Transformadas ortogonais e processamento de sinais não estacionários

Transcrição

1 Transformadas ortogonais procssamnto d sinais não stacionários

2 Transformaçõs ortogonais Considr um sinal discrto x(n) com amostras: χ (k)= x (n)ϕ ( k, n) n= 0 Transformada dirta, quação d anális, dcomposição. χ (k )ϕ (k, n) k=0 Msmo númro d pontos não há rdundância. Transformada invrsa, quação d sínts, rconstrução. Ortogonalidad das funçõs-bas: ϕ (k, n), ϕ (l, n) = x (n)= {, l=k ϕ (k, n)ϕ (l, n)= 0, l k n =0 } Transformaçõs ortogonais prsrvam a nrgia: x (n) = n=0 χ(n) n= 0

3 Exmplo: a ortogonalidad da DFT χ (k)= x (n) π kn n= 0 x(n)= ϕ ( k, n)= ϕ (k, n), ϕ (l, n) = π π kn ln x (n) = n=0 χ( k ) π kn k=0 π kn n =0 = n=0 χ(n) n= 0 π (k l)n { =, l=k 0, l k }

4 Rprsntação matricial d tranformaçõs ortogonais x (n)= χ (k )ϕ (k,n) x = Φ χ Sínts χ= Φ H x Anális k=0 χ (k)= x (n)ϕ ( k, n) n= 0 Transposta Hrmitiana x = Φ χ H χ = Φ x = Φ x H Φ = Φ H T Φ = Φ

5 Exmplo: rprsntação matricial da DFT x = Φ χ [ ] x (0) x () = x ( ) [ ] x (0) x () = x ( ) [ π 0 0 π 0 π 0 ( ) π 0 π π ( ) π ( ) 0 π ( ) π ( ) ( ) ][ χ (0) χ() χ( ) ] [ ] χ (0) χ () χ ( )

6 Exmplo: rprsntação matricial da DFT H χ = Φ x [ ][ χ (0) χ() = χ( ) π 0 0 π 0 π ( ) 0 π 0 π π ( ) [ ] π 0 ( ) π ( ) π ( ) ( ) [ ] χ (0) χ() = χ( ) x(0) x () x ( ) ][ x(0) x () x ( ) ]

7 Outras transformadas ortogonais A transformada d Fourir possui algumas dsvantagns : S x(n) é ral coficints da DFT são complxos. Dos coficints, / são conugados complxos informação rdundant. Existm outras transformaçõs ortogonais qu: Ofrcm rsultados rais. ão possum rdundância. Ofrcm caractrísticas atrativas para dtrminadas aplicaçõs.

8 A transformada d cossnos discrta - DCT A DCT ( a DST) são basadas m uma das 6 possívl xtnsõs simétricas ou anti-simétricas d um sinal. A DCT- é usada m vários padrõs d comprssão d imagns vído JPEG, MPEG, H.6. χ DCT ( k )= x (n) cos n= 0 x (n)= ( π k ( n+) ) ( ) π k ( n+ ), α(k )χ DCT (k)cos k=0 { α (k )= /, k =0, k } H Φ = Φ

9 Funçõs-bas da DCT =3

10 Exmplo: rprsntação matricial da DCT... x = Φ χ H χ = Φ x [ ] x (0) x () = x ( )... [ ] χ (0) χ() = χ( ) [ ] χ (0) χ () χ ( ) [ ] x(0) x () x ( )

11 Exmplo m D

12 Exmplo m D: comprssão simpls 76.5 % dos coficints anulados

13 A ortogonalidad da DCT χ DCT ( k )= n= 0 ( π k ( n+) x (n)cos ) x (n)= α(k )χ DCT (k )cos k=0 ( π k ( n+) ) ão há rdundância. Funçõs-bas: Ortogonalidad: ϕ (k, n), ϕ (l, n) = ϕ ( k, n)=cos ( ) π k ( n+ ) =ϕ (k,n) {, l=k =0 π k ( n+ ) π l ( n+) cos = /, l=k 0 cos n =0 0, l k ( ) ( Prsrvação da nrgia: x (n) = n=0 α(n) χ (n) DCT n=0 ) }

14 A transformada d Haar A transformada d Haar pod sr dfinida por: χ Haar ( k )= n=0 ( n k x (n) ψ ) {, n=0 ψ ( n )=, n= 0, n } ( n k x( n)= χ Haar (k) ψ k=0 H Φ = Φ )

15 Funçõs-bas d Haar

16 Exmplo m D: anális multirsolução

17 A ortogonalidad d Haar a msma scala: Em scalas difrnts: Ortogonalidad: { ϕ (k, n), ϕ (l, n) =, l=k 0, l k Prsrvação da nrgia: x (n) = n=0 } χ (n) Haar n= 0

18 Sinais não stacionários Sinais stacionários parâmtros caractrísticos não variam ao longo do tmpo: amplitud, frquência fas d cada componnt spctral (também conhcidos como globalmnt homogênos). A transformada d Fourir é matmaticamnt ótima para procssamnto d sinais stacionários rprsntação mais sparsa possívl. Ex.: x (t )=0,8 cos π0 t+ π + 0,3 cos π 7 t + π + cos π 35 t + π + ( ) ( ) ( ( ) ) 5 35 π π π + 3,4 cos π 77 t+ +,9 cos π07 t+ +, cos π 44 t + 44 ( 7 ) ( )

19 Sinais não stacionários Problma raramnt as informaçõs da vida ral são stacionárias. Sinais d áudio, biomédicos, radar, imagns, tc. Ex.: ( x (t)= A cos π fo n fs )

20 Sinais não stacionários Outro xmplo intrssant:

21 A transformada brv d Fourir STFT STFT short-tim Fourir transform. Também conhcida como windowd FT. Sgmnta-s o sinal m um conunto d parts mnors utilizando-s uma anla tmporal apropriada. Calcula-s a transformada d Fourir d cada part sparadamnt. Considra-s qu, m cada sgmnto, a informação é razoavlmnt stacionária. Os sgmntos podm s sobrpor ou não. ω χ FT ( )= n= ωn x (n) ω χ STFT (, n)= ωm x (n m)w(m) m= Janla rstritiva.

22 Exmplo STFT, anla d Hamming com 8 amostras, sobrposição d 0 amostras. Espctrograma ou plano tmpofrquência.

23 Exmplo

24 Amostragm do plano tmpofrquência a prática, a STFT é calculada m valors discrtos d frquências: ω n Δ ω O númro d amostras d frquências dv sr maior qu o comprimnto da anla w (n) R χ STFT (k,n)= x (n m)w(m) IDFT, 0 k m=0 x (n m) w (m)= χ STFT (k, n) π km k= 0 x (n m)= π km χ STFT (k, n) w (m) k= 0 π km, 0 m R R Comprimnto da anla R úmro d amostras d frquência.

25 Amostragm do plano tmpofrquência É possívl também amostrar no tmpo: R χ STFT (k, γ L)= x ( γ L m) w( m) m=0 π km, R L

26 Rsolução tmpo-frquência A STFT pod sr ntndida como: R π km π km χ STFT (k,n)= x (n m) w( m) m=0 R χ STFT (k,n)= x (n m) w( m) m=0 Ex.: w (t)= π σ t σ A DFT d um sinal anlado. O produto intrno ntr o sinal uma anla modulada.

27 Rsolução tmpo-frquência Princípio da incrtza: É impossívl dtrminar simultanamnt a posição o momnto d uma partícula. Considrando a partícula como onda: é impossívl dtrminar simultanamnt a localização tmporal a frquência instantâna d um sinal. Princípio da incrtza: σ t σ ω σ t Variância no tmpo σ ω Variância na frquência σ t σ ω = Gaussiana

28 Ladrilhamnto do plano tmpofrquência Δω Δt

29 Exmplo: anális com difrnts anlas Gaussian Blackman Hamming Rctangular

30 Exmplos: análiss com difrnts passos d tmpo. Gaussian, L= Gaussian, L=8 Gaussian, L=6 Gaussian, L=3

31 Exmplo: rconstrução após algum procssamnto Rconstrucão após ¼ dos coficints zrados. Gaussian Hamming Blackman Rctangular