram dissolvidas libras d sal. Uma salmoura conndo ½ libra d sal por galão é bombada para dnro do anqu a uma aa d 6 gal/min. A solução bm misurada é não bombada para fora a uma aa d 4 gal/min. Ach a quanidad d libras d sal no anqu após minuos. RESPOSTAS: ) I( ) 5 5 ) ) 4) i 5 5 i c 5 5 q c ond lim i( ) 5 C 5 i 8

84 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 5) q c i c C 5 q(,5), coulombs i(,5), 47 amp q 6) 7,9 anos. 7) 66,66 N () 6.96,4 8) N () 76 9) ).() 694,.ggh)!).()694 )., 76 ) ).()6,69!) ln().86 ),55% ) R$ 97,4 4) ).()5 (,.,h)!).(4)4,5? ),7 h$ 5) horas 6) 6,7 horas 7) 88,5 gramas. 8) 56 anos 9) T () 6,66ºF,6 min ) 6 min ) jusificaiva pssoal. ) dp dp kp r, kp r d d ) dp kp kp d 4) d k( ) d 5) da A d 6) Aproimadamn 8, 7) dh cπ d 45 h 8) dv m mg kv d 9) 7m/s ) Aproimadamn 8, s Aproimadamn 45,7 s ) A() 7 -/5 ) A() -/,975 lb/gal ) 64,8lb,., 84

85 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE A ORDEM E ORDEM SUPERIOR As quaçõs linars d ordm n são aqulas da forma: n n n d d d A A A... A/ n B n n n d d d Ond B, A, A, A,..., A n dpndm apnas d ou são consans. Para comçarmos s sudo vamos uilizar como padrão d uma EDO- linar (Equação Difrncial Ordinária Linar d ordm ) a sguin quação: p() q() r() ond: p() q() são os coficins rprsnam parâmros do sisma r() rmos d ciação (inpu) () rsposa do sisma S r(), I Eq. Dif. Homogêna r() Eq. Dif. não homogêna A EDO- acima possui soluçõs, () () são linarmn indpndns (L.I), ( ) iso é h( ) c ( ) Com isso, () () formam uma bas para a solução da EDO- homogêna (bas fundamnal). Emplo: " S propormos como solução () sn() () cos() ( ) sn( ) g( ) c, logo, formam uma bas, com isso, a solução gral da ( ) cos( ) EDO- fica () C cos() C sn(). S obmos as bass para a solução da homogêna, a solução da quação fica () C () C ()... Cn n () S mos uma solução () pod-s obr () mais facilmn. Obida uma solução () da EDO-, pod-s obr () plo concio d bas, ond () () são linarmn indpndns. ( ) h( ) c ( ) ( ) h( ).( ) 85

86 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Emplo: Obr (), sabndo qu () ( ) 86

87 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 6. EQUAÇÕES LINEARES E HOMOGÊNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES n n n d d d São aqulas da forma: A A A... A/ n, ond A n n n, A, A,...,A n d d d são consans. Rsolução: d Para n A A d d A A d d A d A A ln C A A C A A A C. Chamando A A λ C λ K, mos. k Para nos faciliar a dmonsração, vamos usar a sguin quação: d d a b d d Ond a b são consans. Vamos uilizar λ calculado anriormn como solução proposa. λ ' " λ λ λ λ Subsiuindo na EDO mos: λ ( λ λ aλ λ aλ b ). b λ λ Como λ para qualqur valor d, mos λ aλ b,a qual irmos chamar d quação caracrísica da EDO- dada. Em rlação a quação caracrísica P ( λ) mos rês casos a considrar: 87

88 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 6.. CASO : RAÍZES REAIS DISTINTAS. λ λ Assim a solução gral fica: C C λ λ C C E para uma quação d ordm n fica: λ λ λ λ C n C... Cn C 6.. CASO : RAÍZES MÚLTIPLAS. λ λ S λ λ λ, ond s aplicarmos a rgra anrior rmos. Só qu é ncssário nconrar soluçõs qu sjam linarmn indpndns, pois com as λ raízs sndo iguais mos consan. λ Assim mos qu achar uma sgunda solução qu sja linarmn indpndn. Supondo a quação a b uilizando o concio d bas m qu λ ( ) h( ).( ), ond, mos: ( ) h( ).( ) λ h. λ λ ' h' λh λ λ λ " h" λh' λ h Subsiuindo na quação dada: λ λ λ λ λ λ h" λh' λ h ah' aλh bh Rordnando: λ h" (λ a) h' ( λ aλ b) h [ ] Como λ λ a λ b, pois como já vimos anriormn P ( λ). Enão: h" h' C h C K Logo: h. Solução gral: ( C K). λ 88

89 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids C C ( C λ C C ( C K ) C K ) λ C λ C λ fazndo C C k C C C C mos: λ C C λ C C ) ( λ A propridad s snd para quaçõs d ordm suprior: ( C n λ C C... Cn ) 6.. CASO : RAÍZES COMPLEXAS DISTINTAS. Sjam λ a bi λ a bi as raízs da quação caracrísica. Aplicando a condição para raízs rais disinas ríamos como solução: ( a bi ) ( abi ) C C a bi a bi C. C. a bi bi ( C C ) Das fórmulas d Eulr mos: iθ iθ Com isso: Fazndo a a cosθ isnθ cosθ isnθ [ C( cosb isnb) C( cosb isnb) ] [( C C ) cosb i( C C ) snb] mos: C C C i(c C ) C a [ C cos b C snb ] 89

90 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Emplos: 4 d d ) 6 4 d d ) 4, com () (π /) - ) - 9

91 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA - EXERCÍCIOS ) Obr () nos rcícios abaio. a) " 5' 9, com ( ) b) 4 " com ( ) c) " ' com ( ) cos 4 ) 5 6 ) 4 4),com () (π /) 5) 5 com () () 6) com () -4 () -7 7) -9π 8) 9 6 com () 4 () 9) k k ) 8 com (), (),5 ) 4 4 -, com (-) (-) ) 7 ) ) 5 7 5) Rsposas ) a. ( ) ln b. ( ) c. ( ) sn ) C C ) C C C 4) - cos 5) ) - 7 7) 8) 9) ) ) ) π π C C ( 4 ) k ( C C ), 4,5,5 4 C C C C cos Csn 5 C C cos C ) ( ) 4) sn 5) ( C C ) 9

92 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 4 6. EULER - CAUCHY A quação d Eulr-Cauch m a sguin forma: n n d d d An ( a b) L A a b A a b A B n ( ) ( ) d d d ond A, A,..., A n, a b são consans. Para rsolvr al quação farmos qu irá liminar os coficins variávis. a b a. No caso da quação r a forma: Farmos: " a ' b m m m- m(m-) m- Subsiuindo, na EDO-, mos qu: (m (a ) m b) m como () m m qu sr difrn d zro, mos m (a ) m b, qu é uma quação do sgundo grau com duas raízs. Caso : m m são rais difrns. m ( ) C C m Caso : m m são rais iguais ( ) m C C m ln( ) ) ( C C ln( )) ( Caso : m m são complas conjugadas ( a ± bi) a ( ) [ C cos( bln ) C sin( bln )] m 9

93 Equaçõs Difrncias Emplos: d d ( ) ( ) d d " ' Prof a Paula Francis Bnvids 9

94 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 4 - EXERCÍCIOS ) " ) ( ) ' '' 9( ) " 8( ) ' 6 ) " 46',4 4) " ' 5) 4 " 4' 5 com () () - 6 6) " ' 4, com () () Rsposas 4 5 ) C C C ) C C ( ) ( ),8 ) ( C C ln ) 4) C cos(ln ) Csn(ln ) 5 5) ( ln ) 6) ln 94

95 Equaçõs Difrncias AULA 5 Prof a Paula Francis Bnvids 6. EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS " p( ) ' q( ) r( ) P. V. I ( ) K '( ) K (). () bas para a solução da EDO- homogêna h () solução da EDO- homogêna h () C () C () p () solução paricular, função qualqur qu saisfaz a EDO- não-homogêna A solução gral d uma quação linar não homogêna m a forma: ( ) ( ) ( ) h Torma da isência da Unicidad: S p() q() são funçõs conínuas sobr o inrvalo abro I I, não o P.V.I. possui uma única solução () sobr I. Para drminarmos p, dnominada solução paricular, dispomos dos sguins méodos: i. Méodo dos coficins a drminar ou méodo d Dscars ii. Méodo da variação d parâmros ou méodo d Lagrang iii. Méodo do oprador drivada D. p 6.. SOLUÇÃO POR COEFICIENTES A DETERMINAR (DESCARTES): Val somn para EDO- com coficins consans Padrão para solução paricular: Trmo m r() α k k n ( n K cosα Ksnα k k α α,,...) cosβ snβ C α n n Proposa para p () n n C C... C C C cosα Csnα α ( C cosβ Csnβ ) obs:. s r() é composição d funçõs da o coluna, p () é composição das rspcivas funçõs na o coluna.. s r() coincid com uma função qu compõs h (), mulipliqu por (ou por ) para considrar raiz dupla da quação caracrísica. 95

96 Equaçõs Difrncias " ' Emplo: () '() Prof a Paula Francis Bnvids 96

97 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA5 - EXERCÍCIOS ) 4 sn ) 5 ) sn 5 4) 5 6 5) 4 6) 7) 7 8) 7 8 9) ) 4 4 ) 4' sn 4 d d ) 4 8sn4 4 d d ) 4 sn 4) 4sn 4 d d 5) 4sn 4 d d 6),5 6 4, para () 4 () - 8 7) 4 -, para () () Rsposas Acos Bsn 5 ) sn ) ( C cos Csn ) ) C C,cos5,6 sn5 4) 5 5 C C 9 7 5) C C C 8 4 6) 4 C C C 8 8 7) 4 C C 8) 5 8 C C 9) C C 4 ) 4 C cos Csn ) C C ( sn 8cos ) 65 ) sn4 C C C C4 4 ) C C C cos 4 4) C cos Csn cos 5) sn ( C C )cos ( C C4 ) sn 5 6) 7)

98 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA SOLUÇÃO POR VARIAÇÃO DE PARÂMETROS Qualqur ipo d ciação r() Qualqur coficin P n () dsd qu conínuos. n P n- () n-... P () P () r() A solução gral da EDO é h p como na rsolução por coficins a drminar. mas a solução da paricular fica p ().u ().u... n () n, ond,,..., n são as bass para a EDO homogêna. A idia é consiuir a solução paricular com uma combinação dsas bass uilizando parâmros variávis. Ond W r u ( ). ( ) W ( ). r( ) Wn ( ). r( ) d, u W ( ) d,... u n W ( ) d W ( ) Sndo qu W W(,,..., n ), qu é o Drminan d Wronski (Wronskiano) L ' ' ' L n W (,,..., n ) W ( ) M M L M n n L Para calcularmos W (), subsiuirmos a primira coluna plo vor (,,,...,), para calcularmos W () subsiuirmos a sgunda coluna assim sucssivamn: n n n W M ' M n L L L L n ' n M n n, W ' M n M L L L L n ' n M n n,..., W n ' M n ' M n L L L L M Cuidado: Ans d aplicar o méodo, vrificar o qu acompanha n. S ivr f(). n, não s squça d dividir r() por f(). S a Equação Difrncial for d ordm, mpos como solução da paricular p () u() () v() () ond, ( )r( ) u( ) ( )r( ) d v( ) d w( ) w( ) () () são as bass da homogêna. 98

99 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Emplo: '" " ' 99

100 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 6 EXERCÍCIOS ) 4 65 ) cos ) ) ) ln 6) 7) 4 d d 4 4 d d 8) 4 4-9) ' - Rsposas ) 65 6 C C 9 ) C C cos ) 4 c c 4) ( ) C C 4 5) C C C ln 6 6 6) C C C 7) 4 C C C C ) 9) C C C 5 C C C 4 4

101 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA MÉTODO DO OPERADOR DERIVADA 6... Dfinição Os opradors são símbolos sm nnhum significado isolado qu indicam, d modo abrviado, as opraçõs qu dvm sr fuadas. Uma dada função dfinida por f ( ) chama-s oprador drivada, dnoado por D, a d D, d d D, d d D,... d 6... Propridads Sjam uu() v v(): P. D(uv)DuDv (propridad disribuiva) P. D(m.u)m.Du, (propridad comuaiva, sndo m uma consan) P.D m (D n u)d mn u, (sndo m n consans posiivas) a P4. O oprador invrso a u. u. d, a R. D a du P5. O oprador diro ( D a )u Du a. u au, a R. d 6... Equaçõs Difrnciais Qualqur quação difrncial pod sr prssa m rmos d D. Emplo: a" b' c g() ad bd c g() (ad bd c) g() n n Um oprador difrncial linar d n-ésima ordm L An D An D K A D A com n n coficins consans pod sr faorado quando o polinômio caracrísico A nr An r K A ambém s faora. Emplo: ( D ) " 4' 4 pod sr scrio como ( D 4D 4 ) ou ( D )( D ) ou

102 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Oprador Anulador S L é um oprador difrncial com coficins consans f ( ) é uma função suficinmn difrnciávl, al qu L ( ), não dizmos qu L é um anulador da função. O oprador difrncial n D anula cada uma das funçõs,,, K, n. Enão, um n polinômio c c c K cn é anulado por um oprador qu anula a maior n poncia d ( D ). Emplo: Enconr um oprador drivada qu anula 5 8 Solução: O oprador é 4 D ( 5 4 D pois n 4 8 ) n n O oprador difrncial ( D α ) anula cada uma das funçõs α, α, α n α, K,. Emplo: Enconr um oprador anulador para 4 6 Solução: Para o rmo ( 4 ),mosα n ( D ) Para o rmo ( 6 ), mos α n ( D Logo o oprador qu anulará a prssão srá ( D ) ) Vamos vrificar: ( D ) ( 4 6 ) ( D )( D )( 4 6 ) ( D )[ D( 4 ) 8 6D( ) ] ( D )[ ] ( D )( 6 ) 6 D n O oprador difrncial [ D αd (α β )] anula cada uma das funçõs α α a n α cosβ, cosβ, cosβk, cosβ, α α α n α snβ, snβ, snβk, snβ Emplo: Enconr um oprador anulador para sn. Solução: α, β, n n [ D.( ).D ( 4 )] D D 5

103 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Vamos vrificar: ( D D 5 )( sn ) D ( sn ) D sn 5 sn D.D( sn ) D sn 5 sn D( sn cos ) ( sn cos ) 5 sn D[ ( sn cos )] sn 4 cos 5 sn ( sn cos ) ( cos 4sn ) sn 4 sn cos cos 4 sn sn 4 cos cos Obs.: O oprador difrncial ( D β ) anula as funçõs cos β sn β.. S L L são opradors difrnciais linars com coficins consans ais qu, L ( ) L ( ),mas L( ) L( ), não o produo dos opradors L. L anula a soma c ( ) c( ), pois: LL ( ) LL ( ) LL ( ) LL ( ) L L ( ) L L 44 ( ) zro zro Emplo: Enconr um oprador difrncial qu anula 7 6sn( ). Solução: Para o rmo 7 mos o oprador D Para o rmo 6 sn( ), mos β, não ( D ) Logo: D ( D 9 )(7 6sn ) Coficins indrminados - Abordagm por Anuladors S L dnoa um oprador difrncial linar da forma A n D An D K A D A, não uma quação difrncial linar não homogêna pod sr scria como L ( ) g( ) Para sa abordagm, uilizarmos g() como combinação linar d funçõs da forma m m α m α m α k ( cs),,, cosβ snβ ond m é um iniro não ngaivo α β são númros rais. Rsumo do Méodo: i. Enconr a solução caracrísica c, para a quação homogêna L ( ). ii. Opr m ambos os lados da quação não-homogêna L ( ) g( ) com um oprador difrncial L, qu anula a função g ( ). iii. Enconr a solução gral para a quação difrncial homogêna d maior ordm L. L ( ). n n

104 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids iv. Dsconsidr odos os rmos da solução nconrada m (iii) qu são duplicados na solução complmnar c, nconrada m (i). Form uma combinação linar p dos rmos rsans. Essa é a forma d uma solução paricular para L ( ) g( ). v. Subsiua p nconrada m (iv) na quação L ( ) g( ). Agrup os coficins das funçõs m cada lado da igualdad rsolva o sisma rsulan d quaçõs para os coficins indrminados m p. vi. Com a solução paricular nconrada m (v), form a solução gral c p para a quação difrncial dada Rsolução d Equaçõs Linars d d ) Rsolvr, mprgando opradors: 7 d d d d ) 4 4 d d d d ) Rsolvr uilizando oprador diro, invrso por anuladors 4. d d 4

105 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 5

106 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 7 - EXERCÍCIOS Rsolva as quaçõs abaio uilizando um dos méodos d oprador drivada. ) (D D ) d d ) 5 6 sn d d d d ) sn d d 4) (D -6D) 4 5) (D 7D) 5 6) (D D ) - 7) ( ) ( ) D D 8) ( D 4) 9) ( ) D 5D 6 ) " ' 8 4sn ) Rspoas: d d ) C 4 C - ) C C sn cos ) C C ( cos sn) 4) C C C 6 5) 4 C C 5 6) C C C 7 8 7) 8) A A B B C ) C C 8 6 ) C C cos sn 5 5 ) C C 6

107 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 8 7. EXERCÍCIOS GERAIS Calcul as Equaçõs Difrnciais abaio: d d 4 ) sn ) d d d d d 5 6 d d d d d ) sn d d 4) 4 8 d d d d d d 5) d d d d 4 6) 4 4 7) 8) 9) d d d d d 4 4 d d d 4 4 d d 6) d d 4 4 d d d d d d 7) 8 8cos 8) 9) ) ) d d 4 4 d d d d d d d d d d sn ) " ' ) "' " ' 4) "' ' d d cos d d d d 5) ( ) 9( ) 8( ) 6 ln( ) ) d d d d d d ) sn d d d d d d ) 4 cos d d 4 ) 6 sn 4 d d 4) 4 5cos d d d d 5) 5 7

108 ) ) Equaçõs Difrncias RESPOSTAS: C C cos C sn 6 8 C C C sn sn ) C C C C 4 4) 4 5) C C C Prof a Paula Francis Bnvids ) C cos Csn cos snlnsn ) C C ln ) C C C ln 4) C [ C ) C sn(ln )] 5) cos(ln C C C ln( ) ( ) ( ) 6 6 6) 7) C C C C C C ) C C 9) C C ) ( C C ) ) C C cos sn C C (cos 4sn 7 ) ) ) 4) 5) 6) C C C C cos C cos C4sn 5cos 8 5 C C C C ) C C (cos sn) 8) ( C C ) 5 8 9) ( C C) ln ) C cos Csn cos lncos sn 8

109 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 9 8. MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR Vimos qu uma única quação pod srvir como modlo mamáico para fnômnos divrsos. Por ssa razão, aminamos uma aplicação, o movimno d uma massa concada a uma mola, dalhadamn na sção 8. abaio. Vrmos qu, co pla rminologia plas inrpraçõs físicas dos quaro rmos na quação linar a b c g(), a mamáica d um circuio lérico m séri é idênica à d um sisma vibraório massa-mola. Formas dssa quação difrncial linar d sgunda ordm aparcm na anális d problmas m várias áras da ciência da ngnharia. Na sção 8., considramos clusivamn problmas d valor inicial, nquano na sção 8. aminamos aplicaçõs dscrias por problmas d conorno conduzm-nos aos concios d auovalor auofunção. A sção 8. comça com uma discussão sobr as difrnças nr mola linar mola não-linar; m sguida, mosrarmos como um pêndulo simpls um fio suspnso lvam a modlos não-linars. 8. EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL: 8.. SISTEMA MASSA-MOLA: MOVIMENTO LIVRE NÃO AMORTECIDO Li d Hook: Suponha qu uma mola flívl sja suspnsa vricalmn m um supor rígido qu não uma massa m sja concada à sua rmidad livr. A disnsão ou longação da mola nauralmn dpndrá da massa; massas com psos difrns disndrão a mola difrnmn. Pla li d Hook, a mola rc uma força rsauradora F oposa à dirção do alongamno proporcional à disnsão s. Enunciado d forma simpls, F ks, ond k é a consan d proporcionalidad chamado consan da mola. A mola é ssncialmn caracrizada plo númro k. Por mplo, s uma massa d libras alonga m ½ pé uma mola, não k(½) implica qu k lb/pés. Enão uma massa d, digamos, 8 lb ncssariamn sica a msma mola somn /5 pé. Sgunda Li d Nwon: Dpois qu uma massa m é concada a uma mola, provoca uma disnsão s na mola aing sua posição d quilíbrio no qual su pso W é igual à força rsauradora ks. Lmbr-s d qu o pso é dfinido por W mg, ond g pés/s, 9,8m/s ou 98 cm/s. Posição inicial quilíbrio K(s) 9

110 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Conform indicado na figura acima, a condição d quilíbrio é mg ks ou mg ks. S a massa for dslocada por uma quanidad d sua posição d quilíbrio, a força rsauradora da mola srá não k( s). Supondo qu não haja forças d rardamno sobr o sisma supondo qu a massa vibr sm a ação d ouras forças rnas movimno livr podmos igualar F com a força rsulan do pso da força rsauradora: d m d k( s ) mg k mg ks k 44 zro () O sinal ngaivo indica qu a força rsauradora da mola ag no snido oposo ao do movimno. Além disso, podmos adoar a convnção d qu os dslocamnos mdidos abaio da posição d quilíbrio são posiivos ED do Movimno Livr não amorcido: Dividindo a quação () pla massa m obmos a quação difrncial d sgunda ordm d ω () d ondω k / m A quação () dscrv um movimno harmônico simpls ou movimno livr não amorcido. Duas condiçõs iniciais óbvias associadas com () são () (), rprsnando, rspcivamn, o dslocamno a vlocidad iniciais da massa. Por mplo, s >, <, a massa comça d um pono abaio da posição d quilíbrio com uma vlocidad inicial dirigida para cima. Quando, dizmos qu la pariu do rpouso. Por mplo, s <,, a massa pariu do rpouso d um pono unidads acima da posição d quilíbrio Solução Equação do Movimno: Para rsolvr a Equação (), obsrvamos qu as soluçõs da quação auiliar m ϖ são númros complos m ϖ i, m - ϖ i. Assim, drminamos a solução gral d () como: ( ) C cosω Csnω () O príodo das vibraçõs livrs dscrias por () é T π / ω a frquência é f / T ω / π. Por mplo, para ( ) cos 4 sin, o príodo é π / a frquência é /π unidads; o sgundo númro significa qu há rês ciclos do gráfico a cada π unidads ou, quivalnmn, qu a massa sá sujia a /π vibraçõs complas por unidad d mpo. Além disso, é possívl mosrar qu o príodo π /ϖ é o inrvalo d mpo nr dois máimos sucssivos d (). Lmbr-s d qu o máimo d () é um dslocamno posiivo corrspondn à disância máima d () é um dslocamno posiivo corrspondn à disância máima aingida pla massa abaio da posição d quilíbrio, nquano o mínimo d () é um dslocamno ngaivo corrspondn à alura máima aingida pla massa acima da posição d quilíbrio. Vamos nos rfrir a cada caso como dslocamno rmo da massa. Finalmn, quando as condiçõs

111 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids iniciais form usadas para drminar as consans C C m (), dirmos qu a solução paricular rsulan ou a rsposa é a quação do movimno. Emplo: Uma massa d libras disnd uma mola m 6 polgadas. Em, a massa é sola d um pono 8 polgadas abaio da posição d quilíbrio, a uma vlocidad d 4 pés/s para cima. Drmin a quação do movimno livr. Solução: Convrndo as unidads: 6 polgadas ½ pé 8 polgadas / pé Dvmos convrr a unidad d pso munidad d massa M W/g / /6 slug Além disso, da li d Hook, k(½) implica qu a consan d mola é k 4 lb/pé, Logo, () rsula m: d 4 6 d d 64 d ϖ - 64 ϖ 8i () C cos 8 C sm 8 O dslocamno a vlocidad iniciais são () / () - 4/, ond o sinal ngaivo na úlima condição é uma consqüência do fao d qu é dada à massa uma vlocidad inicial na dirção ngaiva ou para cima. Aplicando as condiçõs iniciais a () a (), obmos C / C - /6, assim, a quação do movimno srá: ( ) cos8 sn SISTEMA MASSA-MOLA: MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO O concio d movimno harmônico livr é um ano quano irral, uma vz qu é dscrio pla Equação () sob a hipós d qu nnhuma força d rardamno ag sobr a massa m movimno. A não sr qu a massa sja suspnsa m um vácuo prfio, havrá plo mnos uma força conrária ao movimno m dcorrência do mio ambin ED do Movimno Livr Amorcido: No sudo d mcânica, as forças d amorcimno qu auam sobr um corpo são considradas proporcionais a uma poência da vlocidad insanâna. Em paricular, vamos supor duran oda a discussão subsqün qu ssa força é dada por um múliplo consan d d/d. Quando não houvr ouras forças rnas agindo sobr o sisma, sgu na sgunda li d Nwon qu

112 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids d m d d k β d (4) ond β é posiivo chamado d consan d amorcimno o sinal ngaivo é uma consqüência do fao d qu a força amorcdora ag no snido oposo ao do movimno. Dividindo-s (4) pla massa m, obmos a quação difrncial do movimno livr amorcido d β d k (5) d m d m ou d d λ ω (6) d d ond β k λ ω m m O símbolo λ foi usado somn por convniência algébrica, pois a quação auiliar é: as raízs corrspondns são, porano, m λ m ω m λ λ ω m λ λ ω Podmos agora disinguir rês casos possívis, dpndndo do sinal algébrico d λ ω. Como cada solução coném o faor d amorcimno λ, λ >, o dslocamno da massa fica dsprzívl após um longo príodo. CASO I: Supramorcido λ ω > ( ) m m C C (7) Essa quação rprsna um movimno suav não oscilaório. CASO II: Amorcimno Críico λ ω ( C C ) ( ) λ (8) Obsrv qu o movimno é bm smlhan ao sisma supramorcido. É ambém vidn d (8) qu a massa pod passar pla posição d quilíbrio no máimo uma vz. Qualqur dcréscimo na força d amorcimno rsula m um movimno oscilaório.

113 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids CASO III: Subamorcido λ ω < Como as raízs m m agora são complas, a solução gral da Equação (6) é: ( C cos ω λ C sn ω ) ( ) λ λ (9) O movimno dscrio m (9) é oscilaório; mas, por causa do faor vibração quando. λ, as ampliuds d Emplos: ) Um pso d 8 libras alonga uma mola m pés. Supondo qu uma força amorcdora igual a duas vzs a vlocidad insanâna aja sobr o sisma, drmin a quação d movimno s o pso for solo d uma posição d quilíbrio a uma vlocidad d pés/s para cima. Solução: Com bas na li d Hook, vmos qu 8 k() nos dá k 4 lb/pés qu dá m 8//4 slug. A quação difrncial do movimno é não: W m. g nos Rsolvndo a quação mos: d d 4 4 d d d d 8 6 d d X() C 4 C - 4 (amorcimno críico) Aplicando as condiçõs iniciais () () -, obmos c c -, logo, a quação do movimno é: X() - -4 ) Um pso d 6 lb é aado a uma mola d 5 pés d comprimno. Na posição d quilíbrio, o comprimno da mola é d 8, pés. S o pso for puado para cima solo do rpouso, d um pono pés acima da posição d quilíbrio, qual srá o dslocamno () s for sabido ainda qu o mio ambin ofrc uma rsisência numricamn igual à vlocidad insanâna. Solução: O alongamno da mola dpois d prsoo pso srá d 8, 5, pés; logo, sgu da li d Hook qu 6 k(,) ou k 5 lb/pés. Alm disso, m 6/ ½ slug. Porano, a quação difrncial é dada por:

114 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Rsolvndo a quação mos: d d 5 d d d d d d ( C cos C sn ) ( ) (subamorcido) Aplicando as condiçõs iniciais () - (), obmos c - c - /, logo a quação do movimno é: ( ) cos sn 8.. SISTEMA MASSA MOLA: MOVIMENTO FORÇADO 8... ED do Movimno Forçado com Amorcimno: Considrando agora uma força rna f() agindo sobr uma massa vibran m uma mola. Por mplo, f() pod rprsnar uma força qu gra um movimno oscilaório vrical do supor da mola. A inclusão d f() na formulação da sgunda li d Nwon rsula na quação difrncial do movimno forçadoou induzido Dividindo () por m, obmos: d d m k β f ( ) () d d d d λ ω F( ) () d d Ond F() f()/m. Como no im anrior, λ β / m, ω k / m. Para rsolvr ssa úlima quação não homogêna, podmos usar ano o méodo dos coficins a drminar quano o d variaçõs d parâmro. Emplo: Inrpr rsolva o problma d valor inicial ' ( ) 5 d d, 5cos4,com ( ) d d 4

115 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Solução: O problma rprsna um sisma vibran qu consis m uma massa ( m /5 slug ou quilograma) prsa a uma mola (k lb/pés ou N/m). A massa é sola do rpouso ½ unidad (pé ou mro) abaio da posição d quilíbrio. O movimno é amorcido ( β, ) sa sndo forçado por uma força rna priódica (T π ) qu comça m. Inuiivamn, podríamos sprar qu, msmo com o amorcimno, o sisma coninuass m movimno aé o insan m qu a força rna foss dsligada, caso m qu a ampliud diminuiria. Porém, da forma como o problma foi dado, f()5cos4 prmancrá ligada smpr. Em primiro lugar, muliplicarmos a quação dada por 5 rsolvmos a quação d d 6 mprgando os méodos usuais usando o méodo dos coficins a d d drminar, procuramos uma solução paricular, achando como solução: ( ) ( C cos Csn) 5 5 cos4 sn4 5 Aplicando as condiçõs iniciais, mos qu a quação do movimno é: ( ) ( cos sn) cos4 sn ED d um Movimno Forçado Não Amorcido: S houvr a ação d uma força rna priódica, nnhum amorcimno, não havrá rmo ransin na solução d um problma. Vrmos ambém qu uma força rna priódica com uma frqüência próima ou igual às das vibraçõs livrs não amorcidas pod causar danos svros a um sisma mcânico oscilaório. Emplo: d ) Rsolva o problma d valor inicial: ω F snγ, () (),, ond F é uma d consan γ ω. Solução: A função complmnar é c () c cos ω c sn ω. Para obr uma solução paricular, vamos primnar p () A cos γ B snγ d al forma qu: " p ω p A( ω γ )cosγ B( ω γ ) snγ F snγ Igualando os coficins, obmos imdiaamn A F B. Logo: (ω γ ) F ( ) p (ω γ snγ ) 5

116 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Aplicando as condiçõs iniciais dadas à solução gral, obmos a solução final qu srá: F ( ) ( γsnω ωsnγ ), com γ ω (ω γ ) 8..4 CIRCUITO EM SÉRIE ANÁLOGO - CIRCUITOS ELÉTRICOS RLC EM SÉRIE Aplicando a sgunda Li d Kirchoff, chgamos a: d q dq q L R E( ) () d d C S E(), as vibraçõs léricas do circuio são considradas livrs. Como a quação auiliar da quação () é Lm Rm /C, havrá rês formas d solução com R, dpndndo do valor do discriminan R -4L/C. Dizmos qu o circuio é: 4L Supramorcido: R > C 4L Criicamn amorcido: R C 4L Subamorcido: R < C Em cada um dsss rês casos, a solução gral d () coném o faor -R/L, porano, q() quando. No caso subamorcido, s q() q, a carga sobr o capacior oscilará à mdida qu dcair, m ouras palavras, o capacior é carrgado dscarrgado quano. Quando E() R, dizmos qu o circuio é não amorcido as vibraçõs léricas não ndm a zro quando crsc sm limiação; a rsposa do circuio é harmônica simpls. Emplos: Enconr a carga q() sobr o capacior m um circuio m séri LRC quando L,5 hnr(h), R ohms( Ω ), C, farad(f), E(), q() q coulombs(c) i(). Solução: Como /C, a quação () fica: q" q' q 4 q" 4q' 4q Rsolvndo a quação homogêna d manira usual, vrificamos qu o circuio é subamorcido q() - (C cos6 C sn6). Aplicando as condiçõs iniciais, obmos: 6

117 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids q( ) q (cos6 sn6 ) Quando há uma volagm imprssa E() no circuio as vibraçõs léricas são chamadas forçadas. No caso m qu R, a função complmnar q c () d () é chamada d solução ransin. S E() for priódica ou consan, não a solução paricular q p () d () srá uma solução sacionária. 8. EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO 8.. DEFLEXÃO DE UMA VIGA: Muias sruuras são consruídas usando grands supors d aço ou vigas, as quais dflm ou disorcm sob su próprio pso ou m dcorrência d alguma força rna. A dflão () é govrnada por uma quação difrncial linar d quara ordm rlaivamn simpls. Vamos supor uma viga d comprimno L sja homogêna nha sção ransvrsal uniform ao longo d su comprimno. Na ausência d qualqur carga sobr a viga (incluindo o próprio pso), a curva qu liga os cnróids d odas as suas sçõs ransvrsais é uma ra chamada io d simria. S for aplicada uma carga à viga m um plano conndo o io d simria, la sofrrá uma disorção a curva qu liga os cnróids d odas as sçõs ransvrsais srá chamada não d curva d dflãooucurva lásica. A curva d dflão aproima o formao da viga. Suponha agora qu o io coincida com o io d simria da viga qu a dflão (), mdida a parir dss io, sja posiiva s dirigida para baio. Na oria da lasicidad, mosra-s qu o momno flor M() m um pono ao longo da viga sá rlacionado com a carga por unidad d comprimno w() pla quação: d M d w( ) () Além disso, momno flor M() é proporcional à curvaura k da curva lásica M ( ) EIk (4) ond E I são consans; E é o módulo d lasicidad d Yang do marial d qu é fia a viga I é o momno d inércia d uma sção ransvrsal da viga (m orno d um io conhcido como o io nuro). O produo EI é chamado d rigidz dflora da viga. 7

118 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Agora, do cálculo, a curvaura é dada por pquna, a inclinação, porano, [ ] " k. Quando a dflão () for [ ( ') ] ( '), S fizrmos k, a Equação (4) vai s ornar M El. A drivada sgunda dssa úlima prssão é: d M d 4 d d EL " EL (5) 4 d d Usando o rsulado dado m () para subsiuir d M/d m (5), vmos qu a dflão () saisfaz a quação difrncial d quara ordm 4 d EL w( ) (6) 4 d As condiçõs d conorno associadas à Equação (6) dpndm d como as rmidads da viga são apoiadas. Uma viga m balanço é ngasada ou prsa m uma rmidad livr d oura. Trampolim, braço sndido, asa d avião sacada são mplos comuns d vigas, mas aé msmo árvors, masros, difícios o monumno d Gorg Washingon podm funcionar como vigas m balanço, pois são prsos m uma rmidad sujios à força flora do vno. Para uma viga m balanço, a dflão () dv saisfazr às sguins condiçõs na rmidad ngasada : (), uma vz qu não há dflão (), uma vz qu a curva d dlão é angn ao io (m ouras palavras, a inclinação da curva d dflão é zro nss pono). Em L, as condiçõs da rmidad livr são: (L), uma vz qu o momno flor é zro (L), uma vz qu a força d cisalhamno é zro. A Tabla abaio rsum as condiçõs d conorno qu são associadas com a quação (6) Ermos da Viga Condiçõs d conorno Engasada, ' Livr ", " ' Simplsmn apoiada, ' 8... Soluçõs Não Triviais do Problma d Valors d Conorno: Rsolva o problma d valors d conorno λ, () (L) Considrmos rês casos: λ, λ < λ >. 8

119 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Caso I: Para λ, a solução d " é C C. As condiçõs ( ) ( L ) implicam, sucssivamn quc C. Logo, para λ, a única solução do problma d conorno é a solução rivial. Caso II: Para λ<, mos qu C cosh λ Csnh λ. Novamn ( ) nos dác, porano, Csnh λ. A sgunda condição ( L ) nos diz qu C snh λl. Como λ L, prcisamos rc. Assim Obs.: λ parc um pouco sranho, mas nha m mn qu λ < é quivaln a - λ >. Caso III: Para λ >, a solução gral d λ é dada por C cos λ Csn.Como ans, () nos dá qu c, mas (L) implica C sn λl. S c, não, ncssariamn,. Porém, s c, não sn λ L. A úlima condição implica qu o argumno da função sno dv sr um múliplo iniro d π. n π λ L nπ ou λ, n,,... L Porano, para odo ral não nulo c, c sn(nπ /L) é uma solução do problma para cada n. Como a quação difrncial é homogêna, podmos, s dsjarmos, não scrvr c. Em π 4 9 ouras palavras, para um dado númro na sqüência,, π π,,..., a função corrspondn na L L L π π π sqüência sn, sn, sn,... é uma solução não rivial do problma original. L L L λ 8... Dformação d uma Coluna Fina: No século XVIII, Lonhard Eulr dói um dos primiros mamáicos a sudar um problma d auovalor quando analisava como uma coluna lásica fina s dforma sob uma força aial comprssiva. Considr uma longa coluna vrical fina d sção ransvrsal uniform d comprimno L. Sja () a dflão da coluna quando uma força comprssiva vrical consan ou carga P for aplicada m su opo conform mosra a figura. Comparando os momnos flors m qualqur pono ao longo da coluna, obmos d EL d P d ou EL P (7) d 9

120 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids ond E é o módulo d lasicidad d Yang I é o momno d inércia d uma sção ransvrsal m orno d uma ra vrical plo su cnróid. Emplo: Drmin a dflão d uma coluna vrical fina homogêna d comprimno L sujia a uma carga aial consan P, s a coluna for simplsmn apoiada m ambas as rmidads. Solução: d EI P d O problma d conorno a sr rsolvido é: () ( L) Obsrv primiramn qu é uma solução prfiamn aciávl dss problma. Essa solução m uma inrpração inuiiva simpls: s a carga P não for grand o suficin, não havrá dflão. A qusão é sa, para qu valors d P a coluna vai dflir? Em rmos mamáicos: para quais valors d P o problma d conorno dado m soluçõs não riviais? Escrvndo λ P EI, vmos qu: " λ () ( L) é idênico ao problma dado no im 8... Com bas no Caso III daqula discussão vmos qu as curvas d dflão são ( ) csn( nπ / L), corrspondns aos auovalors n λ n P n / EI n π / L, n,,... Fisicamn, isso significa qu a coluna vai dformar-s ou dflir somn quando a força comprssiva assumir um dos valors P n n π EI / L, n,,... Essas forças são chamadas cargas criicas. A curva d dflão corrspondn a mnor carga críica P π EI / L, chamada d carga d Eulr, é ( ) csn( π / L) é conhcida como o primiro modo d dformação. As curvas d dflão corrspondns a n, n n são aprsnadas na figura abaio. Obsrv qu, s a coluna original ivr algum ipo d rsrição física m L/,não a mnor carga críica srá P 4π EI / L a curva d dflão srá aqula da figura (b). S a rsrição for colocada na coluna m L/ L/, acoluna somn vai s dformar quando a carga criica P 9π EI L for aplicada. Nss caso a curva d dflão srá aqula da figura (c). /

121 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 8... Corda Girando: A quação difrncial linar d sgunda ordm " λ (8) ocorr muias vzs como modlo mamáico. Já vimos nas formas d d ( k / m) d q d (/ LC) q como modlos para, rspcivamn, um movimno harmônico simpls um sisma massa-mola a rsposa harmônica simpls d um circuio m séri. É vidn qu o modlo para dflão d uma coluna fina dado m (6) quando scrio como d d ( P / EL), é igual ao qu foi dado m (8). Vamos nconrar a Equação (8) como um modlo qu dfin a curva d dflão ou a configuração () assumida por uma corda girando. A siuação física é análoga aqula d duas pssoas sgurando uma corda fazndo-a girar sincronizadamn. Vja as figuras (a) (b) abaio. Suponha qu uma corda d comprimno L dnsidad linar consan ρ (massa por unidad d comprimno) sja sicada ao longo do io fiada m L. Suponha qu a corda sja não girada m orno do io a uma vlocidad angular consan ω. Considr uma par da corda sobr o inrvalo [, ], ond é pquno. S a magniud T da nsão T, angncial a corda, for consan ao longo dla, a quação difrncial dsjada pod sr obida igualando-s duas formulaçõs difrns da força liquida qu ag sobr a corda no inrvalo [, ]. Em primiro lugar, vmos na figura (c), qu a força liquida vrical é: F Tsnθ Tsn (9) θ S os ângulos θ θ (mdidos m radianos) form pqunos, rmos snθ gθ snθ gθ. Alm disso, como g θ g θ são, por sua vz, inclinaçõs das ras conndo os vors T T, podmos ambém scrvr Assim sndo, (9) vai s ornar: gθ '( ) g θ '( ) [ ' ( ) '( ) ] F T () Em sgundo lugar, podmos obr uma forma difrn dssa msma força liquida usando a sgunda li d Nwon, F m.a. Aqui, a massa da corda no inrvalo é m ρ ; a aclração cnrípa d um corpo girando a uma vlocidad angular ω m um circulo com raio r é a rω.

122 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Sndo pquno, podmos omar r. Assim sndo, a força liquida vrical é ambém aproimada por ( ρ ) ω F () ond o sinal d subração jusifica-s plo fao d a aclração r o snido oposo ao do io. Igualando-s () (), mos: T [ ' ( ) '( ) ] ( ρ ) ω ou () T '( ) '( ) ρω '( ) '( ) Para próimo a zro, o quocin da difrnça m () é aproimado pla drivada sgunda d d /d. Finalmn chgamos ao modlo T d d ρω ou () d T ρω d Como a corda sa fia m ambas as rmidads, L, spramos qu a solução () da úlima quação m () ambém saisfaça as condiçõs d conorno () (L).

123 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 9 - EXERCICIOS Movimno Livr não amorcido ) Um pso d 4 lb é prso a uma mola cuja consan é 6 lb/pés. Qual é o príodo do movimno harmônico simpls? ) Um pso d 4 libras, prso a uma das rmidads d uma mola, disnd-a m 4 polgadas. Ach a quação d movimno, considrando qu o pso srá solo do rpouso, d um pono polgadas acima da posição d quilíbrio. ) Uma massa d libras disnd uma mola m 6 polgadas. Em, a massa é sola d um pono 8 polgadas abaio da posição d quilíbrio, a uma vlocidad d m pé/s. Drmin a g quação do movimno livr. 4) Um pso d libras disnd uma mola m 6 polgadas. O pso é solo do rpouso 6 polgadas abaio da posição d quilíbrio. π π π π 9π a) Drmin a posição do pso m,,,, b) Qual srá a vlocidad do pso quano π 6 s? Qual srá o snido do movimno do pso nss insan? c) Em qu insan o pso passa pla posição d quilíbrio Movimno Livr Amorcido 5) Uma massa d quilograma é prsa a uma mola cuja consan é 6 N/m odo o sisma é não submrso m um líquido qu ofrc uma força d amorcimno numricamn igual a vzs a vlocidad insanâna. Drmin as quaçõs do movimno, considrando qu: a) o pso é solo do rpouso mro abaio da posição d quilíbrio. b) O pso é solo mro abaio da posição d quilíbrio a uma vlocidad d m/s para cima. 6) Um pso d 8 libras alonga uma mola m pés. Supondo qu uma força amorcdora igual a duas vzs a vlocidad insanâna aja sobr o sisma, drmin a quação d movimno s o pso for solo d uma posição d quilíbrio a uma vlocidad d pés/s para cima. 7) Um pso d libras é prso a uma mola, disndndo-a m pés. O pso sá prso a uma disposiivo d amorcimno qu ofrc uma rsisência igual a β ( β > ) vzs a vlocidad insanâna. Drmin os valors da consan d amorcimno β d al forma qu o movimno subsqün sja: a) supramorcido b) criicamn amorcido c) subamorcido Movimno Forçado 8) Um pso d 6 libras disnd uma mola m 8/ pé. Inicialmn, o pso par do rpouso pés abaio da posição d quilíbrio. O movimno subsqün m lugar m um mio qu ofrc uma força amorcdora numricamn igual a ½ da vlocidad insanâna. Qual é a quação do movimno s o pso sofr a ação d uma força rna igual a f() cos? 9) Quando uma massa d quilogramas é prsa a uma mola cuja consan d lasicidad é N/m, la chga ao rpouso na posição d quilíbrio. A parir d uma força igual a f()68 - cos 4 é aplicada ao sisma. Qual é a quação d movimno na ausência d amorcimno?

124 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids ) Uma massa d kg, quando prsa a uma mola, disnd-s m mros não chga ao rpouso na posição d quilíbrio. A parir d, uma força rna igual a f() 8sn(4) é aplicada ao sisma. Qual é a quação do movimno s o mio ofrc uma força amorcdora numricamn igual a oio vzs a vlocidad insanâna. ) Uma massa d kg sá suspnsa por uma mola cuja consan é 4N/m. A massa é colocada m movimno a parir da posição d quilíbrio com uma vlocidad inicial d m/s para cima com uma força rna aplicada F()5sn. Drmin o movimno subsqun da massa, considrando a força da rsisência do ar igual a -9 N. ) Uma massa d 4kg sá suspnsa por uma mola cuja consan é 64N/m. O pso é colocado m movimno, sm vlocidad inicial, dslocando-o,5m acima da posição d quilíbrio aplicando-lh simulanamn uma força rna F()8sn4. Dsprzando a rsisência do ar, drmin o movimno subsqun do pso. ) Uma massa d slug é prsa a uma mola disndndo-a m f não nrando m quilíbrio. Em um mpo uma força igual a "()8sin4 é aplicada ao sisma. Enconr a quação do movimno s o mio ofrc um amorcimno qu é igual a 8 vzs a vlocidad insanâna. Circuio m Séri Análogo 4) Ach a carga no capacior m um circuio m séri LRC m,s quando L,5h, R Ω, C,f, E()V, q 5C i()a. Drmin a primira vz m qu a carga sobr o capacior é igual a zro. 5) Ach a carga no capacior, a corrn no circuio m séri LRC a carga máima no capacior quando:l 5/h R Ω, C/f, E()V, q()c, i()a. 6) Drmin a carga nocapacior m um circuio m séri LRC, supondo L ½ h, R Ω, C,f, E() 5V, q()c i() A. Qual é a carga no capacior após um longo príodo? 7) Um circuio RCL concado m séri m R 8 ohms, C /8 farad, L hnris uma nsão aplicada E() sn. Admiindo qu não isa carga inicial no capacior, mas isa uma corrn inicial d ampèr m quando a nsão é aplicada inicialmn, drmin a carga subsqun no capacior. 8) Um circuio RCL concado m séri m rsisência d 5 ohms, capaciância d 4 (m farad, induância d,5 hnr uma fm alrnada d cos vols. Drmin a prssão para a corrn qu flui por ss circuio assumindo qu a corrn a carga iniciadas no capacior são zro. 4

125 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Rsposas: π ) 8 ) ( ) cos ) () g cos8sn8 h π π π 4) a),, b)4 pés/s para baio ( n )π c), n,,, ) a) ( ) 5 8 b) ( ) 4, π 4, 9π 4 6) () (m) 7) a) β > 5/b) β 5/ c) < β < 5/ ) ( ) cos4 sn4 cos4 sn4 4 ) q rsu m (m) vw(m)) m 8) ( ) cos sn ( cos sn) 7 ) (99 9 9cos sin ) 5 ),5cos 4 sin 4 cos4 6 4 ) > vwm) m 4) 4,78C;,59s 5) q() - (cossn) i() 6 - sn;,4 C 6) q( ) (cos sn ) ; C 7),, (() (z) 9cos 8) {,5 (,) cos5 9, (,) sn5 9 m, cossn z 5

126 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 9. SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 9. SISTEMA CANÔNICO E SISTEMA NORMAL: Dfin-s como sisma d quaçõs difrnciais o conjuno d quaçõs difrnciais com as msmas funçõs incógnias qu s vrificam para as msmas soluçõs. Ns im irmos sudar os sismas d quaçõs m qu o númro d funçõs incógnias d uma msma variávl é igual ou númro d quaçõs. Ns caso o sisma é dio canônico, dsd qu possa sr poso, na forma plicia, m rlação às drivadas d maior ordm. O sisma é dnominado normal quando pod sr rsolvido m rlação as drivadas primira pod sr scrio sob a forma abaio: d F (,,,..., n ) d d F (,,,..., n ) d... dn Fn (,,,..., n ) d Ou sja, é o sisma canônico d quaçõs d a ordm. A solução gral ds sisma é um conjuno d n funçõs, (), (),..., n (), qu coném p consans arbirárias (p n) qu vrificam as quaçõs. A solução paricular é o conjuno d funçõs obidas aribuindo-s valors pariculars às consans na solução gral. Todo sisma canônico d quaçõs d ordm suprior pod sr ransformado num sisma normal quando lh são acrscnadas quaçõs difrnciais com novas funçõs incógnias, qu são as drivadas nl conidas, cluídas as d ordm mais lvada para cada função incógnia. Por razõs d ordm práica, srão sudados apnas os sismas qu conm no máimo drivadas d sgunda ordm, sm a dmonsração do procsso d rdução d um sisma canônico d n quaçõs a um sisma normal. Os sismas d quaçõs difrnciais podm sr rsolvidos al como os sismas d quaçõs algébricas, por procssos d liminação. Por isso é smpr convnin scrvr o sisma m função do oprador drivado D. Emplos: dz cos sn ) d d z cos sn d 6

127 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids d dz ) d d d dz z d d 7

128 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 8 AULA - EXERCÍCIOS ) z d dz d d z d dz d d ) z d dz d d z d dz d d 5 4 ) z d z d d d d dz d d 4) 4 z d d z d dz d d 5) z D D sn z D D cos ) ( ) ( ) ( ) ( Rsposas ) C C C C z ) ( ) ( ou C C z C C ) ( ) ( ) C C z ) C sn C C C sn C C C C z cos cos 4 4 4) sn C C C C z sn C C ) ( )cos ( cos 5) sn C C z sn C C 6 cos 4 ) cos (

129 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 9. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMÉTRICA Dado o sisma: d F (,,,..., n ) d d F (,,,..., n ) d... dn Fn (,,,..., n ) d s pod sr scrio na sguin forma: d d d d... F F F Esa é chamada forma simérica, na qual quaisqur das variávis pod sr omada por variávl indpndn. Considr-s por mplo, o sisma n n d F (,, z) d dz F (,, z) d () qu pod sr scrio da sguin manira: d d dz F F ou, gnralizando, d d dz () M (,, z) P(,, z) R(,, z) Gnricamn, a solução d () rprsna uma família d curvas rvrsas dpndn d dois parâmros. Ess sisma pod sr rsolvido por ingraçõs simpls, o qu nm smpr ocorrrá. Assim pod-s usar as funçõs l(,, z), m(,, z) n(,, z) como muliplicadors. Para ano fazs: d M d P dz R Escolh-s l, m n ais qu: o qu faz com qu ld md ndz lm mp nr ld md ndz lm mp nr 9

130 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Para dois conjunos d valors d l, m n irados da rlação (), obém-s duas quaçõs do ipo () qu forncm duas rlaçõs disinas nr as variávis,, z, as quais rprsnam a solução do sisma. Emplos: d d dz ) d ) z d dz z

131 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids d ) ( z ) d ( z ) dz z( ) OBS.: Obsrv-s qu há uma infinidad d soluçõs para lm mp nr. Plo criério adoado, chga-s aqulas convnins. AULA - EXERCICIOS ) ) ) 4) 5) d d dz a bz cz a b c d d ( z ) ( z ) d d dz z z d d d d dz z dz dz 4 z( 4 ) Rsposas: ) z C c b az C ) 4 4 z 4 C z C ) z C z C 4) C zc 5) C z C

132 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 9. MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM Sja o sisma d quaçõs difrnciais linars d primira ordm qu pod sr scrio como: d a d d a d d n a d n ( ) ( ) ( ) a a a n ( ) ( ) M ( ) L a L a L a m m nm ( ) n ( ) ( ) n n f ( ) f ( ) f ( ) n d d M a( ) a( ) M an( ) n a a a n ( ) ( ) M ( ) L L O L a a a m m M nm ( ( ( ) ) ) ou ainda dx d A( )X F( ) qu é um sisma não homogêno. Primiramn rabalharmos a solução para sismas homogênos. dx A( )X d qu pod sr scrio como X' A X Supondo qu a solução para s sisma sja do ipo λ X ξ mos λ X ' λξ subsiuindo no sisma, obém-s λξ λ Aξ ( A λι )ξ λ λ

133 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids como λ, mos qu ( A λι )ξ, qu nada mais é do qu um problma d auovalors auovors. Emplo : Em rmos d marizs, o sisma não homogêno pod sr scrio como d 5 d d 4 d ou dx d 4 5 X X' 4 5 X ond X 9.. VETOR SOLUÇÃO Um vor solução m um inrvalo I é qualqur mariz coluna X n ( ) ( ) M ( ) cujos lmnos são funçõs difrnciávis qu vrificam o sisma no inrvalo. dx d A( ) X F( ) Emplo : Vrifiqu qu X X' X no inrvalo (, ) X são soluçõs d Solução:

134 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Tmos ' X Agora ' AX X X AX X Grand par da oria dos sismas d n quaçõs difrnciais linars d primira ordm é análoga a oria das quaçõs difrnciais linars d ordm n. 9.. O PROBLEMA DE VALORES INICIAIS,i γ i Dnomos por um pono m um inrvalo I,, K,n, são consans dadas. Enão o problma ( ) ( ) X( ) M n( ) X γ γ M γ n, ond os dx Rsolvr : A( )X F( ) d sujio a : X( ) X é um problma d valor inicial no inrvalo Eisência d uma única solução Suponhamos qu os lmnos das Marizs A() F() sjam funçõs conínuas m um inrvalo comum I qu connha o pono. Enão is uma solução única do problma d valor inicialno inrvalo. 9.. SISTEMAS HOMOGÊNEOS Esamos inrssados apnas nos sismas homogênos. Admiirmos smpr (sm mncionar pliciamn) qu os aij as f i sjam funçõs conínuas d m um inrvalo comum I. 4

135 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Princípio da Suprposição Sja k X,, X, X K um conjuno d vors solução do sisma homogêno ).X A( d dx m um inrvalo I. Enão a combinação linar k k X c X c X c X K ond os k,,, i, c i K, são consans arbirárias, é ambém uma solução no inrvalo. Dcorr ambém do Princípio da Suprposição qu um múliplo consan d qualqur vor solução d um sisma d quaçõs difrnciais linars homogênas d primira ordm é ambém uma solução. Emplo : Uma solução do sisma X X' é sn cos sn cos cos X Para qualqur consan c, o vor c X X é ambém uma solução, pois cos c sn c cos c sn c sn c d dx cos c sn c sn c cos c sn c sn c cos c sn c cos c cos c AX As marizs rsulans mosram qu X A. ' X Emplo 4: Considrmos o sisma X X'. S X, não X ' ' X AX Vmos assim qu X é ambém um vor solução do sisma. E plo principio da suprposição, a combinação linar

136 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids é ainda oura solução do sisma. X c X c X c cos cos sn c cos sn 9..4 INDEPENDÊNCIA LINEAR dx Sja X, X, K, X k um conjuno d vors solução do sisma homogêno A( ). X d m um inrvalo I. Dizmos qu o conjuno é linarmn dpndn no inrvalo s ism consans c,c, K,ck, não simulanamn nulas, ais qu: c X c X K c X k k para odo no inrvalo. S o conjuno d vors não é linarmn dpndn no inrvalo, dizmos qu é linarmn indpndn. O caso k é óbvio; dois vors X X são linarmn dpndns s um é múliplo consan do ouro, rciprocamn. Para k >, um conjuno d vors solução é linarmn dpndn s pudrmos prssar ao mnos um dls como uma cominação linar dos vors rsans Criério para Soluçõs Linarmn Indpndns Sjam X M n, X M n, K, X n M n n nn n vors solução do sisma homogêno dx A( ). X m um inrvalo I. Uma condição d ncssária suficin para qu o conjuno d soluçõs sja linarmn indpndn é qu o wronskiano L n W( X, X, K, X n ) M M O M n n K K n nn 6

137 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Emplo 5: No mplo, vimos qu X X 5 X' X. Obviamn X X são linarmn indpndns m (, ), uma vz qu 5 nnhum dos vors é múliplo consan do ouro. Alm disso, mos 6 são soluçõs do sisma para odo ral. 6 4 W( X, X ) Emplo 6: 6 Plo mplo 5 sabmos qu X X são soluçõs linarmn 5 indpndns d X' X. m (, ). Logo X X consium um conjuno fundamnal 5 d soluçõs no inrvalo. A solução gral do sisma no inrvalo é não X c c X c X c c CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUÇÃO Qualqur conjuno X, X, K, X n d n vors solução linarmn indpndns do sisma homogêno dx A( ). X m um inrvalo I é chamado um conjuno fundamnal d d soluçõs no inrvalo Solução Gral - Sismas Homogênos Sja X, X, K, X n um conjuno fundamnal d soluçõs do sisma homogêno dx A( ).X m um inrvalo I. Dfin-s a solução gral do sisma no inrvalo como d X c K X c X cn X n ond os c i,i,, K, n, são consans arbirárias. 7

138 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Emplo 7: cos sn Os vors X cos sn, X, X sn cos são do cos sn sn cos sisma X' X no mplo. Agora, cos sn cos sn W( X, X, X ) cos sn sn cos cos sn sn cos cos sn sn cos para odo ral. Concluímos qu X, X X consium um conjuno fundamnal d soluçõs m (, ). Assim a solução gral do sisma no inrvalo é cos sn X c X c X c X c cos sn c c sn cos cos sn sn cos 9..6 SISTEMAS NÃO HOMOGÊNEOS Para sismas não homogênos, uma solução paricular X p m um inrvalo I é qualqur vor, sm parâmros arbirários, cujo lmnos são funçõs qu saisfazm o sisma dx A( )X F( ). d Sja m um inrvalo I sja dx d X um vor arbirário solução do sisma não homogêno no inrvalo, X, X, K, X k um conjuno d vors solução do sisma homogêno A( ). X para quaisqur consans p,c,, ck c K Solução Gral - Sismas Não-Homogênos dx Sja X p uma solução dada do sisma não homogêno A( )X F( ) m um d inrvalo I, dnomos por X c cx c X K cn X n 8

139 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids a solução gral, no msmo inrvalo, do sisma homogêno dx A( ). X corrspondn. Dfins a solução gral do sisma não-homogêno no inrvalo como: d X X c X p. A solução gral X c do sisma homogêno dx A( ). X é chamada função d dx complmnar do sisma não-homogêno A( )X F( ). d Emplo 8: 4 Vrifiqu qu o vor X p é uma solução paricular do sisma não-homogêno 5 6 X ' X no inrvalo (, ). 5 Emplo 9: Solução: Tmos X ' 4 p X p ( 4 ) ( 5 6 ) 5( 4 ) ( 5 6 ) 4 X ' p 5 Plo mplo 8 vrificamos qu uma solução paricular do sisma não-homogêno 4 X ' X m (, ) é X p No mplo 6, vimos qu a função complmnar do sisma no msmo inrvalo, ou a 6 solução gral d X' X é X c c c Logo, pla dfinição dada X X c X p c c é solução gral d X ' X m (, ). 5 9

140 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Como ra d s sprar, s X é uma solução qualqur do sisma não-homogêno dx A( )X F( ) m um inrvalo I, não é smpr possívl achar consans apropriadas c, c, d..., c n ais qu X possa sr obida da solução gral UMA MATRIZ FUNDAMENTAL Sja X M n, X M n, K, X n M n n nn um conjuno fundamnal d n vors solução do sisma homogêno inrvalo I. dx A( ). X m um d K n K n A mariz Φ ( ) é chamada d mariz fundamnal do sisma no M M O M n n K nn inrvalo. Emplo : 6 6 Já mosramos qu os vors X X consium um conjuno fundamnal d soluçõs do sisma X ' X m (, ). 5 Φ( ) é não uma mariz fundamnal do sisma no inrvalo. Emplo : A solução gral X c c X c X c 6 scria como c X. 6 5 c c 5 6 dada no mplo 6 pod sr Além disso, dizr qu X Φ( ). C é uma solução d X ' A( ). X significa qu Φ ' ( )C A( ) Φ ( )C ou( Φ ' ( ) A( ) Φ ( ))C Como a úlima quação dv-s vrificar para odo no inrvalo I para oda mariz coluna possívl d consans C, dvmos r 4

141 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 4 ) ( ) A( ) ( ' ) ( ) A( ) ( ' Φ Φ Φ Φ Uma Mariz Fundamnal é Não-Singular A indpndência linar das colunas ) ( Φ m um inrvalo I garan qu ) ( d Φ para odo no inrvalo; iso é, ) ( Φ é não-singular no inrvalo. Uma Mariz Fundamnal m uma Invrsa: Sja ) ( Φ uma mariz fundamnal do sisma homogêno X A d dx ). ( m um inrvalo I. Enão ) ( Φ is para odo valor d no inrvalo. Emplo : Para a mariz fundamnal dada Φ ) ( no mplo, noamos qu 4 8 ) ( d φ. Dcorr não d d d a a a a a a a a A A T qu: Φ ) ( Mariz Espcial Em algumas insâncias, é convnin formar oura mariz spcial n n, numa mariz m qu os vors coluna V i sjam soluçõs d X A().X qu saisfaçam as condiçõs ( ) ( ) ( ),, M K M M V V V n Aqui, é um pono scolhido arbirariamn no inrvalo m qu a solução gral do sisma é dfinida. Dnoamos ssa mariz spcial com o símbolo ( ) Ψ. Obsrvamos qu ( ) Ψ aprsna a propridad ( ) Ι Ψ K M O M M M K L K

142 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 4 ond Ι é a idnidad muliplicaiva n n. Emplo 4: Drmin a mariz ( ) Ψ qu saisfaz ( ) Ι Ψ para o sisma dado X X 5 '. Solução: Por c c X c X c X 6 5, sabmos qu a solução gral do sisma acima é dada por c c X 6 5. Quando, comçamos rsolvndo m rlação a consans c c ais qu 5 c c ou 5 c c c c Obmos 8 5 c 8 c. Dfinimos, pois, o vor V como combinação linar V Novamn, quano, dsjamos achar ouro par d consans c c para as quais 5 c c ou 5 c c c c Ns caso, obmos 8 c 8 c. Dfinimos não V Dai, Ψ ) ( Obsrv qu Ι Ψ ) (

143 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Ns mplo noamos qu, como as colunas d Ψ () são combinaçõs linars das soluçõs Ψ d X ' A( ) X, sabmos, plo principio da suprposição, qu cada coluna é uma solução do sisma Ψ( ) é uma Mariz Fundamnal Por Ψ ( ) K Ι M K L M M O K M vmos qu d Ψ( ), assim, concluímos qu plo Criério para Soluçõs Linarmn Indpndns qu as colunas d Ψ () são linarmn indpndns no inrvalo considrado. Porano, Ψ () é uma mariz fundamnal. Dcorr, ourossim, do Torma da Eisência d uma única solução qu Ψ () é a única mariz qu saisfaz a condição ( ) Ι Ψ Φ Φ. AULA - Ercícios Ψ. Por ( ) ( ) ( ) ) ) ) Nos problmas -, scrva m forma maricial o sisma dado. d 5 d d 4 8 d d 4 9z d d 6 d dz 4 z d d z d d z d dz z d Nos problmas 4 5, scrva o sisma dado sm uilizar marizs 4) 4 X' X 4

144 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 44 5) z z d d Nos problmas 6-8, vrifiqu qu o vor X é uma solução do sisma dado. 6) 7 4 d d 4 d d ; 5 X 7) X X ; 4 X' 8) 6 ; 6 X X d dx Nos problmas 9 os vors dados são soluçõs d um sisma. ' AX X Drmin s os vors formam um conjuno fundamnal m ), (. 9) 6 X, X ) X, 4 X, 4 X Nos problmas, vrifiqu qu o vor X p é uma solução paricular do sisma dado. ) d d d d ; 5 X p ) p X X X ; 7 4 '

145 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 45 ) Prov qu a solução gral d X X 6 `,no inrvalo ), ( é: c c 5 6 c X Nos problmas 4 5, os vors coluna indicados formam um conjuno fundamnal d soluçõs, m ), (, para o sisma dado. Form uma mariz fundamnal ( ) Φ calcul ( ) Φ. 4) 7 X, X X ; ' X 5) X, X X ; 9 4 ' X 6) Ach a mariz fundamnal ( ) Ψ qu saisfaz ( ) Ι Ψ para o sisma dado no problma 4. 7) Ach a mariz fundamnal ( ) Ψ qu saisfaz ( ) Ι Ψ para o sisma dado no problma 5. Rsposas: ), ' X X ond X ), X ' X ond z X ), ' X X ond z X 4) d d d d 4

146 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 46 5) z d dz z d d z d d ) É solução 7) É solução 8) É solução 9) Sim ) Não ) É solução ) É solução ) Dmonsração pssoal 4) ( ) Φ Φ ' ) ( 5) ( ) ( ) Φ Φ 6) ( ) Ψ ) ( ) Ψ 9

147 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 9.4 SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS Primiramn rabalharmos a solução para sismas homogênos. qu pod sr scrio como dx d X' A( )X A X Supondo qu a solução para s sisma sja do ipo X k λ mos subsiuindo no sisma, obém-s X ' λ k. λ λ k. λ A k ( A λι) k λ λ como λ, mos qu ( A λ Ι) k, qu nada mais é do qu um problma d auovalors auovors. Eism rês casos a srm raados: 9.4. AUTOVALORES REAIS E DISTINTOS Sjam λ, λ, K, λn,n auovalors rais disinos da mariz d coficins A do sisma X AX, sja k, k,, k n os auovors corrspondns. Enão a solução gral do sisma no inrvalo (, ) é dada por: X Emplo: Rsolva o Sisma ' ' λ λ c k ck K c n k n λn 47

148 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 48

149 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 9.4. AUTOVALORES COMPLEXOS Sja A a mariz dos coficins, com lmnos rais do sisma X AX, sjam k, o auovor corrspondn ao auovalor complo λ α iβ, com α β rais. Enão X λ k X k λ São soluçõs do sisma. Ond X X α ( { k } cos β Im{ k } sin β ) R ( { k } cos β R { k } sin β ) a Im Emplo: Rsolva o sisma d 6 d d 5 4 d 49

150 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 9.4. AUTOVALORES DE MULTIPLICIDADE DOIS Na rsolução d um sisma, quando os auovalors m muliplicidad dois, dv-s vrificar s o auovalor gra um conjuno (bas) d dois auovors, s isso não ocorrr, dv-s obr as soluçõs rsans da sguin manira: X k λ λ X k λ k ond k dv sr drminado. No caso d auovalors d muliplicidad m, m-s m soluçõs para o sisma: X m m k ( m )! λ k m ( m )! λ K k λm m ond k, k,, k m dvm sr drminados. 5

151 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 5 Supondo agora qu λ sja um auovalor d muliplicidad dois qu haja apnas um auovor associado a ss valor. Pod-s achar a uma solução da forma P K X λ λ (*) Ond k n k k K M p n p p P M Subsiuindo (*) no sisma AX X ' simplificando m-s: ) ( ) ( K P AP K AK λ λ λ λ Como ssa quação dv sr válida para odos os valors d, dvmos r: K P I A K I A ) ( ) ( λ λ Emplos: ) Rsolva o sisma z z z z ' ' '

152 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids ) Rsolva o sisma ' 8 ' 9 5

153 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 5 AULA Ercícios ) Rsolva z d dz z 5 d d z 4 d d ) Rsolvr X 8 X ) Rsolvr X X 4) Rsolva o sisma ' 4 ' Rsposas: ) c c c X ) sn sn cos c cos sn cos c X ) cos sn c sn cos c X 4) c c X

154 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 9.5 SISTEMAS NÃO HOMOGÊNEOS AULA COEFICIENTES INDETERMINADOS O méodo dos coficins indrminados pod sr adapado à rsolução d um sisma dx linar não homogêno A( ) X F( ). Da msma forma, rsolv-s o sisma homogêno d associado dpois sipula-s uma solução paricular para o sisma, ond são drminados os coficins dsconhcidos. Emplos: ) Rsolva o sisma ' 6 6 '

155 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 55

156 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids ' ) Rsolva o sisma ' 5 56

157 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 9.5. VARIAÇÃO DE PARÂMETROS A solução d sismas plo méodo dos coficins indrminados limia-s a funçõs polinomiais, ponnciais, sno, cossno combinaçõs dsas. Um méodo mais podroso para rsolvr o sisma não-homogêno é o méodo da variação d parâmros, qu pod rsolvr o sisma para qualqur função. A solução gral para o sisma X AX pod sr scria na forma X φ( ) C ond φ () é a mariz fundamnal C é um vor coluna n d consans. Suponha qu isa um vor d funçõs U (), d modo qu X p φ( ) U ( ) sja uma solução paricular para o sisma não dx d A( ) X F( ) φ( ) U'( ) φ'( ) U( ) A( ) φ( ) U( ) F( ) sabmos qu φ '( ) A φ ( ), logo não φ ( ) U'( ) Aφ( ) U( ) A( ) φ( ) U( ) F( T) φ ( ) U '( ) F( ) φ ( ) φ( ) U'( ) φ ( ) F( ) U'( ) φ ( ) F( ) U ( ) φ ( ) F( ) d φ X p φ ( ) ( ) F( ) d é a solução paricular do sisma não-homogêno. Emplo: Rsolva o sisma ' ' 4 57

158 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 58

159 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 4 Ercícios Rsolva os sguins sismas d quaçõs difrnciais, uilizando auovalors auovors: ) ) ) 4) 5) 6) d d d 4 d d 4 d d 5 d d 6 d d 5 d d 5 d d d d d d 9 d d d d 5 d Rsolva os sguins sismas d quação difrnciais, uilizando variação dos parâmros: 7) 8) d 4 d d d d 5 d d d 4 Rsolva os sguins sismas d quaçõs difrnciais, uilizando o méodo dos coficins indrminados: 9) d 7 d d 5 d 59

160 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 6 ) 5 d d d d Rsposas: ) c c X 5 ) c c X 5 ) c c X 4 4 cos sin sin sin cos cos 4) c c X 4 4 cos sin sin sin cos cos 5) 4 4 c c X 6) c c X 7) 5 c c X 8) c c X 9) c c X ) c c X 4

161 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS: Muios fnômnos qu ocorrm na Óica, Elricidad, Ondulaória, Magnismo, Mcânica, Fluidos, Biologia,..., podm sr dscrios aravés d uma quação difrncial parcial. Na maioria das vzs faz-s a naiva d ransformar a quação difrncial parcial m uma ou mais quaçõs difrnciais ordinárias,com o objivo d simplificar os rabalhos na obnção da solução do problma. Uma quação difrncial ordinária possui drivadas d apnas uma variávl nquano qu uma quação difrncial parcial possui drivadas parciais da função incógnia. Muias lis físicas como: Lis d Nwon para o rsfriamno dos corpos, Equação d Mawll, Equaçõs d Navir-Soks Equação da Mcânica Quânica d Schrödingr são scrias por quaçõs difrnciais parciais qu rlacionam o spaço suas drivadas como mpo. Nm odas as quaçõs podm sr consruídas a parir d modlos mamáicos rais como é o caso das Equaçõs d Mawll, mas o sudo d Modlos é fundamnal para plicar como porqu funcionam muias quaçõs difrncias parciais. O uso innso d drivadas ingrais ns cono é fundamnal dpnd da inrpração fia para cada objo mamáico como: vlocidad, força, aclração, fluo, corrn lérica, aa d variação, mpraura, c.. DEFINIÇÃO: São quaçõs d drivadas parciais qu coném as drivadas parciais d uma função d duas ou mais variávis indpndns. Nosso sudo s limiará às quaçõs qu coném duas variávis indpndns, como a do mplo 6 no sguin im... EXEMPLOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS: u u ) Equação do calor: a u u u a Pod sr scrio ambém da sguin forma: u u ) Equação da onda: a u u u a u u ) Equação d Laplac: u u u z u a u u a ( u u ) 6

162 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids u 4) u u u u u 5) sn( ) z z z 6).. ORDEM E GRAU DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL: A ordm d uma quação difrncial parcial é a ordm d mais ala drivada qu ocorr na quação o grau é o pon da driva mais ala quando a quação sa scria m forma smlhan a uma função polinomial m qu as poências fazm o papl das drivadas da ordm rspciva. Tal como foi viso nas quaçõs ordinárias, a ordm da quação é a ordm da drivada d maior ordm.... Emplos rlacionados com ordm grau d uma EDP No im 8.., os mplos,,, 6 são d sgunda ordm, o mplo 4 é d primira ordm o mplo 5 é d rcira ordm.. FORMAÇÃO: É smpr possívl dduzir d uma função d duas variávis indpndns uma quação d drivadas parciais qu admi aqula função como solução... ELIMINAÇÃO DE CONSTANTES ARBITRÁRIAS: Considrmos z como uma função d duas variávis indpndns dfinida por: g(,,z,a,b) () ond a b são duas consans arbirárias. Drivando () m rlação à mos: g g g g p () q () z z ond: p z z q - Em gral, as consans arbirárias podm sr liminadas d (), () () dando uma quação difrncial parcial d primira ordm. f(,,z,p,q) (4) - S z for uma função d, dfinida por uma rlação nvolvndo apnas uma consan arbirária, normalmn é possívl obr duas quaçõs difrnciais parciais disinas d, primira ordm como rsulado da liminação da consan. - S o númro d consans arbirárias a s liminar cdr o númro d variávis indpndns, a quação difrncial parcial (ou quaçõs) é, gralmn, d ordm acima da primira. 6

163 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Emplos: ) z f( ), ond f é uma função arbirária do argumno u, ou sja, z f(u). ) z φ ( a) ψ ( a), ond a é a consan φ ψ são funçõs arbirárias dos rspcivos argumnos u a v a. ) z a b ab, sndo a b consans. 6

164 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids A rsposa da quação acima é uma quação d drivadas parciais d a ordm qu foi obida liminando-s duas consans arbirárias na rlação z a b ab, qu é a sua solução. Obsrv qu ism dois ipos d solução: um qu coném funçõs arbirárias ouro qu coném consans arbirárias. Dnomina-s solução gral aqula qu coném funçõs arbirárias solução compla a qu coném consans arbirárias. Tal como nas quaçõs ordinárias, há cras quaçõs qu admim as soluçõs singulars, qu são as qu não rsulam da solução gral nm da solução compla. Obsrv-s qu nm smpr o númro d funçõs ou d consans arbirárias raduz a ordm da quação. O o mplo mosrou uma quação d a ordm cuja solução compla ncrra duas consans arbirárias. 4) Achar a quação d drivadas parciais d primira ordm qu rsula d z. f ( ), liminando-s a função arbirária f. 5) z f( z), liminando-s a função arbirária.4 EQUAÇÃO LINEAR DE PRIMEIRA ORDEM:.4. MÉTODO DE LAGRANGE ond p A quação linar d primira ordm é da forma: P.p Q.q R () z z ; q P, Q R são funçõs conhcidas d, z. S z é uma função d, pod s scrvr: dz p.d q.d () A condição d quivalência das quaçõs () () mosra qu : d d dz () P Q R 64

165 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids As rlaçõs () consium um sisma d quaçõs difrnciais ordinárias na forma simérica, cujas quaçõs são chamadas d quaçõs auiliars. A solução gral d () proposa por Lagrang consis na rsolução d () dsd qu s saiba qu φ (u,v). Suponha-s qu u(,,z) a v(,,z) b sjam a solução do sisma (). Sndo a b consans arbirárias pod-s considrar uma rlação al qu b φ (a)ou v φ (u), qu é a solução gral da quação (). Pod ainda considrar F(u,v) como solução. Emplos: Achar a SOLUÇÃO GERALdas quação difrnciais abaio ) p q ) p q z 65

166 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 5 EXERCÍCIOS Achar a quação d drivadas parciais d primira ordm qu rsula das quaçõs abaio, liminando-s a função arbirária ou a consan arbirária. ) az b a ) z f ) z a b 4) z a b 5) z aa b 6) z ( ) φ ( ) 7) z ( a) ( b) 8) z φ (.) 9) z f().g(), ) z φ ( ) ) z ( a)( b) * Achar a solução gral das quaçõs sguins ) p - q z ) ( z)p ( z)q z 4) p q z z z 5) 6) pg qg gz z z 7) sn cos Rsposas: ) p.q ) p q ) pq p q 4) p q 5) q p 6) p q 7) p q z 7 8) p q 9) q q ) p q ) z p.q ) ln z φ ( ) z ) φ z z 4) φ z 5) φ (, z ) sn 6) sn snzφ sn 7) ln( sn ) φ z lng 66

167 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 67 AULA 6.5 OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO COMPLETA: MÉTODO DE CHARPIT Sja a quação difrncial parcial não linar: F(,,z,p,q) O méodo d Charpiconsis m obr uma rlação da forma φ(,,z,p,q,c) ond c é uma consan arbirária, rsolvr m sguida o sisma formado por ssas duas quaçõs m rlação a p q, cujos valors subsiuídos m: dz pd qd dvm ransformar sa prssão numa difrncial oal. Para ano, driva-s () () m rlação a a : φ φ φ φ φ φ φ φ q. q p. p z q q. q p. p z p q. q F p. p F z F q F q. q F p. p F z F p F Eliminamos p ; p ; q q muliplicando a.ª quação por p φ, a.ª por q φ, a.ª por P φ a 4.ª por q F, considrando qu p q somando os rsulados rmos: q q z F F p p z F F z q q F p p F q F p F φ φ φ φ φ Esa quação é linar d.ª ordm m φ, omada como função das variávis,, z, p, q. Aplicando o méodo d Lagrang rmos: q z F F dq p z F F dp q F q p F p dz q F d p F d A solução ds sisma fornc a função φ procurada as quaçõs qu formam o sisma acima são chamadas Equaçõs d Charpi..

168 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Emplo: Dar uma solução compla da quação sguin: ) q p A aplicação do méodo d Charpi para drminadas formas d quaçõs difrnciais parciais nos darão rgras mais simplificadas para a obnção da solução compla. Podmos ciar os sguins casos: i. f ( p, q) Uma solução compla é z a { g ( a ) b, ond f ( p, q) com a p g(a) q. Emplo: z z q 68

169 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids ii. f (, p, q) Fazndo q a m f (, p, q) drminarmos p f( a, ), qu subsiuído m dz p. d q. d ingrado nos dará a solução compla z f a d a b 4 ( 4, ). Emplo: p.q p iii. f ( z, p, q) A parir das quaçõs auiliars do méodo d Charpi rmos q ap, ou p aq (), assim a quação f ( z, p, q) ficará f ( z, p, ap) (). A ingração d dz p. d q. d após a subsiuição d q p, das quaçõs () () anriors, nos dará a solução compla. Emplo: 9(p z q ) 4 69

170 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids iv. f (, p, q) Fazndo p a m f (, p, q) drminarmos q f ( a, ), qu subsiuído m z a f ( a, ) d. dz p. d q. d ingrado nos dará a solução compla b Emplo: q p v. z p q f ( p, q) - Equação Gnralizada d Clairau Uma solução compla m a forma z a b c, com c f ( p, q). Emplo: (p q )(z p q).6 EQUAÇÕES COM DERIVADAS PARCIAIS EM RELAÇÃO APENAS A UMA DAS VARIÁVEIS. Esas quaçõs são raadas como s fossm quaçõs difrnciais ordinárias m rlação a ssa variávl. A consan d ingração é subsiuída por uma função arbirária d oura variávl, sua solução é, praicamn, imdiaa. Emplos: z ) 7

171 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids z ) z z z ) 5 6z 7

172 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 4) z AULA 6 Ercícios * Obnha a solução compla das quaçõs difrnciais parciais abaio: ) p.q z ) z p q pq ) p q 4) p q 5) p.q p q 6) p q 7) p q * Rsolva as quaçõs z 8) z 9) z z z ) 4 5z z ) z z ) 4 4z Rsposas: ) z a b a ) z a b ab ) z a ± a ln b 4) z a (a ) b a 5) z a b a 6) z ± c c k 7) z a a ln b 8) z φ( ) 9) z ln φ( ) ) z φ ( ) ψ ( ) 5 ) z f ( ) ψ ( ) ) 8 f ( ) g( ) 6 7

173 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids AULA 7.7 RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE A ORDEM PELO MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS. A forma gral d uma quação d drivadas parciais d sgunda ordm linar (EDP) m duas variávis indpndns é: z z z z z A B C D E Fz G Ond A, B, C,..., G são funçõs d. Quando G (, ), a quação s diz homogêna, m caso conrário, é não-homogêna..7. SOLUÇÃO Uma solução d uma quação m drivadas parciais m duas variávis indpndns é uma função z (, ) qu possui odas as drivadas parciais qu comparcm na quação qu saisfaz a quação m alguma rgião do plano. Não é nossa innção focalizar procssos para achar soluçõs grais d quaçõs d drivadas parciais. Inflizmn, para a maioria das quaçõs linars d sgunda ordm, msmo as d coficins consans, não s pod obr pronamn uma solução gral. Mas isso não é ão mau como podria parcr, pois m gral é possívl, na vrdad, fácil, achar soluçõs pariculars das quaçõs linars imporans qu surgm m muias aplicaçõs..7. SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS Embora haja vários méodos para achar soluçõs pariculars, apnas o méodo d sparação d variávis irá nos inrssar. No caso gral d uma EDP cuja variávl dpndn é z(,), o méodo basia-s na possibilidad d a dpndência d u rlaivamn à variávis indpndns podr sr prssa m rmos do produo d duas funçõs, uma d uma d : z (, ) u( )v( ) As vzs é possívl rduzir uma quação d drivadas parciais linar m duas variávis a duas quaçõs difrnciais ordinárias. Para ano, noamos qu: z z u' v, uv' z u u" v, uv" ond as "linhas" dnoam difrnciação ordinária. 7

174 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids Emplos: z z ) ( ) z Fazndo z(, ) u( ) v( ) [ u( ). v( )] [ u( ). v( )] ( ) u( ). v( ) du( ) dv( ) v( ) u( ) ( ) u( ). v( ) d d dividindo udo por u( ). v( ) du( ) dv( ) ( ) u( ) d v( ) d du( ) dv( ) u( ) d v( ) d k k c d sparação k du( ) k u( ) d du( ) ( k )d u( ) ln u( ) u( ) k c k c dv( ) k v( ) d dv( ) ( k )d v( ) ln v( ) v( ) k c k c No-s qu os opradors d drivação parcial,, foram subsiuídos por difrnciais oais, uma vz qu u v são apnas função d, rspcivamn. z(, ) u( ) v( ) z z z C k c k( ) ( c c ) k( ) k c 74

175 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 75 ) z z Fazndo ) ( ) ( ), ( v u z " ' " ' uv z z uv z v u z v u z Subsiuindo na quação, mos: ) ( ) "( ) ( ) "( ) "( ). ( ) ( ). "( v v u u v u v u Obsrv qu na igualdad acima o o rmo só dpnd d o o só dpnd d. Assim, pod-s igualar as razõs acima a uma consan k. Tmos não: k v v u u ) ( ) "( ) ( ) "( Qu rsula: ) ( ) "( ) ( ) "( kv v ku u Foram obidas assim duas quaçõs difrnciais linars d a ordm, cujas quaçõs caracrísicas são: k n k n k m k m ± ± Supondo-s agora rês casos, a sabr: Caso : k > As soluçõs grais srão: k sn C k C v C C u k k 4 cos Caso : k < As soluçõs grais srão: k k C C v k sn C k C u 4 cos Caso : k As soluçõs grais srão: C C v C C u 4 Obs.: A cada caso corrspond uma solução compla da forma ) ( ) ( ), ( v u z

176 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids.7. CLASSIFICAÇÃO DE EQUAÇÕES Uma quação d drivadas parciais linar d sgunda ordm m duas variávis indpndns com coficins consans pod sr classificada m um dnr rês ipos. Essa classificação dpnd apnas dos coficins das drivadas d sgunda ordm. Nauralmn, admiimos qu ao mnos um dos coficins A, B C sja difrn d zro. A quação d drivadas parciais linar d sgunda ordm z z z z z A B C D E Fz onda, B, C, D, E F são consans rais, é: hiprbólica s B 4 AC >, parabólica s B 4 AC, lípica s B 4 AC < Emplos: Classifiqu as quaçõs abaio> z ) u A, B, C. Como B 4AC 4.., a quaçãoé parabólica z z ) A, B, C Como B 4AC 4..( ) 4 >, a quação é hiprbólica z z ) A, B, C Como B 4AC <, a quação é lípica Uma plicação dalhada da razão por qu somos lvados a classificar uma quação d drivadas parciais d sgunda ordm ulrapassa o âmbio ds curso. Mas a rsposa sa no fao d qu procuramos rsolvr ssas quaçõs sujias a cras condiçõs larais conhcidas como condiçõs d conorno condiçõs iniciais. O gênro das condiçõs larais adquadas a uma drminada quação dpnd do fao d qu a quação sr hiprbólica, parabólica ou líplica. 76

177 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids 77 AULA 7- Ercícios * Uiliz a sparação d variávis para achar, s possívl, a soluçõs m forma d produo para a quação d drivadas parciais dada. ) z z ) z z ) z z z 4) z z z * Classifiqu como hiprbólica, parabólica ou lípica a quação d drivadas parciais dada. 6) z z z 7) z 9 z 6 z 8) z 9 z 9) u 6 u z z z ) z z a Rsposas ) ) ( k c z ) ( ) k c z ) k c z ) ( 4) não sparávl. 6) lípico 7) parabólico 8) hiprbólico 9) parabólico ) hiprbólico

178 Equaçõs Difrncias Prof a Paula Francis Bnvids REFERÊNCIAS ABUNAHMAN,SERGIO A. Equaçõs Difrnciais: LTC, 994. BOYCE, W.E.; DIPRIMA, R.C., Equaçõs difrnciais lmnars problmas d valors d conorno. LTC, 989. BRONSON, R.; COSTA, G. Equaçõs Difrnciais. a d. Colção Schaum, 8. KREYSZIG, Erwin. Advancd Enginring Mahmaics.LTC ZILL, D.G. Equaçõs Difrnciais com Aplicaçõs m Modlagm.Thomson Larning,. ZILL, D.G.; GULLEN, M.R..Equaçõs Difrnciais. Vol Vol. Parson, 6 78