Capítulo 15. Oscilações
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- João Vítor Ribeiro Aranha
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1 Capítulo 5 Oscilaçõs
2 O Movinto Harônico Sipls MHS O Sista Massa-Mola Enrgia no Movinto Harônico Sipls O Pêndulo Sipls O Pndulo Físico O Monto d nércia O tora dos Eios Parallos O Movinto Circular Unifor O Movinto Harônico Sipls Aortcido Oscilaçõs Forçadas Rssonância
3 O ovinto oscilatório é u ovinto priódico no tpo, ou sja, u ovinto qu s rpt a intrvalos iguais. Eplos: Massa prsa a ua ola, pêndulos, o ovinto dos létrons d ua corrnt létrica altrnada, o ovinto circular...
4 Dfiniçõs d alguas variávis físicas vinculadas às oscilaçõs. Príodo (T: ntrvalo d tpo ncssário para copltar ua oscilação coplta. No S [s]. Frquência (f: Núro d oscilaçõs copltadas u intrvalo d tpo, qu pod sr d sgundo, inuto, hora ou o intrvalo ais apropriado. No S [Hrtz, Hz = /s]. f T Frquência Angular (: Considrando qu a cada príodo d oscilação podos associar rad, dfinios a frquência angular coo o núro d radianos rlacionados às oscilaçõs a cada sgundo. f T
5 O Movinto Harônico Sipls coprnd u tipo d ovinto oscilatório qu a posição da partícula função do tpo é dada tros d ua função sno ou cossno confor dscrito aaio. cos( t A aplitud, : É o áio dslocanto a partir do ponto d quilírio. (a A frquência ângular, : Quanto aior, ais oscilaçõs ocorr u dtrinado intrvalo d tpo. ( A constant d fas, : Dfin ond o ovinto inicia. (c Fas do ovinto, (t+ : Oscilaçõs fas pod apnas aprsntar difrnts aplituds. (a
6 É iportant notar qu a quação do ovinto harônico sipls é priódica, ou sja, s rpt à cada rad assi coo a cada príodo, T, sndo assi: cos( t cos( ( t T t ( t T T T f
7 Sando a posição da partícula a cada instant d tpo, podos or as quaçõs da vlocidad da aclração. cos( t d v( v( sn( t dt O valor áio da vlocidad da partícula ódulo val, ocorr quando a partícula stá passando pla posição d quilírio, ou sja t = T/4, 3T/4... dv( a( a( cos( t dt a( O ponto d ínio na posição indica u ponto d áio na aclração.
8 O Movinto Harônico Sipls é u tipo d ovinto oscilatório qu a Força é proporcional ao dslocanto, poré t sntido oposto ao dslocanto. E. Massa-Mola. d [ ] dt Solução: [ ] F d cos( t a [ ] dt [ ] a( cos( t T O príodo no Movinto Harônico Sipls não dpnd da aplitud do ovinto!
9 Eplo 5. pg. 9 U loco cuja a assa é 680 g é prso a ua ola cuja a constant lástica é 65 N/. O loco é puado sor ua suprfíci s atrito por ua distância d c a partir da posição d quilírio = 0 lirado a partir do rpouso no instant t = 0. a Quais são a frquência angular, a frquência o príodo do ovinto rsultant? Qual a aplitud das oscilaçõs? c Qual a vlocidad áia ond o loco s ncontra quando l t ssa vlocidad? d Qual é o ódulo da aclração áia do loco? Qual a constant d fas do ovinto? f Qual a quação do dslocanto função do tpo? g Qual a quação da vlocidad função do tpo? a 9,78rad / s f 56Hz, T 0, 64s f c d a 0, v, / s 0 / s t 0, 0 cos( t cos( 0 f 0,cos(9,78 g v(, sn(9,78 0
10 Eplo 5. pg. 9 E t = 0 o dslocanto 0 do loco d u oscilador linar é - 8,5 c. A vlocidad do loco v(0 nss instant é 0,90 /s a aclração a(0 é +47,0 /s. a Qual a frquência angular dss sista? a(0 0 0 a 0 3,5rad / s Quais são os valors da constant d fas da aplitud? v(0 0 sn( 0 cos( 0 v(0 tg( 0 tg 0, Errado Crto Tstando a rsposta: 0 cos( 0 0 0, 094 cos( 5 0 0, 094 cos(55 Rsposta rrada Rsposta crta
11 A Enrgia no Movinto Harônico Sipls A nrgia potncial u sista assa-ola: F W U F d U ] cos [ [ ( t ] A nrgia cinética u sista assa-ola: K ] sn ( t ] sn [ v( [( [ ( t ] A nrgia cânica do sista assa-ola: E K U K á U á A nrgia cânica do sista assa ola s anté constant função do tpo!
12 Prola 5-3 pg. 08 A figura aaio ostra a nrgia cinética d u oscilador harônico sipls função da posição. A scala vrtical é dfinida por K s = 4,0 J. Qual é a constant lástica da ola? Sando qu o príodo d oscilação val s, dtrin o valor da vlocidad áia. K a Sando qu: á E,5(4 (0, 833N / Sando qu: T 4 T 84, 4g K á v á Eá vá 0,377 / s
13 O Oscilador Harônico Sipls Angular Nsta situação podos scrvr o torqu d duas anira difrnts: Not qu é dnoinado d onto d inércia, ou sja, é proporcional à dificuldad d colocar u corpo rotação, é a aclração angular, é a constant d torção é a aplitud d oscilação angular. Por analogia tos: a( ( ( ( ( T f
14 Eplo 5-4 pg. 95 A figura aaio ostra ua arra fina d coprinto L =,4 c cuja a assa é 35 g, suspnsa por u fio longo plo ponto édio. O príodo do su MHS angular val T =,53 s. U ojto d fora irrgular chaado d ojto X, é pndurado no so fio su príodo val T = 4,76 s. qual é o onto d inércia rlação ao ponto d suspnsão? Sando qu o fio é o so para os dois casos, tos qu é o so no dois casos! T 4 L 4 T,0670 N 3 / T rad T T 4 6,0 4 g
15 O Pêndulo Sipls U pêndulo sipls é caractrizado por ua assa qu oscila prsa à tridad d u cordl d assa dsprzívl. Nsta situação podos scrvr o torqu d duas anira difrnts: r F L( Fsn Para pquno, sn ~. L L ( Lg ( g ( ( a( L g L T L g
16 O Pêndulo Físico U pêndulo físico é caractrizado por u corpo d assa qu oscila prso a u ponto d ocilação. Nsta situação podos scrvr o torqu d duas anira difrnts: r F h( Fsn Para pquno, sn ~. ( hg ( gh ( ( a( gh T gh
17 O Monto d nércia O onto d inércia stá rlacionado co a dificuldad d colocar u corpo rotação, dfinido pla quação: r d No S: [g ]
18 O Tora dos Eios Parallos prit calcular o onto d inércia d u sólido rígido rlativo a u io d rotação qu passa por u ponto O, quando são conhcidos o onto d inércia rlativo a u io parallo ao antrior qu passa plo cntro d assa do sólido a distância ntr os ios. o c Md Eplo: c ML o ML M L o ML 3
19 Eplo 5-5 pg. 98 Na figura ao lado ua régua d tro oscila torno d u ponto fio O ua das tridads, a ua distância h do cntro d assa da régua. a Qual é o príodo d oscilação? Qual é a distância L 0 do ponto fio O, até o cntro d oscilação da régua C? T gh L 3 L T, 64s 3g( L / O cntro d oscilação é dfinido plo coprinto L 0 do pêndulo sipls qu aprsnta o so príodo a sa assa do ojto! T T ps T o L 0 L g 3g L0 T g L 3g L L0 66, 7c 3
20 O Movinto Circular Unifor - MCU O ponto P qu s ov ovinto circular unifor t a projção do dslocanto função do tpo sor o io dscrita da sguint fora: r cos( t Ond: R é o raio da trajtória ω é a vlocidad angular φ é o angulo ond o ovinto foi iniciado A vlocidad projtada sor o io apontará no sntido contrario ao dslocanto: a( d v( rsn( t dt A aclração projtada sor o io apontará no sntido contrario ao dslocanto: dv( dt r cos( t O MHS quival à projção do MCU ao longo do diâtro! a(
21 No ovinto harônico aortcido, ua força não consrvativa, proporcional a vlocidad ou a vlocidad ao quadrado atua no sntido contrario ao do ovinto, ocasionando a rdução da aplitud d oscilação função do tpo. F v Força d aortcinto O Movinto Harônico Sipls Aortcido Da sgunda Li d Nwton: = Coficint d Aortcinto [N.s/ = g/s] d v( dt d d 0 dt dt Solução Gral: i ' t cos( ' isn( ' ' cos( ' t A i' t i' t Considrando a part ral da solução, tos: B i' t cos( ' isn( ' 4
22 O Movinto Harônico Sipls Aortcido cos( ' t ' 4 S for pquno, ou sja, /4 << /, as quaçõs do ovinto aortcido rca na quação do MHS. A aplitud no ovinto harônico aortcido dpnd do tpo Aplitud Dtrinar v( a(!
23 Tipos d Aortcinto no MHS d dt d dt 0 Caso Sucrítico: 4 cos( ' t ' 4 Caso Crítico: 4 ( A Bt Para a condição inicial; 0 = v(0 = 0, tos: A 0 A 0 A Bt v( B A v(0 0 B B t
24 Tipos d Aortcinto no MHS d dt d dt 0 Caso Sucrítico: 4 Caso Crítico: 4 cos( ' t ' 4 ( A Bt Caso Suprcrítico: " t " t A B 4 " 4
25 Eplo 5 7 pg. 0 U oscilador harônico aortcido, possui assa d 50 g, = 85 N/ = 70 g/s. a Dtrinar o príodo do ovinto. Quanto tpo é ncssário para qu a aplitud d oscilação s rduza pla tad. c Dtrinar quanto tpo é ncssário para qu a nrgia cânica s rduza pla tad. ' ,5 (0,07 4(0,5 ' 8,4rad / s T 0, 34s ' 0 ln t ln 5s E( t ln ( 0 ln t, 5s
26 O ovinto oscilatório é dscrito coo forçado quando ua força priódica é aplicada. F F ( d F0 dt Solução Particular: Oscilaçõs Forçadas Rssonância a cos( F ( 0 A t cos( F cos( 0 d F0 dt d dt cos( d t A dt F0 cos( t ( F0 cos( (
27 Oscilaçõs Forçadas Rssonância A condição d rssonância ocorr quando a frquência citadora ω s iguala à frquência natural do sista, ω. Nssa situação a aplitud aunta considravlnt, ao ponto d proovr o colapso da strutura. F ( cos( t 0 Siulação d Rssonância Colapso da pont Tacoa nos EUA.
28 Lista d Ercícios:,, 3, 5, 7,, 5,, 5, 7, 8, 3, 3, 33, 39, 40, 45, 49, 55, 57, 63, 77, 85, 93. Rfrências HALLDAY, D.; RESNCK, R.; WALKER, J.; Fundantos d Física: Eltroagntiso. 8 a d. Rio d janiro: LTC, 009. Vol.. TPLER, P. A.; Física para Cintistas Engnhiros. 4a d, LTC, 000. v.. SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Física: Eltroagntiso. a d. São Paulo: Parson Addison Wsly, 008. v..
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