EXERCÍCIO: BRECHA ALEATÓRIA

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1 EXERCÍCIO: BRECHA ALEATÓRIA Considr uma manobra qu tm d sr fita nas brchas ntr passagns d vículos do fluxo principal rqur uma brcha mínima d 6 sgundos para qu o motorista possa xcutá-la Uma contagm d tráfgo obtv 600 vículos m 40 minutos para o fluxo principal Dsja-s sabr: (a) qual o intrvalo médio ntr vículos no fluxo principal qual a sua rlação com as caractrísticas da distribuição ntr chgadas dos vículos? (b) qual a probabilidad d qu o vículo do fluxo scundário acit uma brcha? (admitindo uma distribuição d Poisson simpls) (c) quais sriam os rsultados s τ = sg é uma sparação mínima ntr vículos do fluxo principal? (d) s também obsrvou-s qu 50% dos vículos stão m plotão? Considr qu, após a passagm do primiro vículo, os dmais passam com intrvalos d 3 sgundos (quando a brcha for suficint) () qual a probabilidad d passarm somnt dois vículos (admitindo uma distribuição d Poisson simpls)? (f) qual a capacidad máxima para a via scundária (aprovitamnto total das oportunidads d cruzamnto), admitindo uma distribuição d Poisson simpls? (g) como gnralizar a fórmula d capacidad para distribuiçõs mais grais qu considram a xistência d sparação mínima ntr vículos d uma proporção d vículos trafgando m plotõs? (h) qual a duração média d uma brcha adquada para os vículos da via scundária como a fórmula d capacidad podria sr rlacionada com sta duração média com a opração na via scundária? Exrcícios Capítulo Alatoridad no Tráfgo 1

2 SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO: 600 (a) O fluxo médio é q = = 900 = 0, 5, como o fluxo é smpr o invrso do v h v s intrvalo médio, tm-s qu o intrvalo médio é 1 µ h ou h é = = 4 sg, q indpndnt do tipo d distribuição (b) O modlo d Poisson simpls dsprza a sparação mínima ntr vículos su parâmtro pod sr stimado por λ = q = 0,5 v/s O intrvalo médio é d 4 sg (< 6 sg), mas msmo assim a manobra é possívl, porqu ocorrm intrvalos com difrnts valors distribuídos S os intrvalos têm distribuição d Poisson simpls, a probabilidad d H 6 sg é λ h A probabilidad d acitar uma brcha P, é igual a PH ( 6 sg), portanto: 056, P = P[ H 6] = = 0, 3 (,38%) ; isto é,,38% dos intrvalos podm sr acitos (vr figura a) (c) S o fluxo ocorr m apnas uma faixa é important considrar qu há uma sparação mínima ntr vículos corrigir a hipóts d distribuição para os intrvalos Dados τ = sg µ h = 4 sg assumindo ausência d plotõs ( θ L = 100 %) tm-s ntão: 1 = µ h τ = sg λ = 0,5 v s λ Nst caso, uma brcha d 6 sg corrspond a um intrvalo d 8 sg (h- τ )=6 sg; 05, ( 8 ) P = P[ H 8] = 10, = 0, 049 (4,9%) isto é, 4,9% dos intrvalos podm sr acitos (gráfico b) No ntanto, com q = 900 v h apnas 1 faixa, srá difícil não havr formação d plotõs ( rsultado improvávl) Exrcícios Capítulo Alatoridad no Tráfgo

3 (d) Com 50% dos vículos m plotõs, θ L = 050, têm-s ntão: 05, = µ h τ = sg λ = 0,5 v sg λ 0, 5 ( 8 ) P = P[ H 8] = 0, 5 = 011, 8, isto é, 11,8% dos intrvalos podm sr acitos (gráfico c) a) Modlo d Poisson simpls b) Cowan c/ sparação mínima c) Cowan (sparação mínima plotõs) () Passam somnt dois vículos s a brcha for maior qu 9 sgundos (6 para o primiro 3 para o sgundo) mas mnor qu 1 sgundos (caso m qu passaria um trciro vículo), sndo a probabilidad d intrvalo H ntr h 1 h : λh1 λh P[h H h ] = 1 Portanto, utilizando-s a distribuição d Poisson com λ=0,5 v/s, tm-s: 0,59 0,514 P[9 H 1] = = 0,1054 0,0498 = 5,56% Exrcícios Capítulo Alatoridad no Tráfgo 3

4 (f) A capacidad m um príodo T com ~( qt) chgadas ( qt) brchas, sndo λ = q (distribuição d Poisson simpls), é obtida d considrando o númro d vículos máximo scoado m cada intrvalo h (o primiro toma α os dmais tomam d h): Brcha nº d vículos/intrvalo média no príodo 0 H < α 0 0 α < α + 1 λα λ( ) 1 λt [ ] α + H < α + λ( α+) λ( α+ ) λt [ ] M M M aprovitamnto total - N max = N(H) Portanto, tm-s: Nmax λ α λ( α+) λ( α+) λ( α+) C = = λ[ + + K ] = T λ α λ( α+) λ( α+ ) = λ[ K ] = λ α λ λ = λ [ K ] = λ α λ α 1 = λ = q, (ond q é o fluxo principal) λ λ (g) Para utilizar o rsultado prcdnt para um caso mais gral, dv-s notar qu a opração pod sr dividida m dois tipos d príodo, qu corrspond ao scoamnto m plotõs ao scoamnto com brchas, qu xist um príodo mínimo m qu cada vículo da via principal ocupa a via, msmo quando há brchas No scoamnto d plotõs, qu corrspond a θ q P T vículos, não há brchas (o intrvalo é τ ) todo o tmpo d scoamnto ToP = τ θpq T tm a via ocupada, ond θ P é a fração d plotõs na corrnt d tráfgo τ é o intrvalo mínimo ntr vículos No scoamnto sm plotõs, tm-s ( θp )q T vículos um tmpo ocupado d ToL = τ ( θp )q T O tmpo ocupado total é d T o = τq T o tmpo total com brchas é = T τqt = ( τq )T T L Portanto, o valor médio da brcha, para os vículos qu passam no scoamnto sm plotõs, é ( τq ) T b ( 1 )q T =, qu corrspond a um fluxo aparnt d ~ 1 θp q = = q θ P b τq (qu corrspond à parcla poissoniana da distribuição d Cowan) A capacidad, nst caso mais gral, sria dada por: Nmax CoTo + CLTL TL C = = = CL (dado qu C o = 0 ) T T T 4 Exrcícios Capítulo Alatoridad no Tráfgo

5 ( ) ( ) ( 1 q)t ~ q α τ ( 1 q) ( 1 ) q ~ ~ q α τ τ τ θp ~ = ~ q q T ( τq ) q ( ) ( 1 ) ~ α τ θ P C = q = ~ q q (qu é a fórmula usual d capacidad obtida com a distribuição d Cowan) Esta anális mostra qu fórmulas mais grais para situaçõs m qu a opração xprimnta condiçõs d opração distintas podm sr obtidas analisando cada príodo spcífico pondrando pla duração rspctiva (h) As brchas acitas plos vículos na via scundárias satisfazm f [ ] [ ] [ H = h] h>α = Ε H / H > α = hf H = h / H > α dh = α h dh α Pr H > α [ ] H > α, tndo-s γ ( h τ) θl γ γ ( h α) Admitindo a distribuição mais gral d Cowan, f [ H = h / H > α] = γ = γ, θl θp qu é uma distribuição xponncial dslocada d α, com γ = q~ = q, cuja média τq 1 é h >α = α + (qu também pod sr obtida pla intgração dirta, por parts) γ Not qu a xprssão brcha adquada corrspond a avaliação dos vículos na via scundária apnas S a brcha utilizada plo vículo da via scundária é suficint para uma manobra sm intrfrência sobr os vículos da via principal, sta manobra é considrada prfita (no sntido d não aftar o fluxo principal) O caso contrário, d manobra imprfita, pod ocorrr msmo sm sr adquada do ponto d vista d sgurança Portanto, uma brcha considrada adquada plos vículos da via scundária podrá sr utilizada mas trazr intrfrências para os vículos do fluxo principal O intrvalo médio h > α prmit calcular o tmpo disponívl médio após cada intrrupção (bloquio) causada plos vículos no fluxo principal como t d = h > α τ O tmpo disponívl ftivo por intrvalo dv dscontar os tmpos mortos no início no final do movimnto Como a ficiência máxima do scoamnto da fila é rprsntada plo intrvalo d sguimnto (o fluxo d saturação sria S = 1, portanto), o tmpo morto inicial é ( α ) para o primiro vículo No final da brcha xist o rsíduo do intrvalo não utilizado Como su valor stá ntr 0, o tmpo morto final pod sr stimado por Exrcícios Capítulo Alatoridad no Tráfgo 5

6 O tmpo morto total é, ntão, l = α o tmpo disponívl ftivo por intrvalo é τq tdf = td l = τ + Em um príodo T, xistirão aproximadamnt q T θlq γ intrvalos q T θ srão maiors qu α (a brcha crítica) L O númro d bloquios srá, naturalmnt, igual ao númro d tmpos disponívis γ q T θl podm sr constituídos plo tmpo d passagm do vículo τ mais um númro qualqur d intrvalos mnors qu α (vntualmnt nnhum, um ou mais d um) A duração total dos bloquios é T mnos a duração total dos tmpos disponívis qu γ τq é q T θl α + τ A duração média d um bloquio pod, portanto, sr q θl γ τq T qt θl α + τ γ ( τ ) calculada por q θl = 1 q tb ( ) = α + τ O tmpo γ α τ qt θ q θ bloquado ftivo médio é t bf = t L b ( τq ) γ + l = + τ q θ Estas xprssõs prmitm dduzir uma fórmula altrnativa aproximada para calcular a capacidad do movimnto scundário com bas na xprssão C d = ϕ S, ond td l ϕ = S = 1 Pod-s também stimar o atraso rgular por d td + tb (ond Q é a dmanda na manobra scundária) L L r ϕ tb =, y Q y = S Est procdimnto é chamado d analogia smafórica da opração sm smáforo, por sparar sua opração m um tmpo disponívl, similar ao vrd smafórico, um tmpo bloquado, similar ao vrmlho smafórico A analogia é, ntrtanto, imprfita pois a manobra principal não é intrrompida (ao contrário do qu ocorr no smáforo), 6 Exrcícios Capítulo Alatoridad no Tráfgo