GRANDEZAS SINUSOIDAIS

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1 mática Circuitos Eléctricos Capítulo Rgim Sinusoidal GRANDEZAS SINUSOIDAIS INRODUÇÃO Nst capítulo, faz-s uma pquna introdução às grandzas altrnadas ond s aprsntam algumas das razõs porqu os sistmas altrnados sinusoidais (AC) s impusram fac aos sistmas contínuos (DC), aprsntam-s os parâmtros qu caractrizam uma grandza altrnada sinusoidal o concito d valor ficaz d uma grandza priódica, particularizando o cálculo para uma grandza altrnada sinusoidal. A rprsntação d grandzas AC através da notação compla (vctors girants) simplifica o tratamnto matmático ncssário à anális do rgim prmannt d circuitos m AC. Emplificam-s algumas opraçõs matmáticas com fasors rspctiva rprsntação gráfica. Pré-rquisitos: Componnts Elmntars Álgbra Linar Nivl : Duração stimada: 30 minutos Autor: aria José Rsnd Ralização: Sophi Labriqu Est projcto é financiado pla União Europia no âmbito d uma acção Sócrats-inrva. As informaçõs nl contidas são da clusiva rsponsabilidad dos sus autors. A União Europia dclina toda a rsponsabilidad rlativamnt ao su uso.

2 1. INRODUÇÃO As funçõs altrnadas sinusoidais são particularmnt importants para a anális d circuitos pois a maior part dos sistmas d produção distribuição léctrica gra transmit nrgia através d grandzas cuja volução no tmpo s pod considrar sinusoidal; a sigla, normalmnt utilizada para dsignar sta forma d nrgia léctrica é AC driva da dsignação inglsa Altrnating Currnt. (a) (b) (c) Figura 1 (a) Grandza altrnada sinusoidal; (b) Grandza Altrnada não sinusoidal (c) Grandza contínua A grand vantagm da alimntação m AC, comparativamnt à DC (Dirct Currnt) ond as grandzas têm uma volução constant no tmpo, vrifica-s na ficiência do transport d nrgia por sta s podr fazr a muito alta tnsão; a tnsão altrnada produzida numa cntral é lvada por um transformador qu, consquntmnt diminui, aproimadamnt, na msma proporção a corrnt; as prdas Ri são assim mnors m alta tnsão, do qu sriam s a nrgia foss transportada ao nívl d tnsão a qu é produzida. Esta foi a principal razão porqu os sistmas AC s impusram fac aos sistmas DC.. DEFINIÇÃO Uma grandza altrnada sinusoidal, (t), pod sr dscrita pla prssão matmática: sndo (t) sin ( ωt o valor instantâno, X a sua amplitud máima, ( ωt a fas, ω a frquência angular qu s prssa m radianos por sgundo [ rad / s] ϕ a fas inicial prssa m radianos. A frquência angular rlaciona-s com a frquência f, prssa m ciclos por sgundo ou hrtz (Hz), através d: ω = f A frquência pod sr prssa m função do príodo, através d: 1 f = odos sts parâmtros da sinusóid stão graficamnt rprsntados na figura sguint

3 (t) X ϕ ωt Figura Rprsntação gráfica d uma grandza sinusoidal Dadas duas grandzas sinusoidais com igual frquência, dscritas plas prssõs: = Y + γ) y dsigna-s por dsfasagm ntr as grandzas, a difrnça d fass iniciais, ( ϕ γ). 3

4 y(t) (t) ϕ γ ωt Figura 3 Rprsntação gráfica do dsfasamnto ntr duas grandzas sinusoidais D acordo com o mplo dado, diz-s qu a grandza (t) stá avançada ( ϕ γ) radianos, rlativamnt a y (t). A afirmação dual também é válida: a grandza y (t) stá atrasada ( ϕ γ) radianos, rlativamnt a (t). 3. VALOR EFICAZ O concito d valor ficaz d uma tnsão ou corrnt altrnada sinusoidal stá dirctamnt ligado à potência transfrida por ss par d grandzas; é através do valor ficaz qu s pod comparar a potência associada a grandzas AC com potências associadas a grandzas DC. Fisicamnt, o valor ficaz d uma corrnt altrnada é o valor da intnsidad d uma corrnt contínua qu produziria, numa rsistência, o msmo fito calorífico qu a corrnt altrnada m qustão. atmaticamnt, o valor ficaz, X, d uma grandza priódica (t) é dtrminado através d: f X f = 1 ( ( t) ) 0 dt O caso particular d uma grandza altrnada sinusoidal prssa por, a prssão antrior conduz a: Podr-s-á assim scrvr: X = f f X = X Graficamnt, o valor ficaz stá rlacionado com a ára sob a curva qu rprsnta a volução tmporal do quadrado da grandza, tal como s rprsnta na figura sguint. 4

5 i(t) i(t) i(t) i(t) I f / / / / i(t) [ i(t) ] [ i( t) ] Figura 4 Rprsntação gráfica do cálculo do valor ficaz 0 dt I f O valor ficaz d uma grandza altra-s com a amplitud, com prturbaçõs na forma da onda, mas não é afctado por variação da frquência, nm da fas inicial 4. NOAÇÃO COPLEXA A notação compla é uma forma d rprsntar grandzas altrnadas sinusoidais através d vctors qu variam no tmpo (vctors girants). A notação compla foi introduzida por Stinmtz, m 1893, vio simplificar a anális do rgim prmannt d circuitos alimntados m AC. Prtnd-s dtrminar qual o vctor rprsntativo da tnsão dscrita por = U Partindo da função d Eulr u α j = cosα + j sin α ond j rprsnta a unidad imaginária, pod-s scrvr: = cos( ωt + j multiplicando ambos os mmbros da prssão por U = U U cos( ωt + ju qu srá dsignado por vctor girant rprsntado por: U = U, obtém-s: Comparando a prssão d U (t) com a da volução tmporal d u (t) u(t) corrspond à part imaginária d U (t). Em trmos matmáticos tm-s: Atndndo a qu u = Im j { ( ωt+ϕ U ) }, conclui-s qu U U jϕ =. jωt o númro complo U (t) pod sr rprsntado no plano complo como um vctor qu, para jϕ t = 0, val U qu rodará com frquência angular ω ao longo do tmpo (corrspondnt à j t multiplicação por ω ) 5

6 Im j t ω ϕ U R jϕ O vctor jϕ Figura 5 Rprsntação gráfica d um vctor girant U dsigna-s por amplitud compla d U (t) Graficamnt, a tnsão dscrita por u = U srá, m cada instant, a projcção d U (t) sobr o io dos imaginários. 5. OPERAÇÕES AEÁICAS CO APLIUDES COPLEXAS Adicionar duas grandzas sinusoidais com a msma frquência angular Dadas duas grandzas sinusoidais dscritas por: t) + ) t) + ) 1( 1 ϕ1 ( ϕ analiticamnt, a sua soma srá dada por: ϕ1) + X + ϕ ) S s rprsntar cada grandza plo rspctivo vctor girant, a sua soma srá rprsntada pla soma dos dois vctors; a volução tmporal da soma corrspond à part imaginária dst vctor soma: { X ( ) ( )} 1 t + X 1 + = Im t 6

7 ultiplicar uma grandza sinusoidal por uma constant ral Dada a grandza sinusoidal dscrita por: analiticamnt, a sua multiplicação pla constant ral K é dada por: K = K X S s rprsntar a grandza plo rspctivo vctor girant, a sua multiplicação por K é rprsntada por um vctor colinar com X (t) mas cujo módulo val K X ; a volução tmporal K (t) corrspond à part imaginária dst vctor: K ( t) = Im j { } { ( ωt+ϕ K X = Im K X ) } 7

8 Produto d duas grandzas sinusoidais com a msma frquência angular Dadas duas grandzas sinusoidais dscritas por: t) + ) t) + ) 1( ϕ1 ( ϕ analiticamnt, o su produto srá dado por: 1 1X + ϕ1) + ϕ ) S s rprsntar cada grandza plo rspctivo vctor girant, o su produto srá rprsntado por um vctor d fas ( ωt + ϕ1 + ϕ ), isto é, rodará com uma frquência angular dupla, d módulo X X ; a volução tmporal do produto corrspond à part imaginária dst vctor: 1 ωt+ϕ { 1( ) ( )} { } 1 +ϕ X t X t X 1( t) = Im Im 1 Drivação d uma grandza sinusoidal Dadas a grandza sinusoidal dscritas por: analiticamnt, a sua drivada srá dada por: d = ωx cos( ωt = ωx + ϕ + ) dt S s rprsntar a grandza plo rspctivo vctor girant, a sua drivada srá rprsntada por um vctor d fas ( ωt + ϕ + ), isto é, avançado rlativamnt a (t), d módulo ω X ; a volução tmporal da drivada corrspond à part imaginária dst vctor: d t) d X = Im dt dt d = Im dt ( ) = { ω X Im j X } = Im ω X ( ωt+ϕ+ ) 8

9 Intgração d uma grandza sinusoidal Dadas a grandza sinusoidal dscritas por: analiticamnt, o su intgral srá dado por: X ( t) dt = ω cos( ωt = X ω + ϕ ) S s rprsntar a grandza plo rspctivo vctor girant, o su intgral srá rprsntado por X um vctor d fas ( ωt + ϕ ), isto é, atrasado rlativamnt a (t), d módulo ; a ω volução tmporal do intgral corrspond à part imaginária dst vctor: dt = Im { X dt } = Im{ ( X ) dt} X = Im jω X = Im ω ωt+ϕ ) 9

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