F. Jorge Lino Módulo de Weibull MÓDULO DE WEIBULL. F. Jorge Lino

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1 MÓDULO DE WEIBULL F. Jorge Lino Departaento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Rua Dr. Roberto Frias, Porto, Portugal, Telf /42, falves@fe.up.pt, 1. Natureza Estatística da Fractura: Análise de Weibull O facto de Leonardo da Vinci repetir várias vezes as suas experiências para verificar os resultados obtidos, ostra a sua preocupação co a natureza estatística dos fenóenos de fractura. Geralente, a variação estatística de u dado valor de ua propriedade ecânica (por exeplo, a resistência à fractura) depende de erros inerentes às edições, tais coo variações no alinhaento da aostra e do eio abiente do ensaio, e variações inerentes às propriedades do aterial. Nesta análise, apenas se considera a últia fonte de variação estatística das propriedades de fractura. Sendo assi, u evento de fractura dependerá da probabilidade de que ua fissura de ua dada diensão e orientação esteja presente quando é aplicada ua tensão específica. Por exeplo, considere-se a existência dos 4 tipos diferentes de fissuras representados na figura seguinte. F A a B b F Adita-se ainda que os coprientos das fissuras A e B são iguais aos coprientos das fissuras a e b, respectivaente, e que cada defeito actua independenteente dos outros três. A 1

2 fractura ocorrerá quando σ B atingir u valor crítico. Ua vez que A<B, não ocorrerá fractura associada à fissura A. Alé disso, ua vez que as fissuras a e b são paralelas à direcção da força aplicada, tabé não ocorrerá fractura associada a esta fissuras, eso sendo b=b. Consequenteente, a probabilidade de fractura dependerá soente da existência da fissura do tipo B. U eleento fundaental no projecto e fabrico de u coponente diz respeito à sua fiabilidade (geralente deterinada por questões de segurança e/ou econóicas), pelo que se torna necessário conhecer a probabilidade estatística de que u dado evento de fractura ocorra. Para o caso da fractura de fios frágeis, tais coo os estudados por da Vinci, a fractura dependerá soente do copriento do fio: quanto aior for o copriento do fio, aior será a tendência para que u defeito crítico que cause fractura possa estar presente. Esta teoria do elo ais fraco significa que a fractura é dependente do volue de aterial do fio, sendo este proporcional ao copriento do fio (de u dado diâetro). Tendo e conta que u sólido possui aior quantidade de defeitos na sua superfície do que no seu interior (por exeplo, defeitos produzidos por acabaento superficial ou corrosão superficial), a probabilidade de fractura dependerá apenas da área total superficial do coponente. Para questões de projecto, é geralente ais iportante deterinar a probabilidade de que ua propriedade de u coponente exceda u valor liite do que deterinar u valor particular tal coo a tensão édia de ruptura. A experiência deonstrou que ua distribuição noral (Gaussiana) dos valores de ua deterinada propriedade de u aterial dúctil fornece ua caracterização razoavelente rigorosa do coportaento do aterial; o eso não se poderá dizer para o caso de u sólido frágil. Coo tal, serão necessárias outras teorias estatísticas que considere a variabilidade da tensão e da resistência à fractura dos sólidos frágeis. A discussão que se segue, baseada na análise de Weibull, caracteriza a probabilidade de sobrevivência de u dado coponente e função do seu volue e da tensão aplicada. Para o caso de u veio frágil de copriento L, sujeito a ua tensão σ, a probabilidade de sobrevivência é dada por S(L). Para ua outra peça no eso aterial co copriento L, a probabilidade de sobrevivência à esa tensão é S(L ). Se se juntare x peças deste veio, a probabilidade total de sobrevivência, para a esa tensão, será S(L 0 ) x, sendo L 0 o copriento de cada unidade. (A probabilidade de sobrevivência dos x segentos do veio é análoga à probabilidade de obter u resultado específico co ua série de lançaentos de ua oeda. Ua vez que a probabilidade de obter ua cara é 1/2, a probabilidade de obter duas caras será 2

3 1/4. Para três caras, a probabilidade será 1/8, ou (1/2) 3 ). Se a distribuição de fissuras e cada volue for a esa, a probabilidade de sobrevivência do veio será: SV ( )= SV ( 0 ) x, (1) sendo V 0 o volue de cada unidade do sólido. Utilizando logaritos e rearranjando a equação (1), tereos SV ( )= exp x ln SV 0 ( [ ( )]). (2) Weibull definiu o risco de ruptura R coo sendo R = x ln[ SV ( 0 )], (3) e consequenteente SV ( )= exp( R). (4) Para u volue V, deonstra-se que o risco de ruptura é R = f ( σ ) dv, (5) V sendo apenas função da tensão. Ale disso, segundo Weibull ( ) f ( σ )= σ σ u σ 0, (6) onde: σ - tensão aplicada σ u - tensão abaixo da qual há 0% de probabilidades de ruptura. Isto iplica a existência de u liite superior para o taanho dos defeitos presentes no aterial. (No caso da 3

4 fadiga e aços, σ u = σ fadiga. Para os cerâicos frágeis, σ u = 0 ua vez que qualquer σ 0 tensão de tracção poderá causar fractura. Para σ < 0 não é previsível a ocorrência de fractura, ua vez que tensões de copressão tende a fechar a fissura.). - tensão característica, sendo seelhante à tensão (resistência) édia do aterial. - ódulo de Weibull que caracteriza a variância na resistência do aterial, sendo análogo ao desvio padrão da resistência dos ateriais. Valores crescentes de reflecte o coportaento de u aterial ais hoogéneo, co níveis de resistência, para u dado coponente, ais previsíveis. No liite, quando tender para infinito, a probabilidade de fractura, para todos os níveis de tensão <σ 0, será zero. Quando σ = σ 0, a probabilidade de fractura será 1. Contrariaente, quando se aproxia de 0, R tende para a unidade, ocorrendo fractura co igual probabilidade para qualquer nível de tensão. Para todos os outros valores (0<< ), o risco de fractura será tabé função do ódulo de Weibull. Por exeplo, se σ u = 0 e fractura de 0.5: f ( σ ) constante, tereos para u volue unitário e para u risco de 0.5 = σ R= 0.5 σ 0, (7) e consequenteente, o nível de tensão correspondente a u risco de ruptura de 0.5 é σ R= 0.5 = ( 0.5) 1 σ 0. (8) Quando =2 ou =20, σ R= será 0.71σ 0 e 0.97σ, respectivaente, ou seja, quanto ais baixo for o valor de, enor será a tensão adissível para assegurar a esa probabilidade de ruptura. Ale disso, é perigoso considerar o eso coeficiente de segurança (que traduz ua fracção de σ 0 ) para dois ateriais frágeis diferentes ( diferente), ua vez que a esa probabilidade de fractura dos dois ateriais corresponde a diferentes fracções das suas tensões édias. 4

5 2. Efeito do Taanho na Natureza Estatística da Fractura Cobinando as equações (4) a (6), a probabilidade de sobrevivência para ua tensão unifore é dada por O eso é dizer que o risco de falha F é SV ( )= exp V σ σ u σ 0. (9) F = 1 exp V σ σ u σ 0. (10) Considerando o duplo logarito da equação (9) e rearranjando, poderá obter-se ua relação linear entre a probabilidade de sobrevivência e a tensão aplicada nu coponente, sendo o declive do gráfico caracterizado pelo ódulo de Weibull, (ver por exeplo a figura seguinte). A equação (9) ostra que para a esa probabilidade de sobrevivência, a resistência à fractura de u dado aterial varia co o volue do coponente. Por exeplo, se σ u = 0, V 1 ( σ 1 ) = V 2 ( σ 2 ), (11) 5

6 e σ 1 = V 2 σ 2 V 1 1. (12) Logicaente, que para ua probabilidade igual de sobrevivência, quanto aior for o volue do coponente, ais baixa é a tensão necessária para ocorrer a fractura (ver figura anterior). Exeplo Considere a utilização de duas peças fabricadas e ateriais cerâicos frágeis nua dada aplicação. Os ódulos de Weibull para os dois ateriais são 2 e 10, respectivaente. Se σ A e σ B representare as tensões necessárias para a esa probabilidade de sobrevivência de provetes laboratoriais dos dois ateriais, de quanto deverão ser alteradas as tensões respectivas se o volues dos coponentes reais de cada aterial fore 10x aiores do que os dos provetes laboratoriais? E cada caso, a tensão necessária para a esa probabilidade de sobrevivência varia co a relação volue provete/coponente (ver equação (12)). Para o caso do aterial co ódulo de Weibull ais elevado, a tensão para a esa probabilidade de sobrevivência diinuirá 1.26x, considerando o volue do coponente 10x aior de que o do provete. Mais preocupante será a tensão necessária para a esa probabilidade de sobrevivência do outro aterial, a qual diinuirá 3.16x, quando o volue auentar 10x. Obviaente que o aterial co o aior grau de dispersão nas propriedades ecânicas (isto é, ódulo de Weibull ais baixo) será ais sensível ao efeito de taanho. A probabilidade de sobrevivência dependerá tabé da existência de gradientes de tensão e do volue de aterial associado que fica sujeito à tensão áxia no coponente ou provete. Por exeplo, espera-se que a probabilidade de fractura seja aior e tracção do que e copressão. Ua força de tracção produz a esa tensão através de toda a área da secção transversal do coponente, enquanto que forças de flexão origina ua tensão áxia soente na parte exterior do veio. Considerando os volues respectivos dos locais sujeitos a tensões 6

7 áxias de tracção e de flexão, poderá ser deonstrado que para a esa probabilidade de sobrevivência os níveis de tensão de fractura nas aostras sujeitas a tracção e flexão serão diferentes. Considere-se a relação entre forças de tracção e flexão para a esa probabilidade de sobrevivência: σ 3pontos { } 1. (13) = 2( +1) 2 σ tracção Se o ódulo de Weibull de dois ateriais for 2 e 10, respectivaente, tal coo foi exeplificado no exeplo anterior, a relação tensão flexão/tracção para ua probabilidade igual de sobrevivência será 4.24 e 1.73, respectivaente. A barra sujeita à flexão terá aior resistência ua vez que o volue de aterial sujeito à tensão áxia é enor do que o da barra sujeita à tracção. Isto é verdade especialente para os casos e que é baixo. Contrariaente, à edida que se aproxia do infinito, as propriedades das barras sujeitas à tracção e copressão converge para o eso valor. 7