2.2 Transformada de Fourier e Espectro Contínuo

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1 2.2 Transformada d Fourir Espctro Contínuo Analisam-s a sguir, sinais não priódicos, concntrados ao longo d um curto intrvalo d tmpo. Dfinição: sinal stritamnt limitado no tmpo Dado um sinal não priódico v(t), diz-s qu l é stritamnt limitado no tmpo, ao longo d um intrvalo τ, s for idnticamnt nulo fora do su intrvalo d duração. Exmplo: Dfinição: sinal assintoticamnt limitado no tmpo Dado um sinal não priódico v(t), diz-s qu l é assintoticamnt limitado no tmpo, s v(t) 0 quando t ±. v(t) Ambos os sinais antriors podm sr informalmnt dnominados como pulsos. Ao s calcular a média d v(t) [ou d v(t) 2 ] para todos os tmpos (Eq ): smpr rsulta m zro! Em vz d utilizar a potência média é mlhor usar a nrgia.

2 S v(t) é a tnsão através d uma rsistência R, a nrgia total librada é dtrminada intgrando-s a potência instantâna p(t)=v 2 (t)/r (watts = J/s) no tmpo. Dfinição: nrgia d sinal normalizada (R = 1 Ω): (J = joul) sndo quivalnt a ára total sob a curva d v(t) 2. Dfinição: sinal não priódico d nrgia é um sinal v(t) tal qu a intgral (2.2-1) xista rsult m 0 < E < (sja finito). Quas todos os sinais limitados no tmpo d intrss prático s nquadram nsta catgoria. Sr um sinal não priódico d nrgia é a condição ssncial da anális spctral usando a transformada d Fourir. Transformada d Fourir (TF): Srá rlmbrada a anális aprsntada no final da sção 2.1, introduzindo-s a TF a partir da rprsntação d um sinal priódico d potência sua séri d Fourir (2.1-2): D acordo com o torma d Fourir, xist uma rprsntação similar a (2.1-2) para um sinal não priódico d nrgia, obtida como a forma limit da séri d Fourir do sinal quando o príodo tnd ao infinito. As linhas spctrais, spaçadas por f 0 = 1/T 0, tornam-s cada vz mais próximas ntr si, à mdida qu o príodo aumnta. Contudo, s a largura τ do pulso ficar constant, a forma da nvoltória do spctro prmanc inaltrada.

3 fasors discrtos, spctro No limit, quando T 0 n m (2.1-2) tndm ao infinito, o spaçamnto m frquência 1/T 0 = f 0 aproxima-s d zro, sndo rprsntado por df, o produto nf 0 aproxima-s da frquência contínua f, o somatório aproxima-s da intgral: O trmo ntr colchts stá rlacionado com os coficints das linhas spctrais [c(nf 0 ) d (2.1-2), mas qu agora têm spaçamnto nulo, formando um spctro contínuo] constitui a transformada d Fourir (TF) d v(t): spctro A função v(t) m (2.2-3) é rcuprada a partir do su spctro [outrora, a soma d fasors discrtos m (2.1-2)] por mio da transformada d Fourir invrsa (TFI): Par d transformadas d Fourir: TF: TFI: Como studado no caso da séri d Fourir, fnômno d Gibbs ocorrndo nas dscontinuidads. convrg na média para v(t), com o Contudo, considra-s válida a opração d igualdad m (2.2-5) na maioria dos casos. i) A TF, V(f), é uma função complxa, tal qu V(f) é o spctro d amplituds arg V(f) é o spctro d fass d v(t), ii) O valor d V(f) m f=0 é igual a ára líquida d v(t), pois iii) S v(t) for ral m (2.2-4), ntão, o spctro xib simtria hrmitiana: assim,

4 Exmplo 2.2-1: Pulso rtangular d largura τ, amplitud unitária cntrado na origm: Portanto, um pulso rtangular d largura τ amplitud A pod sr rprsntado por: Insrindo v(t) na intgral da TF rsulta: multiplicar dividir por τ tal qu V(f=0)=Aτ, a ára sob o pulso (obviamnt!). (continua...) Espctro d v(t): V ( f ) = Aτ sinc( fτ ) A figura rvla qu a porção significativa do spctro stá na faixa f < 1/τ, pois V(f ) << V(0) para f >1/τ. Por causa disto, costuma-s adotar 1/τ como a largura spctral (ou largura d banda)d V(f). S a duração do pulso, τ, for rduzida, sta largura spctral aumnta, vic-vrsa: pulsos curtos têm spctros largos pulsos largos têm spctros stritos. Isto corrspond ao fnômno d spalhamnto rcíproco (válido para todos os sinais), qual sja: componnts d alta frquência são causadas por variaçõs tmporais rápidas, nquanto variaçõs tmporais suavs ou lntas dmandam baixo contúdo d alta frquência. #

5 Obs: Sinais simétricos causalidad: Quando um sinal possui simtria m rlação ao ixo dos tmpos, sua TF pod sr simplificada. j2πft a) Como = cos 2πft jsn2πft scrv-s: ond: Par - Evn: Ímpar - Odd: são as porçõs par [V ( f) = V (f)] ímpar [V o ( f) = V o (f)] d V(f). V( f)=v ( f)+jv o ( f) Obsrv-s qu: a1) S v(t) for ral, V (f) V o (f) são rais, ntão: como discutido antriormnt (simtria hrmitiana). V ( f ) = V ( f ) jv ( f ) w(t) + o w(t) b) S um sinal w(t) tm simtria, são válidas as rlaçõs: as quais s aplicam tanto a w(t) = v(t) cosωt quanto a w(t) = v(t) snωt. b1) S v(t) tm simtria par, tal qu: par = par par ntão w(t) =v(t) cosωt também é par, nquanto w(t) =v(t) snωt é ímpar. Com isso, V o (f )=0, ímpar = par ímpar ambos os casos são analizadoa a sguir

6 V ( f ) = V ( f ) jv ( f ) + o b2) S v(t) tm simtria ímpar, tal qu: ntão w(t) =v(t) cosωt também é ímpar, nquanto w(t) =v(t) snωt é par. Com isso, V (f )=0, Conclusão d ( a-b) ( a-b): Um sinal ral par no tmpo tm spctro ral par m frquência,, Um sinal ral ímpar no tmpo tm spctro imaginário ímpar m frquência. Causalidad: Um sinal v(t) é causal s: Como a causalidad impd qualqur simtria tmporal, o spctro consist d ambas as parts ral imaginária, sndo calculado a partir d: = V ( f ) jv ( f ) + Esta intgral aprsnta uma smlhança com a transformada d Laplac (TL): o com s=σ + jω, qu implica m qu v(t)=0 para t <0. Portanto, s v(t)= for causal, pod-s obtr V(f) a partir d tablas d TL fazndo-s s = jω = j2πf (ou sja, σ = 0). Obs: a) Tablas d TL inclum muitos sinais qu não são d nrgia, cujas TL s xistm somnt com σ>0, tal qu v(t) -st = v(t) -σt 0 quando t. Tais sinais não têm TF, pois s=σ +jω cai fora do domínio (ixo) da frquência quando σ 0. (Nst caso, a TL não srv para calcular TF.) b) Existm TFs d sinais d nrgia não causais qu, portanto, não possum TL.

7 Exmplo 2.2-2: Pulso xponncial causal, com constant d tmpo 1/b. O spctro pod sr obtido a partir da dfinição d TF, ou ntão, d tablas d TL: Vr próxima página fazndo s = jω = j2πf, obtém-s a TF: A V ( f ) = b + j2πf (15b) Como discutido, sndo v(t) causal, rsultou-s num spctro complxo: V(f)= V(f) j arg V(f) Como v(t) é ral, o spctro tm simtria hrmitiana. (continua...)

8 A TF (2.2-15b) é uma função complxa, qu pod sr rscrita como: ond s obsrva qu Rlmbrando (2.2-10a): raliza-s a convrsão d V(f) para a forma polar: cujos gráficos foram plotados na Fig antrior. # Torma d Rayligh da Enrgia: Obs: Torma d Rayligh: a nrgia E d um sinal v(t) s rlacionada com su spctro V(f) por: o qual é um caso particular da rlação mais gral: Prova: sabndo-s qu ntão: (intgra m f dpois m t) (intgra m t dpois m f ) no qual a ordm das intgraçõs m t f foram prmutadas. O trmo ntr colchts corrspond a V(f), compltando-s a prova.

9 Intrprtação: J=V 2 (f)/s V 2 (f)=j.s Intgrando-s o quadrado do spctro d amplituds m todas as frquências obtém-s a nrgia total. A função V(f) 2 (m J.s) fornc a distribuição d nrgia no domínio da frquência, podndo sr dsignada d dnsidad spctral d nrgia: G v (f) = V(f) 2. A nrgia contida numa banda difrncial m frquência df é: V(f) 2 df (mdida m J). Exmplo: Já foi visto qu a TF do pulso v(t) é: V ( f ) = Aτ sinc( fτ ) assim, a dnsidad spctral d nrgia do pulso é dada por V ( f ) = ( Aτ ) sinc ( fτ ) (continua...) V ( f ) = ( Aτ ) sinc ( fτ ) A maior part da nrgia stá na faixa f <1/τ. A nrgia nsta banda é a ára hachurada: (só tm solução numérica!) Obviamnt, a nrgia total d um pulso com largura τ amplitud A é: = A 2 τ. a qual corrspond à ára total sob a curva d v(t) 2. Portanto, a largura spctral 1/τ ngloba mais d 90% da nrgia total do pulso.

10 Torma da dualidad: S v(t) V(f), ntão, dado ocorr Prova: vr o livro do Carlson. Exmplo 2.2-3: Pulso sinc com largura 2 1/2W = 1/W: Z(f )=? t (continua...) z( t) = V ( t) I[ V ( t)] = Já foi studado qu: Assim, rscrvndo-s (2.2-19a) como: fazndo-s z(t)=v(t), tm-s B=A/2W τ=2w. A dualidad diz qu: ou sja: porta com largura 2W Sinal tmporal trno. Espctro limitado m banda. t pulso com largura 1/W spctro com largura d banda W

11 Cálculos d transformadas: i) Calcular a intgral pla dfinição da TF ( força bruta ) (vr Exmplo 2.2-1); ii) Consultar tablas d transformadas d Fourir (vr adiant); iii) Consultar tablas d transformadas d Laplac (vr Exmplo 2.2-2);; iv) Usar tormas da transformada d Fourir (dualidad, tc.) (vr Exmplo 2.2-3). v) Formas d ondas aproximadas S ~ z ( t ) s aproxima d z(t) o rro quadrático é pquno, também, s, ntão, aplicando-s o torma d Rayligh à difrnça rsulta: rro m frquência rro no tmpo Como a ordm d grandza do rro no domínio da frquência é o msmo qu no domínio do ~ tmpo, pod-s utilizar Z ( f ) como boa aproximação para Z(f). Exmplo: srá usado adiant qu, s ~ z ( t) limδ ( t) δ ( t) = z( t) Z ~ ( f ) Z( f ) = 0 vi) Cálculo d séris d Fourir a partir da transformada d Fourir (continua...) vi) Cálculo d séris d Fourir a partir da transformada d Fourir Sja v(t) um sinal priódico z(t)=v(t) Π(t/T 0 ) um sinal não priódico consistindo d apnas um príodo d v(t). Π(t/T 0 ) Calcula-s Z(f) como: Z( f ) = + v( t) Π( t / T Então, rcordando-s da Eq. (2.1-14) da sção 2.1, qual sja (coficint d função priódica): j 2πft 0 ) dt = v( t) T0 j 2πft dt ntão, por comparação, conclui-s qu os coficints da séri d v(t) priódica são dados por: [uma vz conhcido Z(f), calculam-s os coficints c n d v(t)!! ]