CAPíTULO 10 - ACELERAÇÃO DE CORIOL\S E CORRENTES GEOSTRÓFICAS

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1 1 CAPíTULO 10 - ACELERAÇÃO DE CORIOL\S E CORRENTES GEOSTRÓFICAS 1. Introdução Seja u vetor à nu sistea de coordenadas (x, y, z), co os versores T,], k, de odo que A = A 1 i + A 2 j + A 3 k. A derivada no tepo deste vetor é dada por: d AI -; d A 2 ; d A 3-1+ J+ k dt dt dt - Considere-se que o sistea de coordenadas (x, y, z) te rotação n e relação a u sistea fixo (X, Y, Z), tendo a esa orige O(Figura 1). Neste caso, a derivada no tepo do vetor -+ A e relação ao sistea fixo é dada por: (1) -+ dã d A, - d i d A 2 - d j -- i +A t -+ j+a d A -+ 3 dk k+a 3 (2) ou seja, dã dã d T -+ d } dk -- +AI-+A- +A (3) onde dã Idt I é a derivada no tepo e relação ao sistea óvel. -+ d d -+-+ Coo i é u versor, resulta que - ( i. i )é constante, - ( i. i ) = dt dt di di -; -; di -r di c:: =21. - = O, portanto 1 é perpendicular a -, e então: ili ili ili ili

2 2 - di = zz, j + a 2 k (4) d j - - = a k + a 4 1 (5) 3 - d k ---: ; - =as I + a 6 J (6) d j di; Coo I. j = O, entao i J = O. De (5) - d ] () at - lo --=a 4 o De 4, -- oj=a)o=>a 4=-a j dt dt analogaente, U5 =- U2 e U6 =- U3; e o sitea (4), (5) e (6) se torna: dt _ = a I} + a 2 k (7) d J - "7 -= a k -a 1 (8) 3 I dk _ = -a 2 i - a 3 j (9) e portanto, - - > d i d j A - + A (10) que pode ser escrito coo

3 3 ê ;- 1 J k a 3 -a ai (11) 2 AI A 2 A 3 Escolhendo a 3 =0I'-a 2 =02 e ai =03' onde (01' O 2,03 ) são tais que Q= 0I T+ 02 ] + 03 k, o deterinante é igual a (12) (13) (14) Para deterinar a aceleração de ua partícula co u vetor posição r, nos dois sisteas, inicialente se considera dr dr \ r (15) E a aceleração é dada por:

4 4 d? r _d (_d_r ' f f +.0 (16) Reaplicando (14): d 2 r [ d ? f J f r - I /\ [d dt +.0 /\ r) dr (17) (18) fi dr - dr +.0/\ - (19) Coo dó / dtl = O, pois n é constante, então dr (20) Sendo V= df / dt, (20) se toa 2. A aceleração da gravidade n/\ v+.o/\.o/\ r (21 ) Pela lei de Newton, duas assas M e, cujos centros são separados pela distância a, sofre ua força de atração gravitacional F dada por: F=GM/::i (22) onde G é a constante \Jravitacioné3I, igu31 a X k r;

5 5 No caso da Terra, a aceleração da gravidade Newtoniana é dada por F GM gn = - = 2 (23) a (na direção do centro da Terra) de odo que, inserindo os valores da assa da Terra M = X kg e o raio da Terra a = x1 0 6, resulta o valor édio da gravidade Newtoniana gn = rn/s". Por outro lado, u corpo na superfície da Terra sofre ua aceleração centrífuga 0 2 R, na direção noral ao eixo de rotação, para fora (Figura 2); n é a velocidade angular de rotação da Terra e R é a distância ao eixo de rotação. Sendo q> a latitude do local, R = a cos rp (24) A coponente vertical da aceleração centrífuga pode ser escrita coo gc = _Q2 a cos ' rp (25) Dessa fora, a aceleração da gravidade g pode ser considerada coo a coposição da gravidade Newton iana gn co a aceleração centrífuga gc (ver Figura 2); na realidade, a aceleração da gravidade g te direção ligeiraente diferente de gn, as coo esta diferença ('ti) é uito pequena, g pode ser aproxiado coo: (26) gn depende da distribuição de assa na Terra as, de qualquer fora, a aceleração da gravidade terrestre g te ua parcela que depende da latitude, e quanto a esta dependência g te valor ínio no Equador (<p=o) e áxio nos pólos (<p=90 0). 3. Acelerações centrífuga e de Coriolis É conveniente descrever os ovientos no oceano ou na atosfera co referência a u sistea de coordenadas na superfície da Terra. Considerando este sistea de coordenadas coo sendo (x,y,z), co versores (i ~ j~ k), então, u vetor V, co coponentes (u,v,w) é expresso coo: V = li T+ V } + W k (27) --:- Noralente, 1 aponta para Leste (!:E),j para o Norte (N) e k para baixo (Figura 3). A expressão (21), ;l p l j C3.d~ à Terra, relaciona a aceleração no sistea de coordenadas fixo no e Sf Aç.o 6:JM. A, A~ t24w f-io :?j>fe~ '. ' _;; Q'G:' ~lc"0 ' :O~ 1 '.c:.."1"..,) I. ~ de coordenadas na Terra, sendo, então, ~ t. a vetocidade angular de rotação da Terra.

6 6 o tero n 1\ (Ó 1\ r) é a aceleração centrífuga; te agnitude ÇiR (onde R é a distância noral ao eixo de rotação), te direção perpendicular ao eixo de rotação do sistea de coordenadas, no sentido para fora (Figura 2). O tero 2 n 1\ V é chaado "aceleração de Coriolis". Sendo <p a latitude de u ponto na Terra, ---+ n é escrito coo: ó. = Q cos cp] - Q sen cp k (28) A aceleração de Coriolis é dada por: j k 2 Q /\ V =2 Q O cos cp. - sencp u v w = 2 Q (w cos cp+ v sen cp) i - 2 Q u sen cp] - 2 Q u cos cp k O parâetro de Coriolis é definido coo: f = 2 n sen qj e sua derivada é: f' = 2 n cos qj (29) (30) (31) Portanto, (29) pode ser escrito coo 2 n 1\ V = (r v + f' w) T- f u ] - f' u k (32) A aceleração de Coriolis te as seguintes características: 1) só existe quando há velocidade e relação à superfície da Terra (V). 2) sua coponente vertical é desprezível e relação a outras acelerações, coo a gravidade; coo fw «< fv ou fu, então pode ser aproxiada por f v T - f u ] ; portanto, sua agnitude horizontal é f V = 2 n V sen <p, onde V=.Ju' + V2. 3) não te coponente horizontal no Equador, onde f =O, pois <p =o. 4) te direção noral à velocidade, sendo ~ direita da velocidade no heisfério Norte e à esquerda da velocidade no heisfério Sul. 5) não há realízaçâo de trabalho, vistoque.1 aceleração não te coponente na direção do oviento.

7 7 Dessa fora, ao considerar a aceleração centrífuga ea aceleração de Coriolis, as leis físicas válidas para sisteas inerciais pode ser consideradas para sisteas de coordenadas na superfície da Terra. Por siplicidade, a aceleração centrífuga pode ser considerada através da variação da gravidade terrestre co a latitude. 4. Correntes geostróficas nu oceano hoogêneo Foi visto que, nu oceano onde a superfície isobárica faz u ângulo e co a superfície de nível, se te ua aceleração do gradiente de pressão igual a: d" X - = - g tg () (33) de Se u fluido está e oviento co ua velocidade horizontal de intensidade V, há a ação da aceleração de Coriolis, igual a f V = 2 n V sen rp (34) É possível ua situação na qual as duas acelerações acia citadas esteja e equilíbrio, nu estado estacionário. Então, g tg ()= 2 n V sen qj (35) Sob a hipótese que apenas estas duas acelerações deve ser consideradas, é possível calcular a velocidade na superfície isobárica inclinada: V= g tg () 2 n sen qj (36) A hipótese de que não há acelerações alé da aceleração de Coriolis e de gradiente de pressão requer u fluxo retilíneo (se aceleração centrífuga) e se fricção (atrito). Ua estiativa das inclinações encontradas no oceano pode ser obtida usando <p =45, g =9.806 /s 2, Q= X rad/s e V = 1.00 /s. Resulta tg e = 1.05 x 10-5, i. e" a inclinação típica éde1.~~~ As "correntes geostróficas" são caracterizadas por: 1) Não há outras acelerações alé da aceleração de gradiente de pressão e da aceleração de Coriolis, e estas estão e equilíbrio. 2) Existe u estado estacionário. 3) O fluxo é refilineo, pois ua curvatura do eso iria requerer ua aceleração centrífuga. 4) Acelerações devido à fricção são desprezíveis. 5) As.correntec nãosão auentadas ne diinuídas ao longo da direção do fluxo.

8 5. As equações do oviento para o fluxo geostrófico As equações do oviento para o fluxo geostrófico pode ser escritas segundo as coponentes nos eixos (x.y.z), co os versores ( T, J, k), onde Taponta para Leste, 1para Norte e k para baixo. As coponentes da velocidade são respectivaente (u,v,w). Inicialente, a aceleração de gradiente de pressão pode ser escrita coo 1 ó' p p ó'x (37) Na eq (32), coo fw «fv, resulta pl a coponente Leste da aceleração de Coriolis fv (38) Portanto, a equação do oviento para o fluxo geostrófico, segundo a coponente Leste é: 1 ó' p - - =fv p ó'x (39) Analogaente, para a coponente Norte, ~ ó'p =-fu p ó'y (40) E da relação hidrostática se te: 1 ó' p -- =g p ó'z (41 ) Portanto, as equações (39), (40) e (41) representa o oviento geostrófico, e sua solução fornece os valores de u, v e p. Note-se que para a equação (36) foi assuido que a coponente vertical da aceleração de Coriolis (- f I da gravidade (9) e prevalece o efeito da pressão hidrostática. U k) é uito enor que a aceleração A5 equações (39) G (40ypode ser expressas e função de ua direção n, de odo que a intensidade da velocidade geostrófica V seja dada por: 1 ó'p V=- - (42) fp ôn

9 9 dd=_l d p 10 P (43) E portanto as correntes geostróficas pode ser dadas e função da profundidade dinâica: 10 ó'd v=-- f ó'n Note-se que o conjunto de equações (39), (40) e (41) - resuido e (42) - leva e conta variações da densidade da água do ar; e se a profundidade dinâica O for utilizada, (44) tabé leva e conta variações de densidade. 6. Copleentação Ebora a "hipótese geostrófica" seja ua aproxiação siplificadora, cálculos de correntes através dela são razoavelente satisfatórios, e grande parte do conheciento atual da circulação nos oceanos foi alcançado através destes cálculos. (44) A Figura 4 ostra configurações de velocidades geostróficas associadas a acelerações de gradientes de pressão e de Coriolis, nos heisférios Norte e Sul (horizontalente e na coluna d'água). Na distribuição de isopicnais de ua área ocearuca, quando suas inclinações varia co a profundidade, as correntes geostróficas varia co a profundidade, o que gera o "cisalhaento geostrófico". Esta é a característica da situação "baroclínica", onde as inclinações das isopicnais varia e profundidade. Por outro lado, nua situação "barotrópica", as isopicnais são paralelas (se a água estiver e repouso, as isopicnais são horizontais; e se houver oviento da água, as isopicnais são inclinadas). No fluxo barotrópico, não há cisalhaento das correntes, ou seja, se te a esa corrente, da superfície até o fundo. As correntes geostróficas no oceano pode ser consideradas coo ua cobinação de coponentes baroclínica e barotrópica. Ua liitação no uso da relação geostrófica é que ela fornece apenas correntes relativas, isto é, fornece as correntes de u nível de profundidade e relação a outro nível; para converter esses cálculos e correntes absolutas, se deve deterinar a corrente absoluta nu certo nível ("nível de referência"). A solução ais cou assue que a corrente absoluta é zero e algu nível (profundidade se oviento); dessa fora, a equação geostrófica pode fornecer as correntes absolutas e todos os outros níveis. A seleção de u nível de referência é ua questão chave no uso do étodo geostrófico para O cálculo de correntes. í:reqüenteente se usa profundidades uito grandes (1500 ou 2000 ) coo níveis de correntes uito fracas, praticaente nulas (ebora esta escolha seja, e geral, arbitrária). Onfvel de referência depende, e geral, de cada área aostrada. Ua alternativa e relação a níveis de referência arbitrários se oviento se encontra no uso

10 la de u nível co oviento conhecido (através de edições correntoétricas, por exeplo). Para o cálculo do gradiente de pressão (e da velocidade geostrófica) há a necessidade de, pelo enos, duas estações oceanográficas. Co ua grade de estações, há a possibilidade de estiar os gradientes e todo o doínio, através de pares de estações. A Tabela 1 ostra os cálculos de correntes geostróficas, a partir dos capos de assa deterinados e duas estações na região da Corrente do Golfo. As estações se encontra na latitude 36.3 N, distanciadas entre si de k, e foi adotado o nível de 1500 coo o de oviento nulo. As Figuras 5 e 6 ostra apas da topografia dinâica, no Pacífico e no Atlântico Norte. No caso do Pacífico, o cálculo é para a superfície, e relação ao nível de 1000 dbar; e no caso do Atlântico, a estiativa é para a superfície de 100 dbar, e relação ao nível de 700 dbar. Os apas ostra claraente as circulações de superfície horárias no heisfério Norte e as intensificações das correntes de liite Oeste (isolinhas uito próxias); na Fig 6 se te a rotação anti-horária de superfície no Pacífico Sul, liitada ao Sul pela Corrente Circupolar A~~ca.. Note-se que os apas de topografia dinâica apresentados fora obtidos a partir de dados históricos, não sinóticos (não são observações siultâneas). De fato, na aior parte dos casos, o traçado de apas cobrindo grandes áreas oceân icas é realizado a partir de dados coletados e diferentes expedições. Poré, o fato de feições be definidas aparecere nesses apas, eso sendo referentes a diferentes períodos de aostrage, indica que são feições peranentes dos oceanos.

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