Oscilações Eletromagnéticas

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1 INSTITTO DE FÍSICA DA FBA DEPARTAMENTO DE FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO DISCIPLINA: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL III FIS 3 Oscilaçõs Elragnéicas I. sud qualiaiv Ns suds anrirs fra fias análiss d circuis puran rsisivs d circuis nvlvnd rsisências c capacirs u rsisências c indurs. Ess circuis, acplads u nã a fns d nsã cnínua, frncia crrns sacinárias u arcidas. Vrs agra qu s assciars capacirs indurs vas br crrns scilans. Vas analisar ans, d fra qualiaiva, qu crr nss ip d circui.. Circui LC Supnha qu n circui a lad capacir sja inicialn dscarrgad qu a crrn n circui sja nula. E u drinad insan, a chav K passa para a psiçã a. O capacir srá nã carrgad d acrd c a xprssã q = εc /RC, aé aingir u valr lii q = εc. Para a anális qu s sgu, vas adar a cnvnçã d qu s pradrs d carga sã ds psiivs qu ds lns sja idais, u sja, qu ds s fis, cnxõs indur nha rsisência nula. Sja nã = 0 insan qu capacir sja c carga q qu a chav é passada para a psiçã b. C a placa suprir pncial lrsáic air qu a placa infrir, as cargas dvria ir quas qu insananan para a placa infrir, pis a rsisência d circui é, pr hipós, nula. Ts ua siuaçã d cur circui ua crrn infinia dvria aparcr. N nan is nã crr. O qu sucd nã? N qu = 0, c da a carga sava n capacir, a crrn n indur é nula. A s fchar a chav, a crrn passa d u valr nul para algu ur valr, u urs rs a crrn crsc. Sgund a li d Lnz, dvrá havr ua frça lrriz f... au induzida qu s põ a s crscin, liiand a crrn aprand u carár rsisiv a circui é ipran s disinguir s carár rsisiv daqul frncid pla rsisência ôhica prprian dia, cuja rig v d chqu ds pradrs d carga c a rd crisalina. O crscin da crrn nã é ais abrup c s supôs inicialn. A crrn crsc nã suavn aé aingir u valr áxi, pis há u núr fini d cargas, após qual passa a dcrscr. O qu crr c as cargas d capacir nquan iss? Ora, c xis u ddp nr as placas, as cargas s dslca d ua placa para ura ndnd ir para nr pncial s pradrs d carga, c disss, sã supsan psiivs. S analisars a placa suprir, nd inicialn sava cncnradas das as cargas, nars qu aun da crrn crrspnd a ua

2 diinuiçã das cargas nsa placa. Dvrá havr ua siuaçã qu a quanidad d cargas na placa infrir u disribuída n circui é air d qu na placa suprir, s assi, a crrn cninua fluind n s id. E urs rs, a placa suprir s ncnra u pncial nr qu a infrir, as s pradrs d carga cninua sua rajória agra para u pncial air, qu à priira visa pd parcr u cnrass. Cnud, is pd sr nndid s nars qu inrval d p qu iss crr é quand a crrn diinui. D fa, d acrd c a Li d Lnz, havrá ua f... induzida qu s prá a ssa diinuiçã irá prcurar anr a crrn na sa dirçã inicial. Assi a crrn irá circular n id hrári aé qu a placa infrir sja cplan prnchida. Nss insan a crrn s anula cicl rcça nvan, as c id invrid. Pr siria, p para as cargas ir da placa infrir para a suprir dv sr s qu n prcurs invrs. C nã há prda d nrgia, as cargas cça a scilar d ua placa para ura d fra rgular priódica, criand-s assi u circui scilan. Vas dsignar pr q a carga n capacir n insan, cnvncinand qu q > 0 é a quanidad d carga na placa suprir q < 0 é a carga na placa infrir. Chaars d I a crrn qu circula n indur n insan, cnvncinand-s qu s I > 0 a crrn circula n id hrári I < 0, a crrn circula n id ani-hrári nauraln ssas cnvnçõs sã arbirárias pd sr dificadas a qualqur insan. C a carga, assi c a crrn, varia pridican c p, pds sclhr as funçõs harônicas para fazr a dscriçã d su cpran. Dsa fra, rs nã: q = q csω + φ I = I ω + φ Msras abaix s gráfics da carga da crrn funçã d p. N-s qu, difrnn ds cass anrirn sudads, a crrn s rlacina c a carga aravés da rlaçã dq I. O sinal ngaiv s dv a fa d qu a carga q d capacir diinui à d dida qu a crrn crsc. sand ssa rlaçã, ncnras: Lg: I = q I = d d [q csω + φ] = q ω ω + φ Qual significad d? Para s vr is, dfinis príd T d scilaçã c p ncssári para a carga ua das placas u a crrn n indur aingir dis áxis cnscuivs. Da figura a lad,

3 priir áxi crrrá n insan áxi sguin. Assi, q = q csω + φ q = q csω + φ C sã dis áxis, nã q = q, u sja, csω = csω Lg: ω + φ = ω + φ + π ω = π. C T =, rs Dfinid frquência f é chaada d frquência angular. ω = π T, rs ω = πf. N qu dinsõs d frquência [T] - T. Enrgia araznada u circui LC C as cargas n capacir gra u cap léric a crrn n indur u cap agnéic, a nrgia lragnéica irá s disribuir an n capacir u n cap léric quan n indur u n cap agnéic. A nrgia araznada pl cap léric é xprssa pla rlaçã q E nquan qu a nrgia n cap agnéic é xprssa pr C E B q LI cs C A figura a lad ilusra cpran pral das nrgias araznada n cap léric E n cap agnéic B Obsrv qu da a nrgia s cncnra n capacir, pis a crrn é nula. Trs nã: 0 q E. C Pr ur lad,, E 0 B B LI LI B. Assi:, pis a carga ns insan é nula. C, pr hipós, nã há prda d nrgia para i, a nrgia al dv-s cnsrvar, is é: Lbrand-s qu I = ωq, lg qu ns lva a: = q C = L I q Lq, C ω = ω 0 = LC qu é chaada d frquência naural d circui LC = 0 3 3

4 II. sud quaniaiv Esa par d x c bjiv discuir quaniaivan as scilaçõs lragnéicas, paricularn circui RLC séri. Exis váris éds para dscrvr ss fnôn, as nss curs usars s núrs cplxs, assi c discuirs as sluçõs d ua quaçã difrncial d a rd. Pr s iv, s x inicia c ua brv rvisã dss assuns.. Núrs Cplxs cuaiva, Sã núrs da fra Z = a + ib, nd a, b R i = - Par ral d cplx: RZ = a - Par iaginária d cplx: IZ = b Dfinis abé cplx cnjugad d Z a núr Z = a ib As praçõs c s núrs cplxs bdc as sas prpridads ds plinôis fra Z = a + ib disribuiva assciaiva, lbrand-s qu rsulad dv sr aprad spr na O núr cplx pd sr rprad grafican n plan cplx u Plan d Argand, nd na abcissa ix ral é clcada a par ral d Z na rdnada ix iaginári clcas a par iaginária d Z. O pn a, b ds plan rpra núr cplx Z. a fra alrnaiva d rprar cplx é raçar u sgn d ra dsd a rig O aé pn a, b. Assi: a = r cs r = a + b b = r = arc gb/a nd r é ódul u valr abslu é a fas u argun d Z. N qu s fizrs Z. Z = a + i b. a i b = a + b, qu ns lva a r = Z. Z Assi, ua ura anira d scrvr cplx é a fra rignérica Z = r cs + i Exis ainda ua rcira anira d s xprssar u cplx: é a chaada "fra d Eulr" u xpnncial a qual é bida a parir da séri d Taylr: fx = fx 0 + df dx x 0 x x 0 +! d f dx x 0 x x 0 + 3! d3 f dx 3 x 0 x x Assi, s fizrs a xpansã das funçõs, cs iθ rn d x 0 = θ 0 = 0, vas br: 3 3! 5! 7! 5 7 cs! 4 4! 6 6! 4

5 iθ = + iθ + i θ Lg:! Msra-s abé qu: + i3 θ 3 3! Rslvnd as rlaçõs 4 5 bs: + i4 θ 4 = θ 4!! + θ4 4! θ6 6! iθ = csθ + i θ 4 iθ = csθ i θ 5 csθ = iθ + iθ θ = iθ iθ i Assi, ua ura fra d xprssar u cplx é aravés da fra d Eulr: Z = r iθ + i θ θ3 3! + θ5 5! θ7 7! Rsu Fra Z Z Rangular a + i b a i b Trignérica r cs + i r cs i Expnncial Eulr r iθ r iθ a, b R a = r cs b = r i = r = a + b = Z. Z = arc gb/a. Equaçõs Difrnciais d a Ord, Linars, Hgênas a Cficins Cnsans. Sã quaçõs d ip : a d y dy + b dx dx + cy = 0 nd y = yx a, b, c sã cnsans c a 0 S y x, y x,... sã sluçõs pariculars da Equaçã Difrncial ED, nã a cbinaçã linar dsas sluçõs abé srá ua sluçã srá chaada d sluçã gral. a sluçã paricular da quaçã acia é bida a parir da funçã: y = λx Subsiuind na ED, rs: qu dvrá r sluçã nã rivial s: dy dx = λλx aλ + bλ + c λx = 0 aλ + bλ + c = 0 Equaçã caracrísica Rslvnd-s sa quaçã, chgas a: d y dx = λ λx 5

6 λ = b a ± b 4ac a = b b ± 4ac a 4a λ = b a ± c a b 4a Chaand: α = b a ω = c a b 4a 6 Obs: λ = α ± iω 7 Trs nã duas sluçõs: y = α+iω x y = α iωx Assi, a sluçã gral srá a cbinaçã linar dsas duas sluçõs, is é: yx = A iωx + B iωx αx 8 nd A B sã cnsans cplxas a sr drinadas a parir das cndiçõs iniciais. 3. Circuis RLC. Arcin sub-críic Sã circuis cnsiuíds pr ua assciaçã séri d ua rsisência R, ua induância L u capacir C prvian carrgad. Lvand-s cnsidraçã a cnvnçã d sinais para a carga crrn sablcida n iníci ds sud aplicand a li das alhas n circui abaix, rs: Lbrand-s qu dq I, bs d L d q dq + R d d + q C = 0 cuja sluçã gral, d acrd c 8, é: L di d RI + q C = 0 q = A iω + B iω α 9 α = R L ω = LC R 4L ω = ω 0 α 0 N qu a dpndr da rlaçã nr a rsisência, a capaciância a induância, pd sr ua grandza ral psiiva u nula u cplxa. Esudars aqui apnas cas nd é u núr ral psiiv. Dixars para s xrcícis s dais cass. R Para cas d sr u núr ral psiiv, rs 0 LC 4 L a carga, b c a crrn, irã scilar, pré d fra arcida. Es arcin é chaad d sub-críic, cnras c arcin críic quand é nul u supr críic quand é cplx. 6

7 Lbrand-s qu assi c q sã grandzas rais, lg as cnsans cplxas da xprssã 9, dv sr ais qu A = B, d fra qu a xprssã da carga pd sr scria c: q = q csω + φ α nd q φ sã cnsans drinadas a parir das cndiçõs iniciais. Para dnsrar sa afiraçã, cnsidr qu as cnsans cplxas pd sr scrias c: A = a + ib B = c + id nd a, b, c d sã cnsans qu dv sr drinadas a parir das cndiçõs iniciais. Assi, usand as rlaçõs 4, 5 9 rs: q = A iω + B iω α = [a + ibcsω + iω + c + idcsω iω] α Dvlvnd a xprssã acia, rs: q = {[a + ccsω + d bω] + i[b + dcsω + a cω]} α C q é ua grandza ral, a par iaginária dsa xprssã dv sr ncssarian nula, is é: [b + dcsω + a cω] = 0 Alé dis, sa xprssã dv prancr nula para qualqur insan. Is só é pssívl s b + d = 0 a c = 0 qu ns lva c = a d = b, u sja A = a + ib B = a ib A = B A xprssã da carga ficará: q = [a csω b ω] α Pds rscrvr a xprssã acia uilizand a idnidad rignérica: q csω + φ = q csφ csω φ ω 3 Cparand 3, pds scrvr: q φ = b q csφ = a qu ns lva a: Assi, rs: q = a + b φ = arcg b a q = q csω + φ α 4 nd q φ sã cnsans drinadas a parir das cndiçõs iniciais sand a rlaçã dq I, bs: d I = q α [ω ω + φ + α csω + φ ] 5 A figura abaix sra u ípic cpran pral da carga da crrn. 7

8 8 a. Cnsidraçõs sbr nrgia A nrgia lragnéica araznada n circui srá dada pr LI C q B E sand as rlaçõs 9 0, lbrand qu LC, qu ns lva a L C, bs cs cs Lq Lq cs cs cs Lbrand-s qu, a quaçã acia s rduz a: Lq cs cs sand as rlaçõs cs cs cs, bs L q cs q L cs Lbrand-s qu a nrgia d circui LC nã arcid é q C LI q L, lg a nrgia srá scria c: f 6 nd f é ua funçã adinsinal dada pr: f cs, c

9 f Traças abaix as curvas d d f para alguns valrs da razã α/ω 0 f para divrss valrs d / Enrgia X p para divrss valrs d / / / ,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 s 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 s b. Arcin frac Da figura acia, pd-s prcbr dis fis à dida qu a rsisência cnsqunn a razã / rna-s nr: - dcrscin da nrgia rna-s ais ln - as scilaçõs na curva d nrgia rna-s cada vz ns acnuada, ua vz qu s rs scilans d f rna-s cada vz ais dsprzívis. Pds raduzir ss fas bsrvand qu r qu n cálcul da nrgia édia l pd sr rirad da ingral, u sja: T T u cicl varia ui puc, d d T d f d f d T T T Pds srar faciln qu T T f d. Para is dv-s prvar qu T cs d T d 0 Assi, para arcin subcríic frac, a nrgia araznada n circui srá dada pr: = 0 α 7 Vls à xprssã 5 qu xprssa a crrn funçã d p. Ali ínhas: I = q α [ω ω + φ + α csω + φ ] = ω q α [ω + φ + α csω + φ ] ω 9

10 A cndiçã d arcin frac significa valrs pquns d rsisência, qu iplica 0. Assi, dvs r q = q α csω 0 + φ I = I α ω 0 + φ I = ω 0 q BIBLIOGRAFIA. KAPLAN, Wilfrd. Cálcul avançad. Sã Paul, SP: Edgard Bluchr, 996,c97. v.. REITZ, Jhn R.; MILFORD, Frdrick J; CHRISTY, Rbr W. Fundans da ria lragnéica. Ri d Janir, RJ: Capus, c PRCELL, E., Curs d Física d Brkly, vl. Sã Paul: Edgard Bluchr, EDMINISTER, Jsph. Circuis lérics..d. Sã Paul, SP: McGraw-Hill d Brasil, c985.schau 0