A trajetória sob a ação de uma força central inversamente proporcional ao quadrado da distância

Transcrição

1 A trajtória sob a ação d uma força cntral invrsamnt proporcional ao quadrado da distância A força gravitacional a força ltrostática são cntrais proporcionais ao invrso do quadrado da distância ao cntro d força, qu vou tomar como a origm do sistma d coordnadas Podmos scrvr ss tipo d força cntral assim: F = K r ˆr, ond K é uma constant qu pod sr positiva, no caso d força rpulsiva, ou ngativa, no caso d força atrativa Uma nrgia potncial adquada para ssa força cntral pod sr scrita como pois V ( K r, V ( K rˆ F D acordo com a postagm sobr força cntral, a nrgia total pod sr xprssa assim: E = mṙ mr V (r, com a xprssão acima para a nrgia potncial, assim: E = mṙ mr K r Como o caso d = 0 significa qu a partícula tm vlocidad ao longo da dirção radial, o movimnto é linar não vou considrar ss caso mais simpls aqui Smpr stari supondo 0 Vja qu ssa nrgia total pod sr positiva ou ngativa, dpndndo do valor d K das condiçõs iniciais S a força é rpulsiva, por xmplo, ntão K é uma constant positiva a nrgia total também é positiva, pois todos os três trmos na xprssão d E são positivos Quando a força é atrativa, a constant K é ngativa há condiçõs iniciais qu fazm com qu a nrgia total sja ngativa; por xmplo, basta tomar a vlocidad radial inicial nula r suficintmnt grand para qu o sgundo trmo da quação acima sja dsprzívl comparativamnt ao valor absoluto do trciro Nss caso d força atrativa, no ntanto, há também condiçõs iniciais qu corrspondm a uma nrgia total positiva; por xmplo, basta tomar uma vlocidad radial suficintmnt grand para qu o primiro o sgundo trmos somados rsultm m um valor maior do qu o módulo do trciro trmo Not, obviamnt, qu s a nrgia assum um dtrminado valor para uma dada condição inicial, ntão

2 prmancrá smpr com ss msmo valor durant todo o movimnto, já qu a nrgia total é consrvada Sabmos qu quando lançamos um objto para cima, usualmnt l ating uma altura máxima rtorna Também sabmos qu isso pod sr consguido com projétis foguts: atingm altituds máximas rtornam Em órbita da Trra, um satélit ating uma distância mínima, chamada prigu, uma distância máxima, chamada apogu Um planta também, m sua órbita m torno do Sol, ating uma distância mínima, chamada priélio, uma distância máxima, chamada afélio Nsss pontos d distâncias xtrmas, a vlocidad radial do objto m órbita s anula Vamos procurar por ssas distâncias? Para isso, façamos ṙ = 0 na quação qu dá a nrgia Então, Para simplificar, sja E = mr K r u = r ntão, Rarranjando, tmos cujas soluçõs são: E = m u Ku u u me = 0, u = u = ( me ( me Not qu só pod havr soluçõs rais, portanto, fisicamnt acitávis, s ( me 0, E Daqui m diant stari smpr supondo a validad dssa dsigualdad

3 Quando a nrgia é positiva, a solução u é ngativa, o qu não é possívl fisicamnt, pois u é o invrso d uma distância, qu é ncssariamnt positiva ou nula Então, não há mais do qu um só ponto da órbita m qu a vlocidad radial é nula ss ponto é dado por r 0 = u = me Not qu quando a nrgia é positiva, não há solução positiva para u msmo quando K < 0 Assim, para nrgias positivas não há duas posiçõs m qu a vlocidad radial s anul Nssas circunstâncias, a partícula ating uma crta distância da origm rtorna, mas não volta mais Essas trajtórias não são fchadas, portanto, não são priódicas Para trmos dois pontos d vlocidads radiais nulas, a nrgia dv sr ngativa, portanto, a força dv sr atrativa, K < 0, conform xplicado acima Nss caso, tmos uma distância máxima uma mínima, dadas, rspctivamnt, por r > = u = r < = u = me me Na postagm sobr força cntral mostri qu a quação da trajtória d uma partícula sob a ação d uma força cntral do tipo é dada por F = K r ˆr ond d u dθ = u, u = r Para rsolvr ss problma, podmos mudar d variávl: Com isso, w = u d w dθ = d u = u dθ = w, 3

4 d w dθ = w Essa é a quação para o movimnto d um oscilador harmônico simpls, cuja solução gral pod sr scrita assim: w = A cos (θ γ, ond A γ são constants qu dvm sr dtrminadas m trmos das condiçõs iniciais Rtornando à variávl u, obtmos u = A cos (θ γ Rtornando, agora, para a variávl r, dá r = A cos (θ γ Vamos drivar ambos os mmbros dssa quação com rlação ao tmpo, implicitamnt: r ṙ = A θsn (θ γ Como vimos na postagm sobr força cntral,, portanto, Como a nrgia total é dada por θ = mr r ṙ = A sn (θ γ, mr ṙ = A sn (θ γ m sgu qu E = mṙ mr K r, E = ma m sn (θ γ mr K r, E = A m sn (θ γ mr K r 4

5 Mas já sabmos qu ogo, r = A cos (θ γ [ E = A m sn (θ γ ] [ A cos (θ γ K ] A cos (θ γ, m E = A m sn (θ γ KA cos (θ γ m A cos (θ γ AK cos (θ γ, ou sja, ou ainda, E = m A, A = m (E ogo, A = ( me Sm prdr a gnralidad, podmos tomar A > 0, já qu basta scolhr γ π como constant arbitrária no lugar d γ para mudar o sinal do trmo qu tm cos (θ γ, cos (θ γ π = cos (θ γ Com ssa scolha, podmos scrvr a quação da órbita como me cos (θ γ Caso m qu a força é atrativa E < 0 Nst caso, já vimos qu tmos duas posiçõs radiais com vlocidads radiais nulas: r > = u = me 5

6 r < = u = me Esss são os valors obtidos a partir da quação da trajtória,, me cos (θ γ quando θ γ = π θ γ = 0, rspctivamnt Então, vja qu podmos rscrvr ssa solução para a trajtória da sguint forma: Sjam E = cos (θ γ E a = K E, qu, como stamos tratando o caso m qu K E são constants ngativas, a também pod sr scrita como a = K E Vja também qu, como E < 0, sgu qu < ; não s squça qu stamos smpr supondo qu Com ssas dfiniçõs, vja qu a ( = K E E ( E =, portanto, a quação da trajtória pod sr xprssa como a ( cos (θ γ, qu é a quação d uma lips m coordnadas polars Smpr podmos scolhr o ixo x tal qu γ = π, portanto, a ( cos θ 6

7 Not qu a constant γ é arbitrária dv sr dtrminada pla condição inicial do problma, alguém dv forncr o valor da posição da partícula m t = 0 Não importa qual sja ssa posição inicial m um particular sistma d coordnadas, smpr podmos scolhr um novo sistma d coordnadas, para a msma trajtória, tal qu γ assuma o valor qu quisrmos nss novo sistma Então, para fazr com qu a quação da lips qu obtivmos sja scrita como a da postagm A lips, aqui stamos supondo scolhr um ixo x tal qu, para ssa scolha, γ = π Quando a força é atrativa E > 0 Nst caso, a condição E é automaticamnt satisfita a solução qu obtivmos acima para a trajtória, pod sr rscrita assim:, me cos (θ γ E cos (θ γ Usando as msmas dfiniçõs acima, = E sgu qu, portanto, a ( = K E a = K E, ( E = K E E a ( cos (θ γ = Not qu agora >, pois E > 0 Por causa disso, vja qu θ γ = π não pod fazr part da trajtória, pois isso implicaria uma distância r ngativa No 7

8 ntanto, θ γ = 0 faz part da trajtória dá o ponto da órbita mais próximo da origm É quando a partícula, vindo d long, passa por trás da origm, dfltindo sua dirção original, afasta-s da origm sguindo m outra dirção Aqui também, s scolhrmos o ixo x adquadamnt, podmos tomar γ = π scrvr a ( cos θ Essa é a quação d uma hipérbol m coordnadas polars A figura a sguir ilustra um trcho dssa trajtória Caso m qu a força é atrativa a nrgia total é nula Nst caso, (, cos (θ γ cos θ, já scolhndo o ixo x d modo a trmos γ = π Ess é o caso m qu a trajtória é uma parábola Vja qu a partícula, porqu a força é atrativa, passa por trás do cntro d atração Para vr qu ssa trajtória é a d uma parábola, basta scrvê-la m coordnadas cartsianas d novo, para um sistma d coordnadas 8

9 com zro coincidnt com com o ponto m qu 0 Então, na quação acima, fazmos: O rsultado fica: x y cos θ = x r x, r dividindo ambos os mmbros dssa quação por r, dá: ou sja, = r x, ou ainda, x, x y = x Elvando ambos os mmbros dssa quação ao quadrado, vm: ou sja, ( x y = x x, ( x = y, x = y, qu é a quação d uma parábola no plano xy Vja qu, como K é uma constant ngativa, ssa parábola corta o ixo x m / ( corta o ixo y m ± / ( A figura para ssa parábola é qualitativamnt muito similar à do caso antrior 9

10 Caso m qu a força é rpulsiva Nst caso, K > 0 a nrgia total é ncssariamnt positiva A quação da trajtória continua sndo scrita como acima,, me cos (θ γ E cos (θ γ, Usando as dfiniçõs antriors para a xcntricidad, = E >, para o parâmtro a, sgu qu, portanto, a = K E, a ( = K ( E E = K E E a ( cos θ, = ond aqui já stou supondo qu tomamos o ixo x d tal forma qu γ = 0, dsta vz Essa quação também dscrv uma hipérbol m coordnadas polars, mas not qu agora o ponto m qu θ = 0 prtnc à trajtória, já qu > Já o ponto θ = π não prtnc a ssa hipérbol Nssa trajtória, a partícula é dsviada d sua trajtória ants da origm, não passa por trás do cntro d força A figura a sguir ilustra um trcho dssa trajtória 0

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