RESOLUÇÃO DAS QUESTÔES DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR DA UNICAMP POR PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA.

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1 RESOLUÇÃO DAS QUESTÔES DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR DA UNICAMP 006. POR PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA. 5. O gráfico ao lado ostra o total de acidentes de trânsito na cidade de Capinas e o total de acidentes se vítias, por veículos, no período entre 997 e 003. Sabe-se que a frota da cidade de Capinas era coposta por veículos e 003 e era 4% enor e 00. a) Calcule o núero total de acidentes de trânsito ocorridos e Capinas e 003. b) Calcule o núero de acidentes co vítias ocorridos e Capinas e 00 Adaptado de: Suário Estatístico da Circulação e Capinas Capinas, EMDEC, 004, p.. a) Coo o gráfico apresenta o total de acidentes por veículos, e coo e 003, veículos copunha a frota de cidade de Capinas, então o total de / / / / acidentes nesse ano foi de / / / / b) A frota de Capinas e 00 era de ( 0,04) veículos. O núero de acidentes co vítias nesse ano foi de / / / / (334 74) / / / / 6. Ua epresa possui 500 toneladas de grãos e seu arazé e precisa transportá-las ao porto de Santos, que fica a 300 k de distância. O transporte pode ser feito por cainhões ou por tre. Para cada cainhão utilizado paga-se R$ 5,00 de custo fixo, alé de R$ 0,50 por quilôetro rodado. Cada cainhão te capacidade para transportar 0 toneladas de grãos. Para cada tonelada transportada por tre paga-se R$ 8,00 de custo fixo, alé de R$ 0,05 por quilôetro rodado. Co base nesses dados, pergunta-se: a) Qual o custo de transporte das 500 toneladas de grãos por cainhões e por tre? b) Para as esas 500 toneladas de grãos, qual a distância ínia do arazé ao porto de Santos para que o transporte por tre seja ais vantajoso que o transporte por cainhões? RESOLUÇÃO:

2 500 a) Para transportar 500 toneladas de grãos serão necessários 5 cainhões a u 0 custo de R$ 5, R$ 0,50 R$ 3.5,00 R$ 3.750,00 R$ 6.875,00. Para transportar as 500 toneladas de grãos por tre o custo será de: R$ 8, R$ 0,05 R$ 4.000,00 R$.50,00 R$ 6.50,00. b) Considerando d coo a distância a se transportar as 500 toneladas de grãos, tereos: Custo do transporte por cainhões: R$ 5,00 5 d 5 R$ 0,50. Custo do transporte por tre: R$ 8, d R$ 0,05 Para que o transporte por tre seja ais vantajoso que o transporte por cainhões deveos ter 3.5,00,50 d > 4.000,00 7,50 d 5d > 875 d > 75. A distância ínia é então de 75k. RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR DA UNICAMP 006. POR PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA.. U carro irá participar de ua corrida e que terá que percorrer 70 voltas e ua pista co 4,4 k de extensão. Coo o carro te u rendiento édio de,6 k/l e seu tanque só coporta 60 litros, o piloto terá que parar para reabastecer durante a corrida. a) Supondo que o carro iniciará a corrida co o tanque cheio, quantas voltas copletas ele poderá percorrer antes de parar para o prieiro reabasteciento? b) Qual é o volue total de cobustível que será gasto por esse carro na corrida? a) Se para percorrer,6k é necessário litro de cobustível, para cada volta serão 4,4 necessários:, 75 litros.,6 Considerando coo n o núero de voltas copletas para o piloto parar co o fi de 60 reabasteciento:,75n 60 n,88...,75 Resposta: litros.

3 b) O volue total de cobustível que será gasto por esse carro na corrida será:, ,5 litros.. Ua epresa te 5000 funcionários. Desses, 48% tê ais de 30 anos, 36% são especializados e 400 tê ais de 30 anos e são especializados. Co base nesses dados, pergunta-se: a) Quantos funcionários tê até 30 anos e não são especializados? b) Escolhendo u funcionário ao acaso, qual a probabilidade de ele ter até 30 anos e ser especializado? Preenchaos a tabela de acordo co os dados do problea: Núero de funcionários Mais de 30 anos Até 30 anos Por idade 0, Especializados.400 0, Não especializados a).00 funcionários tê até 30 anos e não são especializados. b) A probabilidade de escolhendo u funcionário ao acaso, ele ter até 30 anos e ser 400 especializado é de 0,08 8% U cidadão precavido foi fazer ua retirada de dinheiro e u banco. Para tanto, levou sua ala executiva, cujo interior te 56 c de copriento, 39 c de largura e 0 c de altura. O cidadão só pretende carregar notas de R$ 50,00. Cada nota te 40 de copriento, 65 de largura, 0, de espessura e densidade igual a 0,75 g / c 3. a) Qual é a áxia quantia, e reais, que o cidadão poderá colocar na ala? b) Se a ala vazia pesa,6 kg, qual será o peso da ala cheia de dinheiro? Volue da ala: ( ) c c 3. Volue de cada nota: (4 6,5 0,0) c 3,8 c 3. a) A áxia quantia, e reais, que o cidadão poderá colocar na ala será ,8 b) Peso da ala vazia,6 kg. Peso das.000 notas:.000,8 0,75 g 6.380g 6,38kg 3

4 O peso da ala cheia de dinheiro é então:,6kg 6,38kg 8,98kg. 4. Seja S o conjunto dos núeros naturais cuja representação decial é forada apenas pelos algarisos 0,,, 3 e 4. a) Seja x u núero de dez u núero de dez algarisos pertencentes a S, cujos dois últios algarisos tê igual probabilidade de assuir qualquer valor inteiro de 0 a 4. Qual a probabilidade de que x seja divisível por 5? b) Quantos núeros enores que u bilhão e últiplos de quatro pertence ao conjunto S? a) Pela condição dada para o núero forado pelos dois últios algarisos, existe 5 5 possibilidades. No caso e questão para que o núero seja divisível por 5 te que ser divisível por 5, ou seja, terinar e zero ( pois só podeos escolher entre 0,,, 3, e 4) e ser tabé últiplo de 3. Sendo , o algariso das dezenas soente poderá ser preenchido co, pois, 6 8. Então soente existe u valor para x, que é: A probabilidade procurada é 0,04 4%. 5 b) Os núeros naturais do conjunto S são todos aqueles forados co os algarisos 0,,, 3 e 4. Se 0 x < 0 9, x te no áxio nove algarisos. Da prieira à sétia orde teos 5 possibilidades ( 0,,,3 ou 4). Coo x deve ser divisível por 4, para o núero forado pelas duas últias ordens teos as 8 possibilidades: 00, 04,, 0, 4, 3, 40 ou 44 ( U núero é divisível por quatro, quando os dois últios algarisos fore u últiplo de quatro). Logo o total de núeros é Para trocar ua lâpada, Roberto encostou ua escada na parede de sua casa, de fora que o topo da escada ficou a ua altura de aproxiadaente 4. Enquanto Roberto subia os degraus, a base da escada escorregou por, indo tocar o uro paralelo à parede, confore ilustração ao lado. Refeito do susto, Roberto reparou que, após deslizar, a escada passou a fazer u ângulo de 45º co a horizontal. Pergunta-se: 4

5 a) Qual é a distância entre a parede da casa e o uro? b) Qual é o copriento da escada de Roberto? Segundo as inforações da questão, a escada ao escorregar forou u triângulo retângulo isósceles. Aplicando o Teorea de Pitágoras nos dois triângulos teos: x d 4 (d ) d 4 d 4d 0 d ou d 6 x (d ) Coo d representa ua distância o seu valor não pode ser negativo, logo d x 4 4 x 3. Teos desse odo: a) A distância entre a parede da casa e o uro é (d) 3 b) O copriento da escada é 3. 5

6 6. A concentração de CO na atosfera ve sendo edida, desde 958, pelo Observatório de Mauna Loa, no Havaí. Os dados coletados ostra que, nos últios anos, essa concentração auentou, e édia, 0,5% por ano. É razoável supor que essa taxa anual de cresciento da concentração de CO irá se anter constante nos próxios anos. a) Escreva ua função C(t) que represente a concentração de CO na atosfera e relação ao tepo t, dado e anos. Considere coo instante inicial ou seja, aquele e que t 0 o ano de 004, no qual foi observada ua concentração de 377,4 pp de CO na atosfera. b) Deterine aproxiadaente e que ano a concentração de CO na atosfera será 50% superior àquela observada e 004. Se necessário, use log0 0,300, log0,0 0,303 e log0 3 0,477. a) Se os dados coletados ostra que, nos últios anos a concentração de CO na atosfera auentou, e édia, 0,5% por ano, e a questão supõe que essa taxa anual de cresciento da concentração de CO irá se anter constante nos próxios anos e que e 004, ano considerado 0, C(0) 377,4pp, então depois de passados t anos a variação será deterinada pela função C(t) 377,4(,005) t. b) C(t),5 377,4 pp 377,4(,005) t,5 377,4 (,005) t,5 t, 5 log, 005. Considerando que log0 0,300, log0,0 0,303 e log0 3 0,477. e aplicando as propriedades relativas de logaritos, teos: 3 log log,5 log3 log 0,477 0,300 0,76 t 80, log,005,0 log,0 log 0,303 0,300 0,00 log Resposta: No ano ( 00480)

7 7. U abajur de tecido te a fora de u tronco de cone circular reto, co bases paralelas. As aberturas do abajur tê 5 c e 50 c de diâetro, e a geratriz do tronco de cone ede 30 c. O tecido do abajur se rasgou e deseja-se substituí-lo. a) Deterine os raios dos arcos que deve ser dearcados sobre u novo tecido para que se possa cortar u revestiento igual àquele que foi danificado. b) Calcule a área da região a ser dearcada sobre o tecido que revestirá o abajur. a) As edidas dos raios dos arcos que deve ser dearcados sobre u novo tecido são as edidas dos segentos AC e AE. BC AC g Teos que AC 30 e AE 60. DE AE 30 Resposta: 30c e 60c. b) O copriento da circunferência de raio AC ede 60πc. Nesta circunferência o copriento do arco correspondente ao ângulo α ede 5πc. α 5π α 5 Assi que a área do setor desta circunferência deterinado π pelo eso ângulo ede 900π 375π c. Na circunferência de raio AE, a área do setor deterinado pelo eso ângulo α ede π 500π c. A área da região a ser dearcada sobre o tecido que revestirá o abajur será então 500π c 375π c 5πc. 7

8 8. De ua praia, u topógrafo observa ua pequena escarpa sobre a qual foi colocada, na vertical, ua régua de de copriento. Usando seu teodolito, o topógrafo constatou que o ângulo forado entre a reta vertical que passa pelo teodolito e o segento de reta que une o teodolito ao topo da régua é de 60º, enquanto o ângulo forado entre a esa reta vertical e o segento que une o teodolito à base da régua é de 75º. Sabendo que o teodolito está a ua altura de,6 do nível da base da escarpa, responda às questões abaixo. a) Qual a distância horizontal entre a reta vertical que passa pelo teodolito e a régua sobre a escarpa? b) Qual a altura da escarpa? Representeos a situação-problea co a seguinte figura: 8

9 No triângulo retângulo ABC, teos d cotg5.(x,6). No triângulo retângulo ABD, teos d cotg 30. (x,6 ). Destas duas afirações ve cotg5.(x,6) cotg 30. (x 0,4). Sendo cotg5 cotg(45 30 ) 3. tg45.tg cotg5 3 3 tg45 tg Então: ( 3 )(x,6) 3 (x 0,4) x 3, 3x,6 3 3x 0,4 3 x 3, 3 x,6 3 Calculando o valor de d: d cotg 30. (x 0,4) d 3.,6 ( 3 0,4) Respostas: a) A distância horizontal entre a reta vertical que passa pelo teodolito, representada na figura por d, e a régua sobre a escarpa é ( 3 3). b) A altura da escarpa, representada na figura por x, é (,6 3 ). 9. Seja dados: a atriz A y y y y 3 x x x x x, o vetor b 3 e o vetor 5 a) Encontre o conjunto solução da equação det( A) 0. b) Utilizando o aior valor de x que você encontrou no ite (a), deterine o valor de para que o sistea linear Ay b tenha infinitas soluções. x a) deta x x x x (x ) x x 9

10 deta (x ) [ x x x x ] (x )(4x 8) 0 x ou x S {, }. (x )(4x 8) y b) Para que o sistea y 3 tenha infinitas soluções, deveos ter, y 3 5 substituindo qualquer ua das colunas da atriz pelos eleentos da atriz 7 coluna 3 : Reposta: 3,5. 0. Sabe-se que a reta r(x) x intercepta o gráfico da função y x e dois pontos distintos, A e B. a) Deterine os possíveis valores para. b) Se O é a orige dos eixos cartesianos, encontre o valor de que faz co que a área do triângulo OAB seja ínia. y x, se x < 0 y x ou. y x, se x 0 Se a reta r(x) x intercepta o gráfico da função y x e dois pontos distintos, A e B. Graficaente teos as seguintes opções: 0

11 a) Considerando: > > < < 0 0 x )x ( x x x y 0 x se x, y Considerando: 0 0 x )x ( x x x y 0 x se x, y Resposta: ], ] b) Considereos A,, B, e O (0, 0).

12 Os raos do gráfico de y x são seiretas contidas nas duas bissetrizes dos quadrantes, logo o ângulo AÔB é reto e o triângulo AOB é retângulo. AO BO 8 ( ) 8 S AOB.. Para que S AOB 4 4 ( ) valor áxio, o que acontece quando 0. e assua o valor ínio é necessário que assua o seu. U triângulo retângulo de vértices A, B e C é tal que AC 6 c, AB 8 c e BC 0 c. Os segentos AC, AB e BC tabé são lados de quadrados construídos externaente ao triângulo ABC. Seja O o centro da circunferência que circunscreve o triângulo e seja D, E e F os centros dos quadrados co lados BC, AC e AB, respectivaente. a) Calcule os coprientos dos segentos DO, EO e FO. O triângulo ABC é retângulo, pois 0 8 6, assi o centro do círculo que o circunscreve é o ponto édio de sua hipotenusa ( lado BC).

13 Os segentos OF e OE são, respectivaente, paralelos aos lados AC e AB, que são interceptados e seus pontos édios; Então DO 5c, EO (43) c 7c e FO (34) c 7c.. b) O triângulo FOE é retângulo cujos catetos ede 7 c, então FE c. Dos triângulos retângulos BMO e ONC, concluíos que 4 cos α sen β. 5 3 cos β sen α e que 5 No triângulo DOF o ângulo DÔF ede (β 90 ), então pela lei dos cossenos 4 FD cos(β 90 ) ( senβe FD 30 c 5. No triângulo EOD o ângulo EÔD ede (α 90 ), então pela lei dos cossenos: 3 ED cos( α 90 ) ( sen α) ED 9 c 5.Resposta: FE 7 c, FD 30 c e ED 9 c 3

14 O ite b pode ser resolvido por Geoetria Analítica: Na alisando a figura veos que E ( 3,3), F (0,-4) e D ( 3,7) Usando a relação de distância entre dois pontos: DF 3 30 c. EF c DE c. As três raízes da equação x 3 3x x q 0, onde q é u parâetro real, fora ua progressão aritética. a) Deterine q. b) Utilizando o valor de q deterinado no ite (a), encontre as raízes (reais e coplexas) da equação. 4

15 a) Coo as três raízes estão e P.A. pode ser representadas coo x r, x e x r. Aplicando a relação entre as raízes e os coeficientes ( Relações de Girard), teos: (x r) x (x r) 3 3x 3 x, logo podeos representar as raízes da seguinte fora: r, e r. Sendo ua das raízes da equação x 3 3x x q 0, substituindo x por esse valor: 3 q 0 q 0. b) Para q 0, x 3 3x x 0 0. Aplicando novaente a relação entre as raízes e os coeficientes ( Relações de Girard), teos: ( r)()( r) 0 r 0 r 9 r ± 3i As raízes da equação são 3i, e 3i. Podeos tabé encontrar este resultado aplicando a relação ( r )() ( r )( r ) ( r )() ( outra das relações de Girard). Na resolução desta prova você poderá utilizar cainhos lógicos distintos dos que escolhi. 5