III Integrais Múltiplos

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1 INTITUTO POLITÉCNICO DE TOMA Escola uprior d Tcnologia d Tomar Ára Intrdpartamntal d Matmática Anális Matmática II III Intgrais Múltiplos. Calcul o valor dos sguints intgrais: a) d d ; (ol. /) b) d d ; c) ln d d d) d d ; ) ( sn ) d d + + sc tg 6 +. Calcul da, ond = [,] [,]. (ol. - + ) ; sn ; f) cos d d. 6. Calcul f (, ) da, com = [,] [,] (ol. /6), + f (, ) =., + > +. Calcul da, ond = {(, ) I : + }. (ol. - /). Calcul da, ond é o subconjunto do º quadrant d I dtrminado, por., 6. Calcul os sguints intgrais. ; (ol. (/) sn ) b) d d a) cos( ) d d c) d d. (ol. /6 ( 9 - )) 8 ; (ol. 8/7) 7. Calcul da ond é a rgião limitada no primiro quadrant pla parábola smicúbica = a rcta =. (ol. /) 8. Calcul da ond é a rgião limitada no primiro quadrant pla hipérbol = 6 plas rctas =, = = 8. (ol. ol. 8) Anális Matmática II Cap. III -

2 9. Calcul ( + ) =. (ol. /) da ond é a rgião do plano limitada plos gráficos =. ja a rgião dlimitada plos gráficos d =, = 8 =. Escrva f (, ) da d duas formas distintas, sndo f uma função contínua.. Calcul a ára da rgião, do plano, dlimitada plos gráficos d + =. (ol. /) = 6. Calcul a ára da rgião, do plano, dlimitada plos gráficos d + = =. (ol. /) =,. Calcul a ára das sguints suprfícis:.- Porção do plano d quação =, situado no º octant. (ol. ).- Porção do parabolóid d quação + =, situada no intrior da suprfíci cilíndrica + =. (ol. ( - )/).- = {(,, I : + + =, + }.. Calcul o volum do sólido do º octant, dlimitado plos planos coordnados, plo parabolóid = + + plo plano + =. (ol. /6). Dtrmin o volum do sólido limitado plos gráficos + = 9 + = 9. (ol. ) 6. Dtrmin o volum do sólido no primiro octant limitado por + =, plos planos. (ol. 8/) = 7. Us coordnadas polars para calcular os intgrais: a a) ( ) d d a a + c) d d + ; (ol.. (ol. /) a ) b) a a a ( + ) d d ; (ol. ( a ) ) Anális Matmática II Cap. III -

3 8. Calcul arctan( ) da, na rgião dfinida por +, + 9,. (ol. /6) 9. Calcul da, fando vértics (,), (,), (,) (,-). (ol. 6/9) = ( u + v), sndo o quadrilátro d = ( u v). Calcul ( ) sn ( + ) da, ond é o polígono d vértics nos pontos d coordnadas (,), (, ), (, ) (, ).. Calcul da, ond = {(, ) I : ( + ) ( + )}. (ol. /) { } +. Q = (,, I :, -,, calcul ( + d sis maniras distintas. (ol. 9/) Q dv. Calcul o valor dos sguints intgrais: + a) d d d ; (ol. -/) b) d d d ; + + c) d d d + + ; d) ( d d d +. ) d d d. (ol. ) Q. Eprima f (,, dv, sndo Q a rgião no primiro octant limitada plos planos coordnados plos gráficos d + = = +.. Dtrmin o volum do sólido limitado plos gráficos + = 6. (ol. /) =, =, = Anális Matmática II Cap. III -

4 6. Calcul Q (ol. ) { } dv, ond Q = (,, :-,,. 7. Calcul dv, com o sólido limitado plos três planos coordnados, a suprfíci = + o plano + =. (ol. /6) 8. Usando coordnadas cilíndricas calcul: a) + d d d, com o sólido limitado pla suprfíci + = plo plano = ; (ol. 6 /) b) o volum da sfra + + a ; = c) o volum da rgião limitada plo plano = plo parabolóid = + ; (ol. /) d) o volum do sólido limitado plo gráfico d (ol. 8) = plo plano. 9. Calcul = + d d d, ond é limitado plas suprfícis d quaçõs =. (ol. 76/). Dtrmin o volum do sólido limitado plos gráficos d quaçõs: a) = +, b) =, =, + = =, = = ; =.. Dtrmin o volum do sólido intrior à sfra + + = trior ao 6 cilindro + = 9. (ol. ). Dtrmin o volum do corpo comprndido ntr a sfra trior ao cilindro + a =. (ol. a /) + + a =. Dtrmin o volum do sólido Q = {(,, I : +, +, }. (ol. 9/) Anális Matmática II Cap. III -

5 . Uma lâmina T tm a forma d um triângulo rctângulo isóscls, com os lados iguais d comprimnto a. Dtrmin o cntro d massa, s a dnsidad num ponto Q é dirctamnt proporcional ao quadrado da distância d Q ao vértic oposto à hipotnusa. (ol. (a/, a/)). Uma lâmina tm a forma da rgião do plano, limitada plos gráficos d = =. Dtrmin o cntro d massa, s a dnsidad no ponto P é dirctamnt proporcional à distância do io dos a P. (ol. (6/, )) 6..A dnsidad d uma lâmina quadrada, com vértics (,), (,), (,) (,), é proporcional ao quadrado da distância à origm. Dtrmin o cntro d gravidad da lâmina. (ol. (/8, /8)) 7. Uma lâmina T tm a forma d uma smicircunfrência d raio a diâmtro d trmos A B. Dtrmin o momnto d inércia, m rlação à rcta dfinida por A B, s a dnsidad num ponto P é dirctamnt proporcional à distância da rcta (dfinida por A B) a P. (ol. ka /) 8. Dtrmin a massa o cntro d massa da lâmina qu tm a forma da rgião limitada plos gráficos das quaçõs dadas a dnsidad indicada. a) =, = 9, = ; ρ (, ) = + ; b) =, =, =, = ; ρ (, ) = ; c) =, =, = ; ρ (, ) =. 9. Calcul os momntos d inércia, m rlação ao io dos ao io dos, das lâminas das alínas a) b) do rcício antrior.. Dtrmin as coordnadas do cntro d massa d Q = {(,, I : + }, sabndo qu ρ (,, = k. Anális Matmática II Cap. III -