APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS: PROBLEMA DO PARAQUEDISTA EM QUEDA LIVRE

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1 APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS: PROBLEMA DO PARAQUEDISTA EM QUEDA LIVRE Tatiana Turina Kozaa 1 Graziela Marchi Tiago E diversas áreas coo engenharia, física, entre outras, uitas de suas aplicações apresenta u conjunto de dados de ua variável edida e deseja-se descobrir ua tendência para estes valores ou ua função que elhor represente este conjunto de dados. U dos étodos para se deterinar a elhor aproxiação para estes conjuntos de pontos discretizados é o étodo dos ínios quadrados. A obtenção de ua função adequada que represente elhor as características do conjunto de dados é de extrea iportância para que se possa fazer ua previsão de seu valor futuro ou eso para deterinar funções ais siples que aproxie funções coplicadas. Neste trabalho, foi estudado o problea de u paraquedista e queda livre. Dados experientais da solução analítica do problea e do odelo epírico serão coparados ao ajuste pelo étodo dos ínios quadrados. Os resultados deonstra a aplicabilidade e o bo desepenho do étodo dos ínios quadrados. Palavras chaves: Método dos Mínios Quadrados. Queda-livre. In any areas, such as engineering and physics, several applications involve a set of variable easureent data. Our objective is thereby to find a trend or a function which fits these data. One of the ethods used to deterine the best fit for these data is the Least Squared Method. It is extreely iportant to acquire an accurate function which best typifies the data so that it is possible to forecast their future value or even to establish a sipler function to substitute a coplex one. In this work, a parachutist proble was considered as a case of study. Experiental data fro the issue analytical solution and the epirical odel will be copared to the fit using the Least Squared Method. The results show the good perforance and the applicability of this ethod. Keywords: Least Squared Method. Free fall. 1 INTRODUÇÃO E diversas áreas coo engenharia, ateática, física, entre outras, a resolução de u problea coeça co a odelage ateática, que não é tão siples, dependendo da aplicação e da solução do problea odelado. Poré, existe uitos odelos ateáticos que não pode ser resolvidos exataente. E uitos destes casos, a única alternativa é desenvolver ua solução nuérica que aproxia a solução exata e represente fisicaente o problea e estudo. Existe uitos tipos de étodos nuéricos, e eles tê ua característica e cou: na aioria das vezes envolve grande núero de cálculos aritéticos. Hoje e dia, a disponibilidade uito difundida dos coputadores e a parceria co étodos nuéricos vê tendo ua influência significativa na resolução oderna de probleas da engenharia, por exeplo. 1 Aluna de Iniciação Científica do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo Capus Guarulhos. E-ail: <tatiana_kozaa@hotail.co>. Doutora e Engenharia Mecânica pela USP - Professora do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo Capus São Paulo. E-ail: <grazielaarchi@gail.co>. Sinergia, São Paulo, v. 1, n. 1, p , jan./abr

2 Aplicação do étodo dos ínios quadrados: problea do paraquedista e queda livre Tatiana Turina Kozaa/Graziela Marchi Tiago Ebora as soluções analíticas ainda seja extreaente valiosas tanto para trazer soluções quanto para fornecer ua visão geral dos probleas, os étodos nuéricos representa alternativas que auenta enoreente os recursos para confrontar e resolver probleas. Assi, o coputador e os étodos nuéricos auxilia nas soluções dos probleas coplexos e ais tepo fica disponível para ser usado na forulação do problea e na interpretação da solução. Alé disto, os étodos nuéricos são u veículo eficiente para o aprendizado e para o uso dos coputadores, e reforça o entendiento da ateática. Co isto, o objetivo deste trabalho é fazer u estudo teórico e realizar a ipleentação de u étodo nuérico, especificaente neste oento o étodo dos ínios quadrados para casos lineares e não lineares. Para tanto, foi estudado o problea de ua paraquedista e queda livre, para a qual existe solução analítica conhecida, solução por u odelo epírico, e resultados experientais. Assi, as coparações serão feitas usando o étodo dos ínios quadrados e ostrarão a aplicabilidade do étodo e seu desepenho. CORPO EM QUEDA LIVRE Alguns odelos ateáticos de fenôenos físicos pode ser uito coplexos e/ou não pode ser resolvidos exataente, ou exige técnicas ateáticas ais sofisticadas do que a álgebra siples para sua solução. U destes probleas é descobrir ua função que elhor represente a velocidade de u corpo e queda livre e tabé estie sua velocidade terinal, perto da superfície da Terra. Este corpo e queda livre será u paraquedista (CHAPRA & CANALE, 008). A segunda lei de Newton: F = a (1) onde F é a força resultante agindo no corpo (N ou Kg /s ), a assa do objeto (Kg) e a é a sua aceleração (/s ), pode ser usada para deterinar esta velocidade. U odelo para este caso pode ser deduzido expressando a aceleração coo taxa de variação da velocidade no tepo. Assi, da Eq. (1): dv dt = F () onde v é a velocidade (/s) e t é o tepo (s). Se a força resultante for positiva, o objeto irá acelerar. Se for negativa, o objeto vai desacelerar. Se a força resultante for nula, a velocidade do objeto peranecerá e u nível constante. Para u corpo e queda livre na vizinhança da Terra, a força resultante é coposta de duas forças opostas: a força gravitacional, para baixo, F D, e a força da resistência do ar, para cia, F U : F = F D + F U (3) Se associaros u sinal positivo à força para baixo, a segunda lei pode ser usada para escrever a força devida à gravidade coo: F D = g (4) onde g é a constante gravitacional, ou a aceleração devida à gravidade, que é aproxiadaente igual a 9,8 /s. A resistência do ar pode ser forulada de diversas aneiras. Ua abordage siples é assuir que ela é linearente proporcional à velocidade e age no sentido para cia, coo e: F U = - cv (5) onde c é ua constante de proporcionalidade chaada coeficiente de arrasto kg/s. Portanto, quanto aior a velocidade de queda, aior a força para cia devida à resistência do ar. O parâetro c representa as propriedades de objetos e queda livre, coo a fora ou a aspereza da superfície, que afeta a resistência do ar. No caso presente, c poderia ser ua 94 Sinergia, São Paulo, v. 1, n. 1, p , jan./abr. 011

3 Aplicação do étodo dos ínios quadrados: problea do paraquedista e queda livre Tatiana Turina Kozaa/Graziela Marchi Tiago função do tipo de acacão ou da orientação usada pelo paraquedista durante a queda livre. A força resultante é a diferença entre a força para baixo e a força para cia. Portanto, as equações cobinadas fornece: dv dt = g - c v g v(t) = (1 - e c -(c/)t ) (6) Esta é ua equação diferencial escrita e teros da taxa de variação diferencial da variável que estaos interessados e prever. A solução exata ou analítica não pode ser obtida usando anipulação algébrica siples. Para se obter esta solução, vaos considerar que o paraquedista esteja inicialente e repouso, ou seja, v = 0 e t = 0, fornecendo u PVI cuja solução é (BOYCE & DIPRIMA, 006): (7) Alé disto, segundo Chapra & Canale (008), u odelo epírico alternativo para a velocidade do paraquedista, que será usado nas coparações, é dado por: v(t) = g t (8) c 3,75 + t dos ínios quadrados (MMQ) para o caso discreto. O problea de ajuste de curvas (FRANCO, 006), no caso e que teos ua tabela de pontos (x 1,f(x 1 )),(x,(f(x )),(x 3,f(x 3 )),...,(x,f(x )), co x 1, x, x 3,..., x pertencentes a u intervalo [a,b] consiste e: escolhidas as n funções g 1 (x), g (x), g 3 (x),..., g n (x), contínuas e [a,b], obter n constantes α 1, α, α 3,..., α n, tais que a função φ (x) = α 1 g 1 (x) + α g (x) α 3 g 3 (x) α n g n (x) se aproxie ao áxio de f(x). A escolha das funções g 1 (x), g (x), g 3 (x),..., g n (x) pode ser feita observando o gráfico dos pontos tabelados ou baseando-se e fundaentos teóricos que nos fornecera a tabela. Seja d k = f(x k ) o desvio e x k co k = 1,...,. O MMQ consiste e escolher os a j 's, de tal fora que a soa dos quadrados dos desvios seja ínia. Ou seja, a soa d k = [f(x k )] sendo ínia, cada parcela [f(x k )] será pequena e cada desvio d k = f(x k ) será pequeno. Assi estaos interessados e iniizar a função: F(α 1,α, α 3,..., α n ) = [f(x k )] = [f(x k ) - α 1 g 1 (x) - α g (x) α n g n (x)] (9) Observe tabé que após u tepo suficienteente longo, é atingida ua velocidade constante, chaada de velocidade g terinal v(t) =. Esta velocidade é constante c porque eventualente a força da gravidade estará e equilíbrio co a resistência do ar. Portanto, a força resultante é nula e a aceleração deixa de existir. 3 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Para a aplicação escolhida neste trabalho, estaos trabalhando co o étodo Sinergia, São Paulo, v. 1, n. 1, p , jan./abr. 011 Se o odelo ajustar exataente os dados, o ínio da função acia será zero e, portanto, estaos nu caso especial do MMQ que é a interpolação. Usando Cálculo Diferencial para obter o ponto de ínio da função F (RUGGIERO & LOPES, 1997), (ARENALES & DAREZZO, 008) e (CAMPOS, 007), encontraos u sistea linear co n equações e n incógnitas Aα = b para se deterinar os valores de α, onde A = (a ij ) é tal que: a ij = g j (x k ) g i (x k ) = a ji, α = (α 1, α, α 3,..., α n ) t e b = (b 1, b, b 3,..., b n ) t é tal que b = f(x k ) g i (x k ), i,j = 1,...,n. 95

4 Aplicação do étodo dos ínios quadrados: problea do paraquedista e queda livre Tatiana Turina Kozaa/Graziela Marchi Tiago Esta solução pode ser encontrada tanto para a função φ(x) linear (caso polinoial), quanto para φ(x) não linear. Para se calcular o erro entre a função aproxiada φ(x) e f(x), basta usar o desvio quadrático entre as duas funções: e(x k ) = [f(x k )] 4 RESULTADOS OBTIDOS (10) Para a ipleentação do étodo dos ínios quadrados, fora utilizados os dados experientais obtidos e (CHAPRA & CANALE 008). O software utilizado para a siulação foi o Scilab. O problea e estudo considera para os cálculos c = 1,5 kg/s e = 68,1 kg. Na Tabela 1, listaos o tepo considerado, velocidades experientais, velocidades do odelo ateático Eq. (7), velocidades do odelo epírico Eq. (8), co o tepo edido e segundos (s) e as velocidades e /s. Através da observação dos dados, fora usados dois odelos para o ajuste pelo étodo dos ínios quadrados. U dos ajustes foi linear através de u polinôio de grau 5 (v(t) α 0 +α 1 t+α t +α 3 t 3 +α 4 t 4 +α 5 t 5 ) e o outro ajuste foi não linear através da at função v(t). b + t Os coeficientes encontrados pelo étodo dos ínios quadrados para o caso linear fora: a 0 = 1,88783 a 1 = 8, a = - 0, a 3 = 0, a 4 = - 0, a 5 = 0, Já para o caso não linear os coeficientes são: a = 69, b = 5, Na Tabela, listaos o tepo considerado, velocidades calculadas através do odelo linear e as velocidades calculadas para o odelo não linear. Pelos dados da tabela, nota-se que tanto o odelo linear quanto o odelo não linear conseguira prever satisfatoriaente a velocidade do paraquedista e queda livre. Para a coparação entre os odelos e o experiento foi calculado e cada caso o erro quadrático (Eq. 10), para o intervalo de tepo considerado e os valores são apresentados na tabela 3: Tabela 1 - Velocidades de u paraquedista e queda livre Tepo (s) Velocidades experientais (/s) Velocidades (Eq. 7) (/s) Velocidades (Eq. 8) (/s) 1 10,00 8,953 11,40 16,30 16,405 18, ,00,607 3,79 4 7,50 7,769 7, ,00 3,065 30, ,60 35,641 3, ,00 38,617 34, ,50 41,095 36, ,90 43,156 37, ,00 44,87 38, ,00 46,301 39, ,50 47,490 40, ,00 48,479 41, ,00 49,303 4, ,00 49,988 4,71 96 Sinergia, São Paulo, v. 1, n. 1, p , jan./abr. 011

5 Aplicação do étodo dos ínios quadrados: problea do paraquedista e queda livre Tatiana Turina Kozaa/Graziela Marchi Tiago Tabela - Velocidades de u paraquedista e queda livre Tepo (s) Velocidades caso linear (/s) Velocidades caso não linear (/s) 1 9, , , , , , , , , , , , , , , , ,9949 4, , , , , , , , , , , , , Tabela 3 - Erro Quadrático Erro Modelo ateático Modelo epírico Ajuste linear Ajuste não linear 13, ,5983 3, , Percebeos, através do cálculo do erro, que o elhor resultado para prever a velocidade do paraquedista de fora satisfatória e coparação aos dados experientais foi o ajuste linear (caso polinoial) feito pelo étodo dos ínios quadrados. Ainda assi, o odelo ateático e o odelo ajustado não linear tabé apresentara resultados significativos. Abaixo teos a Fig. 1 coparando os odelos no intervalo de tepo considerado. Figura 1 - Velocidades do paraquedista e queda livre Sinergia, São Paulo, v. 1, n. 1, p , jan./abr

6 Aplicação do étodo dos ínios quadrados: problea do paraquedista e queda livre Tatiana Turina Kozaa/Graziela Marchi Tiago Se a coparação for feita e relação à velocidade terinal ( 53,39 /s), tanto o odelo linear quanto o odelo não linear deixa de representar adequadaente a velocidade. Para o caso linear a extrapolação é alta e para o caso não linear esta velocidade tende ao valor de a = 69, CONCLUSÃO Dois odelos, u linear e outro não linear, ajustados pelo étodo dos ínios quadrados, fora apresentados neste trabalho. Os ajustes fora para prever a velocidade de u paraquedista e queda livre. Os resultados fora coparados co odelos ateático, epírico e experiental através do erro quadrático. Estes resultados fornecera ua previsão satisfatória para a velocidade dentro do conjunto de dados analisados. A discordância significativa foi co o odelo linear que extrapolou o resultado da velocidade terinal. Ua aior quantidade de dados experientais poderá fornecer, para o odelo a se ajustar, u aior núero de inforações para a deterinação dos parâetros e, consequenteente, elhores resultados e relação à velocidade terinal. Estes resultados ostrara a aplicabilidade do étodo dos ínios quadrados quando se deseja ajustar u conjunto de dados experientais. AGRADECIMENTOS Este trabalho contou co o apoio financeiro do CNPq Bolsa PIBIT (Edital IFSP 075/010). REFERÊNCIAS ARENALES, S.; DAREZZO, A. Cálculo nuérico aprendizage co apoio de software. São Paulo: Thoson, 008. BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R.C. Equações diferenciais eleentares e probleas de valores de contorno. Rio de Janeiro: LTC, 006. CAMPOS FILHO, F. F. Algoritos nuéricos. Rio de Janeiro: LTC, 007. CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. Métodos nuéricos para engenharia. São Paulo: McGraw-Hill, 008. FRANCO, N. B. Cálculo nuérico. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 006. RUGGIERO, M.; LOPES, V. L. Cálculo nuérico: aspectos teóricos e coputacionais. São Paulo: Makron Books, Sinergia, São Paulo, v. 1, n. 1, p , jan./abr. 011