Lista de Exercícios 4 Cálculo I

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1 Lista d Ercícis 4 Cálcul I Ercíci 5 página : Dtrmin as assínttas vrticais hrizntais (s istirm) intrprt s rsultads ncntrads rlacinand-s cm cmprtamnt da funçã: + a) f ( ) = Ants d cmçar a calcular s its d uma funçã cm a finalidad d ncntrar as assínttas vrticais hrizntais, é imprtant calcular dmíni Dda funçã, pis ist ns dará infrmaçõs imprtants sbr as assínttas vrticais. Encntrand dmíni D da funçã f (): O dnminadr da fraçã + dv sr difrnt d zr, lg tms: 0 Nã istm mais rstriçõs as valrs qu pd assumir cndicinads a istência d f (), lg dmíni D da funçã f () srá: { : } D= R. Sabnd qu= nã prtnc a dmíni da funçã, pdms calcular it da funçã f () quand s aprima d cm a finalidad d vrificar s ist uma assíntta vrtical nst pnt. Calculand it btms f ( ) =, prém nã sabms s é psitiv u ngativ. Para iss prcisams calcular s its latrais: + + =, pis < 0 quand pla dirita + =+, pis > 0 quand pla squrda. Cm cnsqüência, tms qu a rta = é uma assíntta vrtical da funçã f (). Agra para tntar ncntrar assínttas hrizntas dvms calcular it da funçã f () quand tnd a Utilizand a rgra para cálcul d its d divisã d plinômis quand tnd a tms:

2 + + + = = = Lg ist uma assíntta hrizntal d quaçã y =. Prtant as assínttas sã = y =. b) f ( ) = + 4 Dtrminand dmíni D da funçã f (): Sabms qu dnminadr da fraçã dv sr difrnt d 0, prém + 4 > 0 para td. Lg, D=R. Cm nã há rstriçõs para s valrs d para a funçã f (), nã tms assínttas vrticais. Para ncntrar assínttas hrizntais (s istirm) basta calcular it da funçã f () quand tnd a : + 4 Usand a rgra para s cálculs d its d plinômis quand tnd à tms: f ( ) = Prtant ist uma assíntta hrizntal d quaçã y = c) g( ) = 4 Encntrand dmíni da funçã g () : Sabms qu dnminadr da fraçã tm qu sr difrnt d 0, lg tms: Prtant dmínid da funçã () f : D= { R } Agra vams prcurar as assínttas vrticais hrizntais:

3 Calculand it d g () quand tnd a ( ) tms: g( ) = = 4 Lg ist uma assíntta vrtical d quaçã =. Calculand it d g () quand tnd a tms: =. 4 Lg ist uma assíntta vrtical d quaçã=. Encntrand as assínttas hrizntais d g () : = 0 4 Lg ist uma assíntta hrizntal d quaçã y = 0. Esta assíntta hrizntal ns diz qu para valrs muit grands d, a funçã g() s aprima d valr. As assínttas vrticais ns dizm qu a funçã crsc u dcrsc muit rapidamnt quand s aprima d u quand s aprima d -. d) y= Para nã cnfundirms a funçã y= y = y() para a funçã. cm uma quaçã, utilizarms a ntaçã Primiramnt, ncntrarms dmíni D da funçã y (): Sabms qu dnminadr da fraçã dv sr difrnt d 0, lg tms: Prtant dmíni D da funçã () 0 ( ) 0 0 u y é: D= { : 0 u } R. Cm = 0 = nã pdm sr utilizads pla funçã y (), tntarms dscbrir qu acntc cm a funçã y () quand s aprima d 0 quand s aprima d.

4 Calculand it d y () quand tnd a 0: 0 = y( ) =. 0 Lg, ist uma assíntta vrtical d quaçã = 0. Calculand it d y () quand tnd a pla dirita: = = ( ) y( ) = Lg ist assíntta vrtical d quaçã =. Para ncntrar assínttas hrizntais, basta calcular it d y () quand tnd a. Calculand it d y () quand tnd a + : = 0 y( ) = 0 Lg ist uma assíntta hrizntal d quaçã y= 0. A assíntta hrizntal ns diz qu quand aumnta u diminui muit a funçã y () s aprima d 0. As assínttas vrticais ns dizm qu quand s aprima d 0 d, a funçã y () crsc u diminui muit, dpndnd d lad pl qual crr a aprimaçã d = d = 0. ) f ( ) = Nvamnt, ncntrarms dmíni da funçã f (): Sabms qu dnminadr da fraçã Lg dmínid da funçã () 0 f é: D= { R } dv sr difrnt d 0, lg tms: Irms calcular it d f () quand tnd a. S ss it fr igual a trms uma assíntta vrtical: = = 0 f ( ) =. 4

5 Lg tms uma assíntta vrtical d quaçã =. Para ncntrar assínttas hrizntais, basta calcular it d f () quand tnd a : Para calcular st it, pdms utilizar a rgra para cálculs d its cm divisã d plinômis tndnd a : f ( ) = Lg nã ist assíntta hrizntal para sta funçã. Cm rlaçã a assíntta vrtical d f (), pdms dizr qu quand s aprima d, a funçã f () aumnta muit u diminui muit, dpndnd s ns aprimarms d pla squrda u pla dirita. f) y= ( ) Para nã cnfundir a funçã y= ( ) cm uma quaçã, scrvri y( ). Encntrand dmíni da funçã y (): Sabms qu dnminadr da fraçã ( ) dv sr difrnt d 0, lg tms: ( ) 0. Lg = nã faz part d dmíni da funçã y (), ntã irms calcular it da funçã y () quand s aprima d para vr qu crr cm a funçã. Cas a funçã s aprim d, = srá assíntta vrtical. Calculand it d y () quand s aprima d pla dirita: = = ( ) 0 y( ) = Prtant tms uma assíntta vrtical d quaçã =. Para ncntrar assínttas hrizntais, basta calcular it d y () quand tnd a : 5

6 ( ) + Para calcular st it, basta usar a rgra d cálculs d its cm plinômis quand tnd à : y( ) = Prtant a quaçã y = rprsnta uma assíntta hrizntal. Ercíci 6 página : O stud da dissciaçã d ttróid d dinitrgêni m dióid d nitrgêni N 0 4 (g) N0 (g) Cnduz à sguint cnstant d quilíbri : nd α é grau d dissciaçã d ttróid n quilíbri P é a prssã ttal d sistma. Calcul s its d grau d dissciaçã quand a prssã tnd a zr a infinit intrprt s rsultads btids. Dica: f ( ) = f ( ) a a 4α P = α Primiramnt, dvms sabr d qual funçã vams calcular s its pdids n rcíci. Sgund nunciad, α é a nssa funçã a prssã P é a variávl indpndnt, lg dvms ncntrar a funçã α (P). Para ncntrar a funçã α (P), dvms rarranjar a prssã dada: 4α P = α ( α ) = 4α P α = 4α P = α + 4α P = α ( + P) =α ( + P) =α( P) ( + P) Agra calculand it da funçã α (P) quand P tnd a 0: P 0 ( + P ) P 0 ( + 0) P 0 ( + 0) α ( P) = P 0 Ist significa qu a baias prssõs, grau d dissciaçã s aprima d, u sja, à baias prssõs, dióid d nitrgêni é prdminant n quilíbri. 6

7 Agra, vams calcular it da funçã α (P) quand a prssã tnd a infinit. P ( + P ) P ( + P ) P ( + ) α ( P) = 0 P Quand a prssã tnd a infinit, a funçã α ε (P) tnd a 0 cm cnsquência imdiata, tms qu praticamnt nã crr dissciaçã ttróid d dinitrgêni prdmina. Ercíci 7 página : A partir da Mcânica Estatística, mstra-s qu a nrgia d ml d sciladrs harmônics m quilíbri térmic à tmpratura T é dada pr ET ( ) = N hν nd N é númr d Avgadr, K é a cnstant d Bltzmann, h é a cnstant d Planck υé a frquência vibracinal. Dtrmin it d E quand T 0 intrprt rsultad btid. hν kt Calculand it da funçã E (T ) quand T 0: N hν hν kt N hν hν 0k Nhν ET ( ) = 0 Quand a tmpratura s aprima d 0, tms qu a nrgia ds sciladrs harmônics s aprima d 0. Dica para qum tm curisidad: Prcurm sabr qu é um sciladr anarmônic, cas façam, pnsm s rsultad btid n cálcul d it faria sntid para ml d sciladrs anârmnics. 7