Funções de distribuição quânticas

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1 Bos-Einstin: Funçõs d distribuição quânticas f ε) 1 BE ( ε α 1 Frmi-Dirac: f FD (ε) 1 ε-ε F + 1 Boltzmann (clássica): f Boltz (ε) 1 ε α Essas funçõs d distribuição forncm a probabilidad d ocupação, por intrvalo d nrgia, dos stados d um sistma à tmpratura T. Cuidado, pois a taxa d ocupação (ou númro médio d partículas por stado), rqur o conhcimnto d mais um parâmtro, qu é a dnsidad d stados ( a informação d quantas partículas podm ocupar um dtrminado stado) Física Modrna 1

2 Dnsidad d stados Problma: N partículas (clássicas) confinadas m um volum V L. Nívis d nrgia para um poço infinito D d lado L:, qu podmos scrvr: Qu é a quação d 1 sfra d raio R (E n /E ) 1/ no spaço n x, n y, n z. Assim, o númro d stados abaixo d R é: E a dnsidad d stados:, ou Podmos ntão dtrminar a constant α pla condição d normalização: Física Modrna

3 N n α E Boltz ( E) de g( E) fboltz ( E) de g( E) de Substituindo g(e), tmos: Lmbrando qu: x n αx E 1/ dx E π N 1/ / ( ) π ( m) h Γ( n + 1) ; qu Γ( n + 1) n+ 1 α de Ficamos ntão, com: α Vmos, ntão, qu α stá associado a propridads do sistma, como sua tmpratura, a dnsidad d partículas (N/V) a massa dssas partículas. / ( πm ) / V ( πm ) α α N h h N V E 1/ E de nγ( n) ; qu Γ(1/ ) / V π 1/ Física Modrna

4 Limits d validad da distribuição d Maxwll-Boltzmann: partículas não rlativísticas, pois usamos E K mv /; λ << d (distância intrmolcular muito maior qu o comprimnto d onda d d Brogli). h Mas: λ h/p p /m /. Portanto:. Assim: h m λ m V N h << ou, << 1 / N V ( m ) / α ( πm ) V α h N Mas acabamos d vr qu: Física Modrna h N / ( πm ) V -α << 1 para qu a função d distribuição d Boltzmann possa sr usada. Caso d 1 mol d H m CNTP: α h c N ( 1,4 kv.nm) ( ) / πmc V ( π GV,5 V) 5 ( 1,4 V.m) 6 1,51 6 / ( π V 5 V) /,4 m 1 ( 14) / 6 1,4 1,51 5,5 1 cm 1 5 << 1 4

5 Caso d - d condução m um fio d prata. A dnsidad da Ag é 1,5 g/cm a massa molar é 17,9 g/mol. Vamos considrar 1 - livr por átomo: N V α 1,5 g/cm ,9 g/mol h ( πmc ) ( 1,4 V.m) 6 1 ( π V 5 1 V) c N / V / 1 ( 1,4 kv.nm) 5,9 ( π,5 MV,5 V) m - /mol 5,9 1 11, 1, /m 5,1 1 Massa pquna dnsidad alta Boltzmann 1 8 / m >> Física Modrna 5

6 Distribuição d Boltzmann n T 1 ( ε ) dε n T 5 ( ε ) dε,95,599 n T ε 1 ( ε ) d, Física Modrna 6

7 Distribuição d Boltzmann (normalizadas áras 1) Física Modrna 7

8 Distribuição d Bos n T ε 1 ( ε ) d n T ε 5 ( ε) d,778 9,88 n T ε 1 ( ε) d 5, Física Modrna 8

9 Distribuição d Frmi ε F n( ε F ), Física Modrna 9

10 Limit ε >> n Boltz ~ n Bos ~ n Frmi << Física Modrna 1

11 Propridads das distribuiçõs Distribuição Caractrísticas Exmplo Boltzmann Partículas idênticas, mas distinguívis Gás idal Bos-Einstin Partículas idênticas, indistinguívis, qu não obdcm ao Princípio d Exclusão (spin intiro ou nulo) Gás d fótons, L 4 H Frmi-Dirac Partículas idênticas, indistinguívis, qu obdcm ao Princípio d Exclusão (spin smi-intiro) Física Modrna Gás d létrons 11

12 Calor spcífico d um sólido cristalino Modlo clássico: N A átomos, com graus d librdad d oscilação. Modlo clássico tm d nrgia associada a cada grau d librdad. Assim, du d(rt ) U N A RT. Mas CV R dt dt Li d Dulong-Ptit C V s T K, variando com T para baixas T. Einstin (197): osciladors quantizados Física Modrna 1

13 Probabilidad da xistência d um fônon d nrgia à tmpratura T: ω (Bos-Einstin) A nrgia intrna do sólido dv sr a nrgia contida nos fônons m 1 mol do sólido. Isso dv sr a probabilidad do fônon xistir, vzs a nrgia por fônon, ω, vzs o pso statístico para 1 mol d sólido, g N A. Assim, Não tm o trmo m T Física Modrna 1

14 Diamant ω E Não funciona para baixas T Dby osciladors acoplados T / TE Radiação d corpo ngro! A nrgia média, por fônon, num sólido à tmpratura T, é: ω / 1+ Para altas tmpraturas, ω <<. Nss caso, ω +..., a nrgia média por fônon é: u, os nívis parcm contínuos o rsultado clássico C R val. Quando ω >>, a nrgia média d um fônon é muito mnor qu o spaçamnto dos nívis l não consgu trocar nrgia com os átomos. Nssa situação os átomos não consgum absorvr nrgia CV tnd a zro Física Modrna 14

15 Quando T ω >>, como: C vai a zro como ω/. C 1 5 π " 4 Nk T % $ ' # Θ&, s T << Θ D Dulong-Ptit Dby vlocidad das ondas lásticas no sólido T Θ hv k 9NA 4πV 1/ Θ tmpratura d Dby Θ F 465 K Θ Al 95 K Θ Ag 1 K Física Modrna 15